专题02 一元二次方程中含参数问题的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（苏科版）

专题02 一元二次方程中含参数问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 2 类型二、一元二次方程的解求参数或代数式的值 3 类型三、根据一元二方程根的情况求参数 5 类型四、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 8 压轴能力测评（15题） 13 解题知识必备 1. 一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2. 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 3. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0. 4.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 压轴题型讲练 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 例1.（23-24九年级上·新疆和田·期末）已知方程，当 时，是关于x的一元二次方程． 【变式训练1】（23-24九年级上·陕西榆林·期末）若是关于的一元二次方程，则的值为 . 【变式训练2】（23-24九年级上·江西上饶·期末）已知方程是关于x的一元二次方程，则 ． 【变式训练3】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则 ，这个一元二次方程是 ． 类型二、一元二次方程的解求参数或代数式的值 例2.1. （2024·江苏镇江·二模）已知是方程的一个根，则实数c的值是 ． 例2.2. （2024·青海玉树·三模）若是关于的方程的解，则的值为 ． 【变式训练1】（2024·广东深圳·二模）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则 ． 【变式训练2】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如果关于x的一元二次方程的一个解是，那么代数式的值是 ． 【变式训练3】（2024·山东枣庄·一模）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ． 【变式训练4】（2023·贵州黔东南·一模）若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 。 类型三、根据一元二方程根的情况求参数 例3. （2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【变式训练1】（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m是符合条件的最大整数，求上述方程的实数根． 【变式训练2】（23-24九年级上·北京东城·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，m取最小的整数时求方程的解． 【变式训练3】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时m的值． 类型四、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 例4. （23-24八年级下·安徽淮北·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两根，且，求m的值． 【变式训练1】（23-24八年级下·江苏·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：m取任意实数、该方程总有两个实数根； (2)设该方程的两根分别为、，且满足，求m的值． 【变式训练2】（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知关于的方程． (1)小聪说：该方程一定为一元二次方程．小聪的结论正确吗？请说明理由． (2)当时 ①若该方程有实数解，求的取值范围． ②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值． 【变式训练3】（2024·四川南充·二模）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·北京昌平·期末）若是方程的一个解，则m的值为（    ） A．2 B． C．0 D．4 2．（23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个根是0，则的值为（     ） A．0.5 B．1 C．1或-1 D． 3．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．1或 4．（2024·广东汕头·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．， D．， 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为；②若方程有两个不相等的实根，则方程有两个负实数根；③若方程两根为，且满足，则方程的实数根为和；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的个数有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 6．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则的值是 ． 7．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）若是关于x的一元二次方程，则a的值是 ． 8．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如果关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值是 ． 9．（2024·上海·二模）如果关于x的方程有实数根，那么实数c的取值范围是 ． 10．（2024八年级下·全国·专题练习）已知为方程的根，那么的值为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，求的值． 12．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的方程无实数根． (1)求m的取值范围； (2)判断方程的根的情况． 13．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是，求k的值． (2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (3)若该方程的两个实数根满足 ，求k的值． 14．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； (3)当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 15．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值： (3)若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程中含参数问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 2 类型二、一元二次方程的解求参数或代数式的值 3 类型三、根据一元二方程根的情况求参数 5 类型四、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 8 压轴能力测评（15题） 13 解题知识必备 1. 一元二次方程的概念 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2. 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 3. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0. 4.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 压轴题型讲练 类型一、利用一元二次方程的定义求参数 例1.（23-24九年级上·新疆和田·期末）已知方程，当 时，是关于x的一元二次方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数且未知数的最高次为2的整式方程：据此列式代数计算，即可作答． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程． ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】（23-24九年级上·陕西榆林·期末）若是关于的一元二次方程，则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：且， ∴， 故答案为： 【变式训练2】（23-24九年级上·江西上饶·期末）已知方程是关于x的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义即可得到答案． 