专题01 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题01 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型1.“A”字模型 2 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 7 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 20 【知识储备】A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 例1．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，平分，交于点，作，交于点，若，，则的长为（     ） A． B．9 C． D．8 【答案】B 【分析】先证，则，，再证明得，即，由此即可求出的长．此题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】解：平分，， ，，，，， ，∴ ，，即，，故选：B 例2．（23-24安徽九年级期中）如图，在中，、分别是边上的高，求证：． 【答案】见解析 【分析】设与交于点，首先利用两个角相等可说明，得，从而证明． 【详解】证明：设与交于点，    ∵分别是边上的高， 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，证明，得出是解题的关键． 例3.（2023·安徽·九年级期末）如图，在三角形中，点D、E分别在边、上，，，，．(1)求证：；(2)若的平分线交于点F，交于点G，求．    【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）证明，，可得，结合，从而可得结论； （2）由（1）可得，可得，证明，可得，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴，．∴，，∴， 又∵，∴，∴． （2）由（1）可得，∴， 又∵平分，∴，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定方法是解本题关键． 例4．（2023·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段的和与差等知识．解题的关键是根据比例表示出相应线段列方程．根据三角形相似，找到对应线段成比例列方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵四边形是正方形，，， ，，， ，，， 解得：，正方形的面积为故答案为： 变式1．（2024·湖南永州·模拟预测）如图：中，，，，把边长分别为，，，…的n个正方形依次放在中；第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，图形类的规律型问题．先由正方形的性质得到，，则，，即可推出，即，从而求出，同理可证，得到，即，推出，即可得到规律可推出第n个正方形的边长，由此即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，∴， ∴，即，∴，∴， 同理可证， ∴，即，∴，同理可求得， ∴可以推出第n个正方形的边长为，∴第2024个正方形的边长为，故答案为：． 变式2．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切函数的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质和正切的定义是解题关键，过点C作交于点E计算即可． 【详解】解：如图，过点C作交于点E． ∵，，∴．∵，∴设，． ∵，∴，∴． ∵，∴，∴．故选：D． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 例1．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到，，再证明，进而可证明，由相似三角形的性质可得，即． 【详解】解：∵正方形的对角线相交于点O，∴，， ∵点E是的中点，∴，∵，∴，∴， ∴，即，故答案为：． 例2．（2024·辽宁朝阳·三模）如图，点D是等边边上一动点，线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，连接并延长交与点E，若，，则的长是 ．    【答案】或 【分析】证明得，，证明得，作于点M，根据勾股定理求出，，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形，∴． 由旋转的性质得，，∴，∴，． ∵，∴，∴．如图，作于点M，    ∵，∴，∴，． 当点D靠近点C时，，∴，∴； 当点D靠近点A时，  ，∴，∴．故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三线合一等知识，分类讨论是解答本题的关键． 例3.（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，与交于点O，过点O，交于点E，交于点，．（1）求证：．（2）若，求． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】(1)证明△OAB∽△ODC，可得出结论； (2) 证得AB//CD，可得，则可得结果 . 【详解】证明：（1）．， ． （2） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟悉并灵活运用以上性质是解题的关键． 例4．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，，，然后勾股定理求出，，然后证明出，得到，求出，然后证明出，得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：菱形的边长为6，， ，，，， ，，在中，， ，，， ，，在中，， ，，，， ，，，， ．故答案为：． 变式1．