1.1 数列的概念（第1课时）（教学课件）数学湘教版2019选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第一章 数列 第一课时 数列的概念及其通项公式 1.1 数列的概念 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 （1）理解数列的有关概念和几种简单的表示方法（重点） （2） 发现数列的规律，找出数列可能的通项公式（难点） （3）掌握数列通项公式概念及其应用（重点、难点） 情景导入 有人说，大自然是懂数学的，例如树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等等，都遵循着某种数学规律，大家能想到它们涉及了哪些数学规律吗？ 通过本节课的学习，这些问题都会得到解决. 1.数列的概念 新知探究 在现实世界中，许多事物的数量可以排成一列数.例如： （1）如下图所示，在超市的货架上摆放有一些罐头，最顶上一层有 2 听罐头，其余每一层的罐头数都比它上面一层的罐头数多 2，共堆了 8 层，则从上到下每层的罐头数依次为： 2，4，6，8，10，12，14，16. ① （2）《庄子·天下》有一句话："一尺之棰，日取其半，万世不竭．"意思是∶一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．这样，每日剩下的部分都是前一天的一半． 如果把"一尺之棰"看成单位"1"，那么每日剩下的部分依次为： ② （4）π，2π，3π，4π，…的正弦值依次为： 0，0，0，0，… ④ （3）某家庭一年内1-12月的用电量（单位∶kW／h）依次为: 110，120，90，80，62，80，103，115，84，65，81，95． ③ （5）正整数1，2，3，4，5，6，…被 3除的余数依次为： 1，2，0，1，2，0，1，2，0，…． ⑤ 概念归纳 把这些例子的共同特征抽象出来，得到数列的概念∶ 按照一定顺序排成的一列数叫作数列． 数列中的每一个数叫作这个数列的项，排在第一位的数叫作数列的 首项或叫作数列的第1项，排在第二位的数叫作数列的第 2 项，……， 排在第n位的数叫作数列的第n项，所以数列的一般形式可以写成 a1，a2，…，an，… 简记为{an}． 数列分类： 项数有限的数列称为有穷数列，如数列①、③； 项数无限的数列称为无穷数列，如数列②、④、⑤． 上面的数列 ②中，每一项的序号n与对应项an，有如下关系式： 这样，根据以上公式我们可以求出数列②的任意指定的项． 实际上，对任意的数列{an}，其每一项的序号与该项都有如下对应关系： 2.数列的表示—通项公式 新知探究 序号 项 1 2 3 4 ··· n ··· a1 a2 a3 a4 ··· an ··· 实际上，对任意的数列{an}，其每一项的序号与该项都有如下对应关系： 因此，数列可以看成以正整数集N+（或它的有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数an = f (n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值 f (1)， f (2)， f (3)，….． 如果数列{an}的第n项an，可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式就称为数列{an}的通项公式． 从函数的观点看，数列的通项公式就是数列的解析表达式． 3.数列的表示 - 列表法 新知探究 例如，数列① 2，4，6，8，10，12，14，16． ② 的一个通项公式分别是： 与函数一样，数列还可以用列表法和图象法来表示． 例如，对于数列③110，120，90，80，62，80，103，115，84，65，81，95，我们可以用如下列表的方法来直观地表示： 月份（n） 1 2 3 4 5 6 用电量（an） 110 120 90 80 62 80 月份（n） 7 8 9 10 11 12 用电量（an） 103 115 84 65 81 95 1.列表法 对于数列③110，120，90，80，62，80，103，115，84，65，81，95，也可以用图像直观地表示： an n 数列的图象是一系列孤立的点． an值2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 110 120 90 80 62 80 103 115 84 65 81 95 从图象上可以清楚地看到，这个家庭哪个月用电量最多，哪个月用电量最少，哪些月用电量在增加，哪些月用电量在减少，用电量随月份的变化也一目了然． 【例1】根据数列{an}的通项公式，写出数列的前5 项及第 n＋1项． 【分析】求数列的具体项，就是求函数值． 【解析】（1）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列的前5项 分别为： 用n+1代替通项公式 中的n，得到数列的第 n+1项是 ， 即 ． 课本例题 【例1】根据数列{an}的通项公式，写出数列的前5 项及第 n＋1项． 【解析】（2）在通项公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到数列的前5项 分别为： 用n+1代替通项公式 中的n， 得到数列的第 n+1项是 ， 即 ． 课本例题 【解析】（1）因为这个数列的前4项为 3-1，3＋1，3-1，3＋1， 由此得到它的一个通项公式： 【例2】观察下面各数列，试着找出它的一个通项公式． （1）2，4，2，4，…； （2）9，99，999，9 999，…； 课本例题 课本例题 （2）因为这个数列的前4项为10 -1，102 -1，103 -1，104 -1， 由此得到它的一个通项公式： an＝10n－1 （3）因为这个数列的前4项为 ， ， ， ， 由此得到它的一个通项公式： 对于一个数列，如果仅知道它的前几项或者有限项，而不知道它的变化规律，是不能确定这个数列的，因此归纳出的通项公式也不是唯一的，所给答案只是满足条件的许多通项公式中的一个.如数列为2，4，8，…，其通项公式可以是，也可以是，对此我们甚至还可以写出无限多个通项公式，如，这里t∈R.很明显，当n=1，2，3时它们的前三项都相同，但由此确定的其他项就有了差异. 思考：根据数列的前若干项写出的通项公式是唯一的吗？试举例说明（例如本节开始所列举的数列④）. 典例剖析 题型1　数列的概念和分类 例1　(1)下列说法正确的是(　　) A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为{3，6，8} D．