【详解】解：方程是关于x的一元二次方程， ， 解得， 故解得， 故答案为：． 【变式训练3】（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则 ，这个一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得：， ∴这个方程为， 故答案为：，． 类型二、一元二次方程的解求参数或代数式的值 例2.1. （2024·江苏镇江·二模）已知是方程的一个根，则实数c的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，把代入即可求出c的值． 【详解】解：把代入， 可得出， 解得：， 故答案为：2． 例2.2. （2024·青海玉树·三模）若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义、代数式求值，根据方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得出，整理为，整体代入计算即可，熟练掌握方程的解的定义、代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式训练1】（2024·广东深圳·二模）若关于x的一元二次方程有一个根为0，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程解的意义是解本题的关键．把代入一元二次方程中求出a的值，再根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得或， ∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴． ∴a的值为0． 故答案为：0． 【变式训练2】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如果关于x的一元二次方程的一个解是，那么代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解．根据关于的一元二次方程的一个解是，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值整体代入，即可解答本题． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个解是， ， ， ． 故答案为：． 【变式训练3】（2024·山东枣庄·一模）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了整体代入的思想． 把代入方程，整理得，把所求的代数式变形为，再整体代入计算即可． 【详解】∵是一元二次方程的一个根， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【变式训练4】（2023·贵州黔东南·一模）若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 。 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是利用整体思想进行代数式的求解．根据a是一元二次方程的一个根，得到与a有关的代数式，利用整体代入的思想进行求值． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案是：． 类型三、根据一元二方程根的情况求参数 例3. （2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可； （2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可． 【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 【变式训练1】（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m是符合条件的最大整数，求上述方程的实数根． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解一元二次方程； （1）根据一元二次方程的定义可得，根据有实数根可得，据此列式求解即可； （2）根据m的取值范围可知，则该方程为，解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，， 解得：且； （2）由（1）得且， ∵m是符合条件的最大整数， ∴， ∴该方程为，即， 解得：． 【变式训练2】（23-24九年级上·北京东城·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，m取最小的整数时求方程的解． 【答案】(1)且； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． （1）根据和即可求解； （2）把最小的整数1代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，，解得：， ∴m的取值范围是且； （2）解：由（1）得：m的取值范围是且， ∴最小的整数是1， ∴方程为， ， ∴， 解得：． 【变式训练3】（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求此时m的值． 【答案】(1)且 (2)0或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程的解、根的判别式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式以及一元二次方程的定义列不等式组求解即可； （2）先根据题意得出，然后代入解方程得出，，然后分相同的根为1和3两种情况求m的值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴,解得：且． （2）解：∵且，k是符合条件的最大整数， ∴， ∴，解得，． 当相同的根为1时，有，解得； 当相同的根为3时，有，解得． 故m的值为0或． 类型四、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 例4. （23-24八年级下·安徽淮北·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有实数根； (2)若，是方程的两根，且，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系（，方程有两个不等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根；），熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据根的判别式进行证明即可； （2）由得到或，再根据以上两种情况结合一元二次方程根与系数的关系讨论，即可解题． 【详解】（1）证明：∵ ， ， ∴无论m取任何实数，该方程总有实数根； （2）解：， 或， ①当时， ， 解得， ①当时，， 解得， 综上可知或. 【变式训练1】（23-24八年级下·江苏·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：m取任意实数、该方程总有两个实数根； (2)设该方程的两根分别为、，且满足，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式： （1）求出即可证明结论； （2）利用根与系数的关系得到，进而得到，解之即可． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∴m取任意实数、该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两根分别为、， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练2】（23-24八年级下·浙江金华·期末）已知关于的方程． (1)小聪说：该方程一定为一元二次方程．小聪的结论正确吗？请说明理由． (2)当时 ①若该方程有实数解，求的取值范围． ②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程知识是解题的关键． （1）利用配方法得出，推出，即可证明该方程一定为一元二次方程； （2）当时，该方程为，①根据该方程有实数解，则，得出不等式求解即可；②整理得：，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，代入整理得出方程求解，根据①所求的取值范围取舍即可． 【详解】（1）解：正确，理由如下， ∵， ∴， ∴关于的方程一定为一元二次方程； （2）解：当时，， ∴该方程为， ①∵该方程有实数解， ∴， ∴， 解得：； ②，整理得：， ∵和是该方程的两个实数解， ∴，， ∴代入中，得：， 整理得：， ∴， ∴或， 解得：，， ∵由①得：； ∴． 【变式训练3】（2024·四川南充·二模）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，即可列出关于的不等式，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，根的定义可得，，，，根据可得，再根据可得，求解即可得出的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 整理得：， 解得：． （2）解：∵、是一元二次方程的解， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：（不符合题意舍弃）， 故的值为． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·北京昌平·期末）若是方程的一个解，则m的值为（    ） A．2 B． C．0 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，将方程的解代入方程中求解即可．理解方程的解满足方程是解答的关键． 【详解】解：把代入 可得出：， 解得：， 故选：B． 2．（23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）关于x的一元二次方程的一个根是0，则的值为（     ） A．0.5 B．1 C．1或-1 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程的解，把代入计算即可． 【详解】把代入方程中，得 ， 解得， 当时，原方程二次项系数，舍去， 故选：D． 3．（23-24九年级上·河北邯郸·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A．2 B． C．2或 D．1或 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握其定义“方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程”． 根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， ， 又， ， ， 故选：B． 4．（2024·广东汕头·模拟预测）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为解题的关键． 由于关于的一元二次方程有实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 且． 故选C． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程必有一根为；②若方程有两个不相等的实根，则方程有两个负实数根；③若方程两根为，且满足，则方程的实数根为和；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的个数有（   ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键． 根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除． 【详解】解：①若，则是方程的解，故①正确； ②方程有两个不相等的实根， ， ∴，即a和c异号， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根， ∴ ∴方程的两个根异号，故②错误； ③∵方程两根为，且满足， ∴， 令，， ∴方程有两个实数根，令两根分别为， ∴， ， ∴方程，必有实根，，故③正确； ④若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得：， ， ，故④正确． 故正确的有①③④． 故选：C． 二、填空题 6．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】∵方程是关于的一元二次方程， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）若是关于x的一元二次方程，则a的值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程判断．本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得，或， 故， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·山东济宁·期末）如果关于x的一元二次方程的两个根，且，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式等知识点，由根于系数的关系得到是解题的关键． 先根据根与系数的关系用k表示出,然后根据结合完全平方公式得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 9．（2024·上海·二模）如果关于x的方程有实数根，那么实数c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：当时，方程化为，解得，满足题意； 当时，方程为一元二次方程， ∴，解得：，且； 综上：； 故答案为：． 10．（2024八年级下·全国·专题练习）已知为方程的根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了代数式的变形，利用整体代入法的思想是解答本题的关键．根据一元二次方程的解的定义得到，然后对原式进行化简，再将整体代入即可． 【详解】解：∵a为方程的根， ∴， ∵ ， 将代入，则 原式 ， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据是一元二次方程的一个根，得出，，再整体代入求解即可． 【详解】解：由题意，将代入方程， 得， ∴，， ∴ ， ∴的值为2． 12．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的方程无实数根． (1)求m的取值范围； (2)判断方程的根的情况． 【答案】(1) (2)当时，有一个实数根；当且时，有两个不相等的实数根． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程的判别式求解即可； （2）根据题意分和且两种情况讨论，然后利用一元二次方程的判别式求解即可． 【详解】（1）∵关于x的方程无实数根 ∴ 解得； （2）∵方程 ∴当时，即时，方程为 ∴方程为一元一次方程，有一个实数根， 当且时，方程为一元二次方程 ∴ ∵ ∴ ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； 综上，当时，有一个实数根；当且时，有两个不相等的实数根． 13．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)若该方程有一个根是，求k的值． (2)若该方程有两个实数根，求k的取值范围． (3)若该方程的两个实数根满足 ，求k的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的解，根的判别式，以及根与系数的关系： （1）把代入方程求出的值即可； （2）根据方程有两个实数根，得到，求解即可； （3）根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程得： 解得：或； （2）由题意，得：， 解得：； （3）由题意，得：， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去） ∴． 14．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； (3)当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)11或13 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理及等腰三角形的性质： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； （3）分为腰和为底边两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）由题意，得：， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴ ， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴； （3）①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得： ， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的三边为：， ∴周长为：； ②当为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的周长为：； 综上：周长为11或13． 15．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值： (3)若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】(1)是，见解析 (2)0或 (3)16 【分析】（1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再利用新定义建立方程，再解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值； 【详解】（1）解：∵ ∴ 解得：，， ∵，符合邻根方程的定义， ∴是邻根方程； （2）∵关于x的方程是邻根方程 ∴解方程可得：， ∴， ∴， 故或； （3）解：∵关于x的方程（a、b是常数）是邻根方程，设两个根分别为、， ∴， 由韦达定理：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 答：t的最大值为16． 【点睛】本题考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$