第21章二次根式 培优题突破练习★★★【11个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

第21章二次根式 培优题突破练习★★★ 【11个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年 华东师大版数学九年级上册 1 一．二次根式的定义 二．二次根式有意义的条件 三．二次根式的性质与化简 四．最简二次根式 五．二次根式的乘除法 六．分母有理化 七．同类二次根式 八．二次根式的加减法 九．二次根式的混合运算 一十．二次根式的化简求值 一十一 2 一．二次根式的定义 3 1.当x=1时，二次根式 的值为( ____ ) A.1 B. C. D.2 【解析】解：当x=1时， 原式= = ， 故选：C． C 4 2.当x=1时，二次根式 的值为( ____ ) A.4 B. C.6 D.2 【解析】解：x=1时， = =2． 故选：D． D 5 二．二次根式有意义的条件 6 3.若关于a代数式 在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是 _____ ． 【解析】解：由题可知， a-6≥0， 解得a≥6． 故答案为：a≥6． a≥6 7 三．二次根式的性质与化简 8 4.化简 的值为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：∵( )2= ， B 9 ∴ 的算术平方根为 ， 故选：B． 10 5.实数a,b在数轴上的位置如图所示，那么化简|b+a|-2 的结果是 _____ ． 【解析】解：观察数轴可知：a＞0，b＜0，|b|＞|a|， ∴b+a＜0， ∴ =-b-a-2×(-b) =-b-a+2b =b-a, 故答案为：b-a. b-a 11 6.定义：若两个二次根式a,b满足a•b=c,且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与 是关于4的共轭二次根式，则a=　　． (2)若 与 是关于12的共轭二次根式，则m的值为 　　． 【解析】解：(1)∵a与 是关于4的共轭二次根式， ∴ ， 故答案为： ； 12 (2)∵ 与 是关于12的共轭二次根式， ∴6+ m= = =6-2 ， ∴m=-2， 故答案为：-2． 13 7.观察下列各式 ① ； ② ； ③ … 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1) =　　； 14 (2)根据你的观察，猜想，写出第n(n为正整数)个等式：　　； (3)用上述规律计算： ． 【解析】解：(1)∵ ； ； … 15 ∴ = (或 或 均可)， 故答案为：1+ (或 或 均可)； (2)由题意得， ， 故答案为： ； (3)原式= 16 = = ． 17 四．最简二次根式 18 8.下列是最简二次根式的是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：A. 是最简二次根式，因此选项A符合题意； B. =2 ，因此选项B不符合题意； A 19 C. = = ，因此选项C不符合题意； D. = ，因此选项D不符合题意． 故选：A． 20 9.下列式子中，是最简二次根式的是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：A、 = ，故不是最简二次根式，不符合题意； B、 是最简二次根式，符合题意； B 21 C、 =2 ，故不是最简二次根式，不符合题意； D、 =3 ，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 22 10.下列二次根式中，是最简二次根式的是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：A、 是最简二次根式，符合题意； B、 =2 ，不是最简二次根式，不符合题意； A 23 C、 = ，不是最简二次根式，不符合题意； D、 = = ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 24 11.下列式子中，是最简二次根式的是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：A、 是最简二次根式，符合题意； A 25 B、 = ，不是最简二次根式，不符合题意； C、 = ，不是最简二次根式，不符合题意； D、 =2 ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 26 12.下列式子中，是最简二次根式的是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：A、 = = ，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D 27 B、 = ，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、 =2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、 是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 28 13.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：A． ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D 29 B． ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C． ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D． 是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 30 14.下列是最简二次根式的是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：A． ，故不是最简二次根式； B． ，故不是最简二次根式； D 31 C． ，故不是最简二次根式； D． 是最简二次根式； 故选：D． 32 五．二次根式的乘除法 33 15.下列计算结果正确的是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：A、 ，故错误； B、 ，故正确； C、 ，故错误； B 34 D、 ，故错误； 故选：B． 35 16. =　　． 【解析】解：原式= = = ． 故答案为： ． 36 17.化简： = ____ ． 【解析】解： × = =4． 故答案为：4． 4 37 六．分母有理化 38 18.下列各式中，是最简二次根式的是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：A、 = = ，不是最简二次根式，不符合题意； C 39 B、 =2 ，不是最简二次根式，不符合题意； C、 是最简二次根式，符合题意； D、 = ，不最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 40 19.化简： =　　． 【解析】解：原式= = = ． 故答案为 ． 41 20.一个二次根式与 的乘积是有理数，这个二次根式可以是 　　.(只需写出一个即可) 【解析】解： × =2． 故答案为： (答案不唯一)． 42 七．同类二次根式 43 21.