专题2.3 直线的方程（二）【七大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题2.3 直线的方程（二）【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 直线方程的求解】 1 【题型2 直线过定点问题】 2 【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】 3 【题型4 求与已知直线平行的直线方程】 4 【题型5 根据两直线平行求参数】 4 【题型6 根据两直线垂直求参数】 5 【题型7 直线方程的实际应用】 6 【知识点1 求直线方程的一般方法】 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【题型1 直线方程的求解】 【例1】（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且以为法向量的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【变式1-3】（23-24高二上·福建漳州·期末）已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【题型2 直线过定点问题】 【例2】（23-24高二上·北京·期中）已知直线方程，则可知直线恒过定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024高二上·全国·专题练习）已知，满足，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·甘肃白银·期中）直线经过定点A，则点A的横坐标与纵坐标之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-3】（2024·吉林通化·模拟预测）若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【知识点2 两条直线的位置关系】 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】 【例3】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024高三·全国·专题练习）已知点A(－1，0)，B(5，2)，直线l经过AB的中点且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则l的方程是（    ） A．3x＋2y－8＝0 B．3x－2y－4＝0 C．2x－3y－1＝0 D．2x＋3y－7＝0 【变式3-2】（23-24高二上·广西南宁·开学考试）已知的三个顶点，，，求： (1)边上的高所在直线的方程； (2)的垂直平分线所在直线的方程． 【变式3-3】（23-24高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 【题型4 求与已知直线平行的直线方程】 【例4】（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·广东江门·期末）过点与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线过点且与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）已知点，，则经过线段AB的中点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型5 根据两直线平行求参数】 【例5】（23-24高二上·重庆渝中·阶段练习）已知直线与平行，则实数（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 【变式5-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）已知直线：，：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】（23-24高二下·山西吕梁·开学考试）已知直线与平行，则（    ） A．2 B．3 C． D．2或 【变式5-3】（23-24高二上·湖北荆州·期末），，若，则（    ） A．1 B．1或2 C．1或3 D．3 【题型6 根据两直线垂直求参数】 【例6】（23-24高二上·全国·课前预习）已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值． 【变式6-1】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）当a为何值时，直线：与直线：. (1)平行； (2)垂直. 【变式6-2】（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线和直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【变式6-3】（23-24高二上·四川·期中）已知，，，. (1)若直线与平行，求的值； (2)若为直角三角形，求的值. 【知识点3 直线方程的实际应用】 1．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从 而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 【题型7 直线方程的实际应用】 【例7】（23-24高二·江苏·课后作业）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度． 【变式7-1】（23-24高三·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB、CD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.现将矩形ABCD沿某一条直线折叠，使点A落在线段CD上，设此点为. (1)若折痕的斜率为，求折痕所在的直线方程； (2)若折痕所在的直线的斜率为k（k为常数），试用k表示点的坐标，并求折痕所在的直线方程. 【变式7-2】（23-24高二上·上海浦东新·期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，． （1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程； （2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到） 【变式7-3】（2024高二·江苏·专题练习）公路AM，AN围成的是一块顶角为的角形耕地，其中在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km、现要过点P修建一条直线型公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园，如图． （1）记，并设，试确定k的取值范围； （2）设三角形区域工业园的占地面积为S，试将S表示成k的函数； （3）为尽量减少耕地占用，如何确定点B的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 直线的方程（二）【七大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 直线方程的求解】 1 【题型2 直线过定点问题】 3 【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】 5 【题型4 求与已知直线平行的直线方程】 7 【题型5 根据两直线平行求参数】 8 【题型6 根据两直线垂直求参数】 10 【题型7 直线方程的实际应用】 11 【知识点1 求直线方程的一般方法】 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【题型1 直线方程的求解】 【例1】（23-24高二下·贵州·阶段练习）已知直线l倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意利用同角三角关系可得直线l的斜率，结合直线的点斜式方程运算求解. 