第14讲 相似三角形的性质 （3个知识点+5种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第14讲 相似三角形的性质 （3个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【例1】（2023秋•宿松县期中）如图，已知、分别在的、边上，，则下列各式成立的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•萧县期末）已知，其相似比为，则它们的周长之比为 　　． 【变式2】（2023秋•霍邱县期末）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2022•宣州区校级一模）在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．求： （1）当时，这时，，两点之间的距离是多少？ （2）若的面积为，求关于的函数关系式． （3）当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？ 知识点2．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 【例2】（2021秋•萧县期末）如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为　　． 【变式1】（2024•瑶海区三模）如图，在中，，，点在的延长线上，，则的面积为　　 A．7.5 B． C．7 D．8.5 【变式2】（2024•霍山县三模）如图，在矩形中，为对角线，点在上，连接交于点，且，； （1） 则　　； （2）若，为等腰直角三角形，，则　　． 【变式3】（2024•金安区校级一模）如图，已知等腰和等腰有公共的顶点，且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． （1）求证：； （2）若与相交于点，求证：； （3）若，，且，求的长． 知识点3．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【例3】（2022秋•定远县校级期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高为 　5.6　． 【变式1】（2023秋•临泉县期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，某同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知该同学的眼睛离地面高度为，同时量得她与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•潜山市期中）将一张三角形彩纸按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为．已知，，若以点，，为顶点的三角形与相似，则的长是　　 A． B． C． 或4 D． 或4 【变式3】（2022秋•萧县校级月考）有一块三角形的余料，要把它加工成矩形的零件，已知，高，矩形的边在边上，、分别在、上，设的长为、的长为． （1）写出与的函数关系式； （2）当取多少时，是正方形． 经典题型汇编 题型一．相似三角形的性质 1．（2023秋•蜀山区校级月考）已知△，，，则与△的周长之比为 　　． 2．（2024•瑶海区一模）如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的面积比是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•全椒县期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点从点出发，沿方向以2个单位长度秒的速度运动，点从点出发，沿方向以1个单位长度秒的速度运动，当点到点的位置时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）当为何值时，的面积为9； （2）当为何值时，与相似． 题型二．相似三角形的判定与性质 4．（2022秋•定远县校级期末）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为　　 A． B． C． D． 5．（2024•金寨县模拟）如图，在中，是上的一点，过点作，交于点，作交于点，若，，则　　． 6．（2023秋•包河区期末）如图，在中，为上一点，为上一点，如果，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 题型三．相似三角形的应用 7．（2022秋•定远县期中）如图，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是　　 A． B． C． D． 8．（2022秋•宣城期末）如图是小孔成像原理的示意图，，，．若物体的高度为，则像的高度是 　　． 9．（2024•镜湖区一模）如图，四边形是学校的一块学农基地，其中是水果园，是蔬菜园，已知，，，． （1）求证：； （2）若蔬菜园的面积为，求水果园的面积． 题型四．作图-相似变换 10．（2021秋•大观区校级期中）若是斜边上异于，的一点，过点作直线截，截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线有　　条． A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2020•涡阳县模拟）（1）如图，在四边形中，，，点是边上一点，若，请利用没有刻度的直尺和圆规，画出满足条件的所有点； （2）在（1）的条件下，若，，，则的长是　　． 12．（2022秋•大观区校级期中）如图，在方格纸中，点，，都在格点上，用无刻度直尺作图． （1）在图1中的线段上找一个点，使； （2）在图2中作一个格点，使与相似． 题型五．射影定理 13．（2021秋•金安区月考）如图，中，，于点，若，，则为　　 A．1.8 B．3.2 C．2.4 D．5 14．（2022秋•杜集区校级月考）如图，中，，于，，，则的长为 　　． 15．（2023•望江县模拟）如图，中，，于点． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）下列说法中正确的是（   ） ①等边三角形三条高的交点就是它的重心；②三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一；④三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一 A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 3．（21-22九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（  ） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，正方形边长为8，为中点，为上的动点，为上的点，且，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 6．（九年级·安徽淮北·阶段练习）如图，在□ABCD中，是上一点，且，与交于点，若的面积是1 ，则□ABCD的面积是：(        ) A．