专题01 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版）

专题01 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型1.“A”字模型 2 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 7 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 13 19 【知识储备】A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 例1．（2024·湖南长沙·三模）如图，在中，，平分交斜边于点D，以D为圆心，适当长度为半径画弧，交于M、N，分别以M、N为圆心，以大于 的长度为半径画弧，两弧相交于E，作直线交于F，则（　　） A．1 B． C． D． 例2．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，，，，点是上的一点，，，垂足为，求的长． 例3．（23-24九年级上·河南·期末）如图，在中，，，正方形的四个顶点在的边上，连接，分别交于M，N两点．则的长为    例4．（2022·山东东营·中考真题）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 变式1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，正方形的顶点C与的直角顶点C重合，顶点D、E、F分别在线段上，则正方形的边长为 ． 变式2．（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 模型2.“X”字模型（“8”字模型） “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 例1．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在平行四边形中，点在上，连接，且交于点，若 ，则 与的周长之比是（   ）    A． B． C． D． 例2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，点为上一点，过点作的垂线交的延长线于点，若，则线段的长为 ．    例3.（2024.重庆九年级期中）如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB与点E，交CD与点F，BO＝1，CO＝3，AO，DO．（1）求证：∠A＝∠D．（2）若AE＝BE，求证：CF＝DF． 例4.（2024.山东九年级期中）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）求证：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值． 变式1．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）在中，平分，交于点，，交于点，且，，则的长为 ． 变式2．（2024九年级下·重庆·专题练习）如图，在中，是的中点，是的中点，的延长线交于，求． （1）解：过作，交于．请继续完成解答过程： （2）创新求解：利用“杠杆平衡原理” 解答本题：（如图）设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为；则端所挂物体质量为，点承受质量为；当点为杠杆的支点，则A端所挂物体质量为；再以为杠杆的支点时，； 应用：如图，在中，是上一点，是上一点，的延长线交于，且，，求 解：设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为，则端所挂物体质量为 ，点承受质量为 ；当点为杠杆的支点，则端所挂物体质量为 ；再以为杠杆的支点时， ． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D．例2．（2023·安徽·三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 变式1.如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求的长． 变式2．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践 在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变，经过焦点的光线经凸透镜折射后平行于主光轴沿射出，与光线交于点，过点作主光轴的垂线段，垂足为，即可得出物体所成的像． 【模型验证】设焦点到光心的距离称为焦距，记为；物体到光心的距离称为物距，记为；像到光心的距离称为像距，记为． 已知，，当时，求证：． 证明：∵，，∴ 又∵，∴， ∴，即，同理可得， ∴，即 ① ，∴ ② ， ∴，∴，即． 请结合上述材料，解决以下问题： (1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含的代数式表示)；(2)若该凸透镜的焦距为20，物体距凸透镜的距离为30，物高为10，则物体所成的像的高度为__________； (3)如图2，由物理学知识知“经过点且平行于主光轴的光线经凸透镜折射后经过点”，小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线始终经过主光轴上一定点．若该凸透镜的焦距为20，物高为10，试说明这一物理现象． 1．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，D，M是边的三等分点，N，E是边的三等分点．连接并延长与的延长线相交于点P．若，则线段的长为（　　） A．5 B．7 C．6 D．8 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2022·辽宁·中考真题）如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为___________． 5．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，，点在上，与交于点，若，则 ． 6．（2024·山西阳泉·三模）如图，是斜边上的中线，，点是中点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为 ． 7．（2024·山西阳泉·三模）如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，若，则 ． 8．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ． 9．（23-24九年级下·重庆大足·期末）如图，在等腰中，，，为的中线，垂直平分交于点，则 ． 