第22章一元二次方程 中档题拓展训练 【9个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

第22章一元二次方程 中档题拓展训练★★ 【9个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年 华东师大版数学九年级上册 1 一．一元二次方程的定义 二．一元二次方程的一般形式 三．一元二次方程的解 四．解一元二次方程 五．解一元二次方程 六．根的判别式 七．根与系数的关系 八．由实际问题抽象出一元二次方程 九．一元二次方程的应用 2 一．一元二次方程的定义 3 1.下列方程中，是一元二次方程的是( ____ ) A.x2+ =1 B.x2+1=(x-1)2 C.x2=2 D.2x2-1=y 【解析】解：A．等号左边是分式，不属于一元二次方程，不符合题意； B．化简以后不含二次项，不属于二元二次方程，不符合题意； C．是一元二次方程，符合题意； D．含有两个未知数，不符合题意． C 4 二．一元二次方程的一般形式 5 2.一元二次方程x2-4x+2=0的一次项系数是 ____ ． 【解析】解：一元二次方程x2-4x+2=0的一次项系数是-4． 故答案为：-4． -4 6 三．一元二次方程的解 7 3.若x=-1是关于x的方程x2+ax=0的一个根，则a的值为( ____ ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】解：∵x=-1是关于x的方程x2+ax=0的一个根， ∴(-1)2+a×(-1)=0，即1-a=0， 解得a=1， 故选：A． A 8 4.若一元二次方程x2-3x-a=0有一个根为1，则a的值为( ____ ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 【解析】解：∵一元二次方程x2-3x-a=0的一个根为1， ∴12-3-a=0， 解得a=-2， 故选：D． D 9 四．解一元二次方程 10 5.用配方法解方程x2-6x+2=0，下列变形正确的是( ____ ) A.(x-3)2=-2 B.(x+3)2=-2 C.(x-3)2=7 D.(x+3)2=7 【解析】解：x2-6x+2=0， 移项可得：x2-6x=-2， 左右两边同时加上9：x2-6x+9=9-2， 则(x-3)2=7． 故选：C． C 11 6.(1)解不等式组 ； (2)用配方法解一元二次方程：2x2+3x-3=0． 【解析】解：(1) ， 解不等式①得x＜1， 解不等式②得x≥-1， 所以不等式组的解集为-1≤x＜1； (2)2x2+3x-3=0， 12 x2+ x= ， x2+ x+( )2= +( )2， (x+ )2= ， x+ =± ， 所以x1= ，x2= ． 13 五．解一元二次方程 14 7.一个三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程(x-3)(x-4)=0的根，则这个三角形第三边的长是( ____ ) A.3 B.4 C.3或4 D.3和4 【解析】解：∵(x-3)(x-4)=0， ∴x1=3，x2=4， 当x=3时，3+3=6(不合题意，舍去)， ∴x=4，即这个三角形第三边的长是4． B 15 8.下列各数中，是方程x2+x-2=0的根的是( ____ ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】解：x2+x-2=0， (x+2)(x-1)=0， ∴x+2=0或x-1=0， ∴x1=-2，x2=1． 故选：A． A 16 9.(1)计算： ； (2)解方程：2x2-7x+5=0． 【解析】解：(1) = = 17 = = ； (2)2x2-7x+5=0， ∵a=2，b=-7，c=5， ∴b2-4ac=(-7)2-4×2×5=9＞0， ∴x= ， 解得： ，x2=1． 18 10.(1)解方程：x(x-2)=x-2； (2)解方程：(3x-4)2=(4x-3)2． 【解析】解：(1)x(x-2)=x-2， x(x-2)-(x-2)=0， (x-2)(x-1)=0， 则x-2=0或x-1=0， 所以x1=2，x2=1． (2)(3x-4)2=(4x-3)2， (3x-4)2-(4x-3)2=0， (3x-4+4x-3)(3x-4-4x+3)=0， 19 (7x-7)(-x-1)=0， 则7x-7=0或-x-1=0， 所以x1=1，x2=-1． 20 六．根的判别式 21 11.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( ____ ) A.a＜2 B.a＞2 C.a＜-2 D.a＜2且a≠1 【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ=(-2)2-4×(a-1)=4-4a+4=8-4a＞0， 解得a＜2， 又∵方程(a-1)x2-2x+1=0为一元二次方程， D 22 ∴a-1≠0， 即a≠1， 故选：D． 23 12.若关于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是( ____ ) A. B. C. 且k≠0 D. 【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2-2x+3=0， ∴k≠0， D 24 ∵方程有两个实数根， ∴Δ=(-2)2-4k×3≥0， 解得k≤ ， ∴k的取值范围是k≤ 且k≠0， 故选：D． 