2.1 直线的倾斜角与斜率-2024-2025学年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2.1 直线的倾斜角与斜率 知识点一 直线的倾斜角与斜率 【解题思路】 1.直线倾斜角 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求 (2)注意倾斜角的范围． 2.求直线的斜率 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的． (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关． 【例1-1】（23-24高二上·湖北·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24北京顺义·阶段练习）若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【例1-3】（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【例1-4】（2024湖北）已知直线的倾斜角为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）（多选）直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为 ． 4．（2024·湖南）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角． (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点二 直线的倾斜角与斜率的范围 【解题思路】 直线的倾斜角与斜率的范围---数形结合：一般先根据题意画出图形，再结合正切图像写出范围 【例2-1 】（24-25高二上·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24 浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式】 1．（23-24高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024河北）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 4．（2023高二上·江苏·专题练习）若点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　 ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知点，若经过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识点三 两条直线位置关系之平行 【解题思路】 判断两条不重合的直线是否平行的方法 【例3-1】（2024高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 【例3-2】（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式】 1．（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 2 ．（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点； (3)的倾斜角为，经过点； (4)平行于轴，经过点． 知识点四 两条直线位置关系之垂直 【解题思路】 判断两条直线是否垂直 （1） 两条直线都有斜率的前提下，斜率之积是否等于－1即可 （2） 有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【例4-1】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各题中与是否垂直． (1)经过点；经过点； (2)的斜率为；经过点； (3)经过点；经过点． 【例4-2】（23-24高二下·湖北·期中）已知点，若直线与直线垂直，则实数（    ） A． B．2 C．3 D．4 【变式】 1．（23-24高二下·湖南·阶段练习）若直线与直线互相垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023全国·专题练习）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则＝（　　） A． B．－ C． D．－ 3．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 4．（22-23高二上·河南·阶段练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且. 知识点五 斜率的应用 【例5-1】．（23-24高二上·上海·课后作业）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 【例5-2】（23-24高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【变式】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． 试判断四边形的形状，并给出证明. 2．（2024上海）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知的顶点，，． (1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值． (2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值． (3)若为直角三角形，如何求解的值？ 【题组一 直线的倾斜角与斜率】 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东济宁·高二期中）直线的倾斜角为，则（       ） A．1 B． C．2 D． 3．（2024·湖北·高二阶段练习）直线绕原点顺时针旋转后所对应的直线的斜率为（       ） A． B． C． D． 4（2023·全国·高二专题练习）已知直线过两点且倾斜角为，则的值为_____. 5．（2023·江苏·高二课时练习）分别求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角； (1)，；(2)，；(3)，；(4)，． 【题组二 直线的倾斜角与斜率的范围】 1 ．（22-23高二上·山东济宁·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 3．