1.4 二次函数的应用（第1课时）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

九年级浙教版数学上册 第一章 二次函数 1.4 二次函数的应用 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点） 2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值. 3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点） 情景导入 用长为6米的铝合金制成如图窗框，窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？ 问题1 二次函数 的最值由什么决定？ x y O x y O 最小值 最大值 二次函数 的最值由a及自变量的取值范围决定. 1.二次函数的最值问题 新知探究 当自变量x为全体实数时， 由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点， 问题2 如何求出二次函数 y = ax 2 + bx + c 的最小（大）值？ 当a＞0时，有 ，此时 . 当a＜0时，有 ，此时 . 6 当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时， (1)若 在自变量的取值范围x1≤x≤x2内， 最大值与最小值同时存在，如图①， 当a＞0时， 最小值在x＝ 处取得， 最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的 较大的函数值； 当a＜0时，最大值在x＝ 处取得， 最小值为函数在x＝x1，x＝x2时的 较小的函数值； (2)若 不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和 最小值同时存在，且函数 在x＝x1，x＝x2时的函数值 中，较大的为最大值，较 小的为最小值，如图②. 例1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值. （1）y=x2−4x−5; (配方法) (2)y=−x2−3x+4.(公式法) 解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2； 顶点坐标：（2，−9）；最小值：−9. （2）开口方向：向下；对称轴：x= ； 顶点坐标：（ ， ）；最大值： . 典例剖析 当自变量的范围有限制时，二次函数 的最值可以根据以下步骤来确定： 1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴. 2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围. 3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值. 概念归纳 例2.求下列函数最值 典例剖析 （1） 典例剖析 例3.求下列函数最值 若函数在[-1,2]上最大、最小值和为6，求的值. 抛物线口朝上，所以当是函数有最小值，最小值为 当=-1时， 当=2时， 根据题意得：= 1.已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为(　　) A．3 　　B．－1 　　　C．4 　　　D．4或－1 解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2， ∴a＞0，y最小值＝ ＝ ＝2， 整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4. ∵a＞0，∴a＝4.故选C. C 练一练 天天公园预备要建造一个圆形的喷水池，设计图中决定在水池中央垂直于水面处竖一根柱子，并在柱子的顶端A处安装一个喷头向外喷水. 柱子在水面以上部分的高度为1.25 m. 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示. （1） 2.用二次函数的最值解决实际问题 新知探究 （2） 可以根据设计图纸得出：在右图所示的平面直角坐标系中，水流喷出的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的函数关系式是 . （1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？ 就是求函数 最大值 当x＝1时， ∴ 喷出的水流距水平面的最大高度是 . （2） （2）如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？ 就是求当y＝0时，x在正半轴的值。 解得 ， ∴水池的半径至少为 2.5m 时，才能使喷出的水流都落在水池内. （舍） 我们回到最初的问题：若用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计） x 解：设矩形窗框的宽为x m，则高为 m.这里应有x＞0， 故0＜x＜2. 矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是： 3.二次函数与几何图形面积的最值 新知探究 即 配方得 所以，当x=1时，函数取得最大值，最大值y=1.5. x=1满足0＜x＜2，这时 因此，所做矩形窗框的宽为1 m、高为1.5 m时，它的透光面积最大，最大面积是1.5 m2. 例4.用总长为60米的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(平方米)随矩形一边长l(米)的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？ 问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用l表示其邻边的长？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？ 矩形面积=长×宽 邻边长为(30−l)米 S=(30−l)l=−l2+30l 典例剖析 19 解：根据题意得 S=l(30−l)， 即 S=-l2+30l (0<l<30). 因此，当 时，S有最大值 也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大. 5 10 15 20 25 30 100 200 l s O 问题4 当l是多少米时，场地的面积S最大？ 