第22章一元二次方程培优题突破练习★★★【9个考点40题专练】【冲刺满分】课件2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

第22章一元二次方程 培优题突破练习★★★ 【9个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年 华东师大版数学九年级上册 1 一．一元二次方程的解 二．解一元二次方程 三．解一元二次方程 四．解一元二次方程 五．根的判别式 六．根与系数的关系 七．一元二次方程的应用 八．高次方程 九．无理方程 2 一．一元二次方程的解 3 1.关于x的方程x2-2mx+m2-4=0的两个根x1，x2满足x1=2x2+3，且x1＞x2，则m的值为( ____ ) A.-3 B.1 C.3 D.9 【解析】解：∵x2-2mx+m2-4=0， ∴(x-m+2)(x-m-2)=0， ∴x-m+2=0或x-m-2=0， ∵x1＞x2， C 4 ∴x1=m+2，x2=m-2， ∵x1=2x2+3， ∴m+2=2(m-2)+3， 解得m=3． 故选：C． 5 二．解一元二次方程 6 2.已知一元二次方程a(x+m)2+n=0(a≠0)的两根分别为-3，1，则方程a(x+m-2)2+n=0(a≠0)的两根分别为( ____ ) A.1，5 B.-1，3 C.-3，1 D.-1，5 【解析】解：∵一元二次方程a(x+m)2+n=0(a≠0)的两根分别为-3，1， ∴方程a(x+m-2)2+n=0(a≠0)中x-2=-3或x-2=1， 解得：x=-1或3， 即方程a(x+m-2)2+n=0(a≠0)的两根分别为-1和3， B 7 三．解一元二次方程 8 3.定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]=1，[-1.2]=-2，[-3]=-3，则方程2[x]=x2的解为( ____ ) A.0或 B.0或2 C.2或 D.0或 或2 【解析】解：∵x2≥0，2[x]=x2， ∴x≥0， ①0≤x＜1时，x2=0，解得x=0； D 9 ②1≤x＜2时，x2=2，解得x= 或x=- (舍)； ③2≤x＜3时，x2=4，解得x=2或x=-2(舍)； ④x≥3时，方程无解； 综上所述：方程的解为x=0或x=2或x= ， 故选：D． 10 四．解一元二次方程 11 4.关于x的方程x2-2mx+m2=4的两个根x1，x2满足x1=2x2+3，且x1＞x2，则m的值为( ____ ) A.-3 B.1 C.3 D.9 【解析】解：∵x2-2mx+m2=4， ∴(x-m+2)(x-m-2)=0， ∴x-m+2=0或x-m-2=0， ∵x1＞x2， C 12 ∴x1=m+2，x2=m-2， ∵x1=2x2+3， ∴m+2=2(m-2)+3， 解得m=3． 故选：C． 13 5.解方程： (1)x2+4x-12=0 (2)3(x-5)2=2(x-5) 【解析】解：(1)∵(x-2)(x+6)=0， ∴x-2=0或x+6=0， 解得：x=2或x=-6； (2)∵3(x-5)2-2(x-5)=0， ∴(x-5)(3x-17)=0， 则x-5=0或3x-17=0， 解得：x=5或x= ． 14 五．根的判别式 15 6.若关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有实数根，则k的取值范围是( ____ ) A.k＞ 且k≠0 B.k＜ 且k≠0 C.k≤ 且k≠0 D.k＜ 【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有实数根， ∴k≠0且Δ=(-1)2-4k≥0， C 16 解得：k≤ 且k≠0． 故选：C． 17 7.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法： ①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0； ②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2-4ac=(2ax0+b)2． 其中正确的( ____ ) A.只有①② B.只有①②④ C.①②③④ D.