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，在等边中，，D为边上一点，，连接，将绕点D顺时针旋转得到，交于点F，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，先求出，再证明是等边三角形，进而证明得到；如图所示，过点E作交于H，则可证明是等边三角形，得到，再证明，即可得到． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵，∴，由旋转的性质可得， ∴是等边三角形，∴，∴， ∴，∴，如图所示，过点E作交于H， ∴，∴是等边三角形，∴， ∵，∴，∴，故选：B． 变式2．（2024·宁夏银川·二模）综合与实践 莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心． 教材重现： 如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？ 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）如图，是的边上的中线． (1)初步观察：连接，则与的数量关系是：________；(2)初步探究：请帮助莹莹求出的面积； (3)猜想验证：莹莹通过测量惊奇地发现，．她的发现正确吗？请说明理由． 【答案】(1)(2)；(3)正确，理由见解析 【分析】（1）直接利用证明，即可证明；（2）先根据折叠的性质和勾股定理得出的长度，连接，由中位线的性质可得，再证明，利用相似三角形的性质得出的长，继而求出面积即可；（3）连接，由中位线的性质可得，再证明，利用相似三角形的性质得出数量关系． 【详解】（1）解：，理由如下，由折叠可得，， 又∵，∴，∴，故答案为：； （2）解：由折叠可得，， ∵，∴，连接，    ∵点D、E分别为的中点，∴是的中位线，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴； （3）解：正确，理由如下：连接，    ∵点D、E分别为的中点，∴是的中位线， ∴，∴，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点，并添加适当的辅助线是解题的关键． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 例1.（2024.湖北九年级期中）如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE． （1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的长度． 【答案】见解析 【解答】（1）证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴， 又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC； （2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，∠ADE＝∠ABC， ∴DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴，即，∴FC＝6． 例2．（23-24九年级上·湖南·阶段练习）已知如图，，若，则的值为(   )    A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据，可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】解：∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴．选：C 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由，可证，则，同理可得：，则，两边同时除以，可得． （2）由，，，，可得，，证明，则，同理，，则，两边同时除以得，，进而可得； （3）由（1）可知，，，则，解得，，则，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三角形的判定条件． 变式1．（2024·浙江·九年级期中）如图，中，中线，交于点，交于点．（1）求的值．（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 【答案】（1）3；（2），证明见解析 【分析】（1）先证明，再证明，得到，则问题可解； （2）根据题意分别证明，问题可证． 【详解】解：（1）是的中点，是的中点，，， ，，，，， ，，，，，． （2）当，时，由（1）可得 ，，，， ，，， 又，，，，， ，，． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明三角形相似． 变式2．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践 在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变，经过焦点的光线经凸透镜折射后平行于主光轴沿射出，与光线交于点，过点作主光轴的垂线段，垂足为，即可得出物体所成的像． 【模型验证】设焦点到光心的距离称为焦距，记为；物体到光心的距离称为物距，记为；像到光心的距离称为像距，记为． 已知，，当时，求证：． 证明：∵，，∴ 又∵，∴， ∴，即，同理可得， ∴，即 ① ，∴ ② ， ∴，∴，即． 请结合上述材料，解决以下问题： (1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含的代数式表示)；(2)若该凸透镜的焦距为20，物体距凸透镜的距离为30，物高为10，则物体所成的像的高度为__________； (3)如图2，由物理学知识知“经过点且平行于主光轴的光线经凸透镜折射后经过点”，小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线始终经过主光轴上一定点．若该凸透镜的焦距为20，物高为10，试说明这一物理现象． 【答案】(1)①②(2)20(3)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）分别证明，，由相似三角形的性质可得，整理可得，等号两边同时除以，即可获得答案； （2）结合（1），首先解得，结合，代入数值求解即可； （3）设与交于点，证明四边形为矩形，易得，再证明，由相似三角形的性质可得，结合（1）可得，等号两边同时加1，整理可得，结合可得出，即可说明这一物理现象． 