10．（2024·北京延庆·模拟预测）如图，中，延长至，使得．若，则的长为 ． 11．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，点分别在边上，与相交于点，且，．(1)求证：；(2)已知，求．    12．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知中，D是的中点，E是上一点，，连接与相交于点F，求的值．    13．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，，、交于点， (1)若，，求的长．(2)连接、求证平分．    14．（2023·浙江金华·统考一模）如图，在中，，，点P是边上的动点，连接并延长交直线于点E，将沿直线折叠得到，直线交直线于F． (1)求证：．(2)若四边形为菱形，且．求的值． (3)若点P为的中点，在改变长度的过程中，当成为以为腰的等腰三角形时，求的长．    15．（2023•山东 中考模拟预测）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O． （1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD． （2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2． （3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度． 16．（2023秋·江西上饶·九年级校联考期末）完成下列各题． (1)课本中有一道练习题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形（），边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形零件的边长是 mm． 拓展应用：(2)若原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形两条边，如图2所示，求此时EF的长．    17．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证： （2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值． 18．（23-24九年级上·山东青岛·期中）【探索与发现】（1）如图1，在四边形中，，对角线、相交于，则成立吗？试说明理由． （2）如图2，对于四边形中，对角线、相交于，则的结论是否成立？ 【应用与综合】在图（3）的情形下，比较大小： （填>、=、<）． 在图（4）的情形下，比较大小： （填>、=、<）． 【拓展与延伸】如图5，的内部任取一点连接、、并延长，分别交对边于点、、，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相似三角形重要模型之（双）A字型与（双）8字型 相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型． 1 模型1.“A”字模型 2 模型2.“X”字模型（“8”字模型） 7 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） 13 19 【知识储备】A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。 模型1.“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 例1．（2024·湖南长沙·三模）如图，在中，，平分交斜边于点D，以D为圆心，适当长度为半径画弧，交于M、N，分别以M、N为圆心，以大于 的长度为半径画弧，两弧相交于E，作直线交于F，则（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知，，由平分，可得，则，，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：由作图可知，， ∵平分，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，即，解得，，故选：B． 【点睛】本题考查了作垂线，角平分线，等角对等边，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握作垂线，角平分线，等角对等边，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 例2．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，，，，点是上的一点，，，垂足为，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．先根据勾股定理求出，通过证明，得出即可解答． 【详解】解：∵，，，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴，即，解得：． 例3．（23-24九年级上·河南·期末）如图，在中，，，正方形的四个顶点在的边上，连接，分别交于M，N两点．则的长为    【答案】/ 【分析】先求出，再证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，然后证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，则，，最后证出，，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：在中，，， ，四边形是正方形， ，，， 设，则，，， ，，， 在和中，，， ，即，解得，，， ，，， 又，，，即，解得，故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 例4．（2022·山东东营·中考真题）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 【答案】##4.8 【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为△AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案． 【详解】∵四边形EFGH是矩形，∴，∴，∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高， ∴，∴， ∵，代入可得：，解得，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键． 变式1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，正方形的顶点C与的直角顶点C重合，顶点D、E、F分别在线段上，则正方形的边长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．