第23章图形的相似 中档题拓展训练 【13个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

第23章图形的相似 中档题拓展训练★★ 【13个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年 华东师大版数学九年级上册 1 一．点的坐标 二．规律型：点的坐标 三．坐标确定位置 四．坐标与图形性质 五．三角形中位线定理 六．坐标与图形变化 七．关于原点对称的点的坐标 八．坐标与图形变化 九．平行线分线段成比例 一十．相似三角形的判定与性质 一十一 一十二．作图 一十三．位似变换 2 一．点的坐标 3 1.如果m是任意实数，则点P(m+4，m-4)一定不在( ____ ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】解：∵(m+4)-(m-4)=m+4-m+4=8， ∴点P的横坐标大于纵坐标， ∴点P一定不在第二象限． 故选：B． B 4 2.平面直角坐标上，在第四象限内有一点P，且P点到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则P点坐标为 _________ ． 【解析】解：∵点P在第四象限，到x轴的距离是4，到y轴的距离是5， ∴点P的横坐标是5，纵坐标是-4， ∴点P的坐标为(5，-4)． 故答案为：(5，-4)． (5，-4) 5 3.当m,n都是实数，且满足2m=3+n,就称点P(m-1， )为“爱心点”，点C(a,6)是爱心点，则a= ____ ． 【解析】解：∵点C为爱心点， ∴ ， ∴n=12-m, 又∵2m=3+n, ∴2m=3+12-m, 解得m=5， 4 6 ∴5-1=a,即a=4． 故答案为：4． 7 二．规律型：点的坐标 8 4.在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断运动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．则点A2023的坐标是( ____ ) __________ A.(1012，0) B.(1012，1) C.(1010，1) D.(1011，0) D 9 【解析】解：观察蚂蚁运动的方式可知， 点A1的坐标为(0，1)， 点A2的坐标为(1，1)， 点A3的坐标为(1，0)， 点A4的坐标为(2，0)， 点A5的坐标为(2，1)， 点A6的坐标为(3，1)， …， 点A10的坐标为(5，1)， …， 所以点A4n-2的坐标可表示为(2n-1，1)(n为正整数)， 10 当n=506时， 4n-2=2022，2n-1=1011， 所以点A2022的坐标为(1011，1)， 所以点A2023的坐标为(1011，0)． 故选：D． 11 5.如图，小好同学用计算机软件绘制函数y=x3-3x2+3x-1的图象，发现它关于点(1，0)中心对称．若点A1(0.1，y1)，A2(0.2，y2)，A3(0.3，y3)，…，A19(1.9，y19)，A20(2，y20)都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是( ____ ) A.-1 B.-0.729 C.0 D.1 【解析】解：由题知， D 12 点A10的坐标为(1，0)， 则y10=0． 因为函数图象关于点(1，0)中心对称， 所以y9+y11=y8+y12=…=y1+y19=0， 将x=2代入函数解析式得， y=23-3×22+3×2-1=1， 即y20=1， 所以y1+y2+y3+…+y19+y20的值为1． 故选：D． 13 6.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：(1，0)→(2，0)→(2，1)→(1，1)→(1，2)→(2，2)→…根据这个规律，第2024个点的坐标为 _________ ． 【解析】解：根据所给点的排列方式可知， 第a2(a为奇数)个点的坐标为(a,0)． 又452=2025， 所以第2025个点的坐标是(45，0)． 则第2024个点在第2025个点的上方1个单位长度， 所以第2024个点的坐标是(45，1)． (45，1) 14 7.如图，小球起始时位于(3，0)处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于(1，0)处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是(0，1)，那么小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置是 ________ ． 