精品解析：广东省湛江市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试卷

湛江市2023-2024学年度第二学期期末调研考试 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是 A B. C D. 3. 下列各组数的方差从小到大排序是（ ） （1）（2）； （3）；（4）． A. （1）（2）（3）（4） B. （4）（3）（2）（1） C （3）（1）（2）（4） D. （2）（1）（3）（4） 4. 圆台一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，其侧面积为，则较小底面的半径为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 5. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 6. 在等腰中，，AD平分且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ） A. 互斥 B. 包含 C. 互为对立 D. 相互独立 8. 已知直线与平面，能使的充分条件是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 中，角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则面积的最大值为 C. 不可能为锐角三角形 D. 若为的外心，则 10. 已知，方程有一个虚根为为虚数单位，另一个虚根为，则（ ） A. 该方程存在实数根 B. C. D. 11. 已知一个不透明袋子中装有大小、质地完全一样1个白球、1个红球、2个黑球，现从中依次不放回地随机抽取2个小球，事件“取到红球和黑球”，事件“第一次取到黑球”，事件“第二次取到黑球”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，若，则的取值范围是_________． 13. 已知和是两个不共线的向量，，，且与是共线向量，则实数的值是______． 14. 如图，透明塑料制成长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题： ①有水的部分始终为四棱柱形； ②没有水的部分始终呈棱柱形； ③水面所在四边形的面积为定值； ④棱始终与水面所在平面平行； ⑤当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．其中所有正确命题的序号是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，平面，底面为矩形，于点于点． （1）求证：平面； （2）设平面交于点，求证：． 16. 已知的三个角的对边分别为， （1）已知，求边上中线长. （2）请用表示边的中线长，并写出推导过程. 17. 为检测同学体能，学校从高一年级随机抽取了100名同学参加体能测试，并将成绩分数分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． （1）估计这100名同学体能成绩分数的平均分和第66百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人进行成绩分析，第二组同学成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组同学成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差． 18. Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． （1）求乙答对题的概率； （2）若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 19. 如下左图，矩形中，，，.过顶点作对角线的垂线，交对角线于点，交边于点，现将沿翻折，形成四面体，如下右图. （1）求四面体外接球的体积； （2）求证：平面平面； （3）若点为棱的中点，请判断在将沿翻折过程中，直线能否平行于面.若能请求出此时的二面角的大小；若不能，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市2023-2024学年度第二学期期末调研考试 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出的虚部，与的实部，即可得解. 【详解】复数的虚部为，又， 则的实部为， 所以新复数为. 故选：C 2. 如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据模型中相邻的面折成长方体以后仍相邻，即可作出判断． 【详解】解：D折成的长方体有两组对面是黑色的，一组对面是白色的． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的折叠，考查空间想象能力是此类题目的目的． 3. 下列各组数的方差从小到大排序是（ ） （1）（2）； （3）；（4）． A. （1）（2）（3）（4） B. （4）（3）（2）（1） C. （3）（1）（2）（4） D. （2）（1）（3）（4） 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由方差的意义以及计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）组数据平均数为6，则方差为0； （2）组数据的平均数为6，则方差为； （3）组数据的平均数为6，则方差为； （4）组数据的平均数为6，则方差为； 则方差从小到大排序是（1）（2）（3）（4）. 故选：A 4. 圆台一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，其侧面积为，则较小底面的半径为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】设较小底面的半径为，再根据题设条件，建立方程即可求解. 【详解】设较小底面的半径为，则另一个底面半径为， 又因为圆台的侧面积为， 所以，解得， 故选：A. 5. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C. 考点：向量在几何中的应用. 6. 在等腰中，，AD平分且与BC相交于点D，则向量在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先画出图形，根据投影的几何意义，计算结果. 【详解】由余弦定理可知， ， ， AD平分且与BC相交于点D，是等腰三角形， 是中点，， 由图可知向量在上的投影向量为 ， . 故选：B 【点睛】本题考查向量的投影，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型. 7. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ） A. 互斥 B. 包含 C. 互为对立 D. 相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥、对立、独立事件的定义判断即可. 【详解】掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”， 对于A,B,C，事件与能同时发生，故事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B，C错误； 对于D,因为， 所以，事件与相互独立，故选项D正确； 故选：D. 8. 已知直线与平面，能使的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，则也可能平行，故A错误； 若，则，故B正确； 若，则可能垂直，也可能平行，故C错误； 若，由线面垂直判定定理可知，与不一定垂直， 所以可能相交，不一定垂直，故D错误； 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 中，角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则面积的最大值为 C. 不可能为锐角三角形 D. 若为的外心，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由正弦定理代入计算，即可判断A，由余弦定理结合基本不等式即可判断B，当时，即可判断C，由数量积的运算律代入计算，即可判断D 【详解】对A，因为，由正弦定理可得， 即，即，且，所以，故A错误； 对B，因为，则，由余弦定理可得 ，即，当且仅当时，等号成立， 则面积的最大值为，故B正确； 对C，当时，为锐角三角形，故C错误； 对D，如图，作交于点，则点为的中点，且， 设，则， 所以，故D正确； 故选：BD 10. 