【解答过程】设直线l的倾斜角为，则，可得， 则直线l的斜率， 且直线l经过点， 所以直线l的方程为，即. 故选：A. 【变式1-1】（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且以为法向量的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可求得，即可确定l的斜率，即可求得直线l的点斜式方程，化为一般式，即得答案. 【解答过程】由题意知，，则， 则，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 故选：A. 【变式1-2】（23-24高二下·湖南常德·开学考试）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则l的方程为（    ） A． B． C． D．或 【解题思路】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案. 【解答过程】设，直线过和， 当时，直线、直线与轴围成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在. 设关于轴的对称点为， 当直线过两点时，，三角形是等腰三角形， 同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形， 所以，此时直线的方程为，即， 设直线与轴相交于点，如图所示，若， 则，所以直线，也即直线的斜率为， 对应方程为，即， 综上直线方程为或， 故选：D. 【变式1-3】（23-24高二上·福建漳州·期末）已知直线过点，且直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，求得直线的倾斜角为，得到的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【解答过程】设直线的倾斜角为，其中， 由直线，可得斜率为，即，可得， 根据题意，可得直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 因为直线经过点，可得直线的方程为，即. 故选：D. 【题型2 直线过定点问题】 【例2】（23-24高二上·北京·期中）已知直线方程，则可知直线恒过定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意可得，令，解得即可. 【解答过程】直线，即，令，解得， 所以直线恒过点. 故选：B. 【变式2-1】（2024高二上·全国·专题练习）已知，满足，则直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用已知条件消去，令的系数为0即可. 【解答过程】由，得， 代入直线方程中， 得，即， 令，解得， 所以该直线必过定点. 故选：D. 【变式2-2】（23-24高二上·甘肃白银·期中）直线经过定点A，则点A的横坐标与纵坐标之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】根据题意，由直线过定点，即可得到结果. 【解答过程】由，得， 令得 所以点A的横坐标与纵坐标之和为． 故选：B. 【变式2-3】（2024·吉林通化·模拟预测）若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】根据直线的定点可得，进而可得，结合基本不等式运算求解. 【解答过程】因为，则， 令，解得， 即直线恒过点. 又因为点A也在直线上，则， 可得，且， 则，即，当且仅当时，等号成立 所以的最大值为. 故选：B. 【知识点2 两条直线的位置关系】 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型3 求与已知直线垂直的直线方程】 【例3】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据垂直关系设出直线的方程，代入点求出答案. 【解答过程】直线与直线垂直， 设直线的方程是 将代入直线中，，解得， 故直线的方程为. 故选：D. 【变式3-1】（2024高三·全国·专题练习）已知点A(－1，0)，B(5，2)，直线l经过AB的中点且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则l的方程是（    ） A．3x＋2y－8＝0 B．3x－2y－4＝0 C．2x－3y－1＝0 D．2x＋3y－7＝0 【解题思路】根据垂直关系，即可求出结果. 【解答过程】 由题意，直线l经过AB的中点且与直线2x＋3y＋1＝0垂直， 则直线l的斜率为， 又AB的中点为(2，1)， 所以直线l的方程为y－1＝ (x－2)，即3x－2y－4＝0. 故选：B. 【变式3-2】（23-24高二上·广西南宁·开学考试）已知的三个顶点，，，求： (1)边上的高所在直线的方程； (2)的垂直平分线所在直线的方程． 【解题思路】(1)由斜率公式易知，由垂直关系可得直线的斜率，代入点斜式易得方程； (2)根据可得，再由中点坐标公式可得线段的中点，可得方程． 【解答过程】（1）由斜率公式易知，直线的斜率． 又直线过点，代入点斜式得直线的方程为：． （2），．又线段的中点为， 所在直线的方程为， 整理得所求的直线方程为：． 【变式3-3】（23-24高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 【解题思路】（1）求出中点，则可得到中线的直线方程； （2）根据直线垂直得到高的斜率，则得到边上的高的直线方程； （3）求出AC的中点，再根据斜率垂直则得到斜率，即可得到直线方程. 【解答过程】（1），，由中点坐标公式得中点为， 又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为， 整理得：. （2），，则，所以边上的高的直线的斜率为， 又，则边上的高的直线方程为， 整理得：． （3）因为，，则其中点坐标为， 而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：， 即. 【题型4 求与已知直线平行的直线方程】 【例4】（2024·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解. 【解答过程】因为直线平行于直线，所以直线可设为， 因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得， 解得，所以直线的方程是. 故选：C. 【变式4-1】（23-24高二上·广东江门·期末）过点与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线与平行设出直线方程，根据过点即可求解. 【解答过程】设直线方程为，因为直线过点， 所以，所以直线方程为. 故选C. 【变式4-2】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线过点且与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线平行，令直线为，再由所过的点求参数，即可得方程. 【解答过程】令直线为，且过点， 所以，即，故直线的方程为. 故选：C. 【变式4-3】（23-24高二上·辽宁·阶段练习）已知点，，则经过线段AB的中点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出线段AB中点的坐标，根据直线间的平行关系设所求直线方程，代入所过点坐标求得参数，即得答案. 【解答过程】由点，，得线段AB中点的坐标为， 故过点且与直线平行的直线的方程可设为， 代入点，可得，故所求直线方程为， 故选：B. 