a，－3，－1，1，b，5，7，9，11一定能构成数列 A 解析： (1)根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确； 同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误； 数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误； 当a，b都代表数时，能构成数列，当a，b中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误． (2)已知下列数列： ①1，2，22，23，…，260； ②1，0.5，0.52，0.53，…； ③－2，2，－2，2，…； ④3，3，3，3，…； ⑤0，，…，； ⑥1，0，－1，…，sin ，…. 其中有穷数列是________；无穷数列是________． 典例剖析 ①⑤ ②③④⑥ 数列的判断技巧及分类方法 (1)数列的判断方法 ①集合中的数是无序的，元素又是互异的；而数列中的数是严格按照顺序排列的，项与项可以是相同的； ②组成数列的数相同，而且排列次序也相同，满足这两个条件才是相同的数列． (2)根据数列的项数可分为： ①项数有限的数列是有穷数列； ②项数无限的数列是无穷数列． 概念归纳 1　下列说法正确的是(　　) A．数列－1，0，1，2与数列2，1，0，－1是相同的数列 B．数列1，2，3，4，5是有穷数列，而数列1，2，3，4，…，n是无穷数列 C．数列的第k项为1＋ D．数列{2n}的项数是2n 练一练 C 解析： 数列中的数是有序的，数相同但次序不同的数列是不同的数列，A不正确； 数列的项数若是有限的为有穷数列，项数若是无限的为无穷数列，B中两数列的项数分别为5，n，B不正确； 数列{2n}的项数为n，D不正确； 数列的通项为，所以第k项为＝1＋，C正确． 典例剖析 题型2　观察法写出数列的通项公式 例2　写出下面各数列的一个通项公式，使它的前4项是下列各数： (1)－1，，－； (2)，3，； (3)0.9，0.99，0.999，0.999 9； (4)3，5，3，5. 解析：(1)任何一个整数都可以看成一个分数，所以此数列可以看做是自然数列的倒数，正负相间用(－1)的多少次幂进行调整，其一个通项公式为an＝(－1)n·. (2)数列可化为，即，…，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为2n－1，故原数列的一个通项公式为an＝＝. (3)原数列可变形为，…，故数列的一个通项公式为an＝1－. (4)数列给出前4项，其中奇数项为3，偶数项为5，所以通项公式的一种表示方法为an＝.此数列还可以这样考虑，3与5的算术平均数为＝4，4＋1＝5，4－1＝3，因此数列的一个通项公式又可以写为an＝4＋(－1)n. 观察法写出数列的通项公式的策略 概念归纳 2.写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，－，－； (2)，2，，8，； (3)2，0，2，0. 练一练 解析：(1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，…， 所以它的一个通项公式为an＝，n∈N＋. (3)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1＋1，n∈N＋. 典例剖析 例3　已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)求这个数列的第10项； (2)在区间内是否存在数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由． 题型3　数列通项公式的简单应用 解析：(1)a10＝＝. (2)解不等式<<得<n<，因为n为正整数，所以n＝2，因此在区间内只有一项． 归纳总结 1．利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． 2．判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项． 3.已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N＋. (1)写出数列的前3项； (2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项． 练一练 解析： (1)在通项公式中依次取n＝1，2，3，可得{an}的前3项分别为1，6，15. (2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－(舍去)，故45是数列{an}中的第5项． 令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝，故3不是数列{an}中的项． 1.下列说法正确的是（ ） A.数列中不能重复出现同一个数 B.1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列 C.1,1,1,1不是数列 D.若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同 随堂练 D 随堂练 D 4.数列{an}的通项公式为an＝ 则a3＋a6＝_____. 8 3.将数列{2n－1}与{n2}的公共项从小到大排列得到数列{an}， 则a3＝_____. 25 随堂练 5.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1){0，1，2，3，4}是有穷数列．(　　) (2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一数列．(　　) (3)所有自然数能构成数列．(　　) (4)数列1，3，5，7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1.(　　) 随堂练 × × √ × 6．下列有关数列的说法正确的是(　　) A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列－1，0，1与数列1，0，－1是同一个数列 C．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} D．数列中的每一项都与它的序号有关 随堂练 7．数列1，…的一个通项公式是(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ D B 8．已知数列，…，，…则5是这个数列的(　　) A．第12项 B．第13项 C．第14项 D．第25项 9．数列1，2，，…中的第26项为________． 