已知，方程有一个虚根为为虚数单位，另一个虚根为，则（ ） A. 该方程存在实数根 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】将代入方程中，结合复数相等的充要条件，即可求解，进而结合选项即可逐一求解. 【详解】由是方程的根，得， 整理得，因此，解得，方程即为，可知B正确； 对于A，根据方程，可得，所以方程无实数根，A错误； 对于C，方程，由韦达定理可知，C正确； 对于D，由C得，D正确. 故选：BCD. 11. 已知一个不透明袋子中装有大小、质地完全一样1个白球、1个红球、2个黑球，现从中依次不放回地随机抽取2个小球，事件“取到红球和黑球”，事件“第一次取到黑球”，事件“第二次取到黑球”，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出，，，再根据事件的互斥性等性质判断各选项的正确性. 【详解】A.， 对于事件， ①当第一次摸到非黑球时，， ②当第一次摸到黑球时，， ，则，故A正确； B.，， ，故B错误； C.，故C正确； D.，，故，故D正确. 故答案为：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数，若，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】复数本身没有大小，但其模长有大小，根据题意可得为实数，又模长计算公式解不等式即可得答案. 【详解】因为，所以为实数，故， 又，即，所以， 则的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知和是两个不共线的向量，，，且与是共线向量，则实数的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，得出关于实数，的关系，求解即可. 【详解】因为和是两个不共线的向量，，，与是共线向量， 设，，则， 所以，所以. 故答案为：. 14. 如图，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题： ①有水的部分始终为四棱柱形； ②没有水的部分始终呈棱柱形； ③水面所在四边形的面积为定值； ④棱始终与水面所在平面平行； ⑤当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．其中所有正确命题的序号是_________． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】根据题意，结合棱柱的几何特征，线面平行，棱柱体积进行判断. 【详解】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形， 在（3）图中有水的部分始终为三棱柱形，所以①错误 将长方体以边将容器倾斜，平面平面,没有水的部分呈现为四棱柱至五棱柱棱柱最后四棱柱，所以②正确； 因为水面所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化， 所以水面四边形的面积是变化的，③错误； 因为棱,在水面中，， 所以棱平面平面， 所以棱始终与水面所在平面平行，所以④正确； 因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，所以底面积也不会变，即是定值，所以⑤正确； 故答案为：②④⑤. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，平面，底面为矩形，于点于点． （1）求证：平面； （2）设平面交于点，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由为矩形，得，又平面得，可知平面，从而，得证平面. （2）先证平面,得再证平面，得从而平面证明. 【小问1详解】 为矩形， 平面平面 ， 又与平面， 平面． 又平面 又与平面， 平面. 【小问2详解】 由（1）知，平面 又与平面 平面；平面，所以； 为矩形 平面是平面内两条相交直线 平面 平面 平面平面， . 16. 已知的三个角的对边分别为， （1）已知，求边上中线长. （2）请用表示边的中线长，并写出推导过程. 【答案】（1） （2），过程见解析 【解析】 【分析】（1）设边上的中线记为，根据余弦定理得和 ，解得. （2）利用余弦定理求出边上的中线即可． 【小问1详解】 设边上的中线记为，根据余弦定理得, 所以， 所以. 【小问2详解】 边的中线长为, 证明：设边BC上的中线记为ma， 根据余弦定理得， 所以 ， 所以. 17. 为检测同学体能，学校从高一年级随机抽取了100名同学参加体能测试，并将成绩分数分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． （1）估计这100名同学体能成绩分数的平均分和第66百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人进行成绩分析，第二组同学成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组同学成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差． 【答案】（1）平均数为，第66百分位数为73 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意先求出，进一步结合平均数公式、百分位数的定义即可列式求解； （2）首先算出抽样比，再根据加权平均公式以及方差性质即可列式求解. 【小问1详解】 由题意可知：，解得， 可知每组的频率依次为： 所以平均数为， 因为， 设第66百分位数为，则，则， 解得，故第66百分位数为73． 【小问2详解】 设第二组、第四组同学成绩的平均数与方差分别为， 且两组频率之比为， 则第二组和第四组所有同学成绩的平均数， 第二组和第四组所有同学成绩的方差 ． 故估计第二组和第四组所有同学成绩的方差是． 18. Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． （1）求乙答对题的概率； （2）若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的方程解得即可. （2）两人共答对3次，只可能为甲答对2次乙答对1次或甲答对1次乙答对2次，列式解得即可. 【小问1详解】 设“甲答对每题的概率”为事件，“乙答对每题的概率”为事件， 由已知， 则乙连续2次答错的概率， 由题意得，解得或（舍去）， 乙答对题的概率为． 【小问2详解】 事件甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次，可表示为事件：甲答对一次、乙2次全部答对， 与事件：乙只答对一次、甲2次全部答对的和事件． 甲答对一次、乙2次全部答对的概率为， 乙只答对一次、甲2次全部答对的概率为， 故两人共答对3次的概率为． 所以甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次的概率为． 19. 如下左图，矩形中，，，.过顶点作对角线的垂线，交对角线于点，交边于点，现将沿翻折，形成四面体，如下右图. （1）求四面体外接球的体积； （2）求证：平面平面； （3）若点为棱的中点，请判断在将沿翻折过程中，直线能否平行于面.若能请求出此时的二面角的大小；若不能，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，根据矩形的性质可知四面体外接球的半径，即可求出外接球的体积； （2）依题意，，即可得到平面，从而得证； （3）过点作交于点，连接，即可证明平面，再假设平面，即可得到平面平面，由面面平行的性质得到，推出矛盾，即可得解. 【小问1详解】 取的中点，连接、，因为四边形是矩形， 所以， 所以四面体外接球的半径， 所以四面体外接球的体积； 【小问2详解】 因为，，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以平面平面； 【小问3详解】 因为，所以，所以 即， 在中，，所以， 过点作交于点，连接， 易知，且，平面，平面，所以平面， 假设平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以， 又点为棱的中点，所以点为线段的中点， 事实上，而， 所以，即点不是线段的中点， 故假设不成立，所以在将沿翻折过程中，直线不能平行于面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $