新高二开学考试模拟卷（测试范围：必修二+空间向量与立体几何、直线与圆的方程）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修一）

新高二开学考试模拟卷 满分：150分 测试范围：必修二+空间向量与立体几何、直线与圆的方程 一．选择题（共8小题） 1．若复数，则的实部为　　 A． B． C．1 D． 2．直线的倾斜角是　　 A． B． C． D． 3．若向量，满足，，，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 4．空间直角坐标系中，点，4，关于轴对称的点坐标为　　 A．，4， B．，， C．，， D．，4， 5．若直线与圆相切，则等于　　 A．2 B．1 C． D．4 6．中，角，，的对边分别为，，，且，为　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 7．如图，是边长为4的正方形，动点在以为直径的圆弧上，则的最大值为　　 A．4 B．8 C．16 D．32 8．在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若是与的交点，是的中点，则　　 A．5 B．7 C．3 D． 二．多选题（共3小题） 9．设，，为复数，，则下列命题正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，互为共轭复数，则为实数 D．若为虚数单位，为正整数，则 10．对于两个平面，和两条直线，，下列命题中假命题是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 11．下列各对向量中，共线的是　　 A． B． C． D． 三．填空题（共3小题） 12．已知点，，若直线与线段（含端点）相交，则的取值范围为 　　． 13．已知圆的圆心在直线上，且过点、，则圆的一般方程为 　　． 14．在正三棱台中，侧棱长均为，侧棱与底面所成的角，，则该三棱台的外接球的体积为 　　． 四．解答题（共5小题） 15．已知复数满足，． （1）求； （2）设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，求，． 16．的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 17．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式．某直播平台有800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示．为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取60个直播商家进行问询交流． （1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示． 估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； 若将平均日利润超过470元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数． 18．已知圆，直线． （1）若直线与圆交于不同的两点，，当时，求的值． （2）若，是直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点为、，探究：直线是否过定点； （3）若、为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值． 19．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马” 中，侧棱底面，且． （1）若，试计算底面面积的最大值； （2）过棱的中点作，交于点，连，，，若平面与平面所成锐二面角的大小为， 证明：平面； 试求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高二开学考试模拟卷 满分：150分 测试范围：必修二+空间向量与立体几何、直线与圆的方程 2024年07月17日15921142042的高中数学组卷 一．选择题（共8小题） 1．若复数，则的实部为　　 A． B． C．1 D． 【分析】利用复数的代数形式的运算法则求出，由此能求出的实部． 【解答】解：， 的实部为， 故选：． 【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 2．直线的倾斜角是　　 A． B． C． D． 【分析】设出直线的倾斜角，求出斜率，就是倾斜角的正切值，然后求出倾斜角． 【解答】解：设直线的倾斜角为，由题意直线的斜率为，即 所以 故选：． 【点评】本题考查直线的倾斜角、直线的斜率，考查计算能力，是基础题． 3．若向量，满足，，，则与的夹角为　　 A． B． C． D． 【分析】根据向量垂直结合数量积即可求解结论． 【解答】解：向量，满足，，， ，即， 可得：， 可得， 与的夹角为， 故选：． 【点评】本题主要考查向量的夹角公式，属于基础题． 4．空间直角坐标系中，点，4，关于轴对称的点坐标为　　 A．，4， B．，， C．，， D．，4， 【分析】根据点，，关于轴对称的点的坐标为，，，求出答案即可． 【解答】解：点，4，是空间直角坐标系中的一点， 点关于轴对称的点的坐标为，，． 故选：． 【点评】本题考查点的坐标，考查空间直角坐标系的性质，是基础题． 5．若直线与圆相切，则等于　　 A．2 B．1 C． D．4 【分析】由已知结合直线与圆相切的性质即可求解． 【解答】解：因为直线与圆相切， 又圆可化为， 由题意得， 解得． 故选：． 【点评】本题主要考查了直线与圆相切的性质的应用，属于基础题． 6．中，角，，的对边分别为，，，且，为　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【分析】由题意利用正弦定理、二倍角的余弦公式、诱导公式可得，可得，或，从而判断的形状． 【解答】解：， 由正弦定理可得： ， 即， 即， 即， 或， 或， 故为直角三角形或等腰三角形． 故选：． 【点评】本题主要考查正弦定理，二倍角的余弦公式，是基础题． 7．如图，是边长为4的正方形，动点在以为直径的圆弧上，则的最大值为　　 A．4 B．8 C．16 D．32 【分析】以中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则可设，，由向量数量积坐标运算可整理得到，由可求得结果． 【解答】解：设中点为，则以为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系， 则圆弧的方程为，，， 设，， ， ， ，，， 即的最大值为16． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的数量积的性质及其运算，考查了转化思想，属中档题． 8．在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若是与的交点，是的中点，则　　 A．5 B．7 C．3 D． 【分析】根据数量积的定义可得，再结合向量的线性运算以及数量积的运算律运算求解． 【解答】解：，，，， ， ， ， 而 ， 又， ， ，即． 故选：． 【点评】本题主要考查空间中点、线、面之间的位置关系，属于中档题． 二．多选题（共3小题） 9．设，，为复数，，则下列命题正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，互为共轭复数，则为实数 D．若为虚数单位，为正整数，则 【分析】根据复数的模、复数乘法、共轭复数、复数的乘方等知识对选项进行分析，从而确定正确答案． 【解答】解：对于项，取，，满足，但是不成立，故项错误； 对于项，当时，有，又，所以，故项正确； 对于项，，互为共轭复数，则， 即为实数，故项正确； 对于项，，故项错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题． 10．对于两个平面，和两条直线，，下列命题中假命题是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案． 