先设正方形的边长为x，再表示出，，然后说明，并根据对应边成比例得出答案． 【详解】根据题意可知，．设正方形的边长为x，则，． ∵四边形是正方形，∴． ∵，∴，∴，即，解得． 所以正方形的边长为．故答案为：． 变式2．（2024·山东·中考真题）如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键． 作辅助线如图，由平行正相似先证，再证，即可求得结果． 【详解】解：延长和，交于点， ∵四边形是平行四边形，∴，即， ∴∴， ∵，，∴，∴， 又∵，，∴， ∵，，∴，∴， ∴∴，∴，∴ ∵，∴．故选：B． 模型2.“X”字模型（“8”字模型） “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 例1．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在平行四边形中，点在上，连接，且交于点，若 ，则 与的周长之比是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键掌握平行四边形对边平行且相等，相似三角形周长比等于相似比． 先根据平行四边形的性质推出，即可解答． 【详解】解：∵，∴， ∵四边形是平行四边形，∴， ∴， ∴ 与的周长之比，故选：C． 例2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，点为上一点，过点作的垂线交的延长线于点，若，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】通过导角证明，过点D作于点F，根据角平分线的性质可得，，证明，得出，设，，依次证明，，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：，，又，， ，，，， 如图，过点D作于点F，，，，    在和中，，，． ，，．，，， ，，设，， ，，，，， ，，，，， ，，， ，，， ，，，故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是通过导角证明． 例3.（2024.重庆九年级期中）如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB与点E，交CD与点F，BO＝1，CO＝3，AO，DO．（1）求证：∠A＝∠D．（2）若AE＝BE，求证：CF＝DF． 【解析】证明：（1）∵BO＝1，CO＝3，AO，DO．∴， ∵∠AOB＝∠COD，∴△OAB∽△ODC，∴∠A＝∠D． （2） ∵∠A＝∠D，∴AB∥CD， ∴，，∴． ∵AE＝BE，∴CF＝DF． 例4.（2024.山东九年级期中）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．（1）求证：△PCQ∽△RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】解：（1）∵，∴． 又∵．∴． （2）∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，．∴，． 又∵点是中点，∴． 由（1）知，∴，∴． 又∵，∴． 变式1．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）在中，平分，交于点，，交于点，且，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交的延长线于点，用结合等腰三角形求出结果． 【详解】解∶过点作的平行线，交的延长线于点． 在直角中，，，∴， 在直角中，由勾股定理得． ∵，∴，∴．∵平分，∴， ∵，∴，∴．∴，∴，∴．故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，角平分线的定义，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，通过平行线构造相似三角形是解决问题的关键． 变式2．（2024九年级下·重庆·专题练习）如图，在中，是的中点，是的中点，的延长线交于，求． （1）解：过作，交于．请继续完成解答过程： （2）创新求解：利用“杠杆平衡原理” 解答本题：（如图）设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为；则端所挂物体质量为，点承受质量为；当点为杠杆的支点，则A端所挂物体质量为；再以为杠杆的支点时，； 应用：如图，在中，是上一点，是上一点，的延长线交于，且，，求 解：设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为，则端所挂物体质量为 ，点承受质量为 ；当点为杠杆的支点，则端所挂物体质量为 ；再以为杠杆的支点时， ． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键在于理解题意． （1）如图，过作，交于，得到，根据相似三角形的性质得，求得，根据，得到，即可得到结论； （2）根据题目中提供的解题思路和方法，结合（1）的结论即可得到答案． 【详解】解：（1）如图，过作，交于，则， ，，是的中点，则，，， ，，， 是的中点，，，； （2）设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为， ，端所挂物体质量端所挂物体质量， 端所挂物体质量，点承受质量端所挂物体质量端所挂物体质量； 当点为杠杆的支点，，端所挂物体质量：点承受质量，端所挂物体质量； 以为杠杆的支点时，端所挂物体质量端所挂物体质量．故答案为：． 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型） ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D． 【详解】解：∵，∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意； ∴，，故B不符合题意，C符合题意；∴，故D不符合题意；故选C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 例2．（2023·安徽·三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案． 【详解】解：、，，∴，，， ∴，，∴，，∴， ，∴，点是的中点，，，， ∴，，∴，∴，故选：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，求出． 