【解析】解：由图可得，点(1，0)第一次碰撞后的位置的坐标为(0，1)， 第二次碰撞后的位置的坐标为(3，4)， 第三次碰撞后的位置的坐标为(7，0)， (3，4) 15 第四次碰撞后的位置的坐标为(8，1)， 第五次碰撞后的位置的坐标为(5，4)， 第六次碰撞后的位置的坐标为(1，0)，…， ∴小球位置每6次为一个周期依次循环， ∵2024÷6=337…2， ∴小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置是(3，4)， 故答案为：(3，4)． 16 三．坐标确定位置 17 8.官渡古镇是云南特色景观旅游景点．古镇周边部分景点分布如图，若云南省文学艺术馆的坐标为(2，1)，云南省大剧院的坐标为(7，-3)，则金刚塔的坐标为( ____ ) ____ D 18 A.(2，-3) B.(3，6) C.(-3，1) D.(-3，6) 【解析】解：根据云南省文学艺术馆的坐标为(2，1)，云南省大剧院的坐标为(7，-3)可以确定直角坐标系中原点， ∴金刚塔的坐标为(-3，6)， 故选：D． 19 9.住在巨龙花园小区的小明点了一份外卖，如图是外卖骑手的送餐定位图，将其放在平面直角坐标系中，表示骑手A点的坐标为(-1，3)，饭店C的坐标为(-2，0)，则小明家点B的坐标为 _________ ． 【解析】解：由骑手A点的坐标为(-1，3)，饭店C的坐标为(-2，0)可建如下坐标系： (3，-1) 20 ____ ∴小明家点B的坐标为(3，-1)； 故答案为(3，-1)． 21 10.已知点M(a+1，a+3)在y轴上，则点M的坐标为 ________ ． 【解析】解：由题意点M横坐标为0，即a+1=0， 解得：a=-1， 则点M的纵坐标为：-1+3=2． 所以点M的坐标是(0，2)． 故答案为：(0，2)． (0，2) 22 四．坐标与图形性质 23 11.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，2)与点B(3，-2)，下列说法正确的是( ____ ) A.AB⊥x轴 B.AB⊥y轴 C.OA⊥OB D.OA⊥AB 【解析】解：因为点A坐标为(3，2)，点B坐标为(3，-2)， 则A，B两点的横坐标相等，纵坐标不相等， 所以AB⊥x轴． 故选：A． A 24 12.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(a-3，2a+1)． (1)若点A在x轴上，求a的值； (2)若点B(3，-5)，且直线AB∥y轴，求点A的坐标． 【解析】解：(1)∵点A在x轴上，纵坐标为0， ∴2a+1=0， ∴ ； (2)∵直线AB∥y轴，点B(3，-5)， ∴a-3=3，a=6， ∴点A(3，13)． 25 五．三角形中位线定理 26 13.如图，∠BAC的平分线交△ABC的中位线DE于点F，若AC=10，AB=6，则EF的长为( ____ ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】解：∵DE是△ABC的中位线，AC=10，AB=6， ∴BD=AD=3，DE= AC=5，DE∥AC， ∴∠CAF=∠DFA， ∵AF平分∠BAC， B 27 ∴∠DAF=∠CAF， ∴∠DAF=∠DFA， ∴DF=DA=3， ∴EF=DE-DF=5-3=2， 故选：B． 28 14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，D、E分别是AC、AB的中点，DE=6，则AC的长是( ____ ) A.4 B.5 C.5.5 D.6 【解析】解：∵D、E分别是AC、AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC=2DE=2×6=12， 由勾股定理得：AC= = =5， B 29 15.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC边上的中点，延长DE至F，使EF=4DE，连接BF．若∠DEB=∠DBF，AC=2，则AB的长为( ____ ) A.4 B. C. D. 【解析】解：由题意，∵D、E分别是AB、BC边上的中点， ∴DE是△ABC的中位线． B 30 ∴DE= AC=1，DE∥AC，AB=2BD． ∴∠DEB=∠C． ∵EF=4DE， ∴EF=4． ∴DF=5． ∵∠DEB=∠EBF+∠F，∠DBF=∠EBF+∠DBE，∠DEB=∠DBF， ∴∠F=∠DBE，∠DBF=∠C． ∴△BDF∽△CAB． ∴ = ． 31 ∴ = ． ∴BD= ． ∴AB=2 ． 故选：B． 32 16.如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若 ，则EF的长为 　　． 【解析】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点， ∴ ， ∵CF∥BE， ∴四边形BCFE为平行四边形， ∴ ， 故答案为： ． 33 17.