16.5 B．17.25 C．17.5 D．18.75 7．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，，且．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，分别是上的点，，若与相似，则的长为（    ）    A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或 9．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知，直线与双曲线交于点，直线分别与双曲线，双曲线交于点，，与轴交于点．若，，则（    ） A．4或 B． C． D． 10．（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（    ）    A．    B．   C．   D．   二、填空题 11．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，中，点、分别在、上，，，则与的面积的比为 ． 12．（安徽蚌埠·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．翻折∠C，使点C落在斜边上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．若△CEF与△ABC相似，则AD的长为 ． 13．（20-21九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，是边长为等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿、方向匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作交于点R，连接，设运动的时间为，当t= s时． 14．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点A，轴于点B，平移直线，使其经过点B，得到直线l，直线l与反比例函数相交于点C，作轴于点D，则的值为 ． 三、解答题 15．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知于点，于点，，，，为上点．若以A，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似，求的长．    16．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在中，，，，由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)面积可能是为吗？为什么？ (2)在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，与相似？并说明理由． 17．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，．求的长．    18．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）网格中每个小正方形的边长都是1． (1)将图①中的格点三角形平移，使点平移至点，画出平移后的三角形； (2)在图②中画一个格点三角形，使，且相似比为． 19．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在四边形中，，，O是的中点，的延长线交于点E，． (1)求证：； (2)若，求证：． 20．（2021·安徽合肥·三模）在菱形中，，点、分别是边、上两点，满足，与相交于点． （1）如图1，连接．求证：； （2）如图2，连接． ①求证：； ②若，，求线段的长（用含、的代数式表示）． 21．（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，中，，，，，分别是边，的中点，为边上一动点，于，交于．    (1)_____； (2)当和相似时，求的长． 22．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）在平面直角坐标系中，已知，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动．如果同时出发，用表示移动的时间（）． (1)用含的代数式表示：线段_______；_______． (2)当为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出的值． 23．（2024·安徽·中考真题）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． (1)求证：； (2)连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 相似三角形的性质 （3个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【例1】（2023秋•宿松县期中）如图，已知、分别在的、边上，，则下列各式成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的性质，写出各边的比例关系，然后根据比例的基本性质求解即可． 【解答】解：， ， ，，， ，故错误； ， ，故正确； ，， ，故错误； ，， 无法推出，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，明确对应的线段是本题解题的关键． 【变式1】（2023秋•萧县期末）已知，其相似比为，则它们的周长之比为 　　． 【分析】根据相似三角形的性质即可得到答案． 【解答】解：，其相似比为， 它们的周长比为， 故答案为． 【点评】本题考查相似三角形的性质，相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 【变式2】（2023秋•霍邱县期末）若两个相似三角形周长的比为，则这两个三角形对应边的比是　　 A． B． C． D． 【分析】根据“相似三角形周长的比等于相似比”即可解答． 【解答】解：两个相似三角形的周长比为，它们对应的相似比为． 故选：． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键． 【变式3】（2022•宣州区校级一模）在中，，，，现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动，如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为秒．求： （1）当时，这时，，两点之间的距离是多少？ （2）若的面积为，求关于的函数关系式． （3）当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？ 【分析】（1）在中，当，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出； （2）由点，点的运动速度和运动时间，又知，的长，可将、用含的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解； （3）应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间． 