【详解】（1）证明：∵，，∴ 又∵，∴，∴，即， 同理可得，∴，即，∴， ∴，∴，即．故答案为：①；②； （2）由（1）可知，，， 当，，时，可得，解得， ∴可有，解得，即物体所成的像的高度为．故答案为：20； （3）如下图，设与交于点，根据题意，， ∵，∴， ∴四边形为矩形，∴， ∵，，∴， ∴，即，由（1）可知，，∴， ∴，∴，即，∴， ∵，∴， ∴小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距，光线始终经过主光轴上一定点，该定点透镜为焦点． 1．（2024·江苏南京·一模）如图，，分别垂直，垂足分别为，，连接，交于点，作，垂足为．设，，，若，则下列等式：①；②；③，其中一定成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、等式的性质、乘法公式等知识．由，，，，则，，所以，，则，所以，则，，由，得，所以，则，可判断①符合题意；由得，因为不一定等于，所以与不一定相等，可判断②不符合题意；由，且，得，可判断③符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，，，，， ∴，，， ，，，，，， ，，，，故①符合题意； 由得，与不一定相等，不一定等于， 与不一定相等，故②不符合题意； ，且，，故③符合题意，故选：B． 2．（2024·广东广州·二模）如图，在正方形中，为上一点，连接与交于点，点在上，点在上，连接交于点，且，垂足为，若为的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．①② 【答案】A 【分析】过点作于点，证明即可判断①；采用特殊值法判断②，若点是的中点，则，又，得到，从而，故②错误；过点作，交于点，交于点，证得，得到，，根据正方形的性质与得到，进而有，从而可证得，有，因此，故③正确；利用反证法证明④，假设成立，则，根据同角的余角相等推出，即，而是定值，随着点的变化而变化，故不成立，从而不成立，故④错误． 【详解】解：如图，过点作于点，， 在正方形中，，四边形是矩形，， 在正方形中，，， ，，， ，， ，，；故①正确； 如图，若点是的中点，则， 设正方形的边长为，即，， 在中，， 点是的中点，，，， ，，， ，即，， ，在矩形中，， 在正方形中，，，，，故②错误； 过点作，交于点，交于点，，， 点是的中点，，，，， 在正方形中，平分，， ，， ，，， 由①知，，，，，即， 由①得，四边形是矩形，，， ，，，，， ，，，故③正确； 对于④，假设成立，则， ，，，，， 是定值，随着点的变化而变化，不成立， 不成立．故④错误．故选：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，熟练运用相关知识，运用特殊值法与反证法是解决本题的关键． 3．（2024·云南·模拟预测）如图，在中，，、分别为、上的中点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定， 首先证明出，得到，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵、分别为、上的中点∴ 又∵∴∴ ∴．故选：B． 4．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出，根据对应边上的中线比等于相似比，求出的长，三线合一求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵等腰中，，，∴， ∵为中线，∴，， ∴，，∴， ∵将沿其底边中线向下平移， ∴，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴；故答案为：． 5．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在四边形中，，对角线与相交于点E，，若，则 ． 【答案】 【分析】过点B作于M，过点D作，交的延长线于M，连接，根据题意易得为等边三角形，利用勾股定理求出，证明，易得，再用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点B作于M，过点D作，交的延长线于N，连接，如下图所示： ∵，∴为等边三角形，∴， 由勾股定理得：，∵，∴， ∴，即，，即， ∴，∴， ∵，∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了，等边三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 6．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，P为边上的动点，于点M，连接并延长交于点N，当N为边上中点时，若，则 ． 【答案】/ 【分析】先证明，，，可得，，如图，过作，可得，，可得，设，则，再建立方程求解即可 【详解】解：∵等腰中，，，N为边上中点， ∴，，， ∵，∴，， 如图，过作，∴，， ∴是的中位线，∴， 设，则，∴， ∵，∴，∴， 解得：，经检验符合题意；∴，故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 7．（2024·北京平谷·二模）如图，正方形的边长为3，点E为边的中点，连接，与相交于点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，余弦，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意可求，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，，，∴， ∵，∴，， ∴，∴，即，解得，，故答案为：． 8．（2024·内蒙古呼和浩特·三模）如图所示，在中，是的角平分线，且，为垂足，点在线段上，，过作，交于点，若四边形的面积为，则 ，四边形的面积为 ．    【答案】 / 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．由角平分线的定义和可推出，得到，结合可得，由可得，得到，设的面积为，根据面积比列出方程即可求解． 