21.1 二次根式（分层作业，8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第21章 二次根式 21.1 二次根式（8大题型提分练） 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 题型一 求二次根式的值 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 2．（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）当时，二次根式的值为 ． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ； （2）当a为 时，的值最大，为 ． 5．（20-21八年级下·湖北黄冈·期中）若实数x，y满足，求的值． 题型二 根据二次根式有意义的条件求参 1．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 2．（21-22八年级下·四川凉山·期中）如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 4．（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）若是正整数，则整数可取的最小值为 ． 5．（21-22八年级·全国·假期作业）已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值． 题型三 利用二次根式被开方数的非负性求值 1.（22-23八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·上海·期末）将根号外的因式移到根号内： 3．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果．请利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，求b2﹣2b＋2a的值； （2）若a，b为实数，且，求a＋b的值； （3）已知实数a，b满足，求a＋b的值． 题型四 根据二次根式是整数求字母的值 1．（22-23八年级上·安徽·阶段练习）整数满足，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2023·贵州黔南·二模）在进行实数的化简时，我们可以用“”的方式，如．利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式． （1）已知a为正整数，若是整数，则a的最小值为 ． （2）设b为正整数，若，m是大于1的整数，则m的最大值与m的最小值的积的平方根为 ． 3．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中、为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为，如，所以的“美好区间”为． (1)无理数的“美好区间”是______； (2)若一个无理数的“美好区间”为，且满足，其中是关于，的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数，，满足如下关系式： ，求的算术平方根的“美好区间”． 题型五 利用二次根式的性质化简 1．（23-24八年级下·山东临沂·期末）已知，则的化简结果是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东泰安·期末）已知点是平面直角坐标系中第二象限的点，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 3．（23-24八年级下·黑龙江鸡西·期末）若，化简 ． 4．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）若实数满足，则 ． 5．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）观察下列等式，解答下面的问题： ①，②，③，…… (1)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明； (2)利用（1）的结论计算． 题型六 数轴与二次根式的化简问题 1．（20-21八年级上·江西景德镇·期中）实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（    ） A．4 B．2a C．2b D． 2．（23-24八年级下·广东惠州·期中）若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ． 3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 题型七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 1、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 2、（2023春·山东烟台·八年级统考期中）已知m是的小数部分，则式子___________． 3、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知ab＜0，化简______ 题型八 复合二次根式的化简 1．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21八年级下·湖北武汉·阶段练习）化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·上海奉贤·期末）化简： ． 4．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）化简： ． 5．（23-24八年级下·全国·单元测试）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简． 例如：化简 解：∵ ∴； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： (1)； (2) 1．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）使在实数范围内成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·吉林·期末）若式子有意义，则实数x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）已知函数，则自变量的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 4．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，则简化的结果是（   ） A． B．3 C． D． 7．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若关于x的方程存在整数解，则正整数m的所有取值的和为 ． 8．（23-24八年级下·山东聊城·期末）代数推理： …… 试探究一般规律，并写出第n个代数式： ． 9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 10．（21-22八年级上·全国·课后作业）已知实数在数轴上的位置如图所示：则 ． 11．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如果两个正数a、b，即，，我们把叫做正数a、b的算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是可以得到结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即．该结论在数学中有广泛的应用，是解决最大值、最小值问题的有力工具．根据上述结论，若，则的最小值为 ． 12．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是 ． 13．（2024·江苏南京·一模）已知．试说明：． 14、（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）观察下列各式并解答问题： ；；…… (1)计算：； (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）． 15．