专题01 解一元二次方程的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（苏科版）

专题01 解一元二次方程的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、利用直接开平方法解一元二次方程的复合型 2 类型二、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 3 类型三、配方法的应用 6 类型四、用公式法求解一元二次方程 9 类型五、用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程 11 类型六、用十字相乘法求解一元二次方程 13 类型七、换元法解一元二次方程 16 压轴能力测评（12题） 20 解题知识必备 知识点一、直接开方法解一元二次方程 直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法. 要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根. 知识点二、配方法解一元二次方程 配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 知识点三．公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 知识点四.用因式分解法解一元二次方程 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 压轴题型讲练 类型一、利用直接开平方法解一元二次方程的复合型 例1. （23-24九年级上·江西萍乡·期末）解方程： 【变式训练1】（23-24九年级上·吉林白山·期末）用适当的方法解方程： 【变式训练2】（23-24九年级上·江苏常州·期中）解方程：． 【变式训练3】（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）用适当的方法解方程： 类型二、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 例2. （23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 【变式训练1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程 (1)． (2) 【变式训练2】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式训练3】（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题： 解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步） (1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的． (2)请写出此题正确的解答过程． 类型三、配方法的应用 例3. （23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式有最 值，其最值为 ． 【变式训练1】（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 【变式训练3】（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 类型四、用公式法求解一元二次方程 例4.（23-24八年级下·吉林长春·期中）解方程：． 【变式训练1】（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）用公式法解方程：． 【变式训练2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 【变式训练3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 类型五、用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程 例5．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 【变式训练1】（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：． 【变式训练2】（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：． 【变式训练3】（23-24八年级下·广西崇左·期中）解方程： (1)； (2)． 类型六、用十字相乘法求解一元二次方程 例6.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练1】（2024·广东广州·二模）解方程：． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式训练3】（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 类型七、换元法解一元二次方程 例6. （23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 【变式训练1】（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 【变式训练2】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 【变式训练3】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 压轴能力测评（14题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A． B．0 C．2 D．4 3．（24-25八年级上·上海·假期作业）已知满足，则关于的一元二次方程的解的情况为（ ） A． B． C．方程的解与的取值有关 D．方程的解与的取值有关 二、填空题 4．（23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）方程的根为 ． 5．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知实数、满足等式，则 ． 6．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若关于x的一元二次方程：与，则称其为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”，那么代数式能取得最大值是 ． 三、解答题 7．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）用适当的方法解方程：． 8．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）解一元二次方程： (1) (2) 9．（23-24八年级下·山东泰安·期中）按要求解下列方程： (1)（用配方法）； (2)（用自己喜欢的方法）； (3)（用自己喜欢的方法）． 10．（23-24八年级下·江苏南通·期中）解方程（注意解题要求） (1)（1）；（配方法） (2)． (3) (4)． 11．（22-23九年级上·河南郑州·期中）下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． 解方程：． 解：                                第一步 ，                    第二步 ，                                第三步 ，                                第四步 ，．                            第五步 (1)任务一： ①杨老师解方程的方法是 ； A．直接开平方法            B．配方法                C．公式法                D．因式分解法 ②第二步变形的依据是 ； (2)任务二：请你按要求解下列方程： ①；（公式法） ②．（因式分解法） 12．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻2根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻2根方程”； (2)已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻2根方程”，求m的值． 