专题1.8 空间向量与立体几何（能力提升卷）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.8 空间向量与立体几何（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二·湖北武汉·期末）已知，，且，则的值为（    ）. A． B．2 C． D． 2．（2024高二上·湖南郴州·阶段练习）为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二下·安徽·阶段练习）在空间四边形中，，，，点M在上，且，N为的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二上·山东枣庄·阶段练习）已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（2024高二下·江西·阶段练习）已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，AP⊥平面ABCD，，，E为PB的中点，点F满足，则异面直线EF，CD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二上·云南·阶段练习）在正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江西赣州·期中）在空间直角坐标系中，点，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·河南平顶山·期末）如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，，M，N分别是，AB的中点，设点P是线段DN上的动点，则MP的最小值为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024高二上·浙江湖州·阶段练习）如图，已知，分别是正方体的棱和的中点，则（    ） A．与是异面直线 B．与所成角的大小为 C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 10．（23-24高二上·浙江杭州·期末）在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（    ） A．平面 B．若是上的中点，则 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．存在点使直线与直线平行 11．（23-24高二上·湖北武汉·期中）在棱台中，底面分别是边长为4和2的正方形，侧面和侧面均为直角梯形，且平面，点为棱台表面上的一动点，且满足，则下列说法正确的是（    ）    A．二面角的余弦值为 B．棱台的体积为26 C．若点在侧面内运动，则四棱锥体积的最小值为 D．点的轨迹长度为 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024高二上·上海黄浦·阶段练习）已知长方体中，，．则直线和平面所成角的正弦值等于 ． 13．（23-24高二上·山东青岛·期中）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则的重心到直线BN的距离为 . 14．（23-24高二上·浙江金华·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，且，若异面直线和所成角的大小，则 . 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024高二上·全国·课后作业）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，在上，在上，且．    (1)求向量，的坐标； (2)求与所成角的余弦值． 16．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在长方体中，，，分别为线段，的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离. 17．（23-24高二上·湖北黄冈·期末）如图，四边形为矩形，，，为的中点，与交于点，平面. (1)若，求与所成角的余弦值； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（2024高三·福建·单元测试）如图1，在中， 分别是上的点，且，，将△沿折起到△的位置，使，如图2. (I)求证：； (II)线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由． 19．（2024·江西宜春·模拟预测）如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点． (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.8 空间向量与立体几何（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二·湖北武汉·期末）已知，，且，则的值为（    ）. A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由，可得存在实数使得，利用向量相等即可得出． 【详解】，4，， ，3，， ， 存在实数使得， ，解得，． ． 故选：． 【点睛】本题考查了空间向量坐标运算性质、向量共线定理、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．（2024高二上·湖南郴州·阶段练习）为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量共面基本定理的推论可求出的值. 【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共线， 若、、、四点共面，则， 因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面， 所以，，解得. 故选：C. 3．（2024高二下·安徽·阶段练习）在空间四边形中，，，，点M在上，且，N为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量基本定理结合已知条件求解 【详解】因为，所以， 因为N为的中点，所以， 所以 , 故选：A 4．（2024高二上·山东枣庄·阶段练习）已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解. 【详解】根据题意，. 设向量是直线的单位方向向量，， 则点C到直线AB的距离为. 故选：D. 5．（2024高二下·江西·阶段练习）已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，AP⊥平面ABCD，，，E为PB的中点，点F满足，则异面直线EF，CD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，由空间向量坐标求异面直线EF，CD所成角的余弦值即可. 【详解】如图：    以A为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，．设异面直线EF，CD所成的角为， 则． 故选：C. 6．（2024高二上·云南·阶段练习）在正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，计算平面的法向量，利用线面角的向量公式即得解 【详解】不妨设正方体的棱长为2，连接，以为坐标原点如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 由于平面，平面，故 又正方形，故 平面 故平面， 所以为平面的一个法向量 ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 故选：D 7．（23-24高二上·江西赣州·期中）在空间直角坐标系中，点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量坐标表示判断AB，根据向量模的坐标运算判断C，根据向量夹角计算公式判断D. 【详解】因为，，， 所以，，故AB错误； 因为， 所以，故C错误； 因为，故D正确. 故选：D 8．（23-24高二上·河南平顶山·期末）如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，，M，N分别是，AB的中点，设点P是线段DN上的动点，则MP的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，根据两点距离公式表示，利用二次函数求值域，即可得到本题答案. 【详解】以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为底面ABCD是边长为2的正方形，，所以， ∵点在平面上，∴设点的坐标为， ∵在上运动，∴ ，∴，∴点的坐标为， ∴， ∵，∴当时， 取得最小值. 故选：D 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024高二上·浙江湖州·阶段练习）如图，已知，分别是正方体的棱和的中点，则（    ） A．与是异面直线 B．与所成角的大小为 C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】根据异面直线的概念可判断A，建立空间直角坐标系，用向量的方法可判断BCD． 【详解】根据异面直线的概念可得“平面内一点与平面外一点的连线，与此平面内不经过该点的直线是异面直线异面直线”可知A正确； 以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，， ， ， ， 所以， ， 设与所成角的大小为， 则， 所以，故B正确； 由题意可知，平面的法向量可取， ， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为，故C错误； ， ， 设平面的法向量为， 则， 令，得， 同理可得平面的法向量， 则， 又因为二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD． 10．（23-24高二上·浙江杭州·期末）在直三棱柱中，，，分别是的中点，在线段上，则下面说法中正确的有（    ） A．平面 B．若是上的中点，则 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．存在点使直线与直线平行 【答案】AC 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断各选项的正误. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、 . 对于A选项，，易知平面的一个法向量为， ，则，又因为平面，所以，平面，故A正确； 对于B选项，当是线段的中点时，，， 则，故B错误； 对于C选项，由A知，易知平面的一个法向量为， 则，故C正确； 对于D选项，设，其中， ， 假设存在点使直线与直线平行，则存在使， 即，无解，所以假设不成立，故D错误. 故选：AC. 11．（23-24高二上·湖北武汉·期中）在棱台中，底面分别是边长为4和2的正方形，侧面和侧面均为直角梯形，且平面，点为棱台表面上的一动点，且满足，则下列说法正确的是（    ）    A．二面角的余弦值为 B．棱台的体积为26 C．若点在侧面内运动，则四棱锥体积的最小值为 D．点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量相关公式求出二面角的余弦值；B选项，利用棱台体积公式求出答案；C选项，设出，求出轨迹方程，得到点的轨迹，从而得到点到平面的最短距离为，利用体积公式求出答案；D选项，考虑点在各个面上运算，求出相应的轨迹，求出轨迹长度，相加后得到答案. 【详解】A选项，因为平面，平面， 所以， 又底面分别是边长为4和2的正方形， 故， 故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系， 则， 平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得，，故， 则， 又从图形可看出二面角为锐角， 故二面角余弦值为，A正确； B选项，棱台的体积为，B错误； C选项，若点在侧面内运动，， 设，则， 整理得， 故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在侧面内部（含边界）部分， 如图所示，圆弧即为所求， 过点作⊥于点，与圆弧交于点， 此时点到平面的距离最短， 由勾股定理得， 因为，， ， 故点到平面的最短距离为， 因为与平行，且⊥平面， 又平面，所以⊥， 故四边形为直角梯形，故面积为， 则四棱锥体积的最小值为，C正确； D选项，由C选项可知，当点在侧面内运动时，轨迹为圆弧， 设其圆心角为，则，故， 所以圆弧的长度为， 当点在面内运动时，， 设，则， 整理得， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在侧面内部（含边界）部分， 如图所示，圆弧即为所求轨迹，其中，故， 则圆弧长度为， 若点在面内运动时，， 设，则， 整理得， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在侧面内部（含边界）部分， 如图所示，圆弧即为所求，此时圆心角， 故圆弧长度为， 经检验，当点在其他面上运动时，均不合要求， 综上，点的轨迹长度为，D正确. 故选：ACD 【点睛】立体几何中体积最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立所求体积的目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024高二上·上海黄浦·阶段练习）已知长方体中，，．则直线和平面所成角的正弦值等于 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【详解】如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，， 设平面的法向量为，则， 取得到，， 故直线和平面所成角的正弦值等于： . 故答案为：. 13．（23-24高二上·山东青岛·期中）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别为棱，的中点，则的重心到直线BN的距离为 . 【答案】/ 【分析】以为轴建立空间直角坐标系，由重心坐标公式求得的重心的坐标，用空间向量法求点到直线的距离． 【详解】以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，设的重心是， 则，，，即， ，， ，，， ， 则 是锐角，， 所以到直线的距离为． 故答案为：． 14．（23-24高二上·浙江金华·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱长为，且，若异面直线和所成角的大小，则 . 【答案】. 【分析】由图形结合向量夹角公式找到关系式，从而求解. 【详解】根据已知，， 由于，，， 则 ， 则与所成角的大小， 所以， 得，则. 故答案为：. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（2024高二上·全国·课后作业）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为1，在上，在上，且．    (1)求向量，的坐标； (2)求与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求解即可； （2）利用空间向量异面直线夹角的求法即可得解. 【详解】（1）由题意可得，， 故． （2）由（1）可知， 所以． ． 所以． 故与所成角的余弦值为． 16．（23-24高二上·广东广州·期末）如图，在长方体中，，，分别为线段，的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，， 设直线与所成角为，则， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）因为，，， 设平面的法向量为，则，取， 所以点到平面的距离. 17．（23-24高二上·湖北黄冈·期末）如图，四边形为矩形，，，为的中点，与交于点，平面. (1)若，求与所成角的余弦值； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，、所在的直线为、轴，以过点垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与所成角的余弦值； （2）计算出平面的法向量，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）解：如图，以为原点，、所在的直线为、轴，以过点垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系，， ，则，则，故， 因为平面，平面，则， 若，则， 故、、、， 则，，. 因此，若，则与所成角的余弦值为. （2）解：若，则、， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．（2024高三·福建·单元测试）如图1，在中， 分别是上的点，且，，将△沿折起到△的位置，使，如图2. (I)求证：； (II)线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由． 【答案】(1)见解析;(2) 线段上不存在点，使平面与平面垂直．. 【详解】试题分析：（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD；（2）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为 假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则 ，可求得0≤a≤3，从而可得结论． (I)证明　因为，， 所以. 所以，， 又因为， 所以平面.   所以.又因为， 所以平面. (II)解：线段上不存在点，使平面与平面垂直． 以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，，， ，． 假设这样的点存在，设其坐标为，其中． 设平面的法向量为， 则, 又，， 所以令，则. 所以． 平面的法向量为，则， 又，， 所以令，则.所以 平面⊥平面，当且仅当， 即.解得，与矛盾． 所以线段上不存在点，使平面与平面垂直． 点睛：本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，MN：向量语言表述面面的垂直、平行关系；LW：直线与平面垂直的判定；MQ：用空间向量求直线与平面的夹角；既有传统方法，又有向量知识的运用，要加以体会. 19．（2024·江西宜春·模拟预测）如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点． (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，从而证明平面，平面，即可得到平面平面，即可得证． （2）推导出平面，平面，平面平面，连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值． 【详解】（1）取的中点，连接，， ，为的中点，， 又，． 又平面，平面，平面． 为的中点，． 又平面，平面，平面， 又，平面，平面平面， 又平面，平面． （2），由（1）知，， 又，为的中点，， 又，平面，平面， 又平面，， 又，，平面，平面， 又平面，平面平面， 连接，，为的中点，， 又平面平面，平面， 平面，平面，， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 是与平面所成的角，即， ，设，则，，，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设二面角的平面角为， ， 所以，即二面角的正弦值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$