25 13.关于x的一元二次方程x2+mx-4=0的根的情况是( ____ ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【解析】解：对于一元二次方程x2+mx-4=0， Δ=m2-4×1×(-4)=m2+16＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． A 26 14.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法不正确的是( ____ ) A.若x=-1是方程的解，则a-b+c=0 B.若c=0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根 C.若ac＜0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根 D.若a+c=0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根 【解析】解：A、若x=-1是方程的解，则a-b+c=0，正确，本选项不符合题意； B、若c=0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根，错误，b=0时，两个根相等，都是0，本选项不符合题意； C、若ac＜0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，正确， B 27 本选项不符合题意； D、若a+c=0，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根，正确，本选项符合题意． 故选：B． 28 15.一元二次方程x2-5x+3=0的根的情况是( ____ ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个实数根 D.没有实数根 【解析】解：∵Δ=(-5)2-4×1×3=13＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． B 29 16.一元二次方程x2-3x+2=0的根的情况是( ____ ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【解析】解：x2-3x+2=0， Δ=(-3)2-4×1×2=1＞0， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选：B． B 30 17.若关于x的方程x2+6x+a=0有两个相等的实数根，则a的值为 ____ ． 【解析】解：根据题意得Δ=62-4a=0， 解得a=9． 故答案为：9． 9 31 18.如果关于x的方程x2+2x+m=0有两个实数根，那么m的取值范围是 _____ ． 【解析】解：∵方程有两个实数根， ∴Δ=b2-4ac=22-4×m=4-4m≥0， 解得：m≤1． 故答案为：m≤1． m≤1 32 19.若关于x的一元二次方程x2-4x-k=0没有实数根，则k的取值范围是 ______ ． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2-4x-k=0没有实数根， ∴Δ=(-4)2-4•(-k)＜0， 解得：k＜-4， 故答案为：k＜-4． k＜-4 33 20.关于x的一元一次方程x2-4x+k-1=0有两个实数根x1、x2．若x1、x2分别是一个矩形的长和宽，矩形的对角线长为 ，则k的值为 ____ ． 【解析】解：∵关于x的一元一次方程x2-4x+k-1=0有两个实数根x1、x2， ∴x1+x2=4，x1•x2=k-1， ∵若x1、x2分别是一个矩形的长和宽，矩形的对角线长为 ， ∴ ， ， 42-2(k-1)=10， 16-2k+2=10， 4 34 2k=8， k=4， 故答案为：4.. 35 21.对于实数a,b定义新运算：aΔb=b2-ab,若关于x的方程6Δx=k有两个相等实数根，则k的值为 ____ ． 【解析】解：∵6Δx=k, ∴x2-6x=k, ∴x2-6x-k=0， 由题意，Δ=0， ∴36+4k=0， ∴k=-9． 故答案为：-9． -9 36 22.关于x的一元二次方程x2+mx+m-1=0． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根小于-2，求m的取值范围． 【解析】(1)证明：∵a=1，b=m,c=m-1， ∴Δ=b2-4ac =m2-4(m-1) =m2-4m+4 =(m-2)2≥0， ∴方程总有两个实数根． (2)解：∵Δ=(m-2)2≥0， 37 ∴x= ， ∴x1=-m+1，x2=-1． ∵此方程有一个根小于-2， ∴-m+1＜-2， ∴m＞3． 故m的取值范围是m＞3． 38 七．根与系数的关系 39 23.已知一元二次方程2x2+3x-1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2的值为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：∵一元二次方程2x2+3x-1=0的两根分别为x1，x2， D 40 x1+x2=- =- ． 故选：D． 41 24.已知a,b是方程x2+3x-4=0的两个根，则a2+4a+b-3的值为( ____ ) A.-2 B.2 C.