13．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为____①____， 解得，． 当时，，；当时，，； 原方程有四个根：，，，． (1)①中填写的方程是________，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数x，y满足，求的值； (3)解方程． 14．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下列式子： ① ② ③ (1)，则______，______；，则______，______； (2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为80米的木栅栏围城一个长方形花圃，如图，设计一个面积尽可能大的花圃，设长方形垂直于墙的一面长度为米，完成下列任务：    ①用含的式子表示花圃的面积： ______； ②请说明当取何值时，花圃的面积最大，最大面积是多少平方米？ 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【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟知方程特点选择适当的解法是正确解决本题的关键，用直接开平方法或因式分解法都可以． 【详解】解： 开方得，或 解得，． 【变式训练2】（23-24九年级上·江苏常州·期中）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴或， 解得，． 【变式训练3】（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）用适当的方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程的特点选择恰当解法是解题的关键．直接用开平方法求解即可． 【详解】解：原式直接开方得，， 或， ∴原方程的解为：，． 类型二、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 例2. （23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 两边同除以，得， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， ∴，或， ∴，． 【变式训练1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程 (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据直接开平方法解答即可； （2）根据配方法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【变式训练2】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， ， ． 【变式训练3】（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题： 解：原方程可变形为，（第一步） ∴，（第二步） ∴，（第三步） ∴，（第四步） ∴，（第五步） ∴，．（第六步） (1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的． (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)配方；三 (2)， 【分析】（1）根据配方法解答即可． （2）根据配方法的基本步骤规范解答即可． 本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方法解方程是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，这种解方程的方法是配方法，配方时，在第三步时出现错误， 故答案为：配方法，第三步． （2）原方程可变形为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 类型三、配方法的应用 例3. （23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式有最 值，其最值为 ． 【答案】 小 1 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法把原代数式变形为，根据得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值1， ∴有最小值，最小值为1， 故答案为：小，1． 【变式训练1】（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】2019 【分析】 此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】 解：与是“同族二次方程”， ， ， 解得， ， 则代数式能取的最小值是2019． 故答案为：2019 【变式训练2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当__________时，多项式的最小值为__________． （2）当__________时，多项式的最大值为__________． （3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值． 【答案】（1）3，3 （2）1， （3），，最小值是10 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （2）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出的值，然后进行计算即可； （3）由配方可知，然后根据非负数的性质，判断出和的取值，然后进行计算即可． 【详解】（1） 当时，多项式取最小值，且最小值为3； 故答案为：3，3 （2） 当时，多项式取最大值，且最大值为； 故答案为：1，； （3） ， 当且，即时，多项式取最小值，并且最小值为． ，，最小值是10． 【变式训练3】（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”： 当时， ； 当时， ； 当时， ； （2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由； （3）拓展，试通过计算比较．与的大小． 【答案】（1），，；（2）总有，理由见解析；（3） 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小． （1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可； （2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有； （3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断． 【详解】解：（1）①当时，，，则， ②当时，，，则， ③当时，，，则． 故答案为：；；； （2）无论取什么值，判断与有， 理由如下： ， 无论取什么值，总有； （3）拓展： ， 故． 类型四、用公式法求解一元二次方程 例4.（23-24八年级下·吉林长春·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的解法是解题关键．本题直接利用公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据公式法，按步骤求解即可得到答案，熟记公式法解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 【变式训练2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得：， 【变式训练3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无解． 类型五、用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程 例5．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于的方程（因式分解方法）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用提公因式法进行因式分解，再解方程即可； （2）移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可． 