【题型5 根据两直线平行求参数】 【例5】（23-24高二上·重庆渝中·阶段练习）已知直线与平行，则实数（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 【解题思路】根据两直线平行要求，若直线与平行,则满足计算即可. 【解答过程】因为直线与平行， 所以，解得或， 经检验时两直线重合. 故选：A. 【变式5-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）已知直线：，：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】首先根据公式求两直线平行时的值，再判断充分，必要条件. 【解答过程】当时，，解得：， 验证：当时，，，两直线平行， 当，，，两直线平行， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式5-2】（23-24高二下·山西吕梁·开学考试）已知直线与平行，则（    ） A．2 B．3 C． D．2或 【解题思路】由直线平行的条件求解即可. 【解答过程】因为，所以，解得或． 当时，与重合．故． 故选：A. 【变式5-3】（23-24高二上·湖北荆州·期末），，若，则（    ） A．1 B．1或2 C．1或3 D．3 【解题思路】利用直线平行的性质求解即可. 【解答过程】因为，，， 当，即时，，此时与不平行； 当，即时，有，解得， 经检验，当时，， 所以. 故选：D. 【题型6 根据两直线垂直求参数】 【例6】（23-24高二上·全国·课前预习）已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值． 【解题思路】分析两直线的斜率是否存在，再根据直线垂直判断斜率之间的关系求出a. 【解答过程】因为直线经过点，，且， 所以的斜率存在，设斜率为， 当时，直线斜率不存在，，则，此时与垂直． 当时，，此时直线斜率存在． 由，得．解得． 综上，的值为或． 【变式6-1】（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）当a为何值时，直线：与直线：. (1)平行； (2)垂直. 【解题思路】（1）根据题意得到，即可得到答案. （2）根据题意得到，即可得到答案. 【解答过程】（1）要使，则需满足. 故当时，直线与直线平行. （2）要使，则需满足，∴. 故当时，直线与直线垂直. 【变式6-2】（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知直线和直线. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【解题思路】（1）根据两直线垂直的公式，即可求解； （2）根据两直线平行，，求解，再代回直线验证. 【解答过程】（1）若，则 ，解得或2； （2）若，则 ，解得或1. 时，，满足， 时，，此时与重合， 所以. 【变式6-3】（23-24高二上·四川·期中）已知，，，. (1)若直线与平行，求的值； (2)若为直角三角形，求的值. 【解题思路】（1）根据求解，然后再判断四点不共线即可； （2）根据直线垂直的斜率关系，分三种情况求解即可. 【解答过程】（1）依题意可得， 即，解得. 又，， 所以，所以A、B、C、D四点不共线， 所以. （2）若A为直角，则，即， 解得. 若为直角，则，即， 解得. 若为直角，则，即， 解得. 综上，的值为或12或. 【知识点3 直线方程的实际应用】 1．直线方程的实际应用 利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，从 而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性. 【题型7 直线方程的实际应用】 【例7】（23-24高二·江苏·课后作业）一根铁棒在40℃时长12.506m，在80℃时长12.512m．已知长度l（单位：m）和温度t（单位：℃）之间的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并根据这个方程求出这根铁棒在100℃时的长度． 【解题思路】用直线的斜截式方程写出l与t的关系，再利用待定系数法求出方程并求解作答. 【解答过程】依题意，设l与t的关系式为：，是常数， 于是得，解得， 则l与t的关系式为，当时，， 所以所求直线的方程为，铁棒在100℃时的长度是m. 【变式7-1】（23-24高三·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，边AB、CD分别在x轴、y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.现将矩形ABCD沿某一条直线折叠，使点A落在线段CD上，设此点为. (1)若折痕的斜率为，求折痕所在的直线方程； (2)若折痕所在的直线的斜率为k（k为常数），试用k表示点的坐标，并求折痕所在的直线方程. 【解题思路】（1）求得的坐标，进而求得折痕所在直线方程. （2）根据是否为进行分类讨论，结合中点和斜率求得折痕所在直线方程. 【解答过程】（1）设，由于折痕的斜率为， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为， 由解得，所以， 所以的中点坐标为， 所以折痕所在的直线方程为，即. （2）当时，，折痕所在直线方程为. 当时，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 由解得，所以， 所以的中点坐标为， 所以折痕所在的直线方程为， 时，折痕也符合上式， 综上所述，折痕所在的直线方程为. 【变式7-2】（23-24高二上·上海浦东新·期中）为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形的草坪，其中，点Q在上，且，，经测量，，，． （1）如图建立直角坐标系，求线段所在直线的方程； （2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到） 【解题思路】（1）根据题意可得，根据直线的截距式方程即可求解. （2）设，可得，展开配方即可求解. 【解答过程】（1）由题意得， 所以线段所在直线的方程为，即； （2）设，则草坪的占地面积 故当时，，此时． 【变式7-3】（2024高二·江苏·专题练习）公路AM，AN围成的是一块顶角为的角形耕地，其中在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km、现要过点P修建一条直线型公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园，如图． （1）记，并设，试确定k的取值范围； （2）设三角形区域工业园的占地面积为S，试将S表示成k的函数； （3）为尽量减少耕地占用，如何确定点B的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积． 【解题思路】（1）由倾斜角的范围得出斜率范围； （2）以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系，得到直线AN的方程是， 设点，根据点P到直线的距离公式得到P点坐标，显然直线BC的斜率存在， 设直线BC的方程为，求出B点坐标，由直线联立，得到C点坐标，表示出的面积为S，建立关于k的函数关系式． （3）由（2）得由解得S的范围，得出结果． 【解答过程】（1）由题意得，所以， 即． （2）以点A为原点，AM所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则由已知得AN所在直线的方程为，即． 根据已知设P点坐标为，由点P到公路AN的距离为得． 解得或当时，点P不在指定区域，故舍去，所以． 所以公路BC所在直线的方程为． 令，得，即． 将代入得，， 即 所以． （3）由（2）得． 有解得舍或． 当时，，满足条件． 故面积的最小值为15，此时． 综上所述，当点B距离点A5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$