（2014高三·全国·专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河南开封·期中）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D．     5．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 6．（2024高三·全国·专题练习）直线（a2＋1）x－2ay＋1＝0的倾斜角的取值范围是 ． 7．（23-24高二上·广东·阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【题组三 两条直线位置关系之平行】 1．（23-24高二上·广东深圳·期中）若直线：与直线：平行，则的值为（ ） A．2 B． C．2或 D．或 2．（23-24高二下·北京怀柔·开学考试）已知直线：，：若，则实数（    ） A．或 B． C． D．与 3 ．（23-24高二上·河南郑州·期末）若关于，的方程组无解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 4 ．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）下列各组直线中与一定平行的是（    ） A．经过点，经过点 B．经过点，经过点 C．的倾斜角为，经过点 D．平行于轴，经过点 5 ．（23-24高二下·四川泸州·期末）直线与直线平行，则 6．（22-23高二·全国·课堂例题）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)平行于y轴，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 7．（22-23高二·江苏·课后作业）分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【题组四 两条直线位置关系之垂直】 1．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为 . 3．（22-23高二·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 4．（22-23高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由． (1)经过点经过点； (2)经过点经过点． 5．（23-24高二·江苏·课后作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【题组五 斜率的应用】 1．（23-24高二上·全国·单元测试）（多选）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 2．（2024山西）已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 3．（2023高二·全国·专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 直线的倾斜角与斜率 知识点一 直线的倾斜角与斜率 【解题思路】 1.直线倾斜角 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求 (2)注意倾斜角的范围． 2.求直线的斜率 (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的． (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关． 【例1-1】（23-24高二上·湖北·期末）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.故选：C. 【例1-2】（23-24北京顺义·阶段练习）若直线l过两点和，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】该直线不与轴垂直，设倾斜角为，斜率,.故选：B 【例1-3】（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设直线的倾斜角为，若向量是直线的一个方向向量， 则直线的斜率为，因为，所以.故选：A. 【例1-4】（2024湖北）已知直线的倾斜角为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以.故选：B. 【变式】 1．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以， 设直线的倾斜角为，则，又， 所以，即直线的倾斜角为. 故选：D 2．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）（多选）直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】设的倾斜角分别为，直线的斜率， ，又， 直线的倾斜角的取值范围是. 故选：AD. 3．（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为 ． 【答案】/ 【解析】设直线与直线的倾斜角分别为， 则，且，所以， 因为，所以，即两条直线的夹角为，故答案为：. 4．（2024·湖南）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)存在，斜率为，倾斜角为； (2)存在，斜率为，倾斜角为； (3)存在，斜率为，倾斜角为； (4)不存在. 【解析】(1)解：因为，所以经过的直线斜率存在， 所以斜率为，设倾斜角为，则，故，即倾斜角为 (2)解：因为，所以经过的直线斜率存在， 所以斜率为，设倾斜角为，则，故，即倾斜角为. (3)解：因为，所以经过的直线斜率存在， 所以斜率为，设倾斜角为，则，故，即倾斜角为. (4)解：因为，所以经过的直线斜率不存在， 知识点二 直线的倾斜角与斜率的范围 【解题思路】 直线的倾斜角与斜率的范围---数形结合：一般先根据题意画出图形，再结合正切图像写出范围 【例2-1 】（24-25高二上·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设的倾斜角为，由题意可知：直线的斜率， 即，且，所以.故选：C. 【例2-2】（23-24 浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D 【变式】 1．（23-24高二上·浙江丽水·期末）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率为， 由于，设倾斜角为， 则，， 所以. 