21.5反比例函数（第1课时）（同步课件）数学沪科版九年级上册

九年级沪科版数学上册 第二十一章二次函数与反比例函数 21.5 反比例函数 第一课时 反比例函数的概念 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点) 2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据 已知条件确定反比例函数的解析式. (重点、难点) ？ ？ 新学期伊始，小明想买一些笔记本为以后的学习做准备. 妈妈给了小明 30 元钱，小明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？ 笔记本单价x/元 1.5 2 2.5 3 5 7.5 … 购买的笔记本数量y/本 通过填表，你发现 x，y 之间具有怎样的关系？你还能举出这样的例子吗？ 20 15 12 10 6 4 ？ 情景导入 4 1.反比例函数的概念 (1)某村有耕地 200 hm2，人口数量 x 逐年发生变化，该村人均耕地面积 y hm2与人口数量 x 之间有怎样的函数关系？ (2)某市距省城 248 km，汽车行驶全程所需时间t h与平均速度v km/h之间有怎样的函数关系？ (3) 在一个电路中，当电压 U 一定时，通过电路的电流 I 的大小与该电路的电阻 R 的大小之间有怎样的函数关系？ 问题1 y＝ t＝ I＝ 新知探究 y＝ t＝ I＝ 上述函数解析式，不是一次函数，因为它不是自变量的一次式，都具有y＝ 的形式，其中k是常数． 思考：观察这三个解析式，与前面学的一次函数有何不同？这种函数有什么特点？ ●一般地，表达式形如y＝ (k为常数，且k≠0)的函数叫作反比例函数． 概念归纳 反比例函数 (k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？ 因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数. 但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围. 想一想 课本例题 例2 画出函数的图象. 解：函数的自变量取值范围为. 描点，并用平滑曲线分别顺次连接第一、三象限内的各个点，即得反比例函数的图象，如右图所示. 列表： -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -6 6 3 2 1 反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？ 反比例函数的三种表达方式：(注意 k ≠ 0) 想一想 下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值. 是，k = 3 不是 不是 不是 是， 练一练 11 解：因为 是反比例函数 所以 4－k2=0， k－2≠0. 解得 k =－2. 所以该反比例函数的解析式为 方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可. 例1.若函数 是反比例函数，求 k的值，并写出该反比例函数的解析式. 典例剖析 2. 若 y＝(a＋1) 是反比例函数，则a的取值为______． 1.下列函数中，能表示 y 是 x 的反比例函数的是(　　) A．x(y＋2)＝1 B．y＝　　 C．y＝　 D．y＝ x 3. 已知 y与x－1成反比例，且当x＝－1时，y＝ . 则当x＝2时，y的值为_______． A a＝1 －1 练一练 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； 提示：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 .把 x=2 和 y=6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 解：设 . 因为当 x=2时，y=6，所以有 解得 k =12. 因此 2.确定反比例函数的解析式 新知探究 (2) 当 x=4 时，求 y 的值. 解：把 x=4 代入 ，得 方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式. 例1.在压力不变的情况下，某物体承受的压强 p Pa是它的受力面积 S m2的反比例函数，如图. (1) 求 p 与 S 之间的函数表达式； (2) 当 S＝0.5时，求 p 的值. p s O 0.1 1000 课本例题 答：当S＝0.5时，物体承受的压强 p 的值为200. 解：(1) 设 p＝ (k≠0)， 因为函数图象过点 (0.1，1000)， 代入上式，得 1000＝ ， 解得 k＝100. 所以 p与 S 的函数表达式是 p＝ ； (2) 当S＝0.5时，p＝ ＝200. p s O 0.1 1000 4.已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x=3时，y=－4. (1) 写出 y 关于 x 的函数解析式； (2) 当 y=6 时，求 x 的值. 解：(1) 设 . 因为当 x=3时，y=－4，所以有 解得 k =－12. 因此 练一练 (2) 把 y=6 代入 ，得 解得 x =－2. 用待定系数法解答反比例函数问题的步骤： (1) 设反比例函数解析式； (2) 代入已知点，求出未知系数 k； (3) 确定反比例函数解析式． 总结归纳 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数. 3.建立简单的反比例函数模型 新知探究 引例 21 当 v=100 时，f =40. 所以当车速为100km/h 时视野为40度. 解：设 . 由题意知，当 v =50时，f =80，所以 解得 k =4000. 因此 5.如图所示，已知菱形 ABCD 的面积为180，设它的两条对角线 AC，BD的长分别为x，y. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数. A B C D 解:因为菱形的面积等于两条对角线长 乘积的一半， 所以 所以变量 y与 x 之间的关系式为 ， 它是反比例函数. 练一练 课本练习 1，判断下列各题中的两个变量是否成反比例关系，如果是，请写出这个函数的表达式. （1）正三角形的面积 与边长； （2）当圆锥的体积是50时，它的高与底面积； （3）当矩形的面积为 90 时，它的一边与另一边. 解：（1）否 （2）是，由题意，得 （3）是，由题意，得. 2.一定质量的氧气，它的密度与它的体积V成反比例关系，当 V = 10 时， =1.43 kg/ . （1）求与V之间的函数表达式； （2）当 V =2 时，求氧气的密度的值. 