【解答】解：由题意得，，则， （1）当时，，， 由勾股定理得； （2）由题意得，，则， 因此的面积为； （3）分两种情况： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得． 因此或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【点评】本题主要考查相似三角形性质的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解，在解题过程应防止漏解或错解． 知识点2．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 【例2】（2021秋•萧县期末）如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为　　． 【分析】以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，然后根据△和相似，利用相似三角形的性质即可求出的最小值． 【解答】解：，，， ， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过作的垂线， ，， △， ， ， ， 则的最小值为， 方法二：不用相似的方法，只利用等面积得，，求得，而其他部分的步骤共用． 故答案为：． 【点评】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线各种相似三角形． 【变式1】（2024•瑶海区三模）如图，在中，，，点在的延长线上，，则的面积为　　 A．7.5 B． C．7 D．8.5 【分析】通过证明，可得，，由勾股定理可求解． 【解答】解：如图，过点作于， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 设，， ， ， ，， ， 的面积， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明三角形相似是解题的关键． 【变式2】（2024•霍山县三模）如图，在矩形中，为对角线，点在上，连接交于点，且，； （1）则　　； （2）若，为等腰直角三角形，，则　　． 【分析】（1）设，，利用矩形的性质证明，利用相似三角形性质得到，进而得到，即可求得； （2）作于点，作于点，利用矩形的性质和等腰直角三角形得到，利用勾股定理算出，利用等面积法得到，利用解直角三角形得到，再利用等面积法得到，继而利用解直角三角形得到，证明，利用相似三角形性质建立等式求解，即可解题． 【解答】解：（1）， 设，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，则，解得， ， ， 故答案为：． （2）作于点，作于点， 为等腰直角三角形，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形性质和判定，勾股定理，等面积法，解直角三角形，熟练掌握相关性质并灵活运用，即可解题． 【变式3】（2024•金安区校级一模）如图，已知等腰和等腰有公共的顶点，且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． （1）求证：； （2）若与相交于点，求证：； （3）若，，且，求的长． 【分析】（1）证明与全等得到； （2）先证明得到，再证明，然后根据相似三角形的性质和比例性质得到结论； （3）先证明为等腰直角三角形得到，，所以，，由得到，，接着证明，然后在中利用勾股定理可计算出的长． 【解答】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）证明：， ， 即， ，， 即， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，， 为等腰直角三角形， ，， ， ，， 由（1）得， ，， ， 在中，，， ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质． 知识点3．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 【例3】（2022秋•定远县校级期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高为 　5.6　． 【分析】利用直角三角形和直角三角形相似求得的长后加上小明同学的身高即可求得树高． 【解答】解：，， ， ， ，，，， ， 米， 米， 故答案为：5.6． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型． 【变式1】（2023秋•临泉县期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，某同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知该同学的眼睛离地面高度为，同时量得她与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为　　 A． B． C． D． 【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【解答】解：如图，由题意得，，，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质． 【变式2】（2023秋•潜山市期中）将一张三角形彩纸按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为．已知，，若以点，，为顶点的三角形与相似，则的长是　　 A． B． C． 或4 D． 或4 【分析】先根据折叠性质得到，设，则，两个三角形相似，分三种情况，根据相似三角形对应边成比例的性质可得到的长． 【解答】解：沿折叠，和重叠， ， 设， ， ， 当时， ， ， ， 解得：， 即； 当， ， ， ， 解得：， 即； 当时，同理可得， 故或4， 故选：． 【点评】本题考查了折叠的性质和相似三角形的性质等知识点，找到边长之间的关系是解题的关键． 【变式3】（2022秋•萧县校级月考）有一块三角形的余料，要把它加工成矩形的零件，已知，高，矩形的边在边上，、分别在、上，设的长为、的长为． （1）写出与的函数关系式； （2）当取多少时，是正方形． 【分析】（1）先由，高，的长为、的长为可知，，，再根据可知，，由相似三角形的对应边成比例即可得出与的函数关系式； （2）根据正方形的性质可知，再代入（1）中所求的代数式即可得出结论． 【解答】解：（1），高，的长为、的长为，四边形是矩形， ，，， ， ，即， ； （2）由（1）可知，与的函数关系式为， 四边形是正方形， ，即， ， 解得， 答：当时，四边形是正方形． 【点评】本题考查的是相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 经典题型汇编 题型一．相似三角形的性质 1．（2023秋•蜀山区校级月考）已知△，，，则与△的周长之比为 　　． 【分析】直接利用相似三角形的性质周长比等于相似比，进而得出答案． 