【详解】（1）解： ①② ∴． （2）解： ①② ∴． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合适的公因式是解题的关键． 【变式训练1】（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：． 【答案】， 【分析】采用因式分解法即可求解． 【详解】 移项得，， 提取公因式得，． 故或， 解得，． 【点睛】本题重点是利用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解求解的方法是解题的关键． 【变式训练2】（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 【变式训练3】（23-24八年级下·广西崇左·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等． （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， 即或， 解得，． （2）解：， 移项得， 因式分解得， 即或， 解得，． 类型六、用十字相乘法求解一元二次方程 例6.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ②交叉相乘，验中项：    ③横向写出两因式： （2）根据乘法原理，若，则或 ，则方程可以这样求解： 方程左边因式分解得 或 试用上述这种十字相乘法解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用十字相乘法解方程即可； （2）利用十字相乘法解方程即可； （3）利用十字相乘法解方程即可； （4）利用十字相乘法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，； （3） 或 ∴，； （4） 或 ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解方程，掌握十字相乘法是解题的关键． 【变式训练1】（2024·广东广州·二模）解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 【详解】解：， ， 或， ∴，． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式 ①竖分二次项与常数项： ， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或，所以方程可以这样求解： 方程左边分解因式得 ∴或 ∴， 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案； （2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 或 ∴，． 【变式训练3】（23-24九年级上·全国·课后作业）（1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①坚分二次项与常数项：． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：    ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，  ②，  ③，  ④， 【分析】根据题中十字相乘法的解法步骤求解即可． 【详解】解：①由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ②由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ③由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，； ④由题知，，， ∴原方程可化为， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查十字相乘法解一元二次方程，理解题干中的十字相乘法的解法是解答的关键． 类型七、换元法解一元二次方程 例6. （23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①，解得，． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，，． 这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)方程的解为________． (2)仿照材料中的方法，尝试解方程． 【答案】(1)， (2)，； 【分析】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． （1）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可； （2）结合材料，利用，再换元，求出的值，再代入求出即可． 【详解】（1）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 故原方程的解为：，， 故答案为：，． （2）解：设，则原方程变为， 解得：，， 当时，，解得：，； 当时，，即， ， 方程无解； 故原方程的解为：，． 【变式训练1】（23-24八年级下·北京顺义·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了换元法解方程，正确换元是解题的关键； （1）根据题意，可设，于是原方程变形为，利用因式分解法求解即可． （2）根据，转化为方程，，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，可设，于是原方程变形为， 解得， 故答案为：，；． （2）解：根据题意，得，方程转化为，， 故， 解得； 当时，此时，方程无解， 故原方程的解为． 【变式训练2】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可． 根据上述方法，完成下列问题： (1)若，则的值为___________； (2)解方程：． 【答案】(1)2 (2)或或或 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，注意，解方程时要解完整． （1）根据题意，设，然后解关于k的一元二次方程，再根据取值即可； （2）设，然后解关于t的一元二次方程，然后再来求关于y的一元二次方程． 【详解】（1）解：设， 原方程为：，即， ， ， 或， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：设， 原方程为：，即， ， 或， 当时，， ， 或； 当时，， ， 或； 综上，或或或． 【变式训练3】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程时，我们可以将视为一个整体，设，则，原方程化为，解此方程，得，， 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键． （1）先把要求的式子变形为，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值； （2）根据已知条件设求出的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或（舍去）， 即， ∴，； （2）解：， 设，则原方程化为， ∴， ∴或， 当时，可有，解得，， 当时，可有， ∵， ∴该方程无解， ∴原方程的解为，． 压轴能力测评（14题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，先移项，再将二次项系数化为1，最后方程两边加上即可得出答案． 【详解】解：移项得：， 二次项系数化为1得：， 方程两边加上得：，即， 故选：B． 2．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法对原式进行变形，再根据偶次方的运算计算出结果． 【详解】解： 因为，， ， 所以当，时， 原式有最小值4， 故选：D． 3．（24-25八年级上·上海·假期作业）已知满足，则关于的一元二次方程的解的情况为（ ） A． B． C．方程的解与的取值有关 D．方程的解与的取值有关 【答案】A 【分析】根据已知条件求出之间的关系，代入方程即可解答．本题考查了一元二次方程的概念及利用因式分解法解一元二次方程，理解一元二次方程的概念是解题的关键． 