故选：B. 2．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，直线的倾斜角为， 当时，由得到， 又易知，所以，即， 由的图像可知，， 综上，    故选：C. 3．（2024河北）已知点、、， 过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【解析】如图，过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率或， 而，于是直线l的斜率或， 所以直线l斜率k的取值范围是， 故选：C 4．（2023高二上·江苏·专题练习）若点，直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， . 由图可知，直线l与线段AB相交时，直线l的斜率k的取值范围是. 故选：D 5．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知点，若经过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率满足， 当时，直线l的倾斜角，当时，， 所以直线l的倾斜角的取值范围为. 故选：C 知识点三 两条直线位置关系之平行 【解题思路】 判断两条不重合的直线是否平行的方法 【例3-1】（2024高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 【答案】(1)不平行(2)平行或重合(3)平行(4)重合 【解析】（1），，，所以与不平行． （2）的斜率，的斜率，，所以l1与l2平行或重合． （3）由题意，知的斜率不存在，且不与轴重合，的斜率也不存在，且与轴重合，所以. （4）由题意，知，, ，所以与平行或重合． 需进一步研究，，，四点是否共线，. 所以，，，四点共线，所以与重合． 【例3-2】（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为两条直线平行， 所以直线斜率相等或斜率不存在， 当两直线斜率不存在时，即，两直线为，成立； 当两直线斜率存在时，即，解得，两直线为成立， 综上或. 所以“”是“两条直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式】 1．（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 【答案】A 【解析】对于A，因为，所以，故A对； 对于B，因为，所以直线不平行，故B错； 对于C，由直线经过点，，直线经过点，， 得直线的斜率都不存在，且两直线重合，故C错； 对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在， 而，所以直线不平行，故D错. 故选：A. 2 ．（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，直线，则， 当时，，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，直线与直线， 即为直线与直线的斜率都是，纵截距不同，则两直线平行，是充分条件； 若直线与直线平行，当时，两直线方程都为，直线重合不符合题意， 当时，两直线平行则斜率相等，截距不相等，解得，是必要条件； 故选：C 4．（2023高二·全国·专题练习）根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)经过点，经过点； (2)经过点，经过点； (3)的倾斜角为，经过点； (4)平行于轴，经过点． 【答案】(1) (2)直线与直线重合 (3)直线与直线平行或重合 (4) 【解析】（1）由题意知，， 所以直线与直线l2平行或重合， 又，故． （2）由题意知，，所以直线与直线平行或重合， 又，故直线与直线重合． （3）由题意知，，则， 所以直线与直线平行或重合． （4）由题意知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，所以． 知识点四 两条直线位置关系之垂直 【解题思路】 判断两条直线是否垂直 （1） 两条直线都有斜率的前提下，斜率之积是否等于－1即可 （2） 有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【例4-1】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各题中与是否垂直． (1)经过点；经过点； (2)的斜率为；经过点； (3)经过点；经过点． 【答案】(1)不垂直 (2)垂直 (3)垂直 【解析】（1），， 与不垂直． （2）， ． （3）由的横坐标相等得的倾斜角为，则轴， 又，则轴，因此． 【例4-2】（23-24高二下·湖北·期中）已知点，若直线与直线垂直，则实数（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】直线的斜率为：，因为直线与直线垂直， 所以，解得：.故选：B. 【变式】 1．（23-24高二下·湖南·阶段练习）若直线与直线互相垂直，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线与直线互相垂直，所以，解得.故选：D 2．（2023全国·专题练习）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则＝（　　） A． B．－ C． D．－ 【答案】C 【解析】直线的斜率为，因此与此直线垂直的直线的斜率， ， ∴， 把代入得， 原式. 故选：C． 3．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 【答案】BCD 【解析】对A，，，，所以A不正确； 对B，，，故B正确； 对C，，，，故C正确； 对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确. 故选：BCD 4．（22-23高二上·河南·阶段练习）判断下列直线与是否垂直： (1)的倾斜角为，经过，两点； (2)的斜率为，经过，两点； (3)的斜率为，的倾斜角为，为锐角，且. 【答案】(1) (2)与不垂直 (3) 【解析】（1）因为的倾斜角为，所以的斜率为.因为经过，两点， 所以的斜率为.因为，所以. （2）因为经过，两点，所以的斜率为. 因为的斜率为，且，所以与不垂直. （3）记的斜率为，因为，所以，解得或. 因为为锐角，所以.因为的斜率为，且，所以. 知识点五 斜率的应用 【例5-1】．（23-24高二上·上海·课后作业）已知四边形的四个顶点的坐标分别为、、、.求证：四边形是梯形. 【答案】证明见解析 【解析】， ，且不在一条直线上， 则直线与直线平行，且， 则四边形是梯形. 