第24章解直角三角形 中档题拓展训练【8个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

第24章解直角三角形 中档题拓展训练★★ 【8个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年 华东师大版数学九年级上册 1 一．含30度角的直角三角形 二．直角三角形斜边上的中线 三．锐角三角函数的增减性 四．解直角三角形 五．解直角三角形的应用 六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 八．解直角三角形的应用-方向角问题 2 一．含30度角的直角三角形 3 1.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=10，点M、N在边OB上，PM=PN，若MN=3，则OM的长是( ____ ) A.2 B.3.5 C.6 D.8 【解析】解：作PH⊥MN于H，如图， B 4 ___ ∵PM=PN， ∴ ， 在Rt△POH中， ∵∠POH=60°， ∴∠OPH=30°， 5 ∴ ， ∴OM=OH-MH=5-1.5=3.5． 故选：B． 6 2.如图，已知∠MAN=60°，点B，D在边AN上，且点D在点B的右侧，AB=2，点C是边AM上一动点，在点C运动的过程中，始终保持CB=CD，若AC=m,则AD的长为( ____ ) A. m+1 B. m+2 C. m-1 D.m-2 【解析】解：如图所示，过点C作CE⊥AN， D 7 在Rt△ACE中，∠MAN=60°， ∴∠ACE=30°， ∵AC=m, ∴AE= m, ∵AB=2， ∴BE= m-2， ∵CB=CD，CE⊥BD， ∴BE=ED= m-2， 8 ∴BD=( m-2)×2=m-4， ∴AD=AB+BD=2+m-4=m-2， 故选：D． 9 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3，则斜边AB=　　． 【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3， ∴设BC=x,则AB=2x, ∵AC2+BC2=AB2，即32+x2=(2x)2， 解得x= ， ∴AB=2x=2 ． 故答案为：2 ． 10 二．直角三角形斜边上的中线 11 4.如图，九洞天风景区内的路AC，BC互相垂直，路AB的中点P与点C被经过景区的六冲河隔开．若测得路AB的长为100m,则P、C两点间的距离是 _____ ． 【解析】解：在Rt△ABC中， ∵点P为斜边AB的中点， ∴PC= (m)， 即P、C两点间的距离为50m. 故答案为：50m. 50m 12 5.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，斜边上的中线CD=5，斜边上的高CH=4，则BC边长为 　　． 【解析】解：∵CD是斜边AB上的中线，CD=5， ∴AB=2CD=2×5=10， ∵CH=4， ∴DH= = =3， ∴BH=AB-AB-DH=10-5-3=2， BC= = =2 ． 故答案为：2 ． 13 6.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被一片草地隔开．若测得AB的长为1km,则M，C两点间的距离为 _____ km. 【解析】解：连接CM， ___ ∵AC⊥BC， ∴∠ACB=90°， 0.5 14 ∵点M是AB的中点，AB=1km, ∴CM= AB=0.5(km)， ∴M，C两点间的距离为0.5km, 故答案为：0.5． 15 7.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∠ACB=90°，点E是CD中点，连接AE并延长交BC于点F，连接DF．若AC=6，BC=8，则DF的长为 　　． 【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示， ___ ∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，且AC=6，BC=8， 16 ∴点C的坐标为(6，0)，点B的坐标为(6，8)， ∵CD是Rt△ABC斜边上的中线， ∴点D是AB的中点， ∴点D的坐标为(3，4)． 又∵点E是CD的中点， ∴点E的坐标为( )． 令直线OE的函数解析式为y=kx, 则 ， 解得k= ， 17 ∴直线OE的函数解析式为y= ． 将x=6代入直线OB的函数解析式得， y= ， ∴点F的坐标为(6， )， ∴DF= ． 故答案为： ． 18 三．