下列各组二次根式中，为同类二次根式的是( ____ ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【解析】解：A、 与 的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； C 44 B、 与 的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； C、 与 的被开方数相同，所以它们是同类二次根式；故本选项正确； D、 与 的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误； 故选：C． 45 22.请写出 的一个同类二次根式　 　． 【解析】解：根据同类二次根式的定义，例如：2 (答案不唯一)． 故答案为：2 (答案不唯一)． 46 八．二次根式的加减法 47 23.下列计算正确的是( ____ ) A.x6÷x4=x2 B. + = C.(x3)2=x5 D.(x+y)2=x2+y2 【解析】解：A、x6÷x4=x2，故此选项符合题意； B、 与 不能合并，故此选项不符合题意； C、(x3)2=x6，故此选项不符合题意； D、(x+y)2=x2+2xy+y2，故此选项不符合题意； 故选：A． A 48 九．二次根式的混合运算 49 24.下列运算正确的是( ____ ) A. B.(x2)5=x10 C.x5•x6=x30 D. 【解析】解：A、 与 不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意． B、原式=x10，故B符合题意． C、原式=x11，故C不符合题意． B 50 D、原式=6a,故D不符合题意． 故选：B． 51 25.下列运算结果正确的是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意； D 52 B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 53 26.下列计算正确的是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：A． =|-2|=2，此选项计算错误； B． = × = ，此选项错误； C． 与 不是同类二次根式，不能合并，此选项错误； D 54 D． ÷ = ，此选项计算正确； 故选：D． 55 27.下列运算中，① ，② ，③ ，④ ，⑤ ．其中正确的是 ____ ．(填序号) 【解析】解： =2，所以①错误； - =2 - = ，所以②错误； • = ，所以③错误； 3 ×2 =6 ，所以④正确； (2 )2=4×2=8，所以⑤错误． 故答案为：④． ④ 56 28.计算： (1) ； (2) ． 【解析】解：(1)原式= + - =3+ - =3； (2)原式=1+ -2+1= ． 57 29.计算：(1) ； (2) ． 【解析】解：(1)原式=3 - =3 - =2 ； (2)原式= - -2 =- ． 58 30.计算： (1) - + ； (2)(2+ )( -1)． 【解析】解：(1) - + =5 = ； (2)(2+ )( -1) 59 =2 = +1． 60 31.计算： (1) ； (2) ． 【解析】解：(1) =3+4-3 =4； (2) = 61 = =1． 62 32.在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a=2 和b=3 的大小，我们可以把a和b分别平方，∵a2=12，b2=18，则a2＜b2，∴a＜b. 请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较c=4 ，d=2 大小，c 　　d(填写＞，＜或者=)． (2)猜想m=2 + ，n=2 + 之间的大小，并证明． (3)化简： =　　(直接写出答案)． 63 【解析】解：(1)∵c=4 ，d=2 ， ∴c2=(4 )2=32，d2=(2 )2=28， ∴c2＞d2， ∴c＞d, 故答案为：＞； (2)m＜n, 证明：∵m=2 + ，n=2 + ， ∴m2=(2 + )2=20+6+4 =26+4 ， n2=(2 + )2=12+14+4 =26+4 ， ∴m2＜n2， 64 ∴m＜n； (3)原式=2 +2 =2 +2 =2| -1|+2| +1| =2| -1|+2 +2， ∵p-1≥0， ∴p≥1， 65 当1≤p≤2时，原式=2-2 +2 +2=4； 当p＞2时，原式=2 -2+2 +2=4 ； 故答案为： ． 66 33.阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)仿照上面的解题过程化简： =　　． (2)请直接写出 的化简结果：　　． (3)利用上面所提供的想法，求 的值 67 【解析】解：(1) ； 故答案为： ； (2) ； 故答案为： ； (3)原式= = =10-1 =9 68 34.计算： (1) ； (2) ． 【解析】解：(1) = =2 ； (2) = -5+ 69 = -5+10 = +5． 70 35.计算： (1) (2) (3) (4) 71 【解析】解：(1) = = = = (2) 72 = = =3×2-5 =1 (3) = 73 = = (4) = = = = 74 36.计算： (1) ； (2) ． 【解析】解：(1) =3 -2 + =2 ； (2) 75 =3 × -12 =6 -12． 76 37.小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ，善于思考的小明进行了以下探索： 设 (其中a,b,m,n均为正整数)，则有 ．∴a=m2+2n2，b=2mn.这样小明就找到了一种把部分 的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a,b,m,n均为正整数时，若 ，用含m,n的式子分别表示a,b,得a=　　，b=　　； 77 (2)若 ，且a,m,n均为正整数，求a的值． 【解析】解：(1)∵(m+n )2=m2+2mn +3n2=m2+3n2+2mn ， ∴a=m2+3n2，b=2mn； 故答案为：m2+3n2，2mn； (2)由(1)得a=m2+3n2，4=2mn, ∴mn=2， ∵m,n均为正整数， ∴m=2，n=1或m=1，n=2， 当m=2，n=1时，a=m2+3n2=22+3×12=7； 当m=1，n=2时，a=m2+3n2=12+3×22=13， 78 一十．二次根式的化简求值 79 38.(1)计算 ； (2)已知 ， ，求x2+xy+y2的值． 【解析】解：(1)原式= ×(2 -3 +4 ) = ×3 =3×5 =15； (2)x2+xy+y2 =(x+y)2-xy =(2+ +2- )2-(2+ )(2- ) 80 =42-22+( )2 =16-4+3 =12+3 =15． 81 39.已知 ， ，求下列代数式的值． (1)a-b； (2)a2-2ab+b2． 【解析】解：(1)∵ ， ， ∴a-b = +2-( -2) = +2- +2 =4； (2)∵ ， ， 82 ∴a-b=4， ∴a2-2ab+b2 =(a-b)2 =(4)2 =16． 83 一十一 84 40.有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上裁出A，B两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板． (1)裁出的A，B两个正方形的边长分别为 　　dm,　　dm(用最简二次根式表示)； (2)求剩余木板(阴影部分)的面积． 【解析】解：(1)由题可知， 设A正方形的边长为x cm,B正方形的边长为y cm, 则x2=12，y2=27， 解得x=2 ，y=3 (负数舍去)． 故答案为：2 ，3 ； 85 (2)由题可知，阴影部分的面积为： 2 ×(3 -2 ) =2 × =6(dm2)． 答：剩余木板(阴影部分)的面积为6dm2． 86 $$