专题01 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型-2024-2025学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题01 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 1 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 5 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 9 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 13 21 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据对称得到：PA=PA’，故AP+BP=A’P+BP， 再利用“两点之间线段最短”，得到AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中，∴，，∴，， ∵，∴，故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键． 变式1．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由，得出动点在与平行且与的距离是2的直线上，作点A关于直线l的对称点E，连结，，则的长就是所求的最短距离，然后勾股定理求得的长，即得答案． 【详解】设边上的高是h，，，， 动点P在与平行且与的距离是2的直线l上， 如图，作点A关于直线l的对称点E，连结，，则的长就是所求的最短距离， 在中，，，， 即的最小值为．故选D． 【点睛】本题考查了最短路线问题，轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质，作点A关于直线l的对称点E，并得到的长就是所求的最短距离是解题的关键． 变式2．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，菱形的周长为8，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质。连接，，根据菱形的性质可得，是等边三角形，再证，得，从而得的最小值为的长，再由E是的中点，可得，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，∵四边形是菱形，周长为8，， ∴，，，∴是等边三角形， 在和中，∵，，， ∴，∴，∴，即的最小值为的长， ∵E是的中点，∴，∴， 即的最小值为．故答案为：． 变式3．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，正方形的边长为6，点、分别在轴，轴的正半轴上，点在上，是上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是最短线路问题、正方形的性质及两点间的距离公式，具有一定的综合性，但难度适中．过点作关于的对称点，连接交于点，由两点之间线段最短可知即为的最小值，由正方形的性质可求出点的坐标，再根据可求出点的坐标，利用两点间的距离公式即可求出的值． 【详解】解：过点作关于的对称点，连接交于点，由两点之间线段最短可知即为的最小值， ，四边形是正方形，点的坐标为，点坐标为， ，即的最小值为．故选：A 变式4．（23-24九年级下·内蒙古·期中）如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形性质，轴对称性质，矩形的判定和性质，两点之间线段最短，掌握正方形性质，轴对称性质，两点之间线段最短是解题关键．作点F关于对称点，根据正方形是轴对称图形，是一条对称轴，可得点F关于的对称点在线段上，连接，P为上的一个动点，，则，的最小值为的长即可． 【详解】解：作点F关于对称点， ∵正方形是轴对称图形，是一条对称轴， ∴点F关于的对称点在线段上，连接， ∵P为上的一个动点，∴，则， 的最小值为的长，∵，，∴， 过点E作于点G，则，∵四边形为正方形，∴， ∴，∴四边形为矩形，∴，， ∴，∴．故答案为：． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（2024·陕西西安·二模）如图，在菱形中，，，于点，点在边上，且，是的中点，是上的动点，连接.则的最大值为 . 【答案】 【分析】先据菱形性质得出，结合直角三角形性质，得，分析出当三点共线，则有最大值，且为，再运用勾股定理列式，计算出，最后把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在菱形中，，∴， ∵，于点，∴在中，， ∴，则 作线段关于所在直线的对称线段，此时点N的对应点为，连接，并延长交于一点，即为，如图： 当三点共线，则有最大值，且为 ∴∴是等边三角形， 过作 则在中， 则 ∴则的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，三点共线求线段的差最小值，直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 变式1．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 【答案】 【分析】①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度，证明四边形是矩形可得，，，再利用勾股定理进行计算即可； ②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小， 的最小值为的长度，延长交于点G，根据对称的性质可得，再根据，点O是的中点，可得，从而求得，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：①连接并延长交于点Q，则这个点Q满足使的值最大，最大值为的长度， ∵四边形是矩形，∴，，∴，∵点O是的中点，∴， 又∵，∴，∴，， ∵，∴，过点P作于点P，∵，∴四边形是矩形， ∴，，∴，∴，∴； ②过点O作关于的对称点，连接交于点Q，的值最小， 的最小值为的长度，延长交于点G，∵，点O是的中点，∴， ∴，，∴，， ∴，∴的最小值为：，故答案为：；． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称−最短路径，熟练掌握相关知识是解题的关键． 变式2．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．以为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，由此可得，当三点共线时，取“”，此时即的值最大，由正方形的性质求出的长，继而可得，，再证明，可得，，判断出为等腰直角三角形，求得长即可得答案． 【详解】解：如图，以为对称轴作N的对称点，连接，    根据轴对称性质可知，，∴，当三点共线时，取“”， ∵在正方形中，，， ∴，∵O为中点，∴， ∵N为中点，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴为等腰直角三角形，∴，故答案为：2． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（,AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图1-1，连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图1-2，作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图1-3，作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图2，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小，根据，即可解． 【详解】解：如图1所示，作E关于BC的对称点，点A关于的对称点，连接，四边形的周长最小， ∵，，∴，． ∵，D是的中点，∴是的中位线， ∴，，∵，∴， ∴，即，，， ，故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定和性质，中位线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，找出四边形的周长最小时，P、Q的位置． 变式1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）【问题提出】（1）为了探索代数式的最小值，老师进行了如下引导，如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，设． ①则　　，　　.(用含x的代数式表示)． ②如图2，过点E作交的延长线于F，构造矩形，连接，此时A、C、E三点共线，的值最小，则的最小值=　　． 【迁移应用】（2）如图3，正方形中，点E在边上，点G在边上，且．已知，求的最小值． 【答案】（1）①　，；② 10；（2） 【分析】本题考查了求代数式的最值，数形结合的思想，勾股定理，关键是通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． （1）①由于和都是直角三角形，故可由勾股定理求得； ②求出的值便是的值最小； （2）过点E作于点H，通过三角形全等求出，作点A关于的对称点，作点F关于的对称点，过作于K，连接，当三点共线时，最小，求出结论即可． 【详解】解：（1）①， 由勾股定理得：，；故答案为：　，； ②矩形中，， ，故答案为：10； （2）过点E作于点H，如图， ∵四边形为正方形，∴， ∵，∴四边形为矩形，∴，∴， ∵，∴，∵，∴． 在和中，，∴，∴ ， 如图，作点A关于的对称点，作点F关于的对称点，过作于K，连接， ∴，，∴， 则当三点共线时，最小，∴， ∴，即的最小值为． 变式2．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在▱中，，，，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、． （1）点到直线的距离是 ；（2）周长的最小值是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，最短路径问题；掌握平行四边形的性质，用勾股定理求边，利用对称性求最短距离是解题的关键．（1）过点作的垂线，交延长线于点，在等腰直角三角形中求即可；（2）作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，；则长为周长的最小值；在等腰直角三角形中求，即可. 【详解】解：（1）如图：过点作的垂线，交延长线于点， ∵四边形是平行四边形，∴， ，，∴ ，，∴点到直线的距离是3；故答案为：3； （2）如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，，， 则长为周长的最小值；由（1）知，在中，，， ，， 由对称性可知，，，是等腰三角形， 又，，， ∴周长的最小值；故答案为：. 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 模型（1）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 图2 模型（2）：将军造桥（过桥）模型 已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 图2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，为的中点，若为边上的两个动点，且，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，则此时最小，据此求解即可． 【详解】在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，连接，过A点作的平行线交于一点，即为P点，过G点作的平行线交的延长线于H点． ，，四边形是平行四边形，∴，    ∵E为边的中点，∴， F点与点G关于对称，垂直平分，， ∴，，， ∴，线段的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，正确作出辅助线是解题的关键． 变式1．