只有①②③ B 18 【解析】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ=b2-4ac≥0，故①正确； ②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根， ∴Δ=0-4ac＞0， ∴-4ac＞0， 则方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确； ③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根， 则ac2+bc+c=0， ∴c(ac+b+1)=0， 若c=0，等式仍然成立， 19 但ac+b+1=0不一定成立，故③不正确； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根， 则由求根公式可得： x0= 或x0= ， ∴2ax0+b= 或2ax0+b=- ， ∴ ． 故④正确． 故选：B． 20 8.如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD=a,DE=b,CE=c,关于x的方程ax2+bx+c=0( ____ ) A.一定有两个相等实根 B.一定有两个不相等实根 C.有两个实根，但无法确定是否相等 D.无实根 【解析】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM， ∴∠ADM=∠AEM，MD=ME= DE= b, A 21 ∴∠BDM=∠MEC=90°+ ∠BAC， ∴∠BMC=90°+ ∠BAC， ∴∠BDM=∠MEC=∠BMC， ∵M是△ABC的内角平分线的交点， ∴△DBM∽△MBC， 同理可得出：△BMC∽△MEC， ∴△DBM∽△EMC， ∴ ， ∴BD•EC=MD•ME， 22 即：ac= b2， 即Δ=b2-4ac=0， 故选：A． 23 9.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法： ①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0； ②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则 ⑤存在实数m、n(m≠n)，使得am2+bm+c=an2+bn+c； 其中正确的( ____ ) A.只有①②④ B.只有①②④⑤ C.①②③④⑤ B 24 D.只有①②③ 【解析】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ=b2-4ac≥0，故①正确； ②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根， ∴Δ=0-4ac＞0， ∴-4ac＞0， 则方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确； ③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根， 则ac2+bc+c=0， 25 ∴c(ac+b+1)=0 若c=0，等式仍然成立， 但ac+b+1=0不一定成立，故③不正确； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根， 则由求根公式可得： x0= 或x0= ∴2ax0+b= 或2ax0+b=- ∴ 故④正确． 26 ⑤令y=ax2+bx+c,则存在实数m、n(m≠n)，使得am2+bm+c=an2+bn+c；正确． 故选：B． 27 10.实数a,b,c满足a-b+c=0，则( ____ ) A.b2-4ac＞0 B.b2-4ac＜0 C.b2-4ac≥0 D.b2-4ac≤0 【解析】解：设一元二次方程为ax2+bx+c=0 当x=-1时，原方程化为a-b+c=0 所以一元二次方程为ax2+bx+c=0有实数根， 所以b2-4ac≥0． 故选：C． C 28 11.对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况，有以下四种表述： ①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根； ②当a＜0，b+c＞0，b-c＜0时，方程一定有实数根； ③当a＞0，a+b+c＜0时，方程一定没有实数根； ④当a＞0，b+4a=0，4a+2b+c=0时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是( ____ ) A.① B.② C.③ D.