【详解】解：∵,， ∴，， ∴得， 将代入得：， ∴， 将，代入得：， ∵， ∴， ∴， 解得， 故选． 二、填空题 4．（23-24八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，先把方程右边化为0，再把左边分解化为两个一次因式积的因式，然后求解即可． 【详解】解： ， ， ∴或， ∴，． 故答案为：，． 5．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知实数、满足等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想． 将看作一个整体，然后用换元法解方程即可． 【详解】解：设，则有： ， 解得，； ， 故． 故答案为：4． 6．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）若关于x的一元二次方程：与，则称其为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程：与是“同族二次方程”，那么代数式能取得最大值是 ． 【答案】 【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ∴， ， ， ， 最大值为， 即最大值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 三、解答题 7．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）用适当的方法解方程：． 【答案】， 【分析】 此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键．利用公式法求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 8．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）整理后，利用直接开平方法求解即可； （2）整理后，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 开方得， 即， ，； （2）解：， 因式分解得，即， 或， ，． 9．（23-24八年级下·山东泰安·期中）按要求解下列方程： (1)（用配方法）； (2)（用自己喜欢的方法）； (3)（用自己喜欢的方法）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查利用配方法及提公因式法解方程，涉及利用平方根解二次方程等知识，根据方程结构特征配方及提公因式是解决问题的关键． （1）利用配方法得到，直接开方即可得到答案； （2）利用提公因式法得到，求解即可得到答案； （3）利用配方法得到，化简后直接开方即可得到答案． 【详解】（1）解：， 配方得，即， ； （2）解：， ，即， ； （3）解：， 配方得，即， ，解得． 10．（23-24八年级下·江苏南通·期中）解方程（注意解题要求） (1)（1）；（配方法） (2)． (3) (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有公式法、因式分解法、直接开平方法、配方法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴，即， ∴或， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 11．（22-23九年级上·河南郑州·期中）下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． 解方程：． 解：                                第一步 ，                    第二步 ，                                第三步 ，                                第四步 ，．                            第五步 (1)任务一： ①杨老师解方程的方法是 ； A．直接开平方法            B．配方法                C．公式法                D．因式分解法 ②第二步变形的依据是 ； (2)任务二：请你按要求解下列方程： ①；（公式法） ②．（因式分解法） 【答案】(1)①B；②等式的基本性质； (2)①，；②，． 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法是解题的关键． （1）①根据配方法解一元二次方程进行判断即可；②根据等式的基本性质进行判断即可； （2）①按照公式法解方程的步骤求解即可；②按照因式分解法的步骤求解即可． 【详解】（1）解：任务一：①解方程用到的方法是配方法，故选：B； ②第二步变形的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质． （2）解：①（公式法） ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 或， ∴，． ②（因式分解法） ， ， ， ， 或， ，． 12．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻2根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻2根方程”； (2)已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻2根方程”，求m的值． 【答案】(1)该方程不是“邻2根方程” (2)或 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解． （1）求解方程，即可进行判断． （2）利用因式分解求解方程，根据该方程是“邻2根方程”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∵， 故该方程不是“邻2根方程”． （2）解：∵ ∴． ∴． 由题意得：或， 解得：或． 13．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为____①____， 解得，． 当时，，；当时，，； 原方程有四个根：，，，． (1)①中填写的方程是________，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (2)已知实数x，y满足，求的值； (3)解方程． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）将原方程中的用代替，用y代替，即可解答； （2）设，方程可化为，求解n的值后根据进行取舍； （3）设，则原方程可化为：，求解得，，从而或，求解即可． 【详解】（1）∵设，那么， ∴原方程变形为． 故答案为：． （2）设， 原方程可化为， 解得： 即， ∵，， ∴． （3）， 设，则原方程可化为：， 解得：，， 当时，， 解得：，． 当时，，即， ∵， ∴该方程无解． ∴原方程的解为：，． 【点睛】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．读懂材料，理解换元法的转化思想是解题的关键． 14．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下列式子： ① ② ③ (1)，则______，______；，则______，______； (2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为80米的木栅栏围城一个长方形花圃，如图，设计一个面积尽可能大的花圃，设长方形垂直于墙的一面长度为米，完成下列任务：    ①用含的式子表示花圃的面积： ______； ②请说明当取何值时，花圃的面积最大，最大面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2)①；②当时，面积最大，最大值为 【分析】（1）利用配方法进行计算即可； （2）①先利用表示出长方形的另外一条边长，再根据长方形的面积公式列出代数式即可；②配方法，确定花圃的最大面积即可． 【详解】（1）解：， ∴； ， ∴； 故答案为：； （2）①由题意，得：长方形的另外一条边长为：， ∴长方形的面积为：； 故答案为：； ②∵， ∴当时，花圃的面积最大，最大面积是． 【点睛】本题考查配方法的应用．熟练掌握配方法，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$