（2023·陕西·模拟预测）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为________ 【答案】 【分析】作DMAC，使得DM=EF=1，连接BM交AC于F，由四边形DEFM是平行四边形，推出DE=FM，推出DE+BF=FM+FB=BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，由四边形ABCD是菱形，在Rt△BDM中，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，作DMAC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F， ∵DM＝EF，DMEF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE＝FM，∴DE+BF＝FM+FB＝BM， 根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，∠BAD＝60° ∴AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝3， ∵BD⊥AC，DM∥AC，∴BD⊥DM，在Rt△BDM中，BM＝＝ ∴DE+BF的最小值为．故答案为． 【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决，属于中考填空题中的压轴题． 变式2．（2024·河北邯郸·三模）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得到，，根据平移的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到，于是得到的最小值的最小值，根据平移的性质得到点在过点且平行于的定直线上，作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值，求得，得到，于是得到结论 【详解】解：在边长为1的菱形中，，，， 将沿射线的方向平移得到，，， 四边形是菱形，，，， ，，四边形是平行四边形， ，的最小值的最小值， 点在过点且平行于的定直线上， 作点关于定直线的对称点，连接交定直线于，则的长度即为的最小值， 在中，，， ，，，， ，，作， 过点D作垂足为G 在中， CD=1,．故选：． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，菱形的性质，矩形的判定和性质，平移的性质，求得的最小值的最小值是解题的关键． 变式3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，线段和的最值问题，勾股定理；平移至，则，连接，得出四边形是平行四边形，则，，根据题意可得，在中，勾股定理求得，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，平移至，则，连接, ∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴ ∵在正方形中，，是对角线上两点∴∴ 在中，∴故答案为：． 例2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    【答案】 【分析】过点E作交于点I，连接．易求出，，．易证四边形为平行四边形，得出，即说明当最小时，最小．由当点I，H，C三点共线时，最小．结合平行四边形的判定和性质和勾股定理求出，即得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点I，连接．    ∵中，，，∴，∴， ∴，．∵，，∴． ∵，∴四边形为平行四边形，∴．同理可得出． ∵，，∴四边形为平行四边形， ∴，∴四边形为平行四边形，   ∴，∴，∴当最小时，最小． ∵当点I，H，C三点共线时，最小，∴此时最小，如图，    ∵，∴．∵∴四边形为平行四边形，∴，， ∵，，∴，∴，∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行线的判定，两点之间线段最短等知识．正确作出辅助线，理解当点I，H，C三点共线时，最小，即此时 最小是解题关键． 变式1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是________．    【答案】 【分析】由可知为定长，在、间滑动，故由造桥选址模型进行平移，转化为两点间距离加上定长，再利用特殊角构造直角三角形，使用勾股定理求出两点间距离． 【详解】作交于点E，在取，连接，延长至点，使，连接，作于点，如下图：    ，， 为等边三角形，， ，，四边形为平行四边形， 同理得四边形与四边形为平行四边形， ，，， ， 中，， 中， ，的最小值是． 【点睛】本题考查平移类最短路径，为造桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离和最小，解题时需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．求解长度时若有特殊角，通常采用构造直角三角形利用勾股定理求解的方法． 变式2．（2024·陕西西安·二模）如图1，正方形的边长为4，点是对角线上两动点，且，将点沿的方向平移2个单位得到点，连接、． (1)①四边形的形状为_____________； ②连接、，当点，，共线时，的值为_____________． (2)自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 【答案】(1)①平行四边形；②6．(2)米 【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，平移的性质： （1）①根据平行的性质得到，据此可证明四边形是平行四边形；②由正方形的性质得到，，由勾股定理得，由平行线的性质得到，则，由勾股定理得到，再由正方形的性质和平行四边形的性质得到，，则； （2）如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移米得到，连接，将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移米得到，连接，则四边形和四边形都是平行四边形，可得，则当四点共线时，最小，即此时最小；如图所示， 分别延长交于H，则，进而得到，则米，米，进一步得到米，米，则米， 即可得到的最小值为米． 