专题2.4 直线的交点坐标与距离公式【八大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.4 直线的交点坐标与距离公式【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求直线的交点坐标】 1 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 3 【题型3 由直线的交点坐标（个数）求参数】 4 【题型4 三线能围成三角形的问题】 6 【题型5 两点间的距离公式的应用】 8 【题型6 点到直线的距离公式的应用】 9 【题型7 两条平行直线间的距离公式的应用】 11 【题型8 与距离有关的最值问题】 12 【知识点1 两条直线的交点坐标】 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线,直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 【题型1 求直线的交点坐标】 【例1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】两个方程的联立，加减消元法计算即可. 【解答过程】……① ……② ①+②得：……③ ③代入②有：……④ 由③④得交点坐标为：. 故选：B. 【变式1-1】（23-24高二上·重庆渝中·期中）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为(　 ) A． B． C． D． 【解题思路】先根据垂直关系求解出的值，然后联立直线方程可求交点坐标. 【解答过程】因为与互相垂直， 所以，所以， 所以，解得， 所以交点坐标为， 故选：B. 【变式1-2】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】联立方程组可解得答案. 【解答过程】联立方程组，解得， 所以两直线的交点坐标为. 故选：B. 【变式1-3】（23-24高二上·新疆和田·期中）已知直线方程为，直线方程为，则两直线交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】联立两直线方程，可得出两直线的交点坐标. 【解答过程】联立，解得，因此，两直线的交点坐标为. 故选：A. 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 【例2】（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求出两条直线的交点坐标，再根据垂直求出斜率，点斜式写方程即可. 【解答过程】由题知：，解得：，交点. 直线的斜率为，所求直线斜率为. 所求直线为：，即. 故选：B. 【变式2-1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出两直线的交点坐标，再利用二倍角的正切公式求出直线的斜率即可求解. 【解答过程】由，解得，即所求方程的直线过点， 令直线的倾斜角为，则，显然是锐角， 因此所求方程的直线斜率， 所以所求的直线方程为，即. 故选：C. 【变式2-2】（23-24高二上·山东聊城·期中）经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出交点，由方向向量可得斜率，然后由点斜式可得方程. 【解答过程】联立，解得：， 即直线的交点为， 又直线的一个方向向量，所以直线的斜率为， 故该直线方程为：，即 故选：D. 【变式2-3】（23-24高二上·安徽合肥·期末）过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用直线系方程结合直线平行的条件可得参数，进而即得． 【解答过程】由已知，可设所求直线的方程为：， 即， 又因为此直线与直线平行， 所以：， 解得：， 所以所求直线的方程为：，即． 故选：A． 【题型3 由直线的交点坐标（个数）求参数】 【例3】（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【解题思路】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可. 【解答过程】由，即两直线交点坐标为， 代入得：. 故选：C. 【变式3-1】（23-24高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【解题思路】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【解答过程】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 【变式3-2】（23-24高二上·北京朝阳·阶段练习）若直线l：与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】联立两直线方程得到交点坐标，然后根据交点位于第一象限得到，解方程得到，最后根据斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的范围. 【解答过程】联立得，所以，解得， 所以直线的倾斜角的范围为. 故选：B. 【变式3-3】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意联立方程得，再解不等式即可得答案； 【解答过程】联立，得， ∵直线与射线恒有公共点， ∴， 解得. ∴m的取值范围是. 故选：C. 【题型4 三线能围成三角形的问题】 【例4】（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分线线平行和三线共点讨论即可. 【解答过程】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 【变式4-1】（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 【解题思路】由三条直线两两不平行，且不交于同一点可得． 【解答过程】已知三条直线能构成三角形，首先不平行， 若，则三条直线围成三角形， 若，则，，解得， 时，由，得，代入得，或，因此 综上：且． 故选：C． 【变式4-2】（23-24高二·全国·课后作业）若三条直线能构成三角形，则a应满足的条件是（    ） A．或 B． C．且 D．且 【解题思路】先排除平行与重合情况，再排除交于一点的情况，最后给出答案. 【解答过程】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点. ①若，则由，得. ②若，则由，得. ③若，则由，得. 当时，与三线重合，当时，平行. ④若三条直线交于一点，由解得 将的交点的坐标代入的方程， 解得（舍去）或. 所以要使三条直线能构成三角形，需且. 故选：D. 【变式4-3】（23-24高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【解题思路】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【解答过程】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B. 【知识点2 距离公式】 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型5 两点间的距离公式的应用】 【例5】（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）设点A,B在曲线上．若的中点坐标为，则（    ） A．6 B． C． D． 【解题思路】设，根据题意，利用对数的运算，求得的值，结合两点间的距离公式，即可求解. 【解答过程】设， 因为的中点坐标为，可得， 整理得，解得或， 不妨设，所以. 故选：B. 【变式5-1】（23-24高二上·天津·期末）三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 【解题思路】由中点坐标公式求得，应用两点间的距离公式求的长. 【解答过程】由题设，则. 故选：B. 【变式5-2】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用倾斜角求出，然后利用两点间距离公式即可得出答案. 【解答过程】由题知，， 解得，故， 则两点间的距离为. 故选：C. 【变式5-3】（23-24高二上·山东德州·阶段练习）若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离d的最小值是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由直线过直线与得交点可得，再由两点间的距离公式求出d的最小值. 【解答过程】联立，解得， 把代入，得，， 点到原点的距离 ， 当且仅当时取等号． 点到原点的距离的最小值为． 故选：D． 【题型6 点到直线的距离公式的应用】 【例6】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【解题思路】利用点到直线的距离公式直接求值即可. 【解答过程】原点到直线间的距离是：. 故选：A. 【变式6-1】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）若点到直线的距离为4，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【解题思路】根据点到直线距离公式列出方程，求出答案. 【解答过程】点到直线的距离为4， 可得，解得. 故选：D. 【变式6-2】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）原点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】用点到直线的距离公式表示出原点到直线的距离，然后化简求出函数最大值即可. 【解答过程】设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得： ， 显然当时，有最大值，此时， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以. 故选：D. 【变式6-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】利用点到直线距离公式列出关于的方程求解即可． 【解答过程】因为点到直线的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或. 故选：C. 【题型7 两条平行直线间的距离公式的应用】 【例7】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平行可求，根据平行线间距离公式计算后可得正确的选项. 【解答过程】因为，所以，故，故. 故之间的距离为， 故选：D. 【变式7-1】（23-24高二上·广东广州·期末）若两条平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B． C．17 D．21 【解题思路】根据两直线平行求出，再由两平行线间的距离公式求出. 【解答过程】因为直线与，所以，解得， 又两条平行直线与之间的距离是，所以， 解得（舍去）或， 所以. 故选：A. 【变式7-2】（23-24高二上·天津和平·期末）设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【解题思路】因为直线与直线平行，所以的最小值为直线与直线距离，求解即可. 【解答过程】由直线可得， 所以直线与直线平行， 所以的最小值为直线与直线距离， 所以. 故选：C. 【变式7-3】（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【解题思路】设所求的直线方程为，根据平行线间距离公式列方程即可求出，得出答案. 【解答过程】设所求的直线方程为， 由题意得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：B. 【题型8 与距离有关的最值问题】 【例8】（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知直线及两点A(-2,3)、B(1,6),点P在直线上. (1)若点P到A、B两点的距离相等,求点P的坐标； (2)求的最小值. 【解题思路】(1)设出点的坐标,利用两点间距离公式结合已知即可求出点P的坐标； (2)求出点B关于直线对称的点,利用平面几何的知识可知的最小值就是线段的长度. 【解答过程】(1)因为点P在直线上,所以点P的坐标设为. 因为点P到A、B两点的距离相等,所以 两边平方化简得： ,所以点P的坐标为； (2) 直线的斜率为2,所以过点B(1,6)与直线垂直的直线的斜率为,所以直线的直线方程为：,直线的交点C坐标为：,设点B关于直线对称的点 ,因此有,由平面几何的性质可知： 的最小值就是的长度,即. 【变式8-1】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知直线． (1)为何值时，点到直线的距离最大?并求出最大值； (2)若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 【解题思路】（1）由题设求得直线过定点，则与定点的连线的距离就是所求最大值，根据垂直关系及求参数m； （2）设直线为，并求出A，B坐标，应用三角形面积公式、基本不等式求最小值，并写出直线方程. 【解答过程】（1）已知直线，整理得， 由，故直线过定点， 点到直线的距离最大，即与定点的连线的距离就是所求最大值， 所以为最大值． ∵， ∴的斜率为，得，解得； （2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点， 则设直线为，，则，， ． （当且仅当时，取“=”）， 故面积的最小值为12，此时直线l的方程为3x+2y+12=0. 【变式8-2】（23-24高一·全国·课后作业）已知两条平行直线分别过点，，它们之间的距离为d，这两条直线各自绕点P，Q旋转并保持互相平行． （1）求d的取值范围． （2）当d取最大值时，求这两条直线的方程． 【解题思路】（1）当两条直线的斜率不存在时，可求得两直线间的距离；当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为，利用两平行线间的距离公式可求得两直线间的距离d的表示式，两端平方，整理成关于斜率k的二次方程，利用其有解的条件即可求得d的变化范围；（2）将代入即可求得k值，从而求出直线方程． 【解答过程】（1）当直线的斜率存在时，设平行直线的斜率为k，则直线，直线． 由平行线间的距离公式得． 将问题转化为方程． 由，或，解得． 当直线的斜率不存在时，两直线方程分别为，，这时，．故． （2）当时，有，． 因此所求直线方程为，即； ，即． 【变式8-3】（2024高三·全国·专题练习）已知直线：， ，. (1)若、两点到直线的距离相等，求此时直线的直线方程. (2)当为何值时，原点到直线的距离最大 (3)当时，求直线上的动点到原点距离的最小值，并求此时点的坐标 【解题思路】（1）分直线过的中点，直线与平行两种情况讨论，分别计算可得； （2）首先求出直线过定点，当直线与垂直时，原点到直线的距离最大，即可求出； （3）首先求出直线的方程，设，根据两点的距离公式及二次函数的性质求出的最小值，即可求出点的坐标； 【解答过程】（1）解：因为，，所以的中点为，若直线：过的中点为，则，解得，此时直线为，满足条件， 又，所以当时直线的方程为，此时直线与直线平行，满足、两点到直线的距离相等， 综上可得：直线的方程为或； （2）解：由，得， 联立，解得，则直线过定点； 由，得， 当直线与垂直时，原点到直线的距离最大，最大值为， 因为，所以，即当时原点到直线的距离最大. （3）解：当时，直线：，设，则，所以当时，，此时， 即直线上的动点到原点距离的最小值为，此时点的坐标为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 直线的交点坐标与距离公式【八大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 求直线的交点坐标】 1 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 2 【题型3 由直线的交点坐标（个数）求参数】 2 【题型4 三线能围成三角形的问题】 3 【题型5 两点间的距离公式的应用】 4 【题型6 点到直线的距离公式的应用】 5 【题型7 两条平行直线间的距离公式的应用】 5 【题型8 与距离有关的最值问题】 5 【知识点1 两条直线的交点坐标】 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线,直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 【题型1 求直线的交点坐标】 【例1】（23-24高二上·重庆长寿·期末）直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二上·重庆渝中·期中）已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为(　 ) A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·新疆和田·期中）已知直线方程为，直线方程为，则两直线交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型2 经过两直线交点的直线方程】 【例2】（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·山东聊城·期中）经过两条直线，的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·安徽合肥·期末）过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型3 由直线的交点坐标（个数）求参数】 【例3】（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【变式3-1】（23-24高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【变式3-2】（23-24高二上·北京朝阳·阶段练习）若直线l：与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【题型4 三线能围成三角形的问题】 【例4】（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 【变式4-2】（23-24高二·全国·课后作业）若三条直线能构成三角形，则a应满足的条件是（    ） A．或 B． C．且 D．且 【变式4-3】（23-24高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【知识点2 距离公式】 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型5 两点间的距离公式的应用】 【例5】（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）设点A,B在曲线上．若的中点坐标为，则（    ） A．6 B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·天津·期末）三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 【变式5-2】（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二上·山东德州·阶段练习）若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离d的最小值是（    ） A． B． C． D． 【题型6 点到直线的距离公式的应用】 【例6】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【变式6-1】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）若点到直线的距离为4，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【变式6-2】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）原点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 【题型7 两条平行直线间的距离公式的应用】 【例7】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二上·广东广州·期末）若两条平行直线与之间的距离是，则（    ） A． B． C．17 D．21 【变式7-2】（23-24高二上·天津和平·期末）设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式7-3】（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【题型8 与距离有关的最值问题】 【例8】（23-24高二上·上海浦东新·期末）已知直线及两点A(-2,3)、B(1,6),点P在直线上. (1)若点P到A、B两点的距离相等,求点P的坐标； (2)求的最小值. 【变式8-1】（23-24高二上·河南·阶段练习）已知直线． (1)为何值时，点到直线的距离最大?并求出最大值； (2)若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 【变式8-2】（23-24高一·全国·课后作业）已知两条平行直线分别过点，，它们之间的距离为d，这两条直线各自绕点P，Q旋转并保持互相平行． （1）求d的取值范围． （2）当d取最大值时，求这两条直线的方程． 【变式8-3】（2024高三·全国·专题练习）已知直线：， ，. (1)若、两点到直线的距离相等，求此时直线的直线方程. (2)当为何值时，原点到直线的距离最大 (3)当时，求直线上的动点到原点距离的最小值，并求此时点的坐标 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$