④ B 29 【解析】解：①当a=-1，b=3，c=-2时，满足a＜0，b+c＞0，a+c＜0， 此时Δ=32-4×(-1)×(-2)=1＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故①错误； ②∵b+c＞0，b-c＜0， ∴c＞0， ∵a＜0， ∴-4ac＞0， ∴Δ=b2-4ac＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③当a=1，b=-1，c=-1时，满足a＞0，a+b+c＜0， 此时Δ=b2-4ac=1-4×1×(-1)=5＞0，即方程有两个不相等的实数根， 30 故③错误； ④∵a＞0，b+4a=0，4a+2b+c=0， ∴b=-4a,c=4a, ∴Δ=(-4a)2-4×a×4a=0，即方程有两个相等的实数根， 故④错误； 综上，正确的是②， 故选：B． 31 12.四个单项式依次为-(-x)、-|-1|x、-12x、(-1)2x,在每两个单项式之间添上“+”、“-”、“×”中的某个运算符号将这四个单项式连接起来就能得到一个式子，记为M(每两个单项式之间只能添加一个运算符号，并且每种运算符号都要用到一次)．比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“+”、“-”、“×”就得到一个式子，记为M=-(-x)+(-|-1|x)-(-12x)×[(-1)2x]；再比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“×”、“-”、“+”就得到另一个式子，记为M=-(-x)×(-|-1|x)-(-12x)+(-1)2x；那么，下列说法中，正确的个数有( ____ ) 个． ①将得到的所有M化简后，总共只有三种不同结果； ②对于得到的每一个M，令M=n,就得到一个关于x的方程， A 32 若所有关于x的方程M=n都有两个不相等的实数根，那么0＜n＜1； ③当x取一个确定值时，每个M都能得到一个对应值，将这些对应值中最大的值记为y,这样，对于每一个x的确定值，y都有一个值与之对应．那么y的最小值为0． A.3 B.2 C.1 D.0 【解析】解：-(-x)=x,-|-1|x=-x,-12x=-x,(-1)2x=x, ①M=x+(-x)-(-x)×x=x2； 33 M=x+(-x)×(-x)-x=x2； M=x-(-x)+(-x)×x=2x-x2； M=x-(-x)×(-x)+x=2x-x2； M=x×(-x)-(-x)+x=-x2+2x； M=x×(-x)+(-x)-x=-x2-2x； ∴M=x2或2x-x2或-x2-2x,即M共有三种不同结果， 故①符合题意； ②当n=x2，有两个不相等的实数根，则n＞0； 当n=2x-x2，即x2-2x+n=0有两个不相等的实数根，则Δ=4-4n＞0，∴n＜1； 当n=-2x-x2，即x2+2x+n=0有两个不相等的实数根，则Δ=4-4n＞0，∴n＜ 34 1； ∴0＜n＜1，方程M=n都有两个不相等的实数根， 故②符合题意； ③∵x2≥0；2x-x2=-(x-1)2+1≤1；-2x-x2=-(x+1)2+1≤1， ∴y的最小值为0， 故③符合题意； 综上，符合题意得有①②③，即3个， 故选：A． 35 13.如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD=a,DE=b,CE=c,关于x的方程ax2+bx+c=0( ____ ) A.一定有两个相等实根 B.一定有两个不相等实根 C.有两个实根，但无法确定是否相等 D.无实根 【解析】解：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM， ∴∠ADM=∠AEM，MD=ME= DE= b, A 36 ∴∠BDM=∠MEC=90°+ ∠BAC， ∴∠BMC=90°+ ∠BAC， ∴∠BDM=∠MEC=∠BMC， ∵M是△ABC的内角平分线的交点， ∴△DBM∽△MBC， 同理可得出：△BMC∽△MEC， ∴△DBM∽△EMC， ∴ ， ∴BD•EC=MD•ME， 37 即：ac= b2， 即Δ=b2-4ac=0， 故选：A． 38 14.已知双曲线y= 与直线y=-x+1没有交点，则b的取值范围是　　． 【解析】解：因为双曲线y= 与直线y=-x+1没有交点， 即方程 =-x+1无解， 去分母，得x2-x+b=0， ∴Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×b=1-4b＜0， 解得b＞ ． 39 15.方程x2+2ax+a-4=0恒有相异两实根，若方程x2+2ax+k=0也有相异两实根，且其两根介于上面方程的两根之间，则k的取值范围是　　． 