【详解】（1）解：①由平行的性质可得， ∴四边形是平行四边形，故答案为：平行四边形； ②∵四边形是正方形，∴，， ∴， ∵，∴，∴，∴， 由正方形的对称性可得，由平行四边形的性质可得， ∴，故答案为：6； （2）解：如图所示，将点A沿着垂直于支流1的河岸的方向平移米得到，连接，将点B沿着垂直于支流2的河岸的方向平移米得到，连接， ∴四边形和四边形都是平行四边形，∴， ∴， ∴当四点共线时，最小，即此时最小； 如图所示， 分别延长交于H， ∵支流1和支流2与线段所夹的锐角分别为、， ∴，∴，∴米， ∴米，∴米，米， ∴米， ∴的最小值为米． 1．（23-24八年级下·新疆伊犁·期中）如图，在正方形中，是上一点，，，若是上一动点，则的最小值是（    ） A．12 B．10 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，能利用将军饮马模型用一条线段的长不是两线段和的最小值是解题的关键． 连接，利用将军饮马模型确定出的最小值为线段的长，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接，∵正方形对角线所在直线是正方形的一条对称轴， ∴，∴，∴的最小值为的长， ∵，∴， 在中，，故选：B． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在矩形中，，E为的中点， F 为对角线上的动点，则的最小值为（   ） A．cm B． C． D． 【答案】A 【分析】证明是等边三角形，，如图，作关于的对称点，连接，，连接，则，，，由，可知当三点共线时，最小，为，如图，过作的延长线于，则，，，，由勾股定理得，计算求解然后作答即可． 【详解】解：∵矩形，，E为的中点， ∴，，， ∴是等边三角形，， 如图，作关于的对称点，连接，，连接， ∴，，，∴， ∴当三点共线时，最小，为， 如图，过作的延长线于，∴， ∴，，∴， 由勾股定理得，，故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，含的直角三角形，勾股定理等知识． 3．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ） ， A．12 B．13 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识．确定和最小值时的情况是解题的关键． 作点E关于的对称点，连接，过F作于点G，当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求，由题意确定在边上，证明四边形是矩形，则，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接，过F作于点G， ，， 当、P、F三点共线时，，此时最小，即为所求， 四边形是正方形，，点在边上， ，，四边形是矩形，， ，， 由勾股定理得，，的最小值是13故选：B． 4．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点O关于的对称点F，连接交于G，连接交直线AB于P，连接，则，此时，最小，最小值，利用正方形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出，长，再证明是直角三角形，然后由勾股定理求出长即可． 【详解】解：作点O关于的对称点F，连接交于G，连接交直线AB于P，连接，则，此时，最小，最小值，   ， ∵正方形，，∴，，，，， ∴点O关于的对称点F，∴，，∴， ∵，，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴， 又∴，∴， ∴，∴最小值为．故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，明确题意，添加合适辅助线，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 5．（2023·重庆·一模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（　　） A．2 B．4 C．2 D．4 【答案】B 【分析】连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH．由平移和菱形的性质可证明四边形CDEG为平行四边形，即得出，从而可得出，即CH的长为的最小值．最后根据等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质与勾股定理求出CH的长即可． 【详解】如图，连接AE，作点D关于直线AE的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH． 由平移的性质可知，．∵四边形ABCD为菱形，∴，， ，∴，，∴四边形CDEG为平行四边形， ∴．由轴对称的性质可知，，，∴， ∴，即CH的长为的最小值． ∵，，∴四边形为平行四边形， ∴，∴，∴， ∴为等边三角形，∴，， ∴，∴，即为顶角是120°，底角为30°的等腰三角形， 结合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求．故选B． 【点睛】本题考查平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称变换，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，综合性强，为选择题中的压轴题．正确的作出辅助线是解题关键． 6．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，点E、F分别为、上的两个动点，连接，以为边作，对角线、相交于点O，连接．若，则周长的最小值是 ． 【答案】20 【分析】过点E关于的对称点，连接，得到，然后得到周长，当点，F，G三点共线时，周长最小，即的值，然后证明出是的中位线，得到，，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点E关于的对称点，连接， ∵四边形是矩形∴∴ ∴周长 ∴当点，F，G三点共线时，周长最小，即的值， ∵四边形是平行四边形∴ ∵∴是的中位线∴∴ ∴周长的最小值是20．