1.1.1空间向量及其线性运算（教学课件）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第一章 空间向量与立体几何 1.1.1空间向量 及其线性运算 ·选择性必修第一册· 1 2 3 学习目标 通过类比平面向量的相关概念学习空间向量的相关概念，发展学生的数学抽象核心素养（重点）。 通过类比平面向量的线性运算法则与运算律推出空间向量的线性运算法则和运算律并掌握，培养学生的类比意识（重点、难点）。 通过合作探究，归纳得出共线向量定理与共面向量定理并理解，培养学生的自主探究能力和归纳总结能力，提升直观想象素养（重点、难点）。 引入新知 在滑翔的过程中，飞行员会受到来自不同方向、不同大小的力，如绳索的拉力、风力、重力等，这些力在同一平面内吗？ 引入新知 国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游缆结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图(1)，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ O A B O A B D 如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图(2),那他实际发生的位移是什么？又如何表示呢? 新课探究 问题1 我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念和线性运算吗？ 平面向量的概念 平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，记作 或|a|. 空间向量的概念 空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模，记作 或|a|. 新课探究 平面向量的表示法 空间向量的表示法 (1)有向线段 A (起点) B (终点) a (2)字母 a，b，c，… (3)坐标表示：a＝(x，y) a c b 印刷体：a 手写体： (1)有向线段 (2)字母 a，b，c，… (3)坐标表示：a＝(x，y，z) 新课探究 平面向量的相关概念 空间向量的相关概念 模为 0 的向量，记作 0 ；零向量的方向任意； 模为 1 的向量； 模和方向都相同的两个向量，记作 a＝b ； 模相同，方向相反的两个向量，记作 a＝－b ； 零 向 量： 单位向量： 相等向量： 相反向量： 新课探究 平面向量的相关概念 空间向量的相关概念 共线向量：方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作 a∥b； 规定，零向量和任意向量共线。 共线向量：若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 a∥b； 规定，零向量和任意向量共线。 新课探究 问题2 在学习完平面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的线性运算，你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？ 平面向量的线性运算有加法、减法和数乘运算。先研究它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律。 新课探究 转化 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 a b O . α 新课探究 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 (1) 加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算。 法则：三角形和平行四边形法则 (1) 加、减运算：求两个空间向量的和与差的运算。 法则：三角形和平行四边形法则 b 新课探究 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 (2) 数乘运算：实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： ① |λa|＝|λ||a|； ②若λ > 0，λa与a的方向相同； 若λ < 0，λa与a的方向相反； 若λ＝0，λa＝0. (2) 数乘运算：实数λ与空间向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： ① |λa|＝|λ||a|； ②若λ > 0，λa与a的方向相同； 若λ < 0，λa与a的方向相反； 若λ＝0，λa＝0. 新课探究 问题3 平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出空间向量线性运算的运算律吗？ 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 (3)运算律： (3)运算律： ①交换律： a + b＝b + a； ②结合律： a + (b + c) ＝(a + b) + c， λ(μa)＝(λμ)a； ③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa， λ(a+b)＝λa + λb. ①交换律： a + b＝b + a； ②结合律： a + (b + c) ＝(a + b) + c， λ(μa)＝(λμ)a； ③分配律： (λ+μ)a＝λa + μa， λ(a+b)＝λa + λb. 新课探究 思考： 如何证明空间向量的加法结合律呢？ a c b 在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，记 则 a + (b + c) ＝ (a + b ) + c ＝ 所以有：a + (b + c)＝(a + b ) + c. a， b， c . 新课探究 证明空间向量的加法结合律 a c b 一般地，对于三个不共面的向量 a，b，c，以任意点 O为起点， a，b，c为邻边作平行六面体，则 a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量。 学习新知 问题4 平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向量的线性运算是否可以解决空间中的相关问题呢？ 平面向量共线的充要条件 空间向量共线的充要条件 对任意两个平面向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是： 存在实数λ，使a＝λb . 