-3 D.3 【解析】解：因为a,b是方程x2+3x-4=0的两个根， 所以a+b=-3，a2+3a-4=0， 则a2+3a=4， 所以a2+4a+b-3=a2+3a+a+b-3=4+(-3)-3=-2． 故选：A． A 42 25.已知α，β是方程x2-x+2024=0的两个根，则α2-2α-β的值为( ____ ) A.-2025 B.-2024 C.2024 D.2025 【解析】解：因为α，β是方程x2-x+2024=0的两个根， 所以α2-α+2024=0，α+β=1， 所以α2-α=-2024， 所以α2-2α-β=α2-α-(α+β)=-2024-1=-2025． 故选：A． A 43 26.已知实数m,n(m≠n)满足2m2-3m-1=0，2n2-3n-1=0，则 的值为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：∵实数m,n(m≠n)满足2m2-3m-1=0，2n2-3n-1=0， B 44 ∴m,n是方程2x2-3x-1=0的两根， ∴m+n= ，mn=- ， ∴ + = = = =- ． 故选：B． 45 27.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1= ，x2= ，则x1+x2的结果是　　． 【解析】解：∵x1= ，x2= ， ∴x1+x2= + =- ． 故答案为- ． 46 28.已知x1，x2是一元二次方程x2-6x+2=0的两根，则x1+x2= ____ ． 【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2-6x+2=0的两根， ∴ ． 故答案为：6． 6 47 29.若实数a,b满足2a2-5a=2b2-5b=3，且a≠b,则a2b+ab2的值为 　　． 【解析】解：∵2a2-5a=3，2b2-5b=3， 即2a2-5a-3=0，=2b2-5b-3=0， 而a≠b, ∴a、b可看作方程2x2-5x-3=0的两根， ∴a+b= ，ab=- ， ∴a2b+ab2=ab(a+b)=- × =- ． 故答案为：- ． 48 30.已知x1，x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根． (1)若x1=x2，求m的值； (2)若x1+x2+x1x2=1，求m的值． 【解析】解：(1)Δ=(-2m)2-4(m2-m-1) =4m2-4m2+4m+4 =4m+4， ∵x1，x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个相等实数根， ∴△=4m+4=0， ∴m=-1； (2)由题意可得x1+x2=2m,x1x2=m2-m-1， 49 又∵x1+x2+x1x2=1， ∴2m+m2-m-1=1， 即m2+m-2=0， ∴m1=-2，m2=1， 又∵m≥-1， ∴m=1． 50 八．由实际问题抽象出一元二次方程 51 31.如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为x米的笔直小道，其余部分(即图中阴影部分)改造为草坪进行绿化，若草坪的面积为840平方米，求x的值．根据题意，下列方程正确的是( ____ ) A.36×25-36x-25x=840 B.36x+25x=840 C.(36-x)(25-x)+x2=840 D.(36-x)(25-x)=840 【解析】解：设每条道路的宽为x米，则草坪的部分可以看成长为(36-x) D 52 米、宽为(25-x)米的矩形， 根据题意得：(36-x)(25-x)=840． 故选：D． 53 32.中考将至，九(1)班全体学生互赠“祝福卡”，共赠“祝福卡”1640张，问九(1)班共有多少名学生？设九(1)班共有x名学生，那么所列方程为( ____ ) A.x2=1640 B.x(x-1)=1640 C.x(x+1)=1640 D. 【解析】解：根据题意得：每人要赠送(x-1)张贺卡，有x个人， 列方程为x(x-1)=1640， 故选：B． B 54 33.某衣架生产商将衣架以捆为单位进行售卖，且一捆衣架的成本价为3元．当售价为每捆9元时，日销售量为100捆；若衣架售价每捆降低0.5元，日销售量就增加25捆．设每捆衣架售价降低a元，要使日盈利为800元，则可列方程( ____ ) A.(9-a)(100+25a)=800 B.(9-a)(100+50a)=800 C.(6-a)(100+25a)=800 D.(6-a)(100+50a)=800 【解析】解：设每捆衣架售价降低a元，根据题意得(6-a)(100+50a)=800， D 55 九．一元二次方程的应用 56 34.一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为( ____ ) A.20% B.22% C.25% D.28% 【解析】解：设每次降价的百分率为x,由题意，得： 48(1-x)2=27， 解得： (舍去)； 故选：C． C 57 35.近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 ____ 人． 【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x(1+x)人被传染， 根据题意得：1+x+x(1+x)=169， 整理得：(1+x)2=169， 解得：x1=12，x2=-14(不符合题意，舍去)， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数是12人． 