【例5-2】（23-24高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见解析. 【解析】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 【变式】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，． 试判断四边形的形状，并给出证明. 【答案】直角梯形；证明见解析． 【解析】由已知可判断四边形是直角梯形， 证明如下：因为，，，． 由斜率公式得，，，， 所以，，即且不平行， 所以四边形是梯形， 又因为，所以， 综上，四边形是直角梯形； 2．（2024上海）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】（1）（-1，6）或（7，2）或（3，-2）；（2）平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 【解析】（1）由题意得， ，，设. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）. （2）若的坐标为（-1，6）， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为（7，2）， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知的顶点，，． (1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值． (2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值． (3)若为直角三角形，如何求解的值？ 【答案】(1)； (2)或； (3)或或 【解析】（1）因为为直角顶点，所以， 由题可知直线，的斜率存在，所以，即，解得． （2）由于为锐角顶点，为直角三角形，故或为直角顶点． 若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在， 所以，即，解得； 若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在， 所以，即，解得． 综上可知，或． （3）若为直角顶点，由（1）知； 若为直角顶点，由（2）知； 若为直角顶点，由（2）知． 综上可知，或或． 【题组一 直线的倾斜角与斜率】 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知直线过点，，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由条件可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，. 故选：D 2．（2023·山东济宁·高二期中）直线的倾斜角为，则（       ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】直线的斜率为.故选：A. 3．（2024·湖北·高二阶段练习）直线绕原点顺时针旋转后所对应的直线的斜率为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线可得，所以该直线的斜率为， 设倾斜角为，则，因为，所以， 所以绕原点顺时针旋转后所对应的直线的倾斜角为， 所以斜率为． 故选：C. 4（2023·全国·高二专题练习）已知直线过两点且倾斜角为，则的值为_____. 【答案】 【解析】因直线的倾斜角为，则其斜率， 又由，，则的斜率，则有．故答案为：. 5．（2023·江苏·高二课时练习）分别求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角； (1)，；(2)，；(3)，；(4)，． 【答案】(1)1，；(2)，；(3)0，0；(4)－1，. 【解析】(1)斜率，倾斜角为，故，故； (2)斜率，倾斜角为，故，故； (3)斜率，倾斜角为，故，故； (4)斜率，倾斜角为，故，故； 【题组二 直线的倾斜角与斜率的范围】 1 ．（22-23高二上·山东济宁·期中）设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 2．（2024高三·全国·专题练习）已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A．[－2，0)∪(0，] B．(－∞，－]∪[2，＋∞) C．[－2，] D．(－∞，－2]∪[，＋∞) 【答案】D 【解析】根据题意，作出图形如下图： 直线PA的斜率为，直线PB的斜率为， 所以由图可知过点且与线段AB有公共点时，直线l的斜率取值范围是. 故选：D. 3．（2014高三·全国·专题练习）若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线恒过点， 直线与坐标轴的交点分别为， 直线的斜率，此时倾斜角为； 直线的斜率不存在，此时倾斜角为； 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 4．（23-24高二上·河南开封·期中）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，当公共点在AO之间（不含O）时，直线l的斜率为负， 当公共点在A时，斜率有最大值，为，则此时斜率范围为； 当公共点在OB之间（不含O）时，直线l的斜率为正， 当公共点在B时，斜率有最小值，为，则此时斜率范围为； 当公共点在O点时，直线l的斜率不存在. 综上，直线l的斜率的取值范围是. 故选：C      5．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点，过点的直线l与线段相交，则直线l的倾斜角的取值范围为 ，直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【解析】如图所示： 由点，可得直线的斜率为，直线的斜率为， 由直线与线段相交，可得的范围是； 由斜率与倾斜角的正切图象得倾斜角 故答案为：；. 6．（2024高三·全国·专题练习）直线（a2＋1）x－2ay＋1＝0的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】[，] 【解析】由题意知，若a＝0，则倾斜角为θ＝，若a≠0，则斜率k＝＝＋.①当a>0时，＋≥2＝1（当且仅当a＝1时，取“＝”），②当a<0时，－（＋）≤－2＝－1（当且仅当a＝－1时，取“＝”），k∈（－∞，－1]∪[1，＋∞），故θ∈[，）∪（，].综上，倾斜角的取值范围为[，]. 7．