锐角三角函数的增减性 19 8.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点D是线段AC上的动点，设∠BDC=α，∠BAC=β，有以下说法： ①当0°＜β＜α＜90°时，tanα＞tanβ． ②当0°＜β＜α＜90°时，cosα＞cosβ． ③D为AC中点时，sin∠DBA= ． ④BD平分∠CBA时，tanβ=2tanα． 其中，正确的是 ____ ．(填序号) 【解析】解：∵∠BDC是△BAD的外角， ① 20 ∴∠BDC=∠A+∠ABD， ∴∠BDC＞∠A， 即α＞β， 当0°＜β＜α＜90°时，tanα＞tanβ， 故①正确； 当0°＜β＜α＜90°时，cosα＜cosβ， 故②错误； ∵∠C=90°，BC=3，AC=4， ∴AB= = =5， 过点D作DE⊥AB，垂足为E， 21 ___ ∵D为AC中点时， ∴CD=AD= AC=2， ∴BD= = = ， ∵△ABC的面积=△BCD的面积+△BDA的面积， ∴ AC•BC= CD•BC+ AB•DE， ∴3×4=2×3+5DE， 22 ∴DE= ， 在Rt△BDE中，sin∠DBA= = = ， 故③错误； 过点D作DF⊥AB，垂足为F， ___ ∵BD平分∠CBA，DF⊥AB，DC⊥BC， 23 ∴DC=DF， ∵△ABC的面积=△BCD的面积+△BDA的面积， ∴ AC•BC= CD•BC+ AB•DF， ∴3×4=3DC+5DF， ∴8DC=12， ∴DC= ， 在Rt△BCD中，tan∠BDC=tanα= = =2， 在Rt△BCA中，tan∠BAC=tanβ= = ， 24 ∴tanβ≠2tanα， 故④错误； 所以，正确的是：①， 故答案为：①． 25 四．解直角三角形 26 9.如图，点A、B、C是边长相同的正方形网格中的三个格点(即正方形的顶点)，则cos∠ABC的值为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：连接AC， D 27 ___ 则△ABC为直角三角形． 令小正方形的边长为a, 由勾股定理得， BC= ， AB= ， 在Rt△ABC中， cos∠ABC= ． 28 10.如图，在△ABC中，∠B=22.5°，∠C=45°，若AC=4，则△ABC的面积是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E， A 29 ______ ∵∠C=45°， ∴△ADC是等腰直角三角形， ∴AD=AC=4，∠ADC=45°，CD= AC=4 ， ∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠B=22.5°， ∴∠DAB=22.5°， ∴∠B=∠DAB， ∴AD=BD=4， ∴ ， 30 ∵AD=AC，AE⊥CD， ∴DE=CE， ∴ ． ∴△ABC的面积= ． 故选：A． 31 11.如图，在△ABC中，AB=AC=5，sinB= ，则BC的长是( ____ ) A.3 B.6 C.8 D.9 【解析】解：过点A作BC的垂线，垂足为M， ___ B 32 在Rt△ABM中， sinB= ， ∴AM= =4， ∴BM= ． 又∵AB=AC， ∴BC=2BM=6． 故选：B． 33 12.如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若△ABC的三个顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为( ____ ) A.1 B.2 C. D. 【解析】解：过点B作AC的垂线，垂足为M， C 34 ___ 根据勾股定理得， BM= ， CM= ， 在Rt△BCM中， tan∠ACB= ． 故选：C． 35 13.如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值是( ____ ) A.1 B. C. D. 【解析】解：过点B作AC的垂线，垂足为D， 令小正方形的边长为1， D 36 则AB= ． 在Rt△ABD中， sin∠BAC= ． 故选：D． 37 14.如图，△ABC是周长为36的等腰三角形，AB=AC，BC=10，则tanB的值为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D， C 38 __ ∵AB=AC，BC=10， ∴ ， ∵△ABC是周长为36的等腰三角形， ∴ ， 39 在Rt△ABD中， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 40 15.