【解析】解：∵方程x2+2ax+a-4=0恒有相异两实根， ∴Δ＞0，而Δ=4a2-4(a-4)=4(a2-a+4)=4[(a- )2+ ]， 又∵方程x2+2ax+k=0有相异两实根， ∴△′=4a2-4k＞0，即k＜a2； 对于二次函数y1=x2+2ax+a-4，y2=x2+2ax+k,它们的对称轴相同，且与x轴都有两个不同得交点，要让y2与x轴两个交点都在y1与x轴两个交点之间，则要满足y2与y轴的交点在y1与y轴的交点上方，如图， 40 ___ 则有k＞a-4， 所以k的取值范围是 a-4＜k＜a2． 故答案为a-4＜k＜a2． 41 16.若方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实根，则 =　　 【解析】解：∵方程有实根， ∴△≥0，即Δ=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)≥0， 化简得：2a2+4ab+4b2-2a+1≤0， ∴(a+2b)2+(a-1)2≤0，而(a+2b)2+(a-1)2≥0， ∴a+2b=0，a-1=0，解得a=1，b=- ， 所以 =- ． 故答案为- ． 42 17.已知有且只有一个数大于-2小于0，且满足关于x的方程ax2+x+a-3=0，则a的取值范围是 ________ ． 【解析】解：当a=0时，x-3=0， ∴x=3，∵方程的解大于-2小于0， ∴x=3不符合题意； 当a≠0时，原方程为一元二次方程， ①当x=-2时，4a-2+a-3=0，解得a=1， ∴x2+x-2=0 解得x1=-2，x2=1， 不符合题意； 1＜a≤3 43 ②当x=0时，a=3 ∴3x2+x=0 解得x1=0，x2=- ，符合题意． 当a2•[(-2)2a-2+2-3](a-3)＜0， 化简，得a2(a2-4a+3)＜0， ∵a2＞0， ∴a2-4a+3＜0， ∴1＜a≤3． 故答案为1＜a≤3． 44 18.已知关于x的方程x2+(m-2)x-9=0 (1)求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根； (2)若这个方程两个根α，β满足2α+β=m+1，求m的值． 【解析】解：(1)证明：方程的根的判别式Δ=(m-2)2-4×1×(-9)=(m-2)2+36 ∵无论m取何实数(m-2)2+36＞0恒成立 ∴这个方程总有两个不相等的实数根 (2)解由根与系数的关系．得α+β=2-m 则2α+β=α+α+β=α+2-m ∵2α+β=m+1，∴α+2-m=m+1，则α=2m-1 ∵α是方程的根，∴α2+(m-2)α-9=0 45 则(2m-1)2+(m-2)(2m-1)-9=0 整理，得2m2-3m一2=0 解，得m1=2，m2=- ． 46 19.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【解析】解：△ABC是直角三角形， 理由是：∵关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0有两个相等的实数根， ∴Δ=0， 即(2b)2-4(a+c)(a-c)=0， ∴a2=b2+c2， ∴△ABC是直角三角形． 47 20.已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k- )=0． (1)求证：无论k取何值，这个方程总有实数根； (2)若等腰三角形ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【解析】(1)证明：Δ=(2k+1)2-4×4(k- ) =4k2+4k+1-16k+8， =4k2-12k+9 =(2k-3)2， ∵(2k-3)2≥0，即△≥0， 48 ∴无论k取何值，这个方程总有实数根； (2)解：当b=c时，Δ=(2k-3)2=0，解得k= ，方程化为x2-4x+4=0，解得b=c=2，而2+2=4，故舍去； 当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程得16-4(2k+1)+4(k- )=0，解得k= ，方程化为x2-6x+8=0，解得x1=4，x2=2，即a=b=4，c=2或a=c=4，b=2， 所以△ABC的周长=4+4+2=10． 49 六．根与系数的关系 50 21.设x1，x2是方程x2-2003x+2005=0的两个实根，实数a,b满足：ax12003+bx22003=2003，ax12004+bx22004=2004，则ax12005+bx22005的值为( ____ ) A.2005 B.2003 C.-2005 D.-2003 【解析】解：x1，x2是方程x2-2003x+2005=0的两个实根可得：x1+x2=2003，x1×x2=2005， 故ax12005+bx22005=(x1+x2)(ax12004+bx22004)-x1x2(ax12003+bx22003)， D 51 =2003×2004-2005×2003， =-2003． 