精品解析：天津市南开区2023-2024学年高一下学期阶段性质量监测数学试题

2023—2024学年度第二学期阶段性质量监测 高一年级 数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间100分钟． 参考公式： •球的体积公式，其中R表示球的半径． •锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高． •如果事件A，B互斥，那么． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ） A. 正方形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 梯形 2. 复数（是虚数单位）的虚部是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2i 3. 为了解某地高三学生的期末语文考试成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，已知不低于90分为及格，则这100名学生期末语文成绩的及格率为（ ） A. 40% B. 50% C. 60% D. 65% 4. 已知，则（　　） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 给出下列命题： ①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形多面体是棱台； ③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台； ④用平面截圆柱得到截面只能是圆和矩形． 其中正确命题是（ ）． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 6. 一组数据：53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则（ ）． A. 58或64 B. 58 C. 59或64 D. 59 7. 已知某圆锥的底面半径为2，其体积与半径为1的球的体积相等，则该圆锥的母线长为（ ） A 1 B. 2 C. D. 5 8. 利用简单随机抽样的方法，从n个个体（）中抽取13个个体，若从第二次抽取开始时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为（ ）． A. B. C. D. 9. 已知为单位向量，向量，且，则（ ） A. 135° B. 60° C. 45° D. 30° 10. 如图，在三棱柱中，底面ABC，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ） A. 1:2 B. 4:5 C. 4:9 D. 5:7 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分． 11. A，B，C三所学校的高一学生共有800名，其中男、女生人数如下表： A校 B校 C校 男生 97 90 x 女生 153 160 y 现用分层随机抽样的方法从这三所学校的所有高一学生中抽取48人，则应从C校抽取的人数为________． 12. 在一个不透明的布袋中，红色，黑色，白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是_________个. 13. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点在直线上，则实数________． 14. 长方体中，，，O是的中点，则直线AO与平面所成角的正切值为________． 15. 边长为2的等边中，，，则的最小值为________． 三、解答题：本大题共5个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16 现有男生和女生各3人，从中任选2人参加一项测试，求： （1）恰有一名参赛学生是男生的概率； （2）至少有一名参赛学生是男生的概率； （3）至多有一名参赛学生是男生的概率． 17. 设，是平面内两个不共线的向量． （1）若，，，求证：A，B，D三点共线； （2）试确定实数k，使和共线； （3）若，，，求实数m的值． 18. 已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，D是BC边上的一点，，． （1）求c的长； （2）求． 19. 已知A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，向量，，且． （1）求角C的大小； （2）若，且，求边c长． 20. 如图，四棱锥中，平面，，，，分别为线段，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期阶段性质量监测 高一年级 数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间100分钟． 参考公式： •球的体积公式，其中R表示球的半径． •锥体的体积公式，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高． •如果事件A，B互斥，那么． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ） A. 正方形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 梯形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量相等的概念，即可证明，且，由此即可得结论. 【详解】在四边形ABCD中， ，所以，且， 所以四边形为平行四边形． 故选：B 2. 复数（是虚数单位）的虚部是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法法则及复数的概念即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以复数的虚部为. 故选：A. 3. 为了解某地高三学生的期末语文考试成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，已知不低于90分为及格，则这100名学生期末语文成绩的及格率为（ ） A. 40% B. 50% C. 60% D. 65% 【答案】C 【解析】 【分析】利用直方图求频率即得. 【详解】依题意可得及格率为. 故选：C. 4. 已知，则（　　） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件列式求解． 【详解】由, 得a+2i=-1+bi， ∴a=-1，b=2，则a+b=1． 故选B． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题． 5. 给出下列命题： ①圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线； ②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台； ④用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形． 其中正确命题是（ ）． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥母线的定义、棱台的定义、圆台的定义、平面与圆柱底面的位置关系即可依次判断． 【详解】解：①根据圆锥的母线的定义，可知①正确； ②把梯形的腰延长后有可能不交于一点，此时得到几何体就不是棱台，故②错误； ③根据圆台的定义，可知③正确； ④当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时，得到的截面不是圆和矩形，故④错误． 故选：B． 6. 一组数据：53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则（ ）． A. 58或64 B. 58 C. 59或64 D. 59 【答案】A 【解析】 【分析】先对数据从小到大排序，分，，三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案, 【详解】将已知的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79． 若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件； 若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件； 若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61（或61和x），则， 解得或 故选：A 7. 