只给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小是不确定的．在下列给定的两个条件的基础上，增加一个AB=4cm的条件后，所画出的三角形的形状和大小仍不能完全确定的是( ____ ) A.∠A=60°，∠B=30° B.BC=6cm,∠B=30° C.BC=3cm,∠A=30° D.BC=5cm,AC=6cm 【解析】解：∵∠A=60°，∠B=30°， ∴∠C=90°， 则三角形的形状确定． C 41 再根据∠A的正弦值和余弦值，可求出BC及AC的长， 所以三角形的大小也确定． 故A选项不符合题意． 因为AB=6cm,AB=4cm,且它们的夹角为∠B=30°， 所以依据全等三角形的判定定理“SAS”可知，此三角形的形状和大小都确定． 故B选项不符合题意． 因为∠A=30°，BC=3cm,AB=4cm, 所以此时△ABC的两边和一边的对角确定， 则△ABC的形状和大小都不确定． 故C选项符合题意． 42 因为AB=4cm,BC=5cm,AC=6cm, 所以依据全等三角形的判定定理“SSS”可知，此三角形的形状和大小都确定． 故D选项不符合题意． 故选：C． 43 五．解直角三角形的应用 44 16.如图是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值为( ____ ) A. B. C. D. A 45 【解析】解：∵小正方形的面积为1，大正方形的面积为25， ∴小正方形的边长为 1，大正方形的边长为5， 设直角三角形中较短的直角边为a,则较长的直角边是a+1，其中a＞0， 由勾股定理得：a2+(a+1)2=52， 整理得：a2+a-12=0， 解得：a1=3，a2=-4(不合题意，舍去)． ∴a+1=4， ∴tanα= ． 故选：A． 46 17.如图是一把圆规的平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂．已知OA=OB=10，使用时，以点A为支撑点，笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角∠AOB=2θ，则圆规能画出的圆的半径AB长度为( ____ ) A.20tanθ B.10tan2θ C.20sinθ D.10sin2θ 【解析】解：过点O作OC⊥AB，垂足为C， C 47 _ ∵OA=OB=10，OC⊥AB， ∴∠AOC= ∠AOB=θ，AB=2AC， 在Rt△AOC中，AC=OA•sinθ=10sinθ， 48 ∴AB=2AC=20sinθ， ∴圆规能画出的圆的半径AB长度为20sinθ， 故选：C． 49 18.如图，一个钟摆的摆长OA的长为a,当钟摆从最左侧摆到最右侧时，摆角∠AOB为2x,点C是AB的中点，OC与AB交于点D，则CD的长为( ____ ) A.asin2x B.acos2x C.a(1-sinx) D.a(1-cosx) 【解析】解：∵点C是AB的中点， ∴ = ，∠AOC=∠BOC= ∠AOB=x, D 50 ∵OD=OD，OA=OB， ∴△OAD≌△OBD(SAS)， ∴∠ODA=∠ODB=90°， ∴OD=OA•cos∠AOC=acosx, CD=OC-OD=a-acosx=a(1-cosx)， 故选：D． 51 19.如图1是深圳地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm,双翼的边缘AC=BD=56cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为( ____ ) _____ A. C 52 B. C.66cm D.56cm 【解析】解：过点A作AE⊥CP，过点B作BF⊥DQ，如图， ___ 则Rt△ACE中， ， 53 同理可得：BF=28cm, ∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm, ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为28+28+10=66cm, 故选：C． 54 20.智能测量是一款非常有创意且使用性很高的手机测距软件，它可以利用手机上的摄像头和距离传感器来测量目标的距离、高度、宽度、角度和面积，测量过程非常简单．如图①，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者AB与雕像CD垂直于底面BE，若手机显示AC=5m,AD=7m,∠CAD=37°，则雕像CD的高度为 _____ m；( 4.2 55 结果保留1位小数，参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 【解析】解：过点C作CF⊥AD，垂足为F． 