故答案为：20． 【点睛】此题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形中位线的性质，轴对称性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 7．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，，点为延长线上一动点，连接，以为一组邻边作平行四边形，连接交于点，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过点D作于点N，过点D作直线l，使得，作点B关于直线l的对称点，连接，根据平行四边形对角线互相平分，易证，得出，进而得到，利用勾股定理求出，即，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，过点D作于点N，过点D作直线l，使得，作点B关于直线l的对称点，连接， 四边形是平行四边形，， ，，， ，，直线l与直线之间的距离为1， ，，， ，， 即的最小值为，即周长的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查了对称的性质，两点之间线段最短，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，证明是解题关键． 6．（2023·湖北·模拟预测）如图，正方形中，，连接，的平分线交于点，在上截取，连接，分别交，于点，，点是线段上的动点，于点，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是，其中所正结论的序号是        【答案】①②④ 【分析】先根据定理证出，从而可得，再根据角的和差即可判断结论①；根据等腰三角形的性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可判断结论②；先根据正方形的性质可得，再根据可得，求解，由此即可判断结论③；过点作于点，连接，先根据角平分线的性质可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，取得最小值，然后解直角三角形即可得判断结论④． 【详解】解：四边形是正方形，， ， 在和中，， ，， ，， ，即，结论①正确； 平分，，，， ，，，， ，结论②正确； ，，∴， ∴，即，故结论③错误； 如图，过点作于点，连接，    平分，，，，， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取得最小值， 由垂线段最短得：当时，取得最小值， 此时在中，， 即的最小值是，结论④正确； 综上，所有正确结论的序号是①②④，故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是④，利用两点之间线段最短、垂线段最短得出当时，取最小值是解题关键． 8.（2024.浙江中考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60º，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC,P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为 . 【解答】2 【解析】如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN',MN'， 根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM－PN＝PM－PN'≤MN'， 当P,M,N'三点共线时，取“＝”, ∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60º，∴AC＝6， ∵O为AC中点，∴AO＝OC＝3， ∵AN＝2，∴ON＝1，∴ON'＝1，CN'＝2，∴AN'＝4， ，∴CM＝AB－BM＝6－4＝2， ，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝60º， ∵∠N'CM＝60º，∴△N'CM为等边三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM－PN的最大值为2. 9．（2024·广西南宁·二模）如图，矩形中，，，点E，F将对角线三等分，点P是矩形边上的动点．则的最小值为 . 【答案】 【分析】由勾股定理得的长，分两种情况讨论，即①作F关于垂直对称点M并过交于点H，当点P在边上时位于H点时，②作点F关于的对称点M，连接交于点H，当点P在边上位于H点时，然后根据矩形性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理，即可求解． 【详解】解：，， ， ①作点F关于的对称点M，连接交于点H，当点P在边上位于H点时，此时最小，由图可知：， 过点E作，延长与交于点N， ， 点E，F将对角线三等分，， ，， ，； ②作点F关于的对称点M，连接交于点H，当点P在边上位于H点时，此时最小， 由图可知：， 过点E作，延长与交于点N， ， 点E，F将对角线三等分，， ，， ， ，的最小值．故答案为：． 【点睛】此题考查的是轴对称最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握轴对称的性质及勾股定理是解决此题的关键． 10．（2022·陕西西安·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=15，若点P为BC上的动点，以BP为斜边向矩形ABCD内部作等腰直角△BPQ，∠BQP=90°，则PD+PQ的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】此题为求PD+PQ的最小值，即可转化为求PE+PQ的最小值，当E、P、Q共线时，利用等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长DC使CE=CD，连接PE， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠PCD=∠PCE=90°，∴△PCD≌△PCE，∴PD=PE， 当E、P、Q共线时，PD+PQ=PE+PQ有最小值，最小值为EQ， ∵△BPQ是等腰直角三角形，∴∠QBP=∠QPB=45°，∴∠CPE=∠QPB=45°， ∴△PCD和△PCE都是等腰直角三角形，∴PC=CD=CE=8，BP=15-8=7，   ∴PE==8，PQ=BP=，∴EQ=PE+PQ==， ∴PD+PQ的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，，解题的关键是根据轴对称图形的特征转化最短线段． 