故选：D． 52 22.设关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：方法1、∵方程有两个不相等的实数根， 则a≠0且Δ＞0， D 53 由(a+2)2-4a×9a=-35a2+4a+4＞0， 解得- ＜a＜ ， ∵x1+x2=- ，x1x2=9， 又∵x1＜1＜x2， ∴x1-1＜0，x2-1＞0， 那么(x1-1)(x2-1)＜0， ∴x1x2-(x1+x2)+1＜0， 即9+ +1＜0， 54 解得 ＜a＜0， 最后a的取值范围为： ＜a＜0． 故选D． 方法2、由题意知，a≠0，令y=ax2+(a+2)x+9a, 由于方程的两根一个大于1，一个小于1， ∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧， 当a＞0时，x=1时，y＜0， ∴a+(a+2)+9a＜0， ∴a＜- (不符合题意，舍去)， 55 当a＜0时，x=1时，y＞0， ∴a+(a+2)+9a＞0， ∴a＞- ， ∴- ＜a＜0， 故选：D． 56 23.将代数式m2+2记为A，代数式2m-1记为B，现进行如下操作：记u1=A+B，v1=A-B；u2=u1+v1，v2=u1-v1；u3=u2+v2，v3=u2-v2…以此类推．下列说法：①u6=8m2+16；②若m,n为正整数， 为整数，则m=1或2或5；③关于m的方程3un-2vn+2=0(n为正整数)只有2个实数根；④当m=0时，代数式v1+v2+v3+…+v50取得最小值，其中正确的有( ____ ) 个． A.4 B.3 C.2 D.1 B 57 【解析】解：由题意得，A=m2+2，B=2m-1， ∴u1=A+B=m2+2m+1，v1=A-B=m2-2m+3． u2=u1+v1=2A，v2=u1-v1=2B， u3=u2+v2=2A+2B=2(A+B)，v3=u2-v2=2A-2B=2(A-B)， u4=u3+v3=4A=22A，v4=u3-v3=4B=22B， u5=u4+v4=4(A+B)=22(A+B)，v5=u4-v4=4(A-B)=22(A-B )， u6=u5+v5=8A=23A，v6=u5-v5=8B=23B， u7=u6+v6=8(A+B )=23(A+B )，v7=u6-v6=8(A-B)=23(A-B )， 依次类推，u2n-1=2n-1(A+B )=2n-1(m2+2m+1)，u2n=2nA=2n(m2+2)， v2n-1=2n-1(A-B )=2n-1(m2-2m+3)，v2n=2nB=2n(2m-1)， ∴u6=23A=23(m2+2)=8m2+16，故①正确； 58 4u2n=4×2n(m2+2)=2n(4m2+8)=2n(4m2-1+9)， ∴ = =2m+1+ ， ∵m,n 为正整数， 为整数，2m+1为整数， ∴2m-1=1或2m-1=3或2m-1=9， 解得 m=1或 m=2或 m=5，故②正确； 关于 m 的方程3un-2vn+2=0， 当 n=2k-1时，3u2k-1-2v2(k+1)-1=0， 3×2k-1(m2+2m+1)-2×2k(m2-2m+3)=0， 3(m2+2m+1)-4(m2-2m+3)=0， 59 整理，得-m2+14m-9=0， 即m2-14m+9=0， ∵Δ=(-14)2-4×1×9＞0， ∴此时原方程有两个不相等的实数根； 当 n=2k时，3un-2vn+2=0， 3u2k-2v2(k+1)=0， 3×2k(m2+2)-2×2k+1(2m-1)=0， 即3(m2+2)-4(2m-1)=0， 整理，得3m2-8m+10=0， Δ=(-8)2-4×3×10＜0， 此时原方程无实数根， 60 ∴关于m的方程3un-2vn+2=0(n为正整数)只有2个实数根，故③正确； v1+v2+v3+…+v50 =(v1+v3+…++v49)+(v2+v4+…+v50) =(1+2+22+...+224)(m2-2m+3)+(21+22+23+…+225)(2m-1) =(1+2+22+...+224)m2+2(1+2+22+...+224)m+(1+2+22+...+224) =(1+2+22+...+224)(m2+2m+1) =(1+2+22+...+224)(m+1)2， ∴当 m=-1时，v1+v2+v3+…+v50取得最小值，故④错误． 故正确的结论有①②③共3个． 故选：B． 61 24.关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实数根，方程x2+(2a+m)x+1-m2=0有一个大于0且小于4的实数根，则a的整数值是 ________ ． 