在Rt△ACF中， ∵cos∠CAF= ，sin∠CAF= ， ∴AF=cos∠CAF•AC=cos37°•5≈0.8×5=4(m)， CF=sin∠CAF•AC=sin37°•5≈0.6×5=3(m)． ∴DF=AD-AF=7-4=3(m)． 在Rt△DCF中， 56 ∵DF2+CF2=CD2， ∴CD= = =3 ≈3×1.41 =4.23 ≈4.2(m)． 故答案为：4.2 57 21.如图，起重机吊运物体，∠ABC=90°，若AB=5m,AC=13m,则BC等于 ____ m. 【解析】解：由题意得，∠ABC=90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， (m)， 故答案为：12． 12 58 22.如图，一把人字梯立在地面上，∠α=50°，AB=AC，梯子顶端离地面的高度AD是1.54米． (1)求AB的长； (2)移动梯子底端，当△ABC是等边三角形时，求顶点A上升的高度(精确到0.1米)． (参考依据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19， ≈1.73) 【解析】解：(1)∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵AB=AC， 59 ∴∠ABC=∠ACB=50°， 在Rt△ADB中，AD=1.54米， ∴AB= ≈ =2(米)， ∴AB的长约为2米； (2)当△ABC是等边三角形时，∠ABC=60°， 在Rt△ADB中，AB=2米， ∴AD=AB•sin60°=2× = (米)， ∴顶点A上升的高度= -1.54≈0.2(米)， ∴顶点A上升的高度约为0.2米． 60 23.小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率 (i为入射角，r为折射角)．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直AC边的方向射出，已知i=30°，AB=15cm,n=1.5，则BC长为( ____ ) A.3cm B.4cm D 61 C.4.5cm D.5cm 【解析】解：如图： _____ 由题意得：∠γ+∠β=90°，DE⊥AC， ∴∠DEA=90°， ∴∠A+∠β=90°， 62 ∴∠A=∠γ， ∵i=30°，n=1.5， ∴1.5= ， 解得：sinγ= ， ∴sinA=sinγ= ， 在Rt△ABC中，AB=15cm, ∴BC=AB•sinA=15× =5(cm)， ∴BC长为5cm, 63 24.2024年春节期间，遵义部分县区举办“新春灯会•喜迎龙年”活动，引进了现代光电技术，让古老的彩灯艺术焕发出青春的熠熠光芒．如图是某地灯会现场部分示意图，AB为主灯塔，BC为汇展舞台，CD⊥BC于点C，一束灯光的光线从主灯塔A处发出，经过平面镜D处，反射到达舞台中央E处(MN为法线)．测得水平方向CE=BE=4m,∠CED=42°(参考数据：sin42°≈0.66，cos42°≈0.74，tan42°≈0.9，结果保留一位小数) (1)求CD的高度； (2)求主灯塔AB的高度． 64 【解析】解：(1)∵CD⊥BC， ∴∠DCE=90°， 在Rt△CDE中，∠DEC=42°，CE=4m, ∴CD=CE•tan42°≈4×0.9=3.6(m)， ∴CD的高度约为3.6m； (2)延长MN交AB于点G， ___ 65 由题意得：∠ADG=∠EDG，DG⊥AB，CD=BG=3.6m,BC=DG=CE+BE=4+4=8(m)，DG∥BC， ∴∠EDG=∠DEC=42°， ∴∠ADG=∠EDG=42°， 在Rt△ADG中，AG=DG•tan42°≈8×0.9=7.2(m)， ∴AB=AG+BG=7.2+3.6=10.8(m)， ∴主灯塔AB的高度约为10.8m. 66 六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 67 25.一人乘雪橇沿坡比为1： 的斜坡笔直滑下，滑下的距离为72米，则此人下降的高度为( ____ ) A.72米 B.36米 C. 米 D. 米 【解析】解：∵斜坡AB的坡度i=1： ， ∴tanA= = = ， B 68 ∴∠A=30°， ∴BC= AB= ×72=36(米)， 故选：B． 69 26.