例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；    小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由，可证，则，同理可得：，则，两边同时除以，可得． （2）由，，，，可得，，证明，则，同理，，则，两边同时除以得，，进而可得；（3）由（1）可知，，，则，解得，，则，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三角形的判定条件． 变式1.如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若＝，AF＝2，求的长． 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE， 又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE， 在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF． （2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF， 设BE＝BF＝x，∵＝，AF＝2，∴，解得x＝，∴BE＝BF＝， ∵＝，且CE＝AF，∴＝＝， ∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴， ∴，且∠ACB＝∠ACB,∴△ABC～△MEC, ∴∠CAB＝∠CME=∠ACB，∴ME=CE=2． 变式2．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践 在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料： 【光学模型】如图1，通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变，经过焦点的光线经凸透镜折射后平行于主光轴沿射出，与光线交于点，过点作主光轴的垂线段，垂足为，即可得出物体所成的像． 【模型验证】设焦点到光心的距离称为焦距，记为；物体到光心的距离称为物距，记为；像到光心的距离称为像距，记为． 已知，，当时，求证：． 证明：∵，，∴ 又∵，∴， ∴，即，同理可得， ∴，即 ① ，∴ ② ， ∴，∴，即． 请结合上述材料，解决以下问题： (1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含的代数式表示)；(2)若该凸透镜的焦距为20，物体距凸透镜的距离为30，物高为10，则物体所成的像的高度为__________； (3)如图2，由物理学知识知“经过点且平行于主光轴的光线经凸透镜折射后经过点”，小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线始终经过主光轴上一定点．若该凸透镜的焦距为20，物高为10，试说明这一物理现象． 【答案】(1)①②(2)20(3)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）分别证明，，由相似三角形的性质可得，整理可得，等号两边同时除以，即可获得答案； （2）结合（1），首先解得，结合，代入数值求解即可； （3）设与交于点，证明四边形为矩形，易得，再证明，由相似三角形的性质可得，结合（1）可得，等号两边同时加1，整理可得，结合可得出，即可说明这一物理现象． 【详解】（1）证明：∵，，∴ 又∵，∴，∴，即， 同理可得，∴，即，∴， ∴，∴，即．故答案为：①；②； （2）由（1）可知，，， 当，，时，可得，解得， ∴可有，解得，即物体所成的像的高度为．故答案为：20； （3）如下图，设与交于点，根据题意，， ∵，∴，∴四边形为矩形，∴， ∵，，∴， ∴，即，由（1）可知，，∴， ∴，∴，即，∴， ∵，∴， ∴小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距，光线始终经过主光轴上一定点，该定点透镜为焦点． 1．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，D，M是边的三等分点，N，E是边的三等分点．连接并延长与的延长线相交于点P．若，则线段的长为（　　） A．5 B．7 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线．熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线是解题的关键． 证明，则，证明，则，是的中位线，根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵，，∴， ∴，∴，∴，， 又∵，∴，∴， ∴是的中位线，∴，故选：D． 2．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，先由平行四边形的性质得到，，根据，得出，根据平行线分线段成比例定理得出，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：在平行四边形中，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，，故A、D不符合题意；∴，故C符合题意； ∵，，∴，故D不符合题意．故选：C． 3．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，是等腰三角形，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出，①正确；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，②正确；根据，得到，推出，③错误；根据时， ，得到,推出，④正确． 【详解】∵中，，，∴， 由作图知，平分，垂直平分，∴，， ∴，∴，∴，∴，①正确； ，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴，②正确； 设，，则，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，即，③错误； 当时，，∵，∴, ∴，④正确∴正确的有①②④，共3个．故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质． 4．（2022·辽宁·中考真题）如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为___________． 【答案】3 【分析】由正方形的性质可知，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，，∴，∴， ∵E为的中点，∴， ∴，，∴，∴；故答案为3． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 5．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）如图，，点在上，与交于点，若，则 ． 