【解答】解：△，，， 与△的周长之比为：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出相似比是解题关键． 2．（2024•瑶海区一模）如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的面积比是　　 A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解决问题即可． 【解答】解：两个相似三角形的相似比是， 这两个相似三角形的面积比， 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2023秋•全椒县期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点从点出发，沿方向以2个单位长度秒的速度运动，点从点出发，沿方向以1个单位长度秒的速度运动，当点到点的位置时，两点停止运动．设运动时间为秒． （1）当为何值时，的面积为9； （2）当为何值时，与相似． 【分析】（1）根据题意分别表示出，，即可建立一元二次方程求解； （2）根据，分类讨论和两种情况即可求解． 【解答】解：（1），， ，， 由题意知：，， 的面积为9， ， 解得：， 即当时，的面积为9； （2）， 与相似时，有和两种情况， ①当时，， 解得：， ②当时，时， 解得：， 当或时，与相似． 【点评】本题考查了一元二次方程、相似三角形的性质在动态几何中的应用．抓住动点的运动起点、运动方向和运动速度是解题关键． 题型二．相似三角形的判定与性质 4．（2022秋•定远县校级期末）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为　　 A． B． C． D． 【分析】先证明，再求出的值，根据两个相似三角形面积之比等于相似比的平方求解即可． 【解答】解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的性质以及判定，掌握相似三角形的判定以及两个相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 5．（2024•金寨县模拟）如图，在中，是上的一点，过点作，交于点，作交于点，若，，则　4　． 【分析】由题意得出四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，，证明，得出，求出，即可得解． 【解答】解：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 6．（2023秋•包河区期末）如图，在中，为上一点，为上一点，如果，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【分析】（1）根据，可得，即有，结合，可得； （2）根据，可得，即，问题随之得解． 【解答】（1）证明：， ， ，， ， ， ， （2）解：在（1）中已证明， ，， ，，， ， ． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 题型三．相似三角形的应用 7．（2022秋•定远县期中）如图，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出的长，从而可以解答本题． 【解答】解：，， ， ， ， ，，， ， ， 解得，， 即建筑物的高是， 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8．（2022秋•宣城期末）如图是小孔成像原理的示意图，，，．若物体的高度为，则像的高度是 　6　． 【分析】正确理解小孔成像的原理，首先由可证得，再根据相似三角形的性质，即可求出的长． 【解答】解：， ， ， 又， ． 故答案为：6． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 9．（2024•镜湖区一模）如图，四边形是学校的一块学农基地，其中是水果园，是蔬菜园，已知，，，． （1）求证：； （2）若蔬菜园的面积为，求水果园的面积． 【分析】（1）根据题意分别求出，，得到，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的判定定理得到； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解答】（1）证明：，，， ，， ， ， ， ； （2）解：由（1）可知：， ， 的面积为， 的面积为：， 答：水果园的面积为． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 题型四．作图-相似变换 10．（2021秋•大观区校级期中）若是斜边上异于，的一点，过点作直线截，截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线有　　条． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】过点作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以． 【解答】解：由于是直角三角形， 过点作直线截，则截得的三角形与有一公共角， 所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与相似， 过点可作的垂线、的垂线、的垂线，共3条直线． 故选：． 【点评】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用．解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似． 11．（2020•涡阳县模拟）（1）如图，在四边形中，，，点是边上一点，若，请利用没有刻度的直尺和圆规，画出满足条件的所有点； （2）在（1）的条件下，若，，，则的长是　2或6　． 【分析】（1）先作中垂线得出的中点，再以中点为圆心，为半径作圆，与的交点即为所求； （2）证得，即，解之可得． 【解答】解：（1）如图所示，点和点即为所求． （2）， ． ， ， ． ， 由（1）知，， ， ， ， ，即， 解得：或． 故答案为：2或6． 【点评】本题主要考查作图相似变换，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图及圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识点． 12．（2022秋•大观区校级期中）如图，在方格纸中，点，，都在格点上，用无刻度直尺作图． （1）在图1中的线段上找一个点，使； （2）在图2中作一个格点，使与相似． 【分析】（1）构造相似比为的相似三角形即可解决问题； （2）利用勾股定理的逆定理判断出，从而解决问题． 【解答】解：（1）如图，构造相似比为的相似三角形，此时，则点即为所求； （2）如图，，，， ， ，， 即为所求． 【点评】本题主要考查了作图相似变换，勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 题型五．射影定理 13．（2021秋•金安区月考）如图，中，，于点，若，，则为　　 A．1.8 B．3.2 C．2.4 D．5 【分析】根据勾股定理求出，根据射影定理列式计算，得到答案． 【解答】解：由勾股定理得，， 由射影定理得，， 则， 故选：． 