【解答】解：若，，则或，故错误； 若，，则或或与相交，故错误； 若，，，则或与相交或与异面，故错误； 若，，，则，故正确． 故选：． 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题． 11．下列各对向量中，共线的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用平面向量共线的条件即可解决． 【解答】解：设，则， 选项中，；选项中，； 选项中，；选项中，，满足上述等式的只有，项． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 三．填空题（共3小题） 12．已知点，，若直线与线段（含端点）相交，则的取值范围为 　　． 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，数形结合求得实数的取值范围． 【解答】解：由可得，可知直线为过定点，斜率为的直线， 可得， 若直线与线段（含端点）相交，则或， 所以的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了直线的斜率公式的应用，属于基础题． 13．已知圆的圆心在直线上，且过点、，则圆的一般方程为 　　． 【分析】先求出线段的中垂线所在直线的方程，再将其与已知直线联立求得圆心的坐标，及圆的半径，然后写出圆的标准方程，并化成一般方程，即可． 【解答】解：因为点、， 所以的中点坐标为，直线的斜率为， 由垂径定理知，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立，解得，，即， 所以圆的半径为， 所以圆的标准方程为，化成一般方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查圆的一般方程的求法，熟练掌握两条直线的垂直关系，圆的标准方程是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 14．在正三棱台中，侧棱长均为，侧棱与底面所成的角，，则该三棱台的外接球的体积为 　　． 【分析】首先利用三棱台的性质求出，，，进一步求出三棱台的外接球的半径，最后求出球的体积． 【解答】解：正三棱台中，侧棱长均为，侧棱与底面所成的角，， 如图所示：设点和为上下底面的中心，故，故底面，过点作于点， 所以， 在△中，，， 在正和正△中， ，， 所以，解得，． 所以， 所以为等边三角形； 故点为正三棱台中的外接球的球心； 故外接球的半径， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：三棱台和外接球的关系，球的半径的求法，球的体积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 四．解答题（共5小题） 15．已知复数满足，． （1）求； （2）设复数，，在复平面内对应的点分别为，，，求，． 【分析】（1）根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数模公式，即可求解； （2）根据已知条件，结合复数的四则运算，复数的几何意义，求出，，，再结合向量的夹角公式，即可求解． 【解答】解：（1）复数满足，． 所以， 所以， 故； （2）由（1）得， 则， ，则， ，则， 所以，，． 故，． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题． 16．的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可得解； （2）利用三角形面积公式与余弦定理依次求得，，，从而得解． 【解答】解：（1）因为， 由正弦定理可得， 又，，所以， 又，所以； （2）由，得， 由余弦定理得， 又因为， 所以， 所以，所以， 所以的周长为． 【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属中档题． 17．近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式．某直播平台有800个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示．为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取60个直播商家进行问询交流． （1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的60个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示． 估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； 若将平均日利润超过470元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数． 【分析】（1）根据分层抽样的定义计算即可； （2）根据中位数和平均数的定义计算即可； 根据样本中“优秀商家”的个数来估计总体中“优秀商家”的个数即可． 【解答】解：（1）由图①可得，小吃类所占百分比为， 应抽取小吃类家，生鲜类家； （2）， ， ，， 中位数落在，，设中位数为， 则， 解得， 即中位数为， 平均数为： ； ， ， 即估计该直播平台“优质商家”有256家． 【点评】本题主要考查了分层抽样的定义，中位数和平均数的定义等相关知识，属于基础题． 18．已知圆，直线． （1）若直线与圆交于不同的两点，，当时，求的值． （2）若，是直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点为、，探究：直线是否过定点； （3）若、为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，求四边形的面积的最大值． 【分析】（1）利用点到直线的距离公式，结合点到的距离，可求的值； （2）由题意可知：、、、四点共圆且在以为直径的圆上，、在圆上可得直线，的方程，即可求得直线是否过定点； （3）设圆心到直线、的距离分别为，．则，表示出四边形的面积，利用基本不等式，可求四边形的面积最大值． 【解答】解：（1），点到的距离（2分） ， （4分） （2）由题意可知：、、、四点共圆且在以为直径的圆上， 设，其方程为：， 即， 又、在圆上 ， 即（7分） 由，得， 直线过定点（9分） （3）设圆心到直线、的距离分别为，． 则（11分） ， 当且仅当即时，取“” 四边形的面积的最大值为．（14分） 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查四边形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题． 19．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马” 中，侧棱底面，且． （1）若，试计算底面面积的最大值； （2）过棱的中点作，交于点，连，，，若平面与平面所成锐二面角的大小为， 证明：平面； 试求的值． 【分析】（1）由线面垂直得，，由基本不等式可得最小值； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，向量法证明，又已知，从而可证平面； 设出，分别求解出平面与平面的法向量，然后利用已知条件，求解出，即可求解出的值． 【解答】解：（1）设，， 由已知可知，而底面的面积为， 则由均值不等式，可知， 当且仅当时等号成立； （2）证明：如图，以点为原点，射线，，分别为轴，轴，轴的正半轴， 建立空间直角坐标系， 设，，则，0，，，0，，，1，，，1，， 所以，由于是的中点， 则，故， 于是，即， 又已知，而， 所以平面； 由是平面的一个法向量， 而因为平面，所以是平面的一个法向量， 由已知平面与平面所成锐二面角的大小为， 则， 解得， 所以． 故当平面与平面所成锐二面角的大小为． 【点评】本题考查了基本不等式和二面角的应用，属于难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$