（23-24八年级下·云南玉溪·期末）阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内有两点，其两点间的距离公式．当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或． (1)已知、，则两点间的距离为___________； (2)已知一个三角形各顶点坐标为，你能判定此三角形的形状吗？说明理由． 16．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 17．（2024八年级下·全国·专题练习）已知：实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： ． 18．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，使且，则将变成，然后开方，从而化简． 例如：化简． 解：． 仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次根式 21.1 二次根式（8大题型提分练） 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 题型一 求二次根式的值 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 2．（2024·河北张家口·三模）若，则计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，先根据求出，即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：A． 3．（23-24八年级下·江西赣州·期末）当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的代入求值，解题的关键是注意二次根式的符号，此类题比较简单．把代入二次根式求值即可得结果． 【详解】解：当时，原式． 故答案是：． 4．（23-24八年级下·全国·课后作业）（1）当a为 时，＋1的值最小，为 ； （2）当a为 时，的值最大，为 ． 【答案】 1 2 【分析】本题主要考查二次根式的性质： （1）根据即可求出的值，以及所求式子的最小值； （2）根据即可求出的值，以及所求式子的最大值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的最小值为1， 此时，解得． 所以，当时，的值最小，为1． 故答案为：；1； （2）∵， ∴， ∴的最大值为2． 此时，解得． 所以，当时，的值最大，为2． 故答案为：，2 5．（20-21八年级下·湖北黄冈·期中）若实数x，y满足，求的值． 【答案】 【分析】根据被开方数是非负数，可得，的值，根据代数式求值，可得答案． 【详解】解：由题意，得 ，， 解得， 当时，． 当，时，． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出，的值是解题关键． 题型二 根据二次根式有意义的条件求参 1．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】主要考查了二次根式的定义，，当是完全平方数时，是整数，即可求得答案． 【详解】解：， ∵是整数， ∴是完全平方数， ∴满足条件的最小正整数n为6， 故选：B. 2．（21-22八年级下·四川凉山·期中）如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据是一个正整数，得出，根据为整数，得出a的最小值为，最后代入验证是一个正整数符合题意，得出答案即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴， ∴， ∵为整数， ∴a的最小值为， 且时，符合题意，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出，是解题的关键． 3．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值． 【详解】解：根据被开方数是非负数可得，中的， 解得：， ∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴，， ∴自然数的值是或， 故答案为：或． 4．（23-24八年级下·湖北咸宁·期中）若是正整数，则整数可取的最小值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了二次根式的性质，整理，再结合“是正整数”以及“是整数”，进行作答． 【详解】解：依题意，得， ∵是正整数，且是整数， ∴整数可取的最小值为15， 故答案为：15． 5．（21-22八年级·全国·假期作业）已知n是一个正整数，是整数，求n的最小值． 【答案】n的最小值是15 【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而得出n的最小值． 【详解】解：∵＝3，n是一个正整数， ∴n的最小值是15． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键． 题型三 利用二次根式被开方数的非负性求值 1.（22-23八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可． 【详解】∵被开方数，分母. ∴，∴. ∴原式． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法． 2．（22-23八年级上·上海·期末）将根号外的因式移到根号内： 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，得，结合乘方的性质，推导得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了乘方、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 3．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）的双重非负性是指被开方数a≥0，其化简的结果．请利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，求b2﹣2b＋2a的值； （2）若a，b为实数，且，求a＋b的值； （3）已知实数a，b满足，求a＋b的值． 【答案】（1）﹣9；（2）﹣1或3；（3）1 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、b2-2b，计算即可； （2）根据非负数的性质求出b，进而求出a2，计算即可； （3）根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据非负数的性质计算，得到答案． 【详解】解：（1）由题意得，a+6=0，b2-2b-3=0， 解得，a=-6，b2-2b=3， ∴b2-2b+2a=3+（-12）=-9； （2）由题意得，b-1≥0，1-b≥0， 解得，b=1， ∴a2=4， 解得，a=±2， ∴a＋b=﹣1或3； （3）∵|2a-4|+|b+2|++4=2a， ∴（a-3）b2≥0， 解得，a≥3， 原式变形为：2a-4+|b+2|＋=2a-4， ∴|b+2|+=0， 则b+2=0，a-3=0， 解得，b=-2，a=3， 则a+b=1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 题型四 根据二次根式是整数求字母的值 1．（22-23八年级上·安徽·阶段练习）整数满足，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查无理数估算，涉及二次根式性质等知识，根据题意，利用二次根式性质及无理数估算即可得到答案，熟记二次根式性质是解决问题的关键． 【详解】解：，，整数满足， ，即，则整数的值为， 故选：C． 2．（2023·贵州黔南·二模）在进行实数的化简时，我们可以用“”的方式，如．利用这种方式可以化简被开方数较大的二次根式． （1）已知a为正整数，若是整数，则a的最小值为 ． （2）设b为正整数，若，m是大于1的整数，则m的最大值与m的最小值的积的平方根为 ． 【答案】 19 【分析】（1）根据题中化简方法可得，再根据是整数，即可求解； （2）根据题意可得当时，m取最大值720；当时，m取最小值1，即可求解． 【详解】解：∵， 又∵是整数， ∴a的最小值为19， 故答案为：19； （2）∵b为正整数，m是大于1的整数， ∴当时，m取最大值720；当时，m取最小值1， m的最大值与m的最小值的积的平方根为， 故答案为：． 3．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中、为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为，如，所以的“美好区间”为． (1)无理数的“美好区间”是______； (2)若一个无理数的“美好区间”为，且满足，其中是关于，的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数，，满足如下关系式： ，求的算术平方根的“美好区间”． 【答案】(1) (2)37或161 (3) 【分析】本题主要考查无理数的估算，以及二次根式有意义的条件： （1）根据“美好区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“美好区间”； （2）根据“美好区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出的值； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相加得，得，，再根据“美好区间”的定义即可求解．． 【详解】（1）∵， ∴， ∴ ∴无理数的“美好区间”是， 故答案为： （2）∵为“美好区间” ∴，为连续的整数 又∵是关于，的二元一次方程的一组正整数解 ∴是一个平方数 又∵ ∴满足题意的，的值为或 当时， ∴ ∴， 当时，， ∴， ∴， 综上所述：的值为37或161． （3）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 两式相加得 ∴ ∴的算术平方根为 ∵ 的算术平方根的美好区间为． 题型五 利用二次根式的性质化简 1．（23-24八年级下·山东临沂·期末）已知，则的化简结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式性质化简，不等式性质，根据题意先得出，再化简二次根式，计算乘方，最后合并同类项即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 2．（23-24八年级下·山东泰安·期末）已知点是平面直角坐标系中第二象限的点，则化简的结果是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了第二象限内点的坐标特点，化简二次根式，根据第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正得到，据此化简二次根式后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵点是平面直角坐标系中第二象限的点， ∴， ∴， 故选：A． 3．（23-24八年级下·黑龙江鸡西·期末）若，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 4．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）若实数满足，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出的取值范围是解题关键．直接利用二次根式的性质得出的取值范围，进而化简得出答案． 【详解】解：， ， 解得：， 故 ． 故答案为： 5．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）观察下列等式，解答下面的问题： ①，②，③，…… (1)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明； (2)利用（1）的结论计算． 【答案】(1)（n为正整数）；证明见解析 (2)1 【分析】本题考查了二次根式的化简，分式的加减运算， （1）找出前面等式中的数据与序号数的关系，则可猜想出第n个等式，然后根据二次函数的性质进行证明； （2）利用（2）中的规律得到原式，然后根据二次根式的乘法法则运算． 【详解】（1）（n为正整数） 证明：左边， ∵n为正整数， ∴左边右边， ∴猜想成立． （2）原式 ． 题型六 数轴与二次根式的化简问题 1．（20-21八年级上·江西景德镇·期中）实数a，b表示的点在数轴上的位置如图，则将化简的结果是（    ） A．4 B．2a C．2b D． 【答案】A 【分析】由在数轴上的位置可得：再根据化简计算即可． 【详解】解： 故选A 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键． 2．（23-24八年级下·广东惠州·期中）若实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】1 【分析】根据数轴得，化简计算即可，本题考查了数轴上数的大小小，二次根式的化简，熟练掌握化简的基本原则是解题的关键． 【详解】根据题意，得， ∴ ． 故答案为：． 3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 【答案】 【分析】根据点在数轴上的位置判断和的正负，再化简绝对值即可． 【详解】解：由图可知，， ∴． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，解题的关键是利用点在数轴上的位置判断出式子的正负． 题型七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 1、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 【答案】1≤x≤4 【分析】根据可以得到，然后根据x的取值范围去绝对值即可求解. 【详解】解：由题意可知： ∴ ∴， ∴当时 原式不合题意； ∴当时， 原式不合题意； ∴当时， 原式符合题意； ∴x的取值范围为：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 2、（2023春·山东烟台·八年级统考期中）已知m是的小数部分，则式子___________． 【答案】 【分析】首先确定，再将其代入并化简计算即可． 【详解】解：∵m是的小数部分， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算以及二次根式的性质，解题的关键是求出． 3、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知ab＜0，化简______ 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，利用，得，，再根据二次根式的性质得原式，然后去绝对值即可． 【详解】解：， 而，， ，， 原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握． 题型八 复合二次根式的化简 1．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 2．（20-21八年级下·湖北武汉·阶段练习）化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x＜0 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键． 3．（21-22八年级上·上海奉贤·期末）化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质和乘法法则化简即可 【详解】有意义， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和乘法法则，掌握以上知识是解题的关键． 4．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 5．（23-24八年级下·全国·单元测试）阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数，是且，则把变成开方，从而使得化简． 例如：化简 解：∵ ∴； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照例题，根据，即可求解； （2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． 1．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）使在实数范围内成立的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数大于等于零、分式的分母不能为零是解题关键．