如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm,深为30cm,为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是( ____ ) cm. A.210 B.120 C.504 D.60 【解析】解：如图：延长BD交CA于点E， A 70 _____ 由题意得：BE⊥CE，BE=3×18=54(cm)，AE=2×30=60(cm)， ∵斜坡BC的坡度i=1：5， ∴ = ， ∴CE=5BE=270(cm)， ∴AC=CE-AE=270-60=210(cm)， ∴AC的长度是210cm, 故选：A． 71 七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 72 27.如图是跳台滑雪比赛的某段赛道的示意图，某运动员从离水平地面100m高的A点出发(AB=100m)，沿俯角为30°的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处．若AD=140m,则该运动员滑行的水平距离BC为( ____ ) 米？ A.120 B.80 B 73 C.140 D.70 【解析】解：过点D作DG⊥BC，垂足为G，延长GD交AE于点H， _____ 由题意得：DH⊥AE，AB=GH=100m,BG=AH，DF∥BC， ∴∠FDC=∠DCG=60°， 在Rt△ADH中，∠DAH=30°，AD=140m, 74 ∴DH= AD=70(m)，AH= DH=70 (m)， ∴ADG=GH-DH=100-70=30(m)， 在Rt△DCG中，CG= = =10 (m)， ∴BC=BG+CG=AH+CG=70 +10 =80 (m)， ∴该运动员滑行的水平距离BC为80 m, 故选：B． 75 28.如图，在一艘小船A上测得海岸上高为36m的灯塔BC的顶部C处的仰角是30°，则船离灯塔的水平距离AB等于( ____ ) A. B. C.18m D.36m 【解析】解：由题意得：CB⊥AB， 在Rt△ABC中，BC=36m,∠CAB=30°， A 76 ∴AB= = =36 (m)， ∴船离灯塔的水平距离AB等于36 m, 故选：A． 77 29.如图，建筑物CD和旗杆AB的水平距离BD为9m,在建筑物的顶端C测得旗杆顶部A的仰角α为30°，旗杆底部B的俯角β为45°，则旗杆AB的高度为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：如图： D 78 __ 由题意得：CE⊥AB，CE=BD=9m, 在Rt△AEC中，∠ACE=30°， 79 ∴AE=CE•tan30•=9× =3 (m)， 在Rt△BCE中，∠BCE=45°， ∴BE=CE•tan45°=9(m)， ∴AB=AE+BE=(3 +9)m, 故选：D． 80 30.为测量大楼AB的高度，小明测得斜坡CD=52m(A，B，C，D在同一平面内)，坡度i=1：2.4，坡底C到大楼底部A的水平距离AC=52m,在D处测得大楼顶部B的仰角为45°，则大楼AB的高度为( ____ ) A.100m B.104m C.120m D.125m 【解析】解：过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点F，过点D作DE⊥AB，垂足为E， C 81 ___ 由题意得：DE=AF，DF=AE， ∵斜坡CD的坡度i=1：2.4， ∴ = = ， ∴设DF=5x m,则CF=12x m, 在Rt△CDF中，CD= = =13x(cm)， ∵CD=52m, 82 ∴13x=52， 解得：x=4， ∴DF=20m,CF=48m, ∴DF=AE=20m, ∵AC=52m, ∴DE=AF=CF+AC=48+52=100(m)， 在Rt△DBE中，∠BDE=45°， ∴BE=DE•tan45°=100(m)， ∴AB=AE+BE=20+100=120(m)， ∴大楼AB的高度为120m, 故选：C． 83 31.港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为60°，然后向后走160米(BC=160米)，到达C处，此时看塔顶A，仰角为30°，则该主塔的高度是 　　米． _________ 【解析】解：过点A作AD⊥CB，垂足为D， 84 _____ 由题意得：∠ABD=60°，∠ACD=30°， ∵∠ABD是△ABC的一个外角， ∴∠CAB=∠ABD-∠ACD=30°， ∴∠CAB=∠ACD=30°， ∴BA=BC=160米， 在Rt△ABD中，AD=AB•sin60°=160× =80 (米)， ∴该主塔的高度是80 米， 85 86 32.某校“综合与实践”小组开展了测量某塑像(塑像中高者)高度的实践活动．