典例变式：如右图所示，若李磊想用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园. 60-2x x x 问题：(1)当围墙长32m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大 面积是多少？ 点拨：我们设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为________m. 则矩形菜园的面积S=_________________________. 思考辨析：我们应该如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？ 0＜60−2x≤32，即14≤x＜30. (60−2x) x(60−2x)＝−2x2＋60x ∴当x=15m时，S取最大值，此时S=450m2. 解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(60−2x)m. ∴矩形菜园的面积S＝x(60−2x)＝−2x2＋60x. ∵S＝−2x2＋60x=−2(x2−30x)=−2(x−15)2+450， 设未知数，用含未知数的代数式表示相关量 由题意得0＜60−2x≤32，即14≤ x＜30. 根据题意，求出自变量的取值范围 写出二次函数解析式，化为顶点式 结合自变量的取值范围可知，该二次函数在其顶点处取得最大值 问题：(2)当墙长18 m时，这个矩形的长、宽各为多少，菜园的面积能够最大化利用，最大面积是多少？ 解：设垂直于墙的边长为x m， 由（1）知 S＝−2x2＋60x=−2(x2−30x)=−2(x−15)2+450. 这与(1)有何区别？ 请你试着在(2)中，求取自变量的取值范围. 21≤ x ＜30. 是否依然在x=15时，S取得最大值？ 当21≤ x ＜30时，S的值随x的增大，是如何变化的？当x取何值时，S取得最大值？ 当21≤ x ＜30时，S随x的增大而减小， 当 x =21时，S取得最大值， 此时S=−2×(21−15)2+450=378m2. 注意：用二次函数最值求解实际问题时，一定要注意结合自变量的取值范围，不是所有的二次函数都能在顶点处取得最值. 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 概念归纳 25 例5.如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. （1）如果设矩形的一边AB=x m，那么AD边的长度如何表示? 30 m 40 m F C D B E 解:(1)由图易证Rt△EDC∽Rt△CBF 典例剖析 30 m 40 m F C D B E ∴当x＝20时，y最大，y最大＝300. 结论：有两边在三角形的两直角边上时，矩形的最大面积为300 m2，是在AB＝20 m时取得的． (2)设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ （2）由题意可得 1. 在前面的问题中，如果设AD边的长为xm，那么问题的结果会怎样？ 解：∵AD=xm，DC∥AB， ∴ ， ∴DC=AB= ， ∴y=AD·AB= = (0＜x＜30) ∴当x=15时， y有最大值300. 30 m 40 m F C D B E 练一练 2. 一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字形窗户的框架ABCD(如图)，如果恰好用完整条铝合金型材，那么AB，AD分别为多少米时，窗户的面积最大？ A B C D 解：设AB=x，则AD= ， ∴S= ∴当x=1时，S有最大值 . 即当AB，AD分别为1m，1.5m时，窗户面积最大，为1.5m2. 练一练 3.课本例题（变式练）用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到0.01m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01m2) x x y 解：∵7x+4y+πx=15, ∴0＜x＜1.48. 练一练 设窗户的面积是S m2, 则 因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多. 此时，窗户的面积约为4.02 m2. 练一练 4. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m)，面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； 解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6−x), ∴S=x(6−x)=−x2+6x,其中0＜x<6. 练一练 32 (2)S=−x2+6x=−(x−3)2+9; ∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大， 为9m2. 这时设计费最多，为9×1000=9000（元）. (2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用. 练一练 A 随堂练 C 随堂练 C 20 m 800 m2 随堂练 随堂练 随堂练 A 分层练习-基础 h k 分层练习-基础 自变量 自变量 函数关系式 自变量 分层练习-基础 D 分层练习-基础 75 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 自变量 二次函数 取值范围 课堂反馈 B 课堂反馈 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数关系式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 （二次函数的图象和性质） 实际问题 数学模型 转化 回归 （实物中的抛物线形问题） 课堂小结 1．如图，在Rt△ABC的内部作一个矩形CMPN，其中CM、CN分别在两直角边上，P在斜边上．设CM＝x cm，那么CN的长为(　 　) A．40－eq \f(4,3)x B．40－eq \f(3,2)x C．30－eq \f(4,3)x D．30－eq \f(3,4)x 2．用长8 m的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图)，那么这个窗户的最大透光面积是(　 　) A.eq \f(64,25) m2 B．eq \f(4,3) m2 C.eq \f(8,3) m2 D．4 m2 3．现有修建鸡舍围墙的材料l米，按照如图的形式修建7间，要使总面积最大，整个鸡舍的长与宽分别为(　 　) A.eq \f(l,2)，eq \f(l,8) B．eq \f(l,4)，eq \f(l,8) C.eq \f(l,4)，eq \f(l,16) D．