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点． ______ (1)如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF= (AC-AB)； (2)如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论． 【解析】(1)证明：如图1中， 34 _____ ∵AE⊥BE， ∴∠AED=∠AEB=90°， ∴∠BAE+∠ABE=90°，∠DAE+∠ADE=90°， ∵∠BAE=∠DAE， ∴∠ABE=∠ADE， ∴AB=AD， ∵AE⊥BE， 35 ∴BE=DE， ∵BF=FC， ∴EF= DC= = (AC-AB)． (2)结论：EF= (AB-AC)， 理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于点P． ___ 36 ∵AE⊥BP， ∴∠AEP=∠AEB=90°， ∴∠BAE+∠ABE=90°，∠PAE+∠APE=90°， ∵∠BAE=∠PAE， ∴∠ABE=∠APE， ∴AB=AP，∵AE⊥BD， ∴BE=PE，∵BF=FC， ∴EF= PC= (AP-AC)= (AB-AC)． 37 六．坐标与图形变化 38 18.在平面直角坐标系中，将点P(2，3)向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点P′的坐标是( ____ ) A.(5，1) B.(-1，1) C.(-1，5) D.(5，-1) 【解析】解：∵将点P(2，3)先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点的坐标为P'， ∴2-3=-1，3-2=1， ∴点P′的坐标为(-1，1)． B 39 19.如图，在平面坐标系xOy中，已知A(-5，4)，B(-1，2)，将线段AB平移，得到线段CD(点A的对应点为点C，点B的对应点为点D)，线段AB上任一点(x,y)在平移后的对应点为(x+m,y-n)，其中m≥0，n≥0，若m+n=6，且平移后三角形BCD的面积最大，则此时，m,n的值为( ____ ) A.m≥0，n≤6 B.m=6，n=0 C.m=0，n=6 D.m=n=3 C 40 【解析】解：观察图象可知，当m=0，n=6时，△BCD的面积最大． 故选：C． 41 20.在平面直角坐标系中，线段AB平移得到线段CD，点A的对应点为点C．若点A(a,b-2)，B(a-3，5)，C(0，b)，则点D的坐标为( ____ ) A.(3，3) B.(3，7) C.(-3，3) D.(-3，7) 【解析】解：因为点A平移后的对应点为点C， 所以0-a=-a,b-(b-2)=2， 所以a-3+a=-3，5+2=7， 即点B平移后对应点的坐标为(-3，7)， D 42 所以点D的坐标为(-3，7)． 故选：D． 43 21.在平面直角坐标系中，将点P(3，5)向上平移2个单位长度后得到点P′的坐标为( ____ ) A.(1，5) B.(5，5) C.(3，3) D.(3，7) 【解析】解：将点P向上平移2个单位长度，则其横坐标不变，纵坐标增加2， 所以点P′的坐标为(3，7)． 故选：D． D 44 22.在平面直角坐标系内，将M(5，2)先向下平移2个单位，再向左平移3个单位，则移动后的点的坐标是( ____ ) A.(2，0) B.(3，5) C.(8，4) D.(2，3) 【解析】解：平移后的坐标为(5-3，2-2)，即坐标为(2，0)， 故选：A． A 45 23.如图，点A(0，-2)，B(1，0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°，BC=2AB，则点D的坐标是 _________ ． 【解析】解：过点D作DE⊥y轴于点E，如图， ___ ∵点A(0，-2)、B(1，0)， ∴OA=2，OB=1． (4，-4) 46 ∵线段AB平移得到线段DC， ∴AB∥CD，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，BC=AD， ∵BC=2AB， ∴AD=2AB， ∵∠BAO+∠DAE=90°，∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠ABO=∠EAD． ∵∠AOB=∠AED=90°， 47 ∴△ABO∽△DAE． ∴ = = = ， ∴DE=2OA=4，AE=2OB=2， ∴OE=OA+AE=4， ∴D(4，-4)． 故答案为：(4，-4)． 48 24.如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为(x,-2)，(3，y)，(0，2)，且 ． (1)在平面直角坐标系中画出三角形ABC并求出三角形ABC的面积； (2)若把三角形ABC向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形A′B′C′，请写出点A，B，C的对应点A′，B′，C′的坐标；若三角形ABC内某一点P经过上述平移后与点Q(a,b)对应，请写出点P的坐标． 