如图所示，该塑像DE在高56m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为35°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求该塑像DE的高度．(精确到1m.参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70， 【解析】解：由题意得：DC⊥AC，AB=21m, 在Rt△ACE中，∠EAC=35°，EC=56m, ∴AC= ≈ =80(m)， ∴BC=AC-AB=59(m)， 87 在Rt△BCD中，∠DBC=60°， ∴CD=BC•tan60°=59 (m)， ∴DE=CD-CE=59 -56≈46(m)， ∴该塑像DE的高度约为46m. 88 33.一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米到达点Q，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732)． 【解析】解：延长BA交PQ于点C， 89 ____ 由题意得：BC⊥PC，PQ=5米， 设QC=x米， ∴PC=PQ+QC=(x+5)米， 在Rt△PCA中，∠P=30°， ∴AC=PC•tan30°= (x+5)米， ∵AB=3米， 90 ∴CB=AC+AB=[ (x+5)+3]米， 在Rt△QCB中，∠CQB=45°， ∴CB=QC•tan45°=x(米)， ∴ (x+5)+3=x, 解得：x=7+4 ， ∴BC=7+4 ≈14(米)， ∴无人机飞行的高度约为14米． 91 34.如图，某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪BC，对垂直于地面CD的建筑物AD的高度进行测量，BC⊥CD于点C．在B处测得A的仰角∠ABE=45°，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至FG处，FG⊥CD于点G，测得A的仰角∠AFE=58°，BF的延长线交AD于点E，求建筑物AD的高度(结果保留小数点后一位)．(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60) 【解析】解：根据题意可知四边形BEDC是矩形， ∴DE=BC=1.5m. 如图，∠ABE=45°，∠AFE=58°． 92 ∵ ， ∴ ． ∵BE=EF+BF， ∴ ∴AE≈16． ∴AD=AE+DE=17.5(米) 答：建筑物AD的高度约为17.5米． 93 35.2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD=17米，BD=10米． (1)求CD的长； (2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间． 参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75． 94 【解析】解：(1)如图： __ 由题意得：AC⊥CD，BE∥CD， ∴∠EBD=∠BDC=36.87°， 在Rt△BCD中，BD=10米， 95 ∴CD=BD•cos36.87°≈10×0.80=8(米)， ∴CD的长约为8米； (2)在Rt△BCD中，BD=10米，∠BDC=36.87°， ∴BC=BD•sin36.87°≈10×0.6=6(米)， 在Rt△ACD中，AD=17米，CD=8米， ∴AC= = =15(米)， ∴AB=AC-BC=15-6=9(米)， ∵模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点， ∴模拟装置从A点下降到B点的时间=9÷2=4.5(秒)， ∴模拟装置从A点下降到B点的时间约为4.5秒． 96 36.如图，为了测量大楼AB的高度，小明在C点测得大楼顶端A的仰角为45°，从C点沿倾斜角为37°的斜坡走到点D，再水平向左走16m达到点E，在E处测得大楼顶端A的仰角为76°，同时测得大楼底端B的俯角为45°，求大楼AB的高度． (参考数据：tan37≈0.75，tan76°≈4．) 【解析】解：过点D作DF⊥BC，垂足为F，过点E作EG⊥AB，垂足为G， 97 ___ 由题意得：BG=DF，DG=BF，DE=16米， 设CF=x米， 在Rt△CDF中，∠DCF=37°， ∴DF=CF•tan37°≈0.75x(米)， ∴BG=DF=0.75x米， 98 在Rt△BGE中，∠BEG=45°， ∴EG= =0.75x(米)， ∴BF=DG=EG+DE=(16+0.75x)米， ∴BC=BF+CF=(16+1.75x)米， 在Rt△ABC中，∠ACB=45°， ∴AB=BC•tan45°=(16+1.75x)米， 在Rt△AEG中，∠AEG=76°， ∴AG=EG•tan76°≈3x(米)， ∴AB=AG+BG=3.75x(米)， ∴3.75x=16+1.75x, 99 解得：x=8， ∴AB=3.75x=30(米)， ∴大楼AB的高度约为30米． 