【点评】本题考查的是射影定理、勾股定理，掌握直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项是解题的关键． 14．（2022秋•杜集区校级月考）如图，中，，于，，，则的长为 　4　． 【分析】证明，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可． 【解答】解：， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查了射影定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 15．（2023•望江县模拟）如图，中，，于点． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【分析】（1）证明，然后利用相似比可得到结论； （2）由得到，则可求出，然后利用射影定理计算出的长． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 整理得，解得（舍去）或， ， ． 【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可． 【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为， 所以它们的对应高之比为， 故选：A． 2．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）下列说法中正确的是（   ） ①等边三角形三条高的交点就是它的重心；②三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一；④三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一 A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据三角形重心的性质分别判断，利用相似三角形的判定和性质判断相应推论． 【详解】解：①等边三角形三条高的交点既是它的垂心，也是重心，故正确； ③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一，故正确； 如图，O为重心，过点O和点A分别作的垂线，垂足为E，F， 则， 则， ∴， 即三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一，故②错误，④正确； 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 3．（21-22九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了形似三角形性质，熟练掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键； 根据可得出，利用得出，也就是求出两个三角形的相比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出求出面积比； 【详解】， ， ， ， ， 故选：D 4．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（  ） A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 【答案】C 【详解】∵∠BAC=∠PED=90°，， ∴当时，△ABC∽△EPD时． ∵DE=4， ∴EP=6． ∴点P落在P3处． 故选C． 5．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，正方形边长为8，为中点，为上的动点，为上的点，且，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，取的中点，连接，证明，得出，从而得出，连接交于，当、、在同一直线上时，最小，即最小，最小为，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接， ， ∵四边形为正方形，边长为8，为中点， ∴，，， ∵为上的动点， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接交于，当、、在同一直线上时，最小，即最小，最小为， ∵， ∴最小值为， 故选：D． 6．（九年级·安徽淮北·阶段练习）如图，在□ABCD中，是上一点，且，与交于点，若的面积是1 ，则□ABCD的面积是：(        ) A．16.5 B．17.25 C．17.5 D．18.75 【答案】C 【分析】首先利用平行四边形的性质得出△AMN∽△CDN，以及 即可得出S△NDC，S△ADN，即可得出答案． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB=DC， ∴△AMN∽△CDN， ∵ ∴ ∴ ∵的面积是1 ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴▱ABCD的面积为 故选C. 【点睛】考查平行四边形的性质，相似三角形的判断与性质，掌握相似三角形的判断定理与性质定理是解题的关键. 7．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，，且．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，知识的综合运用是解题的关键．先运用勾股定理计算出的长度，由，易证，最后列出比例式求解即可． 【详解】由勾股定理得， ，， ，， ， ， ， 解得， 故选：D． 8．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，分别是上的点，，若与相似，则的长为（    ）    A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或 【答案】D 【分析】设，则，分和两种情况讨论，结合相似三角形的性质列式求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，， 设，则， 分两种情况讨论： ①若， 则有，即， 整理可得， 解得， ∴的长为3或12； ②若， 则有，即， 解得， ∴的长为． 综上所述，的长为3或12或． 故选：D． 9．（2024·安徽滁州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知，直线与双曲线交于点，直线分别与双曲线，双曲线交于点，，与轴交于点．若，，则（    ） A．4或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积的计算，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．如图连接，，作于，轴于，．根据，得到，根据已知条件得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图连接，，作于，轴于，则． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 10．