【解析】解：关于x的方程m2x2+(2m+3)x+1=0有两个乘积为1的实数根， 即 ， 解得m=±1， 方程有两个实根，因而Δ=(2m+3)2-4m2≥0， ∴m=1； 则方程x2+(2a+m)x+1-m2=0就是x2+(2a+1)x=0， -2，-1 62 即x(x+2a+1)=0， 解得x1=0，x2=-2a-1， 方程x2+(2a+m)x+1-m2=0有一个大于0且小于4的实数根， ∴得到0＜-2a-1＜4， 解得- ＜a＜- ， ∴a的整数值是-2，-1． 故答案为：-2，-1． 63 25.已知a,b是方程x2+(m+2)x+1=0的两根，则(a2+ma+1)(b2+mb+1)的值为 ____ ． 【解析】解：∵a,b是方程x2+(m+2)x+1=0的两根， ∴a+b=-(m+2)，ab=1， a2+(m+2)a+1=0，b2+(m+2)b+1=0， ∴a2+1=-(m+2)a,b2+1=-(m+2)b, ∴(a2+ma+1)(b2+mb+1)=[-(m+2)a+ma][-(m+2)b+mb]=(-2a)•(-2b)=4ab=4×1=4． 4 64 26.已知关于x的方程x2-(a+b)x+ab-2=0．x1、x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论： (1)x1≠x2；(2)x1x2＞ab；(3)x12+x22＞a2+b2， 则正确结论的序号是 _________ ．(在横线上填上所有正确结论的序号) 【解析】解：(1)∵方程x2-(a+b)x+ab-2=0中， Δ=(a+b)2-4(ab-2)=(a-b)2+8＞0 ∴(1)x1≠x2正确； (2)∵x1x2=ab-2＜ab,故(2)错误； (3)∵x1+x2=a+b, 即(x1+x2)2=(a+b)2，x12+x22+2x1x2=2ab+a2+b2， (1)(3) 65 ∵x1x2＜ab, ∴x12+x22＞a2+b2正确． 故填空答案：(1)(3)． 66 27.对于一切正整数n,关于x的一元二次方程x2-(n+3)x-3n2=0的两个根记为an、bn，则 + +…+ =　 　． 【解析】解：由根与系数的关系得an+bn=n+3，an•bn=-3n2， 所以(an-3)(bn-3)=anbn-3(an+bn)+9=-3n2-3(n+3)+9=-3n(n+1)， 则 = =- ( - )， ∴原式=- (1- + - + - +…+ - ) 67 =- ×(1- ) =- × =- ， 故答案为：- 68 28.已知关于x的二次方程x2-2(a-2)x+a2-5=0的两根为α、β，且αβ=2α+2β，则a=　　，|α-β|=　　． 【解析】解：由题意知， α+β=2(a-2)， αβ=a2-5， 而αβ=2α+2β=2(α+β)， ∴a2-5=2[2(a-2)]， ∴a2-4a+3=0， 解得：a1=1，a2=3． 又∵方程有两根， 69 ∴Δ=4(a-2)2+4(a2-5)=-16a+36≥0， ∴a≤ ， ∴a2=3舍去． 当a=1时，原方程化为：x2+2x-4=0， 解得，α=-1- ，β=-1+ ， ∴|α-β|= ． 故填空答案：1， ． 70 29.设a,b,c,d是四个不同的实数，如果a,b是方程x2-10cx-11d=0的两根，c,d是方程x2-10ax-11b=0的两根，那么a+b+c+d的值为 ______ ． 【解析】解：∵a,b是方程x2-10cx-11d=0的两根，c,d是方程x2-10ax-11b=0的两根， ∴a+b=10c,c+d=10a,∴a+b+c+d=10(a+c)． 又a2-10ac-11d=0，d=10a-c,得a2-110a+11c-10ac=0①， 同理有c2-110c+11a-10ac=0②， ①-②得：(a-c)(a+c-121)=0， 因为a≠c,故a+c=121， 所以原式=10(a+c)=1210． 1210 71 30.已知关于x的一元二次方程x2-4x+m=0， (1)若方程有两个实数根，求m的范围； (2)若方程的两个实数根为x1、x2，且(x1-2)2+(x2-2)2+m2=23，求m的值． 【解析】解： (1)∵关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有两个实数根， ∴△≥0，即(-4)2-4m≥0，解得m≤4； (2)∵x1、x2是方程x2-4x+m=0的两个实数根， ∴ -4x1=-m, -4x2=-m, ∵(x1-2)2+(x2-2)2+m2=23， ∴ -4x1+4+ -4x2+4+m2=23， 72 即m2-2m-15=0，解得m=5或m=-3， 又m≤4， ∴m=-3． 