【答案】/0.25 【分析】证明，据相似三角形的性质用表示出，同理用表示出，计算即可． 【详解】解：，，，， ，，，，，故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 6．（2024·山西阳泉·三模）如图，是斜边上的中线，，点是中点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行线的判定，勾股定理，分别过点D，点E作，垂足分别为，根据易证，得到，由点是上的中点，得到，即可求出，根据易证，得到，由点是中点，得到，即可求出，根据易证，得到，即可求出，从而求出，再根据勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图，分别过点D，点E作，垂足分别为， ，，， 点是上的中点，， ，，，， ，点是中点，，，， ，， ，， ，，故答案为：． 7．（2024·山西阳泉·三模）如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，设，根据平行四边形的性质得，，，结合角平分线的定义证明，得到，，证明，得到，求解即可．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设，∵四边形是平行四边形，， ∴，，，∴， ∵的平分线交于点，∴，∴， ∴，∴，∵，∴， ∵，∴，，∴， ∴，解得：，（不符合题意，舍去）， ∴．故答案为：． 8．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理，由得到，则利用比例性质得到，然后利用可得到． 【详解】解：∵，∴，∴， ∵，∴．故答案为：． 9．（23-24九年级下·重庆大足·期末）如图，在等腰中，，，为的中线，垂直平分交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形的性质可得，，由勾股定理得，由线段垂直平分线的性质得，，即可由得到，即得，，得到，再由得到， 据此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，为的中线， ∴，，∴，∴， ∵垂直平分，∴，， ∵，，∴，∴， 即，∴，，∴， ∵，，∴，∴， 即，∴，故答案为：． 10．（2024·北京延庆·模拟预测）如图，中，延长至，使得．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， ，，， ，，故答案为：． 11．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，点分别在边上，与相交于点，且，．(1)求证：；(2)已知，求．    【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据题意得出，对顶角，即可判断； （2）根据（1）的结论得出，进而得出，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：，． ，，，，； （2）解：，，， ，，． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 12．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知中，D是的中点，E是上一点，，连接与相交于点F，求的值．    【答案】 【分析】过点A作的平行线，交的延长线与点G，即，则，，从而得到，再利用中点的定义可知，再根据可知，从而得到． 【详解】解：过点A作的平行线，交的延长线与点G，即，      ∵，∴， ∴，∴， 又∵D是的中点，∴． 又∵，∴，∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线并于平行证明三角形相似是解题的关键． 13．（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，，、交于点，    (1)若，，求的长．(2)连接、求证平分． 【答案】(1)(2)见解析 【分析】（1）根据，，可得，可证明，利用和的高的比为求出，从而得到即可求出的长； （2）连接，，首先证明，再根据和的高的比为以及，可证得，再利用两直线平行内错角相等即可得到． 【详解】（1）解：，，，， ，， 和的高的比为，， ，，，，； （2）如图，连接，，      ，，，，， ，，和的高的比为， ，，， ，，，，平分． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行判断成比例线段，熟练掌握三角形相似的判定定理，证明是解答本题的关键． 14．（2023·浙江金华·统考一模）如图，在中，，，点P是边上的动点，连接并延长交直线于点E，将沿直线折叠得到，直线交直线于F．    (1)求证：．(2)若四边形为菱形，且．求的值． (3)若点P为的中点，在改变长度的过程中，当成为以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析(2)或(3)13或3或或或 【分析】（1）由四边形是平行四边形得到，则，由折叠可知，，则，即可得到结论；（2）过点B作于点M，分点F在点D的右侧和点F在点D的左侧两种情况进行求解即可；（3）分五种情况，分别画出图形，分别进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，∴，由折叠可知，，∴，∴； （2）过点B作于点M，         则，设，且， ∵，四边形为菱形，∴， 在中，，即，解得， ∴，∴， 当点F在点D的右侧时，如图， ∵，∴， 在中，， 由（1）可知，∴，∴， ∵，∴，∴， 当点F在点D的左侧时，如图，点F与点M重合， 则，∴，同理可得， 综上所述，的值为或； （3）①当时，点F在点E的左侧，如图，过点B作于点M， 由（1）（2）可知，， ∵，∴，∴，       ∵点P是的中点，∴, ∵，∴，∴，∴， ∵，∴； ②当时，若点F在点E的右侧，如图， 则，同理可得，， ∵，∴，∴； ③当时，若点F在线段上，如图，过点B作于点M，       由（1）（2）可知，，由（3）①可知，， ∵，∴，∴， ∴，，∵，∴； ④当时，若点F在线段的延长线上时，如图， 同理可得，， ∴，∴； ⑤当时，若点F在线段的反向延长线上时，如图， 同理可得，，， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 综上所述，的长为13或3或或或． 【点睛】此题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、菱形的性质、折叠的性质、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定和性质，综合性较强，难度较大，分类讨论思想是解题的关键． 15．