（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发以的速度沿方向匀速移动，同时动点Q从点B出发以的速度沿方向匀速移动．设的面积为，运动时间为，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（    ）    A．    B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意，进行分类讨论：当点P在上时，，根据，得出；当点P在上时，过点P作于点H，易证，得出，根据，即可得出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴点P经过的路程为：，点Q经过的路程为， ∴点P到达点C时间为，点Q到达点C时间为， 即点P和点Q同时到达点C， 当点P在上时，，    ， 即， 当点P在上时，过点P作于点H， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 整理得：， ∴， 即，    综上：当点P在上时，，是开口向上的二次函数；当点P在上时，，是开口向下的二次函数， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方；相似三角形对应边成比例；以及二次函数的图象． 二、填空题 11．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）如图，中，点、分别在、上，，，则与的面积的比为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．根据得到，，再结合相似比是，因而面积的比是，问题得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴． 故答案为． 12．（安徽蚌埠·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．翻折∠C，使点C落在斜边上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．若△CEF与△ABC相似，则AD的长为 ． 【答案】 或 【详解】分析：若△CEF与△ABC相似，分两种情况：①若若CE:CF=3:4，如图1所示，此时EF∥AB. CD为AB边上的高，②若CF:CE=3:4，如图2所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A=∠ECD，与∠CEF=∠B.从而得到，即D点为AB的中点． 详解：若△CEF与△ABC相似，分两种情况： 若CE:CF=3:4，如图1所示： ∵CE:CF=AC:BC， ∴EF∥AB. 由折叠性质可知，CD⊥EF， ∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高， 在Rt△ABC中,∵ ∴ ∴ ∴AD=AC⋅cosA= 若CF:CE=3:4，如图2所示： ∵△CEF∽△CBA， ∴∠CEF=∠B. 由折叠性质可知,   又∵ ∴∠A=∠ECD， ∴AD=CD. 同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD， ∴D点为AB的中点， ∴ 综上所述，AD的长为或 故答案为或 点睛：考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键. 13．（20-21九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，是边长为等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿、方向匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作交于点R，连接，设运动的时间为，当t= s时． 【答案】 【分析】先证△CRQ为等边三角形，并用含t的式子表示图中的相关线段，由QR∥BA推得∠QPR=∠APR，从而△PRQ中再有一个角等于∠A，即等于60°，即可得△APR∽△PRQ． 根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵是边长为等边三角形， ∴ ∵，∴， ∴为等边三角形 ∵点P运动的速度是，点Q运动的速度是 ∴，，，C， ∵∴ 若要，则需满足 ∴， ∴，又∵ ∴∴ ∴，解得 【点睛】本题属于动点问题与相似三角形的综合问题，用含t的代数式表示相关线段，并找到等量关系是解题的关键，本题难度较大． 14．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点A，轴于点B，平移直线，使其经过点B，得到直线l，直线l与反比例函数相交于点C，作轴于点D，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，一次函数的平移，相似三角形的判定以及性质．设，则，由平移的性质可设直线l为，且过点，则可得出直线l为，再求出反比例函数解析式，求出反比例函数与直线l的交点C的坐标，进而即可求出点D的坐标，再证明，根据相似三角形的性质可得出即可得出答案． 【详解】解：设，则， ∵平移直线，使其经过点B，得到直线l， ∴设直线l为，且过点， ∴，则， ∴直线l为， ∵点在直线上， ∴， ∴直线 联立， 解得：， ∴点C的横坐标为：， 则， ∵，，且， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 15．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知于点，于点，，，，为上点．若以A，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似，求的长．    【答案】或3或18 【分析】本题主要考查了三角形相似的性质，解题的关键是注意分和两种情况进行讨论． 【详解】解：设为，当时，， 即， 解得，， 当时，， 即， 解得； 综上分析可知，的长为或3或18． 16．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图所示，在中，，，，由点A出发沿方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿方向向点C匀速运动，它们的速度均为，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)面积可能是为吗？为什么？ (2)在点P，Q的运动过程中，当t为何值时，与相似？并说明理由． 【答案】(1)不可能，理由见解析 (2)存在，时间t为或秒时，使得与相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理． （1）作于点H，先根据勾股定理求出的长，再根据，可得，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （2）分两种情况讨论：①当时，②当时，结合相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：不可能； 如图，作于点H， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， ∵， ∴面积不可能是为； （2）解：理由如下∶ ①当时，则， ∴， 解得∶． ②当时，则， ∴， 解得； 答∶存在，时间t为或秒时，使得与相似． 