随堂练 2 A 错因分析 易错辨析　忽视数列中n∈N＋致错 例4　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则an的最小值为________． 解析：∵an＝n2－5n＋4＝－， 可知对称轴方程为n＝， 又n∈N＋，故n＝2或3时， an有最小值，且a2＝a3＝－2 -2 错因分析 出错原因 纠错心得 在求出an＝－时，忘记n∈N＋了，导致得出错误答案：－. 数列的定义域是正整数集合时，是特殊的函数，所以解题时一定不要忘记n∈N＋这一条件． 【易错警示】 1.(多选)下列说法正确的是（ ） A.数列可以用图象来表示 B.有些数列的通项公式不唯一 C.数列中的项不能相等 D.数列可以用一群孤立的点表示 ABC 分层练习-基础 2.已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(n2－1)，则a6等于( ) A.35 　　　　B.－11 　　　　C.－35 　　　　D.11 A 3.数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是（ ） A.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N＋ B.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N＋ C.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N＋ D.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N＋ A 分层练习-基础 分层练习-基础 ABD 分层练习-基础 C A.第127项 B.第128项 C.第129项 D.第130项 B 12 分层练习-基础 8.在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55，…中，x＝____. 13 9.写出下列各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； 各项是从4开始的偶数， 所以an＝2n＋2，n∈N＋. 每一项分母可写成21,22,23,24,25，…，分子分别比分母少1， 分层练习-基础 (3)0.3,0.33,0.333,0.333 3，…. 分层练习-基础 10.已知数列{an}中，a1＝3，a10＝21，an是关于项数n的一次函数. (1)求{an}的通项公式，并求a2 023； 设an＝kn＋b(k≠0)， ∴an＝2n＋1(n∈N＋)， ∴a2 023＝4 047. 分层练习-基础 (2)若{bn}是由a2，a4，a6，a8，…组成的，试写出{bn}的一个通项公式. ∵a2，a4，a6，a8，…为5,9,13,17，…， ∴bn＝4n＋1. 分层练习-基础 分层练习-巩固 C 12.已知数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，n，则该数列的第22项为( ) A.6 　　　　B.7 　　　　C.64 　　　　D.65 B D 分层练习-巩固 分层练习-巩固 15.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝_____. 61 分层练习-拓展 f(1)＝1＝2×1×0＋1， f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1， f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1， f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1， 故f(n)＝2n(n－1)＋1. 当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61. 分层练习-拓展 分层练习-拓展 (2)试判断数列{an}中的项是否都在区间(0,1)内. 分层练习-拓展 ∴0<an<1，∴数列{an}中的项都在区间(0,1)内. 课堂小结 1.知识清单： (1)数列的概念与分类. (2)数列的通项公式. (3)数列通项公式的简单应用. 2.方法归纳：观察法、归纳法、猜想法. 3.常见误区： (1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面. (2)不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系. 2.数列，－，，－，…的通项公式可能是（ ） A.an＝(－1)n B.an＝(－1)n－1 C.an＝(－1)n D.an＝(－1)n－1 4.(多选)下列通项公式中，可以作为数列，0，，0，，0，…的通项公式的是（ ） A.an＝[1－(－1)n] B.an＝ C.an＝[1－(－1)n] D.an＝ 6.已知数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的（ ） 5.数列，，，，…的第10项是（ ） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 7.已知数列{an}的通项公式为an＝，则a10＝______，若an＝，则n＝_____. (2)，，，，，…； 故所求数列的通项公式可写为an＝，n∈N＋. 所以an＝，n∈N＋. 因为数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的通项公式为1－， 而数列0.3,0.33,0.333，0.333 3，…的每一项都是上面数列对应项的， 则解得 11.设an＝＋＋＋＋…＋(n∈N＋)，则a2等于（ ） A. B.＋ C.＋＋ D.＋＋＋ ∵an＝＋＋＋＋…＋(n∈N＋)，∴a2＝＋＋. 13.数列－1，，－，，…的一个通项公式是（ ） A.an＝(－1)n· B.an＝(－1)n· C.an＝(－1)n· D.an＝(－1)n· 解析：(1)a10＝＝. (2)令＝， 化简得：8n2－33n－35＝0， 解得n＝5.当n＝5时，a5＝－≠. ∴不是该数列中的项． 14．已知数列{an}的通项公式an＝. (1)写出它的第10项； (2)判断是不是该数列中的项． ∴由an＝＝，解得n＝， ∵不是正整数，∴不是数列{an}中的项. ∵an＝＝＝， 16.已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)判断是不是数列{an}中的项； ∵an＝＝＝1－，n∈N＋，0<<1， $$