11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查正方形的性质，线段最值问题等知识点，正确作辅助线是解题关键．过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，取关于的对称点，连接，，，根据三角形两边之查小于第三边即可得到，在中，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，取关于的对称点，连接，，， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴，， ∵关于的对称点是，是的中点，∴是的中点，即 在中，，∴， 当点运动到与点，在一条直线上的时候，即取到最大值，即， ∵，，∴，∴在中，，∴，∴．故答案为：1． 12．（2022·福建福州·模拟预测）如图，在等腰中，，把沿翻折得到．则若， 点、、分别为线段、、上的任意一点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】作交的延长线于点，连接，当时，最短，利用面积法证明即可． 【详解】解：作交的延长线于点，连接， 当时，最短， ，， ，，， ， ，故的最小值为．    故答案为：． 【点睛】本题主要考查翻折变化，轴对称，等腰三角形的性质，面积法等知识点，解题的关键是学会利用面积法证明线段之间的关系． 13．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点M在边上，，P为正方形内（含边上）一点，且，G为边上一动点，连接，则的最小值为 ．    【答案】3 【分析】先确定组成点P的所有点为过的中点E，F的线段，作点M关于的对称点，连接，证明的长为的最小值，因此求出的长即可． 【详解】解：过点P作，分别交于点E，F， ∵四边形是正方形，∴四边形和四边形都是矩形， ∵，正方形的边长为4， ∴，解得，∴，    作点M关于的对称点，连接，则， ∴，∴的最小值为的长， ∵，∴的最小值为3，故答案为：3． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，能用一条线段的长表示两条线段和的最小值是解题的关键． 14．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，将线段沿翻折得到线段，过点作于，连接．证明，推出，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，将线段沿翻折得到线段，过点作于，连接．   ，， 由翻折可知，，，，， 又，的最小值就是线段的长， 在中，，，，则， ∴，，， 的最小值为，故答案为． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题． 15．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）如图正方形的边长为，是中点，将沿直线平移得到在此过程中的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，正方形的性质，坐标与图形变化—平移，以点A为原点，所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，由正方形的性质先求出，由平移的性质可得，设，则，由勾股定理得到，则的值相当于x轴上的一点到点和到点的距离之和，故当、、三点共线时，的值最小，最小值为点和点的距离，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，以点A为原点，所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， ∵正方形的边长为，是中点， ∴，∴， 由平移的性质可得，设，， ∴，∴， ，∴， ∴的值相当于x轴上的一点到点和到点的距离之和， ∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为点和点的距离，即最小值为，故答案为：． 16．（2022·统考一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连接AH，CG．若，，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】延长DA到点O，使AO=HE=4，连接OC，可证得四边形AOEH是平行四边形，OE=AH，可得当点E、点G在OC上时，最小，即最小，再根据勾股定理即可求得． 【详解】解：如图：延长DA到点O，使AO=HE=4，连接OE、EG， ，，， 又，四边形AOEH是平行四边形，， 当点E、点G在OC上时，最小，即最小，， ，， ，故的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形及正方形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键． 17．（2022·山东泰安·模拟预测）如图，在菱形中，，，点，在上，且，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接BD交AC于点O，根据菱形的性质和勾股定理可得DO=3，当点O为MN的中点时，BM+DN的值最小，再证明得DN=BM，由勾股定理求出DN的长即可． 【详解】解：连接BD交AC于点O，如图， ∵四边形ABCD是菱形，AC=8∴ 又 在Rt△AOB中， ∴ ∴DO=5 当点O为MN的中点时，BM+DN的值最小，∵MN=1∴ 在Rt△DON中， ∴ 在Rt△DON和Rt△BOM中， ∴ ∴DN=BM∴ ∴的最小值为故答案为 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，灵活运用菱形的性质和勾股定理求出BN=是解答本题的关键． 