故答案为：12． 12 58 36.某景区在2022年春节长假期间，共接待游客20万人次，2024年春节长假期间，共接待游客28.8万人次． (1)求景区2022年春节长假期间至2024年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率； (2)景区一奶茶店销售一种奶茶，每杯成本为6元．根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯；若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家获得平均每天6300元的利润额？ 【解析】解：(1) 59 设景区2022年春节长假期间至2024年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率为x. 20(1+x)2=28.8． (1+x)2=1.44． 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去)． 答：景区2022年春节长假期间至2024年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率为20%； (2)设每杯售价定为y元． (y-6)[300+30(25-y)]=6300． 整理得：y2-41y+420=0． (y-20)(y-21)=0． 60 解得：y1=20，y2=21． ∵让顾客获得最大优惠， ∴y=20． 答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又能让店家获得平均每天6300元的利润额． 61 37.如图，某校旁边有一块长为40m,宽为30m的矩形荒地，地方政府准备在此对该校进行扩建，打算建造教学楼和行政楼．图中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间三个矩形空白区域将建造教学楼和行政楼(其中每个矩形的一边长均为a(m))． (1)设通道的宽度为x(m)，则a=　　(用含x的代数式表示)； (2)若建造教学楼和行政楼的空白区域的总占地面积为850m2，请问通道的宽度为多少？ 62 【解析】解：(1)∵矩形荒地的长为40m,宽为30m,且通道的宽度为x m, ∴a= (m)． 故答案为： (m)； (2)三块空白区域可合成长为30-2x+30-3x=(60-5x)m,宽为 m的矩形． 根据题意得：(60-5x) =850， 整理得：3x2-76x+140=0， 解得：x1=2，x2= (不符合题意，舍去)．答：通道的宽度为2m. 63 38.某合作社2021年到2023年每年种植土豆100亩，2021年土豆的平均亩产量为1000千克，2022年到2023年引进先进的种植技术，2023年土豆的平均亩产量达到1440千克． (1)若2022年和2023年土豆的平均亩产量的年增长率相同，求土豆平均亩产量的年增长率为多少？ (2)2024年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下，增加土豆的种植面积，经过统计调查发现，2023年每亩土豆的种植成本为1200元，若土豆的种植面积每增加1亩，则每亩土豆的种植成本将下降10元，求该合作社增加土豆种植面积多少亩，才能保证土豆种植的总成本不变？ 64 【解析】解：(1)设2022年和2023年土豆平均亩产量的年增长率为x. 根据题意，得1000(1+x)2=1440． 解得x1=0.2，x2=-2.2．(不合题意，舍去) 答：土豆平均亩产量的年增长率为20%． (2)设增加土豆种植面积a亩． 根据题意，得(100+a)(1200-10a)=1200×100． 解得a1=0(不合题意，舍去)，a2=20． 答：该合作社增加土豆的种植面积20亩时，才能保证土豆种植的总成本保持不变． 65 39.某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套．为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的200%，设这种纪念品每套上涨x元． (1)平均每天的销售量为 ______________ 套(用含x的代数式表示)； (2)商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？ 【解析】解：(1)由题意可知，平均每天的销售量为(500-10x)套， 故答案为：(500-10x)； (2)设这种纪念品每套上涨x元，则每套纪念品应定价为(40+x)元， (500-10x) 66 平均每天的销售量为(500-10x)套， 由题意得：(40+x-30)(500-10x)=8000， 整理得：x2-40x+300=0， 解得：x1=10，x2=30(不符合题意，舍去)， ∴40+x=50， 答：每套纪念品应定价50元． 67 40.如图，某班级门口有一块长为20厘米、宽为15厘米的小型长方形优秀事迹展板，展板上粘贴上下左右对齐两排的6个长方形且面积都为18平方厘米的班级学生主要事迹贴纸，若要求学生的主要事迹贴纸之间以及到上下左右的宽度都相等(设为x厘米)，如图所示，求宽度x. 68 ____ 【解析】解：由题意得：6×18+20×3x+4x(15-3x)=20×15， 整理得：x2-10x+16=0，解得：x1=2，x2=8(不符合题意，舍去)， 答：宽度x为2厘米． 69 $$