已知某圆锥的底面半径为2，其体积与半径为1的球的体积相等，则该圆锥的母线长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥的高为，根据圆锥及球的体积公式求出，再由勾股定理计算可得. 【详解】设圆锥的高为，则，解得， 所以母线长为. 故选：C 8. 利用简单随机抽样的方法，从n个个体（）中抽取13个个体，若从第二次抽取开始时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合简单随机抽样的定义，即可求解． 【详解】解：从第二次开始抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为， 则， 解得， 故在整个抽样过程中，每个个体被抽到的可能性为． 故选：B． 9. 已知为单位向量，向量，且，则（ ） A. 135° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量夹角的坐标表示即可求解. 【详解】由题意可知，，， 所以，又， 所以. 故选：C. 10. 如图，在三棱柱中，底面ABC，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ） A. 1:2 B. 4:5 C. 4:9 D. 5:7 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设易知为直三棱柱，即侧面为矩形，利用柱体体积公式、锥体体积公式求，进而确定比值. 【详解】不妨令，且上下底面等边三角形， 又底面ABC，易知为直三棱柱，即侧面为矩形， 所以三棱柱体积， 而，故， 所以，故， 所以. 故选：D 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分． 11. A，B，C三所学校的高一学生共有800名，其中男、女生人数如下表： A校 B校 C校 男生 97 90 x 女生 153 160 y 现用分层随机抽样的方法从这三所学校的所有高一学生中抽取48人，则应从C校抽取的人数为________． 【答案】18 【解析】 【分析】先根据数据计算出C校学生人数，再应用分层抽样比列求出C校抽取的人数即可. 【详解】C校学生人数为， 根据分层抽样可得抽取的人数为. 故答案为：18. 12. 在一个不透明的布袋中，红色，黑色，白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球，黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是_________个. 【答案】16 【解析】 【分析】根据红色球和黑色球频率稳定值，计算红色球和黑色球的个数，从而得到白色球的个数. 【详解】根据概率是频率的稳定值的意义， 红色球的个数为个； 黑色球的个数为个； 故白色球的个数为4个. 故答案为：16. 【点睛】本题考查概率和频率之间的关系：概率是频率的稳定值. 13. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点在直线上，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】将复数的共轭复数对应的点代入，进而可得的值. 【详解】的共轭复数， 因为的对应点在直线上， 所以有，即. 故答案为：. 14. 长方体中，，，O是的中点，则直线AO与平面所成角的正切值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用几何法求出直线与平面所成角的正切即可. 【详解】长方体中，平面平面， 则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 取中点，连接，由是的中点，得，而平面， 于是平面，即为直线与平面所成的角， 由，，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正切为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题求出线面角的正切，关键是转化为与平面平行的平面所成角的正切. 15. 边长为2的等边中，，，则的最小值为________． 【答案】． 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算以及余弦函数的有界性可求得的最小值. 【详解】因为是边长为的等边三角形，且，则为的中点，故， 以点为坐标原点，、分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，设点， ，， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 三、解答题：本大题共5个小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 现有男生和女生各3人，从中任选2人参加一项测试，求： （1）恰有一名参赛学生是男生的概率； （2）至少有一名参赛学生是男生的概率； （3）至多有一名参赛学生是男生的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型公式计算即可； （2）根据古典概型公式结合互斥事件和概率公式计算即可； （3）根据古典概型公式结合互斥事件和概率公式计算即可 【小问1详解】 设男生为，女生为， 从6人中任选2人共有15种情况． 恰有一名参赛学生是男生基本事件有9种， 所以这一事件的概率． 【小问2详解】 至少有一名参赛学生是男生即恰有一名参赛学生是男生和两名参赛学生都是男生，基本事件有12种， 所以所求事件的概率． 【小问3详解】 至多有一名参赛学生是男生即恰有一名参赛学生是男生和两名参赛学生都不是男生，基本事件有12种， 所以所求事件的概率． 17. 设，是平面内两个不共线的向量． （1）若，，，求证：A，B，D三点共线； （2）试确定实数k，使和共线； （3）若，，，求实数m的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用共线的充要条件，通过向量的线性运算，得出即可证明； （2）共线就存在实数，使，整理，根据方向不同，系数相等都为零； （3）分别，坐标，再根据向量垂直数量积为0建立等式求解即可． 【小问1详解】 因为，， 所以． 又， 所以． 所以，共线， 又因为它们有公共点B， 所以A，B，D三点共线． 小问2详解】 解：因为和共线， 所以存在实数，使， 即． 因为，是平面内两个不共线的向量， 所以， 所以，． 【小问3详解】 解：由题意可得，， 因， 则， 解得． 18. 已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，，D是BC边上的一点，，． （1）求c的长； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据余弦定理得出，再求出正弦值应用正弦定理计算即可； （2）应用二倍角正弦公式余弦公式求出，再应用两角和差余弦公式计算. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 在中，由正弦定理得，即， 解得． 【小问2详解】 由（1）知，， 所以，， 所以 ． 19. 已知A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，向量，，且． （1）求角C的大小； （2）若，且，求边c的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算及三角公式化简整理可得角C的大小； （2）将中的角化边，再将用三角形的边角表示出来，然后利用余弦定理求出边c的长. 【小问1详解】 由已知得． 因为，所以， 所以． 又，所以， ，则 所以．又， 所以； 【小问2详解】 由已知及正弦定理得． 因为，所以，所以． 由余弦定理得， 所以，所以， 所以． 20. 如图，四棱锥中，平面，，，，分别为线段，的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，可得是的中点，利用为线段的中点，可得，从而可证平面； （2）证明、，利用线面垂直的判定定理即可证明平面． 【详解】证明：（1）如下图：连接， ∵，，为线段的中点， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 设，连接，则是的中点， ∵为线段的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面； （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴，∴， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，∴， ∵，､平面， ∴平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$