解 ≠0 D 分层练习-基础 D 1 －2 分层练习-基础 待定系数法　 C 分层练习-基础 B －2 分层练习-基础 反比例 分层练习-基础 A 第一、三象限 分层练习-巩固 －6 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 A 课堂反馈 课堂反馈 定 义 y＝ (k为常数，且k≠0) 三种表达方式 确定反比例函数 解析式 反比例函数 待定系数法 y＝ ； y＝kx－1； xy＝k . 课堂小结 知识点一：反比例函数的概念 一般地，表达式形如y＝　　(k为常数，且k　 　)的函数叫做反比例函数． eq \f(k,x) 1．下列选项中，是反比例关系的是(　　) A．多边形的内角和与边数的关系 B．正三角形的面积与边长之间的关系 C．直角三角形中两锐角的关系 D．三角形面积一定时，它的一边与这条边上的高之间的关系 2．下列函数关系中，是反比例函数的是(　　) A．y＝eq \f(k,x)　　 B．y＝eq \f(x,\r(2))　　 C．y＝(x－5)2　　 D．y＝eq \f(1,3x) 3．当m＝ 时，函数y＝eq \f(3,x2m－1)是反比例函数；若函数y＝(m－2)xm2－5是反比例函数，则m＝ . 知识点二：确定反比例函数的表达式 求反比例函数的表达式的常用方法是　 　，往往只需一组x、y的值即可得出含k的方程，便可得解． 4．(徐州中考)如果点(3，－4)在反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是(　　) A．(3,4) B．(－2，－6) C．(－2,6) D．(－3，－4) 5．(广州中考)一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80km/h的速度用了4h到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系是(　　) A．v＝320t B．v＝eq \f(320,t) C．v＝20t D．v＝eq \f(20,t) 6．若反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象经过点(－1,2)，则k的值是 . 7．在某一电路中，电压U＝5伏，则电流强度I(安)与电阻R(欧)的关系可表示为　 　，I是R的 函数． 8．已知y与x＋1成反比例，且当x＝3时，y＝7，则y与x的关系式为 　 　. I＝eq \f(5,R) y＝eq \f(28,x＋1) 9．小华以每分钟x个字的速度书写，y分钟写了300个字，则y与x的函数关系式为(　　) A．y＝eq \f(300,x)　　　　　　　 B．y＝300x C．x＋y＝300 D．y＝eq \f(300－x,x) 10．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y与镜片焦距之间的关系式是　 　. 11．若函数y＝(m－1)x|m|－2是反比例函数，则正比例函数y＝(m＋2)x经过的象限为 ． y＝eq \f(100,x) 12．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象上，则k的值为 . 13．已知y是x的反比例函数，且当x＝－12时，y＝eq \f(2,3). (1)求此反比例函数的解析式； (2)当x＝－2时，求y的值； (3)当y＝－16时，求x的值． 解：(1)y＝－eq \f(8,x)；　(2)y＝4；　(3)x＝eq \f(1,2). 14．一定质量的二氧化碳气体，当它的体积V＝5m3时，它的密度ρ＝1.98kg/m3. (1)求ρ与V的函数关系式； (2)当V＝9m3时，求二氧化碳的密度ρ. 解：(1)ρ＝eq \f(9.9,V)；　(2)当V＝9m3时，ρ＝eq \f(9.9,9)＝1.1(kg/m3)． 15．已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且当x＝3，x＝2时，y的值都等于19，求y与x的函数关系式． 解：y＝5x＋eq \f(36,x2). 16．人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为50km/h时，视野为80度，视野f(度)是车速v(km/h)的反比例函数，求f、v之间的关系式，并计算当车速为100km/h时，视野的度数． 解：f＝eq \f(4000,v)，当v＝100时，f＝40(度)． 17．码头工人以每天30吨的速度往一艘船上装载货物，装载完毕，恰好用了8天时间． (1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨/天)与卸货时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系？ (2)由于遇到紧急情况，船上货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？ 解：(1)设轮船总货物为k吨，则k＝30×8＝240，∴v＝eq \f(240,t)；　 (2)∵t≤5，而t＝eq \f(240,v)，∴eq \f(240,v)≤5，∴v≥eq \f(240,5)，∴v≥48. 反比例函数的识别 1.在下列函数表达式中，表示y是x的反比例函数的是(　　) (1)y＝eq \f(x,5)；(2)y＝eq \f(－3,x＋1)；(3)y＝－eq \f(\r(2),x)；(4)y＝eq \f(1,x)－2；(5)y＝eq \f(1＋\r(3),x)；(6)y＝eq \f(x,2)－1；(7)y＝eq \f(2,3x)；(8)xy＝2. A．(3)(5)(7)(8) B．(3)(4)(5)(7)(8) C．(2)(3)(5)(7) D．(1)(3)(8) 【思路分析】　反比例函数定义，必须形如y＝eq \f(k,x)(k是不为零的常数)的函数，才是反比例函数，其中反比例函数的系数k只能是不为0的常数，所以k可为eq \r(3)＋1或eq \f(2,3)或－eq \r(2)或2等，但等号右边必须能写出分母只含x的独项的形式．故(1)(2)(4)(6)均不属反比例函数，只有(3)(5)(7)(8)满足定义． 【方法归纳】　形如y＝eq \f(k,x)(k为常数，且k≠0)的函数是反比例函数，其中等号右边必须能写成分母只含x的独项的形式． 利用反比例函数的定义确定待定字母的值 2.当k为何值时，y＝(k2＋k)·xk2－k－1是反比例函数？ 【思路分析】　此类问题，一般用反比例函数的另一种形式y＝kx－1(k≠0)来列式求解，其特征是x的指数为－1且k≠0. 【规范解答】　由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k2－k－1＝－1⇒k＝0或1,k2＋k≠0⇒k≠0或－1))⇒k＝1. 【方法归纳】　要注意反比例函数的表达式有两种表现形式：y＝eq \f(k,x)(k≠0)和y＝kx－1(k≠0)．解题时务必搞清x的指数是1还是－1. $$