（2023•山东 中考模拟预测）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O． （1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD． （2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2． （3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度． 【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得结论； （2）由△DFO∽△DAB，得，同理，，，利用等式的性质将比例式相加，从而得出结论；（3）作DF∥OB交OC于点F，连接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由△DMF∽△EMO，可得EM＝，由△DMN∽△DOE，得，从而得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC中点，AB⊥BC， ∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中点，∴OE＝； （2）证明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴， 同理，，，∴＝， ∴，即； （3）解：作DF∥OB交OC于点F，连接EF， ∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC， ∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO， ∴，∴EM＝，∴， ∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴，∴，∴MN＝． 【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，对比例式进行恒等变形是解题的关键． 16．（2023秋·江西上饶·九年级校联考期末）完成下列各题． (1)课本中有一道练习题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形（），边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形零件的边长是 mm． 拓展应用：(2)若原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形两条边，如图2所示，求此时EF的长．    【答案】(1)48(2) 【分析】（1）设正方形零件的边长为，则，，根据，得到，根据相似三角形的性质得到比例式列方程求解即可； （2）由可得，，根据，得到，根据相似三角形的性质得到比例式列方程求解即可． 【详解】（1）解：设正方形零件的边长为，∵，∴， ∵，∴四边形是矩形，∴， ∴，即，解得．故答案为48． （2）解：∵，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴，即，解得．答：的长为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定和性质是解题的关键． 17．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，的面积为．（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证： （2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值． 【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3） 【分析】（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，求出，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）同（1）求解即可； （3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN，先证明△OEF≌△OCD，得到OD=OF，证明△OEF∽△OAM，得到，设，则，证明△OGF∽△OHN，推出，，则，由（2）结论求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F， ∴， ∴， ， ∵∠DOE=∠BOF，∴； ∴； （2）（1）中的结论成立，理由如下： 如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F， ∴， ∴， ， ∵∠DOE=∠BOF，∴； ∴； （3）如图所示，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN， ∵，∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF， 又∵OE=OC，∴△OEF≌△OCD（AAS），∴OD=OF， ∵，∴△OEF∽△OAM，∴， 设，则， ∵H是AB的中点，N是BM的中点，∴HN是△ABM的中位线， ∴，∴△OGF∽△OHN，∴， ∵OG=2GH，∴，∴， ∴，，∴， 由（2）可知． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键． 18．（23-24九年级上·山东青岛·期中）【探索与发现】（1）如图1，在四边形中，，对角线、相交于，则成立吗？试说明理由． （2）如图2，对于四边形中，对角线、相交于，则的结论是否成立？ 【应用与综合】在图（3）的情形下，比较大小： （填>、=、<）． 在图（4）的情形下，比较大小： （填>、=、<）． 【拓展与延伸】如图5，的内部任取一点连接、、并延长，分别交对边于点、、，则 ． 【答案】[探索与发现]（1）成立，理由见解析；（2）成立；[应用与综合]；；[拓展与延伸]1 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． [探索与发现]（1）证明，则，由平行线间的距离处处相等可得，进而结论得证；（2）如图2，作于，于，则，则，证明，则，进而可得； [应用与综合]如图3，作于，于，则， ，证明，则，进而可得； 如图4，作于，于，则，同理（3）求解即可； [拓展与延伸]由（3）可知，，然后代值求解即可． 【详解】[探索与发现]（1）解：成立，理由如下； ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴成立； （2）解：成立；如图2，作于，于，则，    ∴，∵，∴， ∴，∴，∴； [应用与综合]解：如图3，作于，于，则， ∴，∵，∴， ∴，∴，∴，故答案为：； 解：如图4，作于，于，则， 同理（3）可得，，，∴，故答案为：； [拓展与延伸]解：由（3）可知，， ∴，故答案为：1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$