【详解】解：是的角平分线，， ，，，， ，，，，，， ，，， 设的面积为，，， 四边形的面积为，，，， ，四边形的面积．故答案为：，． 9．（2024·吉林长春·二模）如图，在中，，连接，交于点，则的长为 ．    【答案】3 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，在平行四边形中找出相似三角形是解题的关键．根据平行四边形的性质可证，再根据对应边成比例求解即可． 【详解】解：在中，，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴故答案为：3 10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正方形的边长为2，M是的中点，N是上的动点，过点N作，分别交、于点E、F，若的值为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形综合，涉及三角形全等的判定和性质，矩形和平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．过F作于G，证明，得到，将沿方向平移至，连接，得四边形是平行四边形，得，证点、、三点共线，过H作的垂线，交的延长线于点I，延长交的延长线于点K，得四边形为矩形，证，求出，，最后利用即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为2，M是的中点， ∴，，， ∴，如图，过作于G，则四边形为矩形， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，将沿方向平移至，连接， ∴四边形是平行四边形，∴，， ∴，过H作的垂线，交的延长线于点I，延长交的延长线于点K， ∴四边形为矩形，∴，，， ∵，，∴，∴为等腰直角三角形， ∴，∴，∴点、、三点共线， ∵，，∴，，∴， ∵，，∴，∴，， ∴，，∵，， ∴，∴，即：，解得：，故答案为：． 11．（23-24江西九年级期中）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图②，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明尝试证明： (1)请参照小慧提供的思路，利用图②证明：． 应用拓展：(2)如图③，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）根据平行线的性质得，，从而证明，得，再利用等腰三角形的判定证，即可得证； （2）由折叠的性质得，，结合（1）可知，，从而由比例的性质得，利用勾股定理得，从而得即可得解． 【详解】（1）证明：∵，∴，，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴． （2）解：∵将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处， ∴，，由（1）可知，， 又∵，∴ ∴， ∵，∴ ∴，∴，∴；∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、相似三角形的判定及性质、勾股定理、比例的性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及勾股定理是解题得得关键． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）某乡镇为创建特色小镇，决定在该乡镇的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽．如图，该河道两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点C和点D，分别在的延长线上取点E、F，使得，经测量，米，米，且点F到河岸的距离为90米．已知于点B，请你根据提供的数据，帮助他们计算河宽．    【答案】宽为120米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，过F作于G，则，证明，可得，再，得到，即可解答，熟练证明三角形相似是解题的关键. 【详解】解：如图所示，过F作于G，则，    ∵，∴，， ∴，∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴， ∴，即，解得，∴河宽为120米. 13．（2024·河南安阳·模拟预测）阅读材料： 定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 已知：如图1，在中…… 求证…… 证明：延长到点F，使，连接…… 甲、乙两人后续证明的部分思路如下： 甲：如图2，先证明，再推理得出四边形是平行四边形． 乙：如图3，连接，先后证明四边形，分别为平行四边形． (1)请补充已知、求证： 已知：________________，求证：________________． (2)你认为证明思路正确的是_______． A．甲正确    B．乙正确        C．甲、乙均正确    D．甲、乙均不正确 (3)请你用一种不同于甲、乙的思路就图1写出该定理的证明过程． 【答案】(1)已知：点D，E分别是，的中点； 求证：，(2)C(3)详见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质以及三角形中位线定理的证明等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键. （1）利用题目借助图形直接写出已知和求证即可； （2）甲:证得 则，再证四边形是平行四边形, 得即可解决问题；乙：证四边形是平行四边形，得, 再证四边形是平行四边形，得, 即可解决问题； （3）证明，即可得到，，进而得到结论． 【详解】（1）解：已知：点D，E分别是，的中点； 求证：，． （2）解：甲: ∵ 是的中点,∴, ∵,∴, ∴,∴, ∵是的中点,∴,∴, ∴四边形是平行四边形，∴, , ，故甲的思路正确； 乙: ∵是的中点,∴, ∵,∴四边形是平行四边形，∴, ∵是的中点,∴,∴, ∴四边形是平行四边形，∴, ，，故乙的思路正确；故选: C. （3）证明：∵D，E分别是，的中点， ∴，，∴，又∵，∴， ∴，，∴，． 14．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．