eq \f(l,2)，eq \f(l,16) 4．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m长的篱笆围一个矩形场地．当AD＝　 　时，矩形场地的面积最大，最大值为　 　. 5．如图，直角坐标系中A(3,0)、B(0,4)，P为线段AB上一点，PC⊥OB于C，PD⊥OA于D，则当P点坐标为　 　时，矩形PCOD面积最大． (eq \f(3,2)，2) 6．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位： cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位： cm2)随x(单位： cm)的变化而变化． (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？ 解：(1)S＝－eq \f(1,2)x2＋20x； (2)当x＝20时，三角形面积最大，最大面积是200 cm2. 7．如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD交于点O，∠AOB＝60°，设AB＝x cm，矩形ABCD的面积为S cm2，则变量S与x之间的函数关系式为(　 　) A．S＝eq \r(3)x2 B．S＝eq \f(\r(3),3)x2 C．S＝eq \f(\r(3),2)x2 D．S＝eq \f(1,2)x2 知识点：运用二次函数求面积的取值问题 1．求二次函数的最大(小)值 (1)配方法：用配方法将y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式，当自变量x＝ 时，函数y有最大(小)值为 ； (2)公式法：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当自变量x＝　 　时，函数y有最大(小)值为　 　. －eq \f(b,2a) eq \f(4ac－b2,4a) 2．利用二次函数求几何图形的最大面积 (1)引入 ，用含 的代数式分别表示相关的量； (2)根据几何图形的面积公式，列出 ； (3)确定 的取值范围，在范围内用配方法或公式法求出最大值． 8．如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料．为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形铁片备用．当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为(　 　) A．x＝10，y＝14 B．x＝14，y＝10 C．x＝12，y＝15 D．x＝15，y＝12 9．将一条长20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长为周长各围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是　 　. 10．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室面积最大为　 　m2. 12.5 cm2 11．已知△ABC的面积为2400 cm2，底边BC的长为80 cm，如图所示，若点D在BC边上，点E在AC边上，点F在AB边上，且四边形BDEF为平行四边形，设BD＝x cm，S▱BDEF＝y cm2.求： (1)y与x的函数关系式； (2)当x为何值时，y有最大值，最大值为多少？ 解：(1)由S△ABC＝2400 cm2，BC＝80 cm得△ABC中BC边上的高为60 cm，设平行四边形BDEF的BD边上的高为h，则eq \f(h,60)＝eq \f(80－x,80)，∴h＝60－eq \f(3,4)x，∴y＝x(60－eq \f(3,4)x)＝－eq \f(3,4)x2＋60x；　 (2)y＝－eq \f(3,4)x2＋60x＝－eq \f(3,4)(x－40)2＋1200，当x为40时，y有最大值，最大值为1200 cm2. 12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝22 cm，BC＝20 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1 cm/s的速度移动，P、Q分别从A、B同时出发． (1)求四边形APQC的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)求四边形APQC面积的最小值，并求出此时x的值． 解：(1)由题意得AP＝2x，BQ＝x，∴S△PBQ＝eq \f(1,2)BP·BQ＝eq \f(1,2)(22－2x)·x＝－x2＋11x，∵S四边形APQC＝S△ABC－S△PBQ，∴y＝eq \f(1,2)×22×20－(－x2＋11x)＝x2－11x＋220(0＜x＜11)；　 (2)∵y＝x2－11x＋220＝(x－eq \f(11,2))2＋eq \f(759,4)，∴当x＝eq \f(11,2)时，y最小值＝eq \f(759,4). 13．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2. (1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 解：(1)∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE＝2BE，设BE＝a，则AE＝2a,8a＋2x＝80，∴a＝－eq \f(1,4)x＋10,2a＝－eq \f(1,2)x＋20，∴y＝(－eq \f(1,2)x＋20)x＋(－eq \f(1,4)x＋10)x＝－eq \f(3,4)x2＋30x，∵a＝－eq \f(1,4)x＋10＞0，∴x＜40，∴y＝－eq \f(3,4)x2＋30x(0＜x＜40)；　 (2)∵y＝－eq \f(3,4)x2＋30x＝－eq \f(3,4)(x－20)2＋300(0＜x＜40)且二次项系数为－eq \f(3,4)＜0，∴当x＝20时，y有最大值．最大值为300平方米． 图形面积的最值问题 面积最值问题应该设图形一边长为　 　，所求面积为因变量，建立 　 　的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自 变量的　 　. 1．如图，在一个近似直角三角形的空地上要挖一个长方形的水池，要求长方形水池的两条边在直角三角形空地的直角边上，若测量出直角三角形三边分别为30 m、40 m、50 m，则水池的最大面积是(　 　) A．285 m2　　　　B．300 m2　　　　C．325 m2　　　　D．400 m2 $$