根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：在实数范围内成立， ， 解得：， 故选：A． 2．（23-24八年级下·吉林·期末）若式子有意义，则实数x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解题的关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数非负，得到，再解不等式即可． 【详解】解：式子有意义， ， 解得； 故选：D． 3．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）已知函数，则自变量的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解． 【详解】根据题意得：， 解得：且． 故选B． 4．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 5．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简二次根式，由数轴得出，，从而得出，，最后再由二次根式的性质化简即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴， 故选：C． 6．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，则简化的结果是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 先把被开方数分解因式，再化简求值． 【详解】解：∵， ， ， 故选：C． 7．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若关于x的方程存在整数解，则正整数m的所有取值的和为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了方程的整数解问题，由题意，令，则，可得，由m是正整数，且整数，推出时，，时，，由此即可解决问题．解决本题巧妙运用整数的特点及在分数计算中整数的倍数关系求解，令从而使得用表示的代数式不含根式是解题的关键． 【详解】解：由题意，令，则， ∴， ∵m是正整数，且整数， ∴时，， 时，， ∴正整数m的所有取值的和为15， 故答案为：15． 8．（23-24八年级下·山东聊城·期末）代数推理： …… 试探究一般规律，并写出第n个代数式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化规律，直接利用已知二次根式得出数字变化规律，进而得出答案． 【详解】解：因为 …， 所以第n个式子为：， 故答案为：． 9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． 10．（21-22八年级上·全国·课后作业）已知实数在数轴上的位置如图所示：则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出、、的情况是解题的关键． 根据数轴判断出、、的正负情况以及绝对值的大小，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可得解． 【详解】解：由图可知：，而且， ， ， 故答案为：0． 11．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如果两个正数a、b，即，，我们把叫做正数a、b的算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是可以得到结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即．该结论在数学中有广泛的应用，是解决最大值、最小值问题的有力工具．根据上述结论，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义以及算术平均数与几何平均数之间的关系，根据“两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数”可得，由此可求最值． 【详解】解：，时，， ， ， ，， ， 的最小值为． 故答案为：． 12．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是 ． 【答案】 【分析】本题考查数式规律探究，总结归纳出数式变化规律是解题的关键． 通过观察，归纳总结出规律为，再把代入即可求解． 【详解】解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：， … 第n个等式∶ 当时，． 故答案为： 13．（2024·江苏南京·一模）已知．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、二次根式的性质等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． 由可得，然后运用完全平方公式即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 14、（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）观察下列各式并解答问题： ；；…… (1)计算：； (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）． 【答案】(1) (2)（n为正整数） 【分析】本题主要考查数字规律下的二次根式化简， （1）总结规律，按规律解答； （2）根据分式的性质和完全平方公式即可化简求得一般性结论． 【详解】（1）解：∵； ； ， …… ∴； （2）解：根据（1）得到， 证明： ． 15．（23-24八年级下·云南玉溪·期末）阅读下列一段文字，然后回答下列问题． 已知在平面内有两点，其两点间的距离公式．当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或． (1)已知、，则两点间的距离为___________； (2)已知一个三角形各顶点坐标为，你能判定此三角形的形状吗？说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）由两点坐标特征得到轴，再由材料中当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或列式求解即可得到答案； （2）由两点间的距离公式，结合求出三角形三边长度，再由勾股定理的逆定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：、的纵坐标相等，则轴， 当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为或可知A、B两点间的距离为， 故答案为：； （2）解：是直角三角形． 理由如下： 两点间的距离公式，， ；；； ， 是直角三角形，且． 【点睛】本题考查阅读理解，涉及两点距离公式、平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、勾股定理的逆定理、二次根式性质等知识，读懂题意，熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 16．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 41．（2024八年级下·全国·专题练习）已知：实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴确定式子的符号、二次根式的性质及绝对值的意义，根据数轴确定，，的符号是解题关键．先利用数轴得出，，的符号，再利用二次根式的性质化简得出答案即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ，，， ∴ ． 42．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，使且，则将变成，然后开方，从而化简． 例如：化简． 解：． 仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的运用，熟练掌握阅读学习的基本方法是解题的关键． （1）根据完全平方公式把化为，然后利用二次根式的性质计算； （2）根据完全平方公式把化为，然后利用二次根式的性质计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$