73 七．一元二次方程的应用 74 31.如图，在网格中有一个直角三角形(网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度)，若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其他的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上，那么符合要求的新三角形有 ____ 个． 【解析】解：如图所示： 6 75 ____ 如图1，以4为腰的等腰三角形； 76 如图2，以5为腰的等腰三角形； 如图3，作PN的中垂线，得等腰△NPQ； 如图4，以5为腰的等腰三角形； 如图5，同理得等腰三角形； 如图6，同理得等腰三角形； 符合要求的新三角形有6种． 77 32.中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感(又称甲型H1N1流感)．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了 ____ 人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有 _____ 人被感染． 【解析】解：患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人． 依题意列方程：1+x+x(1+x)=81，即(1+x)2=81， 解方程得：x1=8，x2=-10(舍去)， 答：每轮传染中平均一个人传染了8个人，经三轮传播，将有(1+x)3=(1+8)3=729人被感染． 8 729 78 33.如图所示，在宽为20m,长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(互相垂直)，把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m2，道路应为多宽？ 【解析】解：设道路宽为x米， 根据题意得：32×20-(32+20×2)x+2x2=570， 解得：x1=1，x2=35． ∵35＞20， ∴x=35舍去． 答：道路宽为1米． 79 34.如图，要用篱笆(虚线部分)围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米． (1)设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x(m)，矩形苗圃ABCD面积为y(m2)，求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，所围矩形苗圃ABCD的面积为40m2？ 【解析】解：(1)设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x(m)，则BC=18-2x(m)， ∴y=x(18-2x)=-2x2+18x,(0＜x＜9)； 80 (2)根据题意，得：-2x2+18x=40， 解得：x=4或x=5， 答：当x=4或x=5时，所围矩形苗圃ABCD的面积为40m2． 81 35.百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)现在每件童装降价5元，那么每天可售出多少件，每天可盈利多少元？ (2)要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 【解析】解：(1)∵每件童装降价1元，平均每天就可多售出2件， ∴每件童装降价5元，每天可售出20+5×2=30件； 82 ∴每天可盈利：(40-5)×30=1050(元)； (2)设每件应降价x元，由题意，得 (40-x)(20+2x)=1200， 解得：x1=10，x2=20， 则每件童装应降价10元或20元． 83 36.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm,P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ=x cm(x≠0)，则AP=2x cm,CM=3x cm,DN=x2cm. (1)当x为何值时，点P、N重合； (2)当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形． _______ 84 【解析】解：(1)∵P，N重合， ∴2x+x2=20， ∴ ， (舍去)， ∴当 时，P，N重合； (2)因为当N点到达A点时，x=2 ，此时M点和Q点还未相遇， 所以点Q只能在点M的左侧， ①当点P在点N的左侧时，依题意得 20-(x+3x)=20-(2x+x2)， 解得x1=0(舍去)，x2=2， 当x=2时四边形PQMN是平行四边形； 85 ②当点P在点N的右侧时，依题意得 20-(x+3x)=(2x+x2)-20， 解得x1=-10(舍去)，x2=4， 当x=4时四边形NQMP是平行四边形， 所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． 