对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是： 存在实数λ，使a＝λb . 学习新知 直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量 ，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数 , 使得 直线 可以由其上一点和它的方向向量确定。 学习新知 共面向量 O A l 学习新知 思考： 空间中的任意三个向量是否共面，什么条件下三个空间向量共面？ 若 p在α内，则有 p＝xa +yb； 若 p＝xa +yb，则 p在α内。 a O b p α p . 学习新知 三个不共线的空间向量共面的充要条件 应用新知 O A B C D E F G H 图1.1-9 应用新知 O A B C D E F G H 图1.1-9 应用新知 规律方法 应用新知 变式训练： 能力提升 题型一 空间向量的有关概念 例题 能力提升 题型一 空间向量的有关概念 （要求写出所有适合条件的向量） 例题 能力提升 题型一 空间向量的有关概念 解析 能力提升 方法总结 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点 (1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向． (2)注意点：注意一些特殊向量的特性． ①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性． ②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. ③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量. 能力提升 题型二 空间向量的线性表示 例题 能力提升 题型二 空间向量的线性表示 解析 能力提升 方法总结 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 能力提升 方法总结 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 课堂小结 作业布置 巩固作业：教科书第5 ~ 6页练习第1、2、3、4、5题。 拓展作业：整理本节课的研究方法与研究过程，并简要空间向量 的后续研究内容及方法。  本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 如图,已知空间向量，以任意点为起点，作向量， 我们就可以把它们平移到同一个平面内。 如图，如果表示向量的有向线段所在的 直线与直线平行或重合，那么称向量平行于 直线．如果直线平行于平面或在平面内， 那么称向量平行于平面． 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors)． 如果两个向量，，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是： 存在唯一的有序实数对,使. 例1：如图1.1-9，已知平行四边形，过平面外一点， 作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，， 使． 求证：，，，四点共面． 分析：欲证，，，四点共面，只需证明，， 共面．而由已知，，共面，可以利用向量运算由， ，共面的表达式推得，，共面的表达式． 证明：因为， 所以，，，． 因为四边形是平行四边形，所以． 因此 ． 由向量共面的充要条件可知，，，共面， 又，，过同一点，从而，，，四点共面． 证明空间向量共面或四点共面的方法 (1)向量共面：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面。 (2)四点共面：若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有eq \o(OP,\s\up16(→))＝xeq \o(OA,\s\up16(→))＋yeq \o(OB,\s\up16(→))＋zeq \o(OC,\s\up16(→))，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面。 (3)证明向量共面或四点共面，也可以利用共面向量的定义，借助线面平行的判定定理，寻找一个平面，证明这些向量都与该平面平行。 【详解】因为，，， 所以， 所以与、共面． 1.（1）给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|； ③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，eq \o(AC,\s\up13(→))＝eq \o(A1C1,\s\up13(→))； ④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p. 其中正确命题的序号是________． (2)如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中， 顶点连接的向量中，与向量eq \o(AA′,\s\up15(→))相等的向量有 ________；与向量eq \o(A′B′,\s\up15(→))相反的向量有________． (1)②③④　(2)eq \o(BB′,\s\up15(→)),eq \o(CC′,\s\up15(→)),eq \o(DD′,\s\up15(→)) 　 eq \o(B′A′,\s\up15(→)),eq \o(BA,\s\up15(→)),eq \o(CD,\s\up15(→)),eq \o(C′D′,\s\up15(→))　 对于①，向量a与b的方向不一定相同或相反，故①错； 对于②，根据相反向量的定义知|a|＝|b|，故②正确； 对于③，根据相等向量的定义知，eq \o(AC,\s\up15(→))＝eq \o(A1C1,\s\up15(→))，故③正确； 对于④，根据相等向量的定义知正确． (2)根据相等向量的定义知，与向量eq \o(AA′,\s\up15(→))相等的向量有eq \o(BB′,\s\up15(→))，eq \o(CC′,\s\up15(→))，eq \o(DD′,\s\up15(→)).与向量eq \o(A′B′,\s\up15(→))相反的向量有eq \o(B′A′,\s\up15(→))，eq \o(BA,\s\up15(→))，eq \o(CD,\s\up15(→))，eq \o(C′D′,\s\up15(→)). 2．已知空间四边形，其对角线为、、 分别是边、的中点，点在线段上，且使 ，用向量、、表示向量是（  ）。 A． B． C． D． 【详解】连接， 则， 因为，则， 因此，. 故选：A. $$