100 八．解直角三角形的应用-方向角问题 101 37.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号以每小时16海里的速度向北偏东50°方向航行，“海天”号以每小时12海里的速度向北偏西一定的角度的航向行驶，它们离港口半小时后分别位于Q、R处，且相距10海里，则“海天”号航行的方向是( ____ ) A.北偏东40° B.北偏西40° C.北偏西30° D.北偏西20° B 102 【解析】解：根据题意，得PQ=16×0.5=8(海里)，PR=12×0.5=6(海里)，QR=10(海里)． ____ ∵82+62=102，即PQ2+PR2=QR2， ∴∠QPR=90°． 由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPN=50°，则∠NPR=40°，即“海天”号沿北偏西40°方向航行． 故选：B． 103 38.如图，线段AB表示连通A、B两市之间的公路，两市相距150km,分别从A、B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，tanα=1.6，tanβ=1.4．则C处到公路AB的距离为 ____ km. 【解析】解：如图：过点C作CD⊥AB，垂足为D， ____ 由题意得：AE∥CD∥BF， 50 104 ∴∠ACD=α，∠DCB=β， ∴tanα=tan∠ACD=1.6，tanβ=tan∠BCD=1.4， 设CD=x m, 在Rt△ACD中，AD=CD•tan∠ACD=1.6x(m)， 在Rt△BCD中，BD=CD•tan∠BCD=1.4x(m)， ∵AD+BD=AB， ∴1.6x+1.4x=150， 解得：x=50， ∴CD=50km, ∴C处到公路AB的距离为50km, 故答案为：50． 105 39.如图，海中两个灯塔A、B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行40海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A、B间的距离．(计算结果用根号表示，不取近似值) 【解析】解：过点A作AF⊥CD，垂足为F，过点D作DE⊥CD，如图所示： 106 ____ 由题意可得出：∠FCA=∠ACN=45°，∠NCB=30°，∠ADE=60°， 则∠FAD=60°，∠FAC=∠FCA=45°，∠ADF=30°， ∴AF=FC=AN=NC， 设AF=FC=x海里， ∴tan30°= = = ， 107 解得：x=20( +1)， ∵tan30°= ， ∴ = ， 解得：BN=(20+ )海里， ∴AB=AN+BN=20( +1)+20+ =(40+ )海里， 答：灯塔A、B间的距离为(40+ )海里． 108 40.钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口P出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行12海里，乙船每小时航行16海里． (1)若甲乙两船离开港口一个半小时后分别位于Q、R处(图1)，且相距30海里，如果知道甲船沿北偏东70°方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． (2)若甲船沿北偏东60°方向航行(图2)，从港口P离开经过两个小时后位于点C处， 109 此时船上有名乘客需要以最快的速度回到PA海岸线上，若他从C处出发，乘坐的快艇的速度是每小时90海里，他能在14分钟内回到海岸线吗？请说明理由．(提示： ) 【解析】解：(1)由题意可得：∠APQ=70°，PQ=12×1.5=18(海里)， PR=16×1.5=24(海里)， 在△PQR中， ∵PQ2+PR2=182+242=900，QR2=302=900， ∴PQ2+PR2=QR2， ∴△PQR是直角三角形，且∠QPR=90°， ∴∠BPR=180°-∠APQ-∠QRP=180°-70°-90°=20°， 110 ∴乙船沿南偏东20°方向航行； (2)过点C作CD⊥AB于D， __ 由题知∠CPD=60°，则∠C=30°，PC=2×12=24(海里)， ∴ 海里， ∴ (海里)， (海里)， 111 21＞20.4， ∴他能在14分钟内到海岸线． 112 $$