(1)若，求线段的长．(2)若的面积为3，求平行四边形的面积．    【答案】(1)(2)24 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．（1）根据平行四边形的性质得出，证明，得出，根据，求出；（2）根据平行四边形的性质得出，，说明，，得出，求出，得出，根据，求出，得出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴； （2）解：∵，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，，， ∴，∴，， ∴，∴，∵的面积为3，∴， ∵，∴，∴， ∴平行四边形的面积． 15．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于两点，已知，连接，分别为线段上动点（不含端点），连接． (1)求直线所对应的函数解析式； (2)如图1，作轴于点，作轴于点，当四边形是正方形时，求长度； (3)如图2，为轴上动点，连接，当四边形是平行四边形时，若设点的横坐标为，点的纵坐标为，请求关于的函数解析式及相应的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】（1）先求得，，设直线所对应的函数解析式为，利用待定系数法求解即可；（2）设正方形的边长为，证明，利用相似三角形的性质求得，再证明，据此求解即可；（3）求得，，同理证明，利用相似三角形的性质求得，整理后即可求解． 【详解】（1）解：当时，，当时，，∴，， 设直线所对应的函数解析式为， 把代入得，解得，∴直线所对应的函数解析式为； （2）解：∵，，，∴，，，∴， 设正方形的边长为，则，， ∵四边形是正方形，∴， ∴，则，即，解得，则， ∵四边形是正方形，∴，∴，∴，即，∴； （3）解：∵点的横坐标为，点的纵坐标为，∴，， ∵四边形是平行四边形，∴，， ∴，则，即，整理得． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，正方形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．证明是解题的关键． 16．（23-24八年级下·上海·期末）如图：已知在中，是边上一点，连结、，延长、相交于点，．(1)求证：；(2)求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的判定定理是本题的关键．（1）通过证明，可得结论； （2）通过证明，可得，可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）证明：∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴． 17. （2023山东一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB． （1）若点D是边BC的中点，且BE＝CF，求证：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求证：四边形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值． 【分析】（1）根据中点和平行两个条件可得中点，从而可得DE是△ABC的中位线，进而可得DE＝FC，同理可得DF＝BE，即可解答； （2）根据已知易证四边形AEDF是平行四边形，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝∠CAD，然后利用平行线的性质可得∠EDA＝∠CAD，从而可得∠BAD＝∠EDA，进而可得EA＝ED，即可解答； （3）根据A字模型相似三角形可知△BED∽△BAC，△CDF∽△CBA，从而可得＝，＝，然后把两个式子相加进行计算，即可解答． 【解答】（1）证明：∵点D是边BC的中点，DE∥CA， ∴点E是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC， ∵点D是边BC的中点，DF∥AB，∴点F是AC的中点， ∴FC＝AC，∴DE＝FC，同理可得：DF＝BE， ∵BE＝FC，∴DE＝DF； （2）证明：∵DE∥CA，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形， ∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分线， ∴AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四边形AEDF是菱形； （3）∵DE∥CA，∴∠EDB＝∠C， ∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BAC，∴＝， ∵DF∥AB，∴∠B＝∠FDC， ∵∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝， ∴+＝+＝＝1， ∵四边形AEDF是平行四边形，∴DE＝AF，DF＝AE， ∵AE＝AF＝1，∴DE＝DF＝1，∴+＝1，∴+的值为1． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式的化简求值，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及A字模型相似三角形的关键． 18．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）【结论提出】：三角形的角平分线分对边所成的两条线段段比等于夹这个角的两条边的比． 【思路说明】（1）已知：如图1，中，平分 交于D．试说明：． 理由：过点C作，交BA延长线于点E，易得______， 由，平分，可得______，代入上式得．    【直接应用】（2）如图2，中，，平分交于D，若，，在不添加辅助线的情况下直接写出 ． （3）如图3，若四边形为矩形，，，将沿翻折得到，延长、分别交于M、H两点，当时．①求的长；②直接写出 ． 【拓展延伸】（4）如图4，若平行四边形中，，，当点E为边的三等分点时，将沿翻折得到，直线与所在直线交于点P、与所在直线交于点Q，请直接写出的长 ．    【答案】（1）；；（2）；（3）①；②；（4）的长为或． 