18．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，O为坐标原点，四边形是矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒． (1)点B的坐标为______，当______时，四边形是平行四边形； (2)在直线上是否存在一点Q，使得以O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点M在线段上且，试求四边形周长的最小值． 【答案】(1)，(2)时，；时，；时，(3)22 【分析】（1）根据，，确定点B的坐标，继而求出，再由运动知，进而由平行四边形的性质建立方程即可得出结论；（2）分点Q在点P的右边，左边和延长线上，三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论；（3）过点M作交于点M，则四边形是平行四边形，，得四边形周长为，要使四边形的周长最小，只需最小，作点A关于直线的对称点N，连接，交于点E，故当G，M，E，N，共线时，最小，勾股定理解答计算即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形，，，点D是的中点， ∴，，,∴点B的坐标，根据题意，得，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， 解得，故答案为：；． （2）解：①当点Q在点P的右边时，如图， ∵四边形为菱形，，，, ∴，∴， ∴，，∴； ②当点Q在点P的左边且在线段上时，如图， ∵四边形为菱形，，，, ∴，∴， ∴，，∴； ③当点Q在点P的左边且在线段的延长线上时，如图， ∵四边形为菱形，，，, ∴，∴， ∴，，∴； 综上所述，存在符合题意的点Q，且时，；时，；时，． （3）过点M作交于点M， 则四边形是平行四边形，∴， ∵，，∴四边形周长为， 要使四边形的周长最小，只需最小，作点A关于直线的对称点N，连接，交于点E， 故当G，M，E，N，共线时，最小， 根据题意，得，∴， 故四边形周长的最小值为22． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，动点最值问题，勾股定理，轴对称求最值，解（1）的关键是求出的值，解（2）的关键时分类讨论的思想，解（3）的关键是找出点M的位置，是一道中等难度的中考常考题． 19．（2024·陕西榆林·二模）【问题提出】（1）如图1，在四边形中，，，，点E为的中点，点F为BC上一点，连接EF，，则的长为________； 【问题探究】（2）如图2，菱形的边长为8，且，E是的中点，F为对角线上一动点，连接，求周长的最小值； 【问题解决】（3）某校为了开展劳动教育，开辟出一块四边形空地，其平面示意图如图3中四边形所示，经测量，米，米，，并沿着对角线修建一条隔墙（厚度不计）将该空地分成和两个区域，其中区域为幼苗培育区，区域为作物观察区，的中点P处有一扇门，现计划在上取点E、F（点E在点F左侧），并沿修建一面结果记录墙（厚度不计），根据规划要求，米，且与的长度之和最小，请问的值是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）11；（2）；（3）的值存在最小值，最小值为米． 【分析】（1）根据中点的定义求出，再证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，根据线段和差即可得到答案； （2）先求出，则当最小时，的周长最小．连接交AC于点，证明，则，即可得到，则当B、F、E三点共线，即点F在点的位置时，取得最小值，最小值为的长．过点E作交的延长线于点H， 进一步求出，得到的最小值为．即可得到答案； （3）过点P作于点H，得到米．在上取点N，使得米，连接．得到四边形为平行四边形，进一步得到．作点N关于的对称点，连接交于点，连接交于点G，则垂直平分，，即，则当点D、F、三点共线，即点F在点处时，取得最小值，最小值为，进一步求出米，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，点E为的中点，∴， ∵，，∴四边形是平行四边形， ∴，∴，故答案为：11 （2）菱形的边长为8，点E为的中点， ，当最小时，的周长最小． 连接交AC于点，如图2． 四边形为菱形，，． 在和中，，，， ，，， 当B、F、E三点共线，即点F在点的位置时，取得最小值，最小值为的长． 过点E作交的延长线于点H，如图2． 四边形为菱形，，． ，，， ，， 即的最小值为．∴周长的最小值为． （3）过点P作于点H，如图3． ，于点H，∴． 点P为的中点，即，点H为的中点，即米． 在上取点N，使得米，连接． ，四边形为平行四边形，，． 作点N关于的对称点，连接交于点，连接交于点G，如图3． 则垂直平分，，即， 当点D、F、三点共线，即点F在点处时，取得最小值，最小值为的长．， 过点作交的延长线于点M，如图3． ∴∴．∴，∴米，∴米． 点P、H分别为的中点，为的中位线，米， 米，米，米， 即的值存在最小值，最小值为米． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、解直角三角形、三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理、轴对称的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加适当的辅助线是解题的关键． 20．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F． (1)如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是__________；证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是__________． (2)点在边上运动．①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由． ②如图3，连接若正方形的边长为4，直接写出的周长最小值． 【答案】(1)，；(2)①成立，理由见解析；②的周长c的取值范围为． 