（23-24高二上·广东·阶段练习）经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，， 如图所示： ∵与线段相交，由题意设直线的斜率为， ∴，∴，∴或． 由于在及上均单调递增， ∴直线的倾斜角的范围为． 故答案为：. 【题组三 两条直线位置关系之平行】 1．（23-24高二上·广东深圳·期中）若直线：与直线：平行，则的值为（ ） A．2 B． C．2或 D．或 【答案】C 【解析】直线：与直线：平行， 则，解得或， 当时，此时直线：与直线：平行， 当时，此时直线：与直线：平行， 故或 故选：C 2．（23-24高二下·北京怀柔·开学考试）已知直线：，：若，则实数（    ） A．或 B． C． D．与 【答案】C 【解析】，，解得：或. 当时，直线：，直线：，两直线重合； 当时，经检验，满足题意； 综上，. 故选：C 3 ．（23-24高二上·河南郑州·期末）若关于，的方程组无解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【解析】由于无解，则表示两直线无交点， 故两直线是平行关系，因此，解得，经检验满足题意， 故选：C 4 ．（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）下列各组直线中与一定平行的是（    ） A．经过点，经过点 B．经过点，经过点 C．的倾斜角为，经过点 D．平行于轴，经过点 【答案】AD 【解析】对于A．由题意知，所以直线与直线平行或重合， 又，故，A选项正确； 对于B．由题意知，所以直线与直线平行或重合，，故直线与直线重合，B选项错误； 对于C．由题意知，，所以直线与直线可能平行可能重合，C选项错误； 对于D．由题意知的斜率不存在，且不是轴，的斜率也不存在，恰好是轴，所以，D选项正确． 故选：AD 5 ．（23-24高二下·四川泸州·期末）直线与直线平行，则 【答案】2 【解析】由，可得，所以直线的斜率为， 所以的斜率存在，且为 由两直线平行，可得，解得或， 经检验，，两直线重合，符合题意. 故答案为：2. 6．（22-23高二·全国·课堂例题）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)平行于y轴，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【答案】(1)不平行 (2)平行 (3)重合 【解析】（1）因为，，即，所以与不平行． （2）由题意可知恰好与y轴重合，所以． （3）由题意可知，，即， 所以与平行或重合． 又因为，可知E，F，G，H四点共线，所以与重合． 7．（22-23高二·江苏·课后作业）分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB与CD是否平行： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【答案】(1)平行 (2)平行 (3)平行 (4)不平行 【解析】（1），，，不共线，因此与平行． （2），，又两直线不重合，直线与平行， （3）直线，的斜率都不存在，且不重合，因此平行； （4）,，直线与不平行， 【题组四 两条直线位置关系之垂直】 1．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】当时，， 即，则，即； 当时，，解得. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知直线与直线，若，则的最大值为 . 【答案】/0.25 【解析】因为， 即，当且仅当时取等号， ，即的最大值为. 故答案为：. 3．（22-23高二·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）设直线，的斜率分别为，，则，， 因为，所以． （2）由点A，B的横坐标相等，得的倾斜角为，则， 设直线的斜率为，则， 所以轴．故． （3）方法一：直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以； 方法二：直线的方向向量，直线的方向向量， 因为，所以，所以． 4．（22-23高二·江苏·假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由． (1)经过点经过点； (2)经过点经过点． 【答案】(1)不垂直，理由见解析 (2)垂直，理由见解析 【解析】（1）由题知直线，的斜率存在，分别设为， ， ， ， ∴与不垂直． （2）由题意知的倾斜角为90°， 则轴； 由题知直线的斜率存在，设为， ， 则轴， ∴． 5．（23-24高二·江苏·课后作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)垂直 (2)垂直 (3)不垂直 (4)垂直 【解析】（1），两直线垂直． （2），两直线垂直； （3），不垂直； （4）斜率为0，斜率不存在，两直线垂直． 【题组五 斜率的应用】 1．（23-24高二上·全国·单元测试）（多选）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ） A． B． C．以点为直角顶点的直角三角形 D．以点为直角顶点的直角三角形 【答案】AC 【解析】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，，所以， 所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为，，所以，所以D错误， 故选：AC 2．（2024山西）已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 【答案】矩形 【解析】，且不在直线上，. 又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又. 平行四边形为矩形. 故答案为：矩形. 3．（2023高二·全国·专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 【答案】或或. 【解析】由题，， 所以kAC=2，，kBC=－3， 设D的坐标为（x，y），分以下三种情况： ①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC， 所以，，， 得x=7，y=5，即 ②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC， 所以，， 得x=－1，y=9，即 ③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC 所以， 得x=3，y=－3，即 所以D的坐标为或或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$