【分析】（1）根据平行线分线段成比例，以及平行线的性质和角平分线的定义作答即可； （2）由三角形的角平分线分对边所成的两条线段的比等于夹这个角的两条边的比，求出与的比值，再利用勾股定理进行计算即可；（3）①设利用翻折的性质和勾股定理进行求解即可； ②证明，得到平分，利用结论即可得解； （4）分和两种情况进行求解．过点作于点，利用角平分线的结论，以及勾股定理求出，再利用平行四边形的对边平行的性质得到，利用相似比进行计算即可． 【详解】解：（1）∵，∴，， ∵平分，∴，∴，∴， ∴；故答案为：；； （2）解：∵平分，由（1）知：， 设，，∵，， ∴，即：，解得：，∴； （3）解：①∵四边形是矩形，，，∴， ∵翻折，∴，∴， ∵，设，则：，在中： ， ∴，解得：，∴，； ②连接，在和中，，， ，即平分，；       （4）解：当时， ∵平行四边形中，，， ∴，， ∵翻折，∴，，，， ∴平分，∴，即， ∴设，则，∴，过点作于点， ∵，，， ，，， 即：，整理得，解得：或， ∴（舍去）或， ∵，，即：，； 当时：如图，过点作交的延长线于点，    同理可证：，∴平分， ∴，即，∴设，则，∴， ，，， ，，即：， 整理得，解得：或，∴或（舍去）， ∵，，即：，； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查三角形的角平分线分对边所成的两条线段的比等于夹这个角的两条边的比．同时考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，综合性很强，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型1.“A”字模型 2 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 7 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 14 20 【知识储备】A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 例1．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，平分，交于点，作，交于点，若，，则的长为（     ） A． B．9 C． D．8 例2．（23-24安徽九年级期中）如图，在中，、分别是边上的高，求证：． 例3.（2023·安徽·九年级期末）如图，在三角形中，点D、E分别在边、上，，，，．(1)求证：；(2)若的平分线交于点F，交于点G，求．    例4．（2023·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为 ． 变式1．（2024·湖南永州·模拟预测）如图：中，，，，把边长分别为，，，…的n个正方形依次放在中；第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长为 ． 变式2．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 例1．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形的对角线相交于点O，点E是的中点，点F是上一点．连接．若，则的值为 ． 例2．（2024·辽宁朝阳·三模）如图，点D是等边边上一动点，线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，连接并延长交与点E，若，，则的长是 ．    例3.（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，与交于点O，过点O，交于点E，交于点，．（1）求证：．（2）若，求． 例4．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ． 变式1．（23-24八年级下·重庆·期末）如图，在等边中，，D为边上一点，，连接，将绕点D顺时针旋转得到，交于点F，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 变式2．（2024·宁夏银川·二模）综合与实践 莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心． 教材重现： 如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？ 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）如图，是的边上的中线． (1)初步观察：连接，则与的数量关系是：________；(2)初步探究：请帮助莹莹求出的面积； (3)猜想验证：莹莹通过测量惊奇地发现，．她的发现正确吗？请说明理由． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 例1.（2024.湖北九年级期中）如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE． （1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若DF＝2，求FC的长度． 例2．（23-24九年级上·湖南·阶段练习）已知如图，，若，则的值为(   )    A．1 B． C．2 D． 例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 变式1．（2024·浙江·九年级期中）如图，中，中线，交于点，交于点．（1）求的值．（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 变式2．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践 在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变，经过焦点的光线经凸透镜折射后平行于主光轴沿射出，与光线交于点，过点作主光轴的垂线段，垂足为，即可得出物体所成的像． 【模型验证】设焦点到光心的距离称为焦距，记为；物体到光心的距离称为物距，记为；像到光心的距离称为像距，记为． 已知，，当时，求证：． 证明：∵，，∴ 又∵，∴， ∴，即，同理可得， ∴，即 ① ，∴ ② ， ∴，∴，即． 