86 37.某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱降价1元，每天可多售出2箱．如果要使每天销售饮料获利14000元，问每箱应降价多少元？ 【解析】解：设要使每天销售饮料获利14000元，每箱应降价x元，依据题意列方程得， (120-x)(100+2x)=14000， 整理得x2-70x+1000=0， 解得x1=20，x2=50； ∵扩大销售， 87 ∴x=50 答：每箱应降价50元，可使每天销售饮料获利14000元． 88 八．高次方程 89 38.已知x1、x2、x3为方程x3+3x2-9x-4=0的三个实数根，则下列结论一定正确的是( ____ ) A.x1x2x3＜0 B.x1+x2-x3＞0 C.x1-x2-x3＞0 D.x1+x2+x3＜0 【解析】解：∵x3+3x2-9x-4=0，当x=0时，-4≠0， ∴x2+3x-9- =0， ∴x1、x2、x3可以看作是抛物线y=x2+3x-9与反比例函数y= D 90 的三个交点的横坐标， ___ 由函数图象可知x1 x2 x3＞0，x1+x2+x3＜0，根据已知条件无法判定x1+x2-x3＞0，x1-x2-x3＞0， 故选：D． 91 39.填空： (1)方程(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24的根为　　． (2)方程x3-3x+2=0的根为　　． (3)方程x4+2x3-18x2-10x+25=0的根为　　． (4)方程(x2+3x-4)2+(2x2-7x+6)2=(3x2-4x+2)2的根为　　． 【解析】解：(1)原方程化为：(x2+5x+4)(x2+5x+6)-24=0 设y=x2+5x+4，得到：y2+2y-24=0 (y+6)(y-4)=0 ∴y1=-6，y2=4． 当y1=-6时：x2+5x+4=-6， 92 即：x2+5x+10=0 Δ=25-40＜0，方程无解． 当y2=4时：x2+5x+4=4． x(x+5)=0， ∴x1=0，x2=-5． (2)原方程化为：(x3-1)-3(x-1)=0 (x-1)(x2+x+1)-3(x-1)=0 (x-1)(x2+x-2)=0 (x-1)(x+2)(x-1)=0 ∴x1=x2=1，x3=-2． (3)x4+2x3-18x2-10x+25=0 93 因式分解得： (x+5)(x-1)(x2-2x-5)=0 ∴x1=-5，x2=1， 当x2-2x-5=0时，得：x3=1+ ，x4=1- ． ∴方程的解为：x1=-5，x2=1，x3=1+ ，x4=1- ． (4)(x2+3x-4)2+(2x2-7x+6)2=(3x2-4x+2)2=[(x2+3x-4)+(2x2-7x+6)]2 =(x2+3x-4)2+(2x2-7x+6)2+2(x2+3x-4)(2x2-7x+6) ∴2(x2+3x-4)(2x2-7x+6)=0 当x2+3x-4=0 (x+4)(x-1)=0 94 ∴x1=-4，x2=1． 当2x2-7x+6=0 (2x-3)(x-2)=0 ∴x3= ，x4=2． ∴方程的解为：x1=-4，x2=1，x3= ，x4=2． 故答案为：(1)x1=0，x2=-5．(2)x1=x2=1，x3=-2．(3)x1=-5，x2=1，x3=1+ ，x4=1- ．(4)x1=-4，x2=1，x3= ，x4=2． 95 九．无理方程 96 40.方程 + =1的实数根的个数是( ____ ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【解析】解：原方程可变形为 + A 97 =1， 设 =y,则x+2=y2 ∴ + =1 即 + =1， ∴|y-3|+|y-5|=1 ①当0≤y＜3时， 3-y+(5-y)=1， 解得y= ， 由于y的值不在当y＜3的范围内，不合题意． 98 ②当3≤y＜5时 y-3+5-y=1，此时方程无解； ③当y≥5时， y-3+y-5=1， 解得y= ， 由于y的值不在当y≥5的范围内，不合题意． 综上原方程无解． 故选：A． 99 $$