17．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，．求的长．    【答案】． 【分析】利用相似三角形的性质和判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定及其应用． 18．（23-24九年级上·安徽宿州·期末）网格中每个小正方形的边长都是1． (1)将图①中的格点三角形平移，使点平移至点，画出平移后的三角形； (2)在图②中画一个格点三角形，使，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作和，使，． ，，再连结即得； （2）作和，使， ，，再连结即得． 本题主要考查了画格点三角形，解决问题的关键是熟练掌握平移性质，相似三角形性质． 【详解】（1）由平移知，，． 作，，使，， 再连结即可． 如图①，即为所求． （2）当相似比为时，， ， 作，，使， 再连结即可． 如图②，即为所求． 19．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在四边形中，，，O是的中点，的延长线交于点E，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，根据直角三角形斜边上的中线性质求出是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质求出，等量代换得出，结合平行线的性质求出，根据等腰三角形的判定即可得解； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出，根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ， ， 又， ， ， ， ， ； （2）如图，连接， ∵是的中点， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ∵是的中点， ， ， ． 20．（2021·安徽合肥·三模）在菱形中，，点、分别是边、上两点，满足，与相交于点． （1）如图1，连接．求证：； （2）如图2，连接． ①求证：； ②若，，求线段的长（用含、的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）四边形是菱形，，则是等边三角形，根据，，，即可得到三角形全等； （2）①连接，延长到点，使，连接，求证出，是等边三角形，即可以证明； ②由①中的条件可证，所以，即可以求出DG． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，， ∴ ，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵ ∴． （2）①证明：连接，延长到点，使，连接． 由（1）知， ∴， ，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴是等边三角形， ∴． ②由①可知， ∵，∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等有关知识，需要综合利用初中所学知识，结合题目条件，灵活运用才能解决问题；正确作出辅助线是解决这题的关键． 21．（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，中，，，，，分别是边，的中点，为边上一动点，于，交于．    (1)_____； (2)当和相似时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过作于交于，根据勾股定理得到，根据三角形的中位线定理得到，，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论； （2）先根据角的大小关系判断相似三角形的对应关系，再根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：过作于交于，    在中，，，， ∴， ∵，分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当和相似时，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 22．（23-24九年级上·安徽宣城·期末）在平面直角坐标系中，已知，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动．如果同时出发，用表示移动的时间（）． (1)用含的代数式表示：线段_______；_______． (2)当为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（）根据题意即可求解； （）根据题意，列出方程，解方程即可求解； （）分和两种情况，根据相似三角形的性质列出方程求解即可； 本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质，运用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，，， 故答案为：，； （2）解：由题意得，， 解得， 又∵， ∴， ∴为时，四边形面积为； （3）解：当时，则， ∴， 解得； 当时，则， ∴， 解得； ∴当与相似时，或． 23．（2024·安徽·中考真题）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． (1)求证：； (2)连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 【答案】(1)见详解 (2)（ⅰ）见详解，（ⅱ） 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再证明是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得出，再利用证明，利用全等三角形的性质可得出． （2）（ⅰ）由平行线截线段成比例可得出，结合已知条件等量代换，进一步证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出．（ⅱ）由菱形的性质得出，进一步得出，，进一步可得出，进一步得出，同理可求出，再根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在与中， ∴． ∴． （2）（ⅰ）∵ ∴， 又．， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （ⅱ）∵是菱形， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵．， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 故． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，平行线截线段成比例以及菱形的性质，掌握这些判定方法以及性质是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$