请结合上述材料，解决以下问题： (1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含的代数式表示)；(2)若该凸透镜的焦距为20，物体距凸透镜的距离为30，物高为10，则物体所成的像的高度为__________； (3)如图2，由物理学知识知“经过点且平行于主光轴的光线经凸透镜折射后经过点”，小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线始终经过主光轴上一定点．若该凸透镜的焦距为20，物高为10，试说明这一物理现象． 1．（2024·江苏南京·一模）如图，，分别垂直，垂足分别为，，连接，交于点，作，垂足为．设，，，若，则下列等式：①；②；③，其中一定成立的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2024·广东广州·二模）如图，在正方形中，为上一点，连接与交于点，点在上，点在上，连接交于点，且，垂足为，若为的中点，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．①② 3．（2024·云南·模拟预测）如图，在中，，、分别为、上的中点．则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ． 5．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）如图，在四边形中，，对角线与相交于点E，，若，则 ． 6．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰中，，P为边上的动点，于点M，连接并延长交于点N，当N为边上中点时，若，则 ． 7．（2024·北京平谷·二模）如图，正方形的边长为3，点E为边的中点，连接，与相交于点F，则的长为 ． 8．（2024·内蒙古呼和浩特·三模）如图所示，在中，是的角平分线，且，为垂足，点在线段上，，过作，交于点，若四边形的面积为，则 ，四边形的面积为 ．    9．（2024·吉林长春·二模）如图，在中，，连接，交于点，则的长为 ．    10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，正方形的边长为2，M是的中点，N是上的动点，过点N作，分别交、于点E、F，若的值为，则的长为 ． 11．（23-24江西九年级期中）问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图②，过点C作，交的延长线于点E，构造相似三角形来证明尝试证明： (1)请参照小慧提供的思路，利用图②证明：． 应用拓展：(2)如图③，在中，，D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，求的长． 12．（2024·陕西西安·模拟预测）某乡镇为创建特色小镇，决定在该乡镇的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽．如图，该河道两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点C和点D，分别在的延长线上取点E、F，使得，经测量，米，米，且点F到河岸的距离为90米．已知于点B，请你根据提供的数据，帮助他们计算河宽．    13．（2024·河南安阳·模拟预测）阅读材料： 定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 已知：如图1，在中…… 求证…… 证明：延长到点F，使，连接…… 甲、乙两人后续证明的部分思路如下： 甲：如图2，先证明，再推理得出四边形是平行四边形． 乙：如图3，连接，先后证明四边形，分别为平行四边形． (1)请补充已知、求证： 已知：________________，求证：________________． (2)你认为证明思路正确的是_______． A．甲正确    B．乙正确        C．甲、乙均正确    D．甲、乙均不正确 (3)请你用一种不同于甲、乙的思路就图1写出该定理的证明过程． 14．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．(1)若，求线段的长．(2)若的面积为3，求平行四边形的面积．    15．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于两点，已知，连接，分别为线段上动点（不含端点），连接． (1)求直线所对应的函数解析式； (2)如图1，作轴于点，作轴于点，当四边形是正方形时，求长度； (3)如图2，为轴上动点，连接，当四边形是平行四边形时，若设点的横坐标为，点的纵坐标为，请求关于的函数解析式及相应的取值范围． 16．（23-24八年级下·上海·期末）如图：已知在中，是边上一点，连结、，延长、相交于点，．(1)求证：；(2)求证：． 17. （2023山东一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB． （1）若点D是边BC的中点，且BE＝CF，求证：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求证：四边形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值． 18．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）【结论提出】：三角形的角平分线分对边所成的两条线段段比等于夹这个角的两条边的比． 【思路说明】（1）已知：如图1，中，平分 交于D．试说明：． 理由：过点C作，交BA延长线于点E，易得______， 由，平分，可得______，代入上式得．    【直接应用】（2）如图2，中，，平分交于D，若，，在不添加辅助线的情况下直接写出 ．（3）如图3，若四边形为矩形，，，将沿翻折得到，延长、分别交于M、H两点，当时．①求的长；②直接写出 ．【拓展延伸】（4）如图4，若平行四边形中，，，当点E为边的三等分点时，将沿翻折得到，直线与所在直线交于点P、与所在直线交于点Q，请直接写出的长 ．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$