49 【解析】解：(1)∵ ， ∴x+2=0，y-1=0， ∴x=-2，y=1， ∴A、B的坐标分别为(-2，-2)，(3，1)， 如图所示： 50 ___ △ABC的面积=4×5- ×5×3- ×2×4- ×1×3=7； (2)∵把三角形ABC向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到三角形A′B′C′， 51 ∴A′，B′，C′的坐标分别为(-3，1)，(2，4)，(-1，5)，点P的坐标为(a+1，b-3)． 52 七．关于原点对称的点的坐标 53 25.平面直角坐标系xOy中， ， ，则坐标原点O关于直线AB对称的点O的坐标为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)， D 54 ∵A( ，0)， ， ∴ ， 解得 ， ∴直线AB的解析式为y=-x+ ， ∵坐标原点O关于直线AB对称的点为O′， ∴直线OO′的解析式为y=x, ∴ ， 55 解得 ， ∴直线AB与直线OO′的交点坐标为( ， )， 设点O′(a,b)，则 = ， = ， ∴a= ，b= ， ∴O′( ， )． 故选：D． 56 八．坐标与图形变化 57 26.如图，点A的坐标是(-4，6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是( ____ ) A.(4，6) B.(6，4) C.(-6，-4) D.(-4，-6) 【解析】解：如图所示， B 58 ____ 分别过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， OA=OB，∠AOB=90°， ∴∠AOM+∠BON=∠A+∠AOM=90°， ∴∠A=∠BON． 在△AOM和△OBN中， 59 ， ∴△AOM≌△OBN(AAS)， ∴BN=MO，ON=AM． ∵点A的坐标为(-4，6)， ∴BN=MO=4，ON=AM=6， ∴点B的坐标为(6，4)． 故选：B． 60 27.如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形OABC，D为OA上一点，其坐标为(1，3)，将正方形OABC绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转90°，旋转2025秒后点D的对应点D′的坐标为( ____ ) A.(1，3) B.(3，1) C.(-1，-3) D.(3，-1) 【解析】解：令旋转1秒后点D的对应点为M，分别过点D和点M作x轴的垂线，垂足分别为E，F， D 61 ___ 由旋转可知， ∠DOM=90°，DO=MO， ∴∠DOE+∠MOF=∠MOF+∠M=90°， ∴∠AOE=∠M． 在△DOE和△OMF中， 62 ， ∴△DOE≌△OMF(AAS)， ∵点D的坐标为(1，3)， ∴FM=OE=1，OF=DE=3， ∴点M的坐标为(3，-1)． 同理可得， 旋转2秒后点D的对应点的坐标为(-1，-3)， 旋转3秒后点D的对应点的坐标为(-3，1)， 旋转4秒后点D的对应点的坐标为(1，3)， 63 旋转5秒后点D的对应点的坐标为(3，-1)， …， 由此可见，点D旋转后对应点的坐标按(3，-1)，(-1，-3)，(-3，1)，(1，3)循环出现， 又因为2025÷4=506余1， 所以旋转2025秒后点D的对应点D′的坐标为(3，-1)． 故选：D． 64 九．平行线分线段成比例 65 28.如图，AB∥CD∥EF，若 ，BD=3，则DF= ____ ． 【解析】解：∵AB∥CD∥EF， ∴ ， ∵BD=3， ∴BF=6， ∴DF=BF-BD=6-3=3． 故答案为：3． 3 66 一十．相似三角形的判定与性质 67 29.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=3，BC=6，点E是CD上一点，且CE= CD，连结AE并延长交BC于点F，则△CEF的面积为 　　． 【解析】解：过点E作EH⊥AC于H，如图： _____ ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=6， 68 ∴AB=3 ， ∵S△ABC= AB•CD= AC•BC， ∴CD= ， ∵CE= CD， ∴CE= ，DE= ， ∴AD= = ， ∴AE= = ， 69 ∵S△ACE= AC•EH= AD•CE， ∴EH= = ， ∴AH= = ， ∵EH⊥AC，∠ACB=90°，∠CAF=∠HAE， ∴△CAF∽△HAE， ∴ = ， ∴CF= ， 70 ∴S△CEF=S△ACF-S△ACE= ×3× - ×3× = ． 故答案为： ． 71 30.如图，正方形ABCD中，点F为CD的中点，点E为BC上一点，且 ，设CE的长为a(a＞0)． (Ⅰ)用含有a的式子表示AF和EF； (Ⅱ)求∠AFE的大小． 【解析】解：(1)∵CE= BC，CE=a ∴BC=4a, ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD=BC=4a,∠C=∠D=90°， ∵F是CD的中点， 72 ∴CF=DF=2a, ∴EF= = = a, AF= = =2 a, ∴EF= a,AF=2 a； (2)如图，连接AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B=90°， 由(1)得AB=4a, ∴BE=BC−CE=3a, ∴AE2=AB2+BE2 73 =(4a)2+(3a)2 =25a2， 由(1)得：EF2=5a2，AF2=20a2， ∴EF2+AF2=AE2， ∴△AFE是直角三角形， ∴∠AFE=90°． 74 31.如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且 ，∠BAD=∠ECA． (1)求证：AC2=BC•CD； (2)若AD是△ABC的中线，求 的值． 【解析】证明：(1)∵ ，∠BAD=∠ECA， ∴△BAD∽△ACE， ∴∠B=∠EAC， ∵∠ACB=∠DCA， 75 ∴△ABC∽△DAC， ∴ ， ∴AC2=BC•CD； (2)∵∠ADC是△ABD的外角，∠CED是△ACE的外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD，∠CED=∠CAE+∠ECA， 由(1)可知，∠B=∠EAC，∠BAD=∠ECA， ∴∠ADC=∠CED， ∴CE=CD， ∵AD是△ABC的中线， ∴BC=2CD， 76 ∴BC=2CE， 由(1)得：AC2=BC•CD， ∴AC2=2CE•CE， ∴ ， 即 ． 77 32.如图①，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在边BC上，且BE=2，动点P从点E出发，沿折线EB-BA-AD以每秒1个单位长度的速度运动．作∠PEQ=90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．(t＞0) (1)当点P和点B重合时，求线段PQ的长； 78 (2)当点Q和点D重合时，求tan∠PQE； (3)当点P在边AD上运动时，△PQE的形状始终是等腰直角三角形，如图②，请说明理由． 【解析】解：(1)如图所示，连接BQ， ____ ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAQ=∠ABE=90°， 79 ∵∠PEQ=90°， ∴四边形ABEQ是矩形， 当点P和点B重合时， ∴QE=AB=3，BE=2， 在Rt△QBE中，PQ=BQ= ； (2)如图所示， _____ ∵∠PEQ=90°，∠PBE=∠ECD=90°， 80 ∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， ∴△PBE∽△ECD， ∴ ， ∵BE=2，CD=AB=3， ∴tan∠PQE= ； (3)如图所示，过点P作PH⊥BC于点H， 81 ____ ∵∠PEQ=90°，∠PHE=∠ECQ=90°， ∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， 则四边形ABHP是矩形， ∴PH=AB=3， 又∵EC=BC-BE=5-2=3， ∴PH=EC， ∴△PHE≌ECQ(AAS)， ∴PE=QE，∴△PQE是等腰直角三角形． 82 33.如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F． (1)求证：AF=AB； (2)点G是线段AF上一点，满足∠FCG=∠FCD，CG交AD于点H，若AG=2，FG=6，求CH的长． 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，CD∥AB， ∴∠D=∠FAD，∠DCE=∠F， ∵E是AD的中点， 83 ∴DE=AE， ∴△CDE≌△FAE(AAS)， ∴CE=EF， ∵AE∥BC， ∴ = =1， ∴AF=AB； (2)解：∵AG=2，FG=6， ∴AF=FG+AG=6+2=8， ∴AB=AF=8， ∵四边形ABCD是平行四边形， 84 ∴CD=AB=8， ∵∠DCE=∠F，∠FCG=∠FCD， ∴∠F=∠FCG， ∴CG=FG=6， ∵CD∥AF， ∴△DCH∽△AGH， ∴ = ，即 = ， ∴GH=1.2， ∴CH=GC-GH=4.8． 85 一十一 86 34.如图，是放大镜成像原理图，若物体AB的高为4cm,OB=3cm,OF=4cm,则像A'B'的高为( ____ ) A.8cm B. cm C.12cm D.16cm 【解析】解：根据题意得OF=OF′=4cm, 过A作AH⊥OH于H， 则AH=OB=3cm, ∵OF′∥AH， D 87 ∴△A′AH∽△A′OF， ∴ = = ， ∴ = ， ∵AB∥A′B′， ∴△AOB∽△A′OB′， ∴ = ， ∴ = ， ∴A′B′=16， 88 答：像A'B'的高为16m, 故选：D． 89 35.如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛AB在暗盒中所成的像CD的长是1cm,则像CD到小孔O的距离为( ____ ) A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 【解析】解：过点O作OF⊥AB，垂足为F，延长FO交CD于点E， ______ C 90 由题意得：OE⊥CD， ∵AB∥CD， ∴∠OAB=∠ODC，∠OBA=∠OCD， ∴△OAB∽△ODC， ∴ = ， ∴ = ， 解得：OE=3， ∴像CD到小孔O的距离为3cm, 故选：C． 91 36.为测量水平操场上旗杆的高度，九(2)班各学习小组运用了多种测量方法． _________ (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m,据此可得旗杆高度为 ______ m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C， 11.3 92 并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE=1.5m,小李到镜面距离EC=2m,镜面到旗杆的距离CB=16m.求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 93 ______ 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q， 94 标高线PQ始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG=1.8m,DG=1.5m.将观测点D后移24m到D′处．采用同样方法，测得C′G′=1.2m,D′G′=2m.求雕塑高度(结果精确到1m)． 【解析】解：(1)∵影长EF恰好等于自己的身高DE， ∴△DEF是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=BC=11.3m, 故答案为：11.3； 95 (2)如图： ____ 由反射定律可知，∠DCE=∠ACB， 又∠DEC=90°=∠ABC， ∴△DEC∽△ABC， ∴ = ，即 = ， 解得AB=12， 96 ∴旗杆高度为12米； (3)如图： ____ ∵∠CDG=∠ADB，∠CGD=90°=∠ABD， ∴△DCG∽△DAB， 97 ∴ = ， 设AB=x m,BD=y m,则 = ， ∴y= x, 同理可得 = ， ∴ = ， ∴ = ， 98 解得x=28.8； 经检验，x=28.8是原方程的解， 故AB≈29m, ∴雕塑高度AB约为29m. 99 一十二．作图 100 37.如图，在△ABC中，∠C=90°．在AB边上找一点P，使得△PBC∽△PCA．(不写作法，保留作图痕迹) 【解析】解：如图，点P即为所求． ____ 101 38.如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图． (1)在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽△ABC． (2)在图2中找一点F，使∠AFC=2∠ABC． _____ 【解析】解：(1)如图1所示，△ADE即为所求； 102 __ (2)如图2所示，点F即为所求． 103 __ 由作图可知，MN为线段AB的垂直平分线， ∴∠FBA=∠FAB， ∴∠AFC=∠FBA+∠FAB， ∴∠AFC=2∠ABC． 104 一十三．位似变换 105 39.在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形，已知A(-2，0)，D(3，0)，则△ABC与△DEF的周长之比是( ____ ) A.9：4 B.4：9 C.3：2 D.2：3 【解析】解：∵△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC与△DEF的周长之比=OA：OD， ∵A(-2，0)，D(3，0)， D 106 ∴OA=2，OD=3， ∴△ABC与△DEF的周长之比=2：3． 故选：D． 107 40.如图，△ABC与△DEF关于点O位似，位似比为3：4，已知AC=3，则DF的长等( ____ ) A.3 B. C. D.4 【解析】解：∵△ABC与△DEF关于点O位似，位似比为3：4， ∴△ABC∽△DEF，且相似比为3：4， D 108 ∴ = ，即 = ， ∴DF=4． 故选：D． 109 $$