【分析】（1）根据提示，利用正方形的性质和“”证明两个三角形全等； （2）①仿照（1）中方法，在上取点P，使得，连接，证明即可得出结论；②如图3，设与相交于点O，延长到，使，连接，，根据正方形的性质和线段垂直平分线的性质证得，则，当D、F、三点共线时取等号，此时的周长的最小，最小值为，在中利用勾股定理求得得到的周长的最小值为；再讨论当点E于C重合时和当点E与点B重合时情况，即可得出的周长c的取值范围． 【详解】（1）解：猜想，理由：如图1，取的中点P，连接．则 ∵四边形是正方形，∴，， ∵E是的中点，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，则， ∵平分，∴，∴，即， ∵，∴，又，∴， 在和中，，∴∴． （2）①猜想仍然成立．理由为：如图2，在上取点P，使得，连接， 由（1）得，，，， ∴，即，∴是等腰直角三角形， ∴，则，∴ 在和中，，∴，∴； ②如图3，设与相交于点O，延长到，使，连接，， ∵四边形是正方形，边长为4，∴，， ，，∴，， 又∵，∴，则垂直平分， ∴， ∴，当D、F、三点共线时取等号，此时的周长的最小，最小值为， 在中，，∴， ∴的周长的最小值为；当点E于C重合时，如图4，，∴， 又，，∴，则A、D、F共线，且， ∴，此时不存在， 当点E与点B重合时，点F与点C重合，的周长即为的周长， 综上，的周长c的取值范围为． 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、最短路径问题、勾股定理，二次根式的乘法运算等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、造桥模型 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。 将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 1 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 5 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 9 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 13 21 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据对称得到：PA=PA’，故AP+BP=A’P+BP， 再利用“两点之间线段最短”，得到AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为 ． 变式1．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，菱形的周长为8，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是 ． 变式3．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，正方形的边长为6，点、分别在轴，轴的正半轴上，点在上，是上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 变式4．（23-24九年级下·内蒙古·期中）如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为 ． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 例1．（2024·陕西西安·二模）如图，在菱形中，，，于点，点在边上，且，是的中点，是上的动点，连接.则的最大值为 . 变式1．（2023春·湖南永州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为____________，的最小值为__________． 变式2．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且为对角线上一点，则的最大值为 ．    模型3.将军饮马（多线段和的最值模型） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（,AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图1-1，连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图1-2，作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图1-3，作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图2，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形边长为3，点E在边上且，点P，Q分别是边，的动点（均不与顶点重合），当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·广西南宁·期中）【问题提出】（1）为了探索代数式的最小值，老师进行了如下引导，如图1，C为线段上一动点，分别过点B、D作，连接．已知，设． ①则　　，　　.(用含x的代数式表示)． ②如图2，过点E作交的延长线于F，构造矩形，连接，此时A、C、E三点共线，的值最小，则的最小值=　　． 【迁移应用】（2）如图3，正方形中，点E在边上，点G在边上，且．已知，求的最小值． 变式2．（23-24八年级下·安徽淮南·期末）如图，在▱中，，，，对角线、相交于点，点、分别是边、上的点，连接、、． （1）点到直线的距离是 ；（2）周长的最小值是 ． 模型4.将军遛马、造桥（过桥）模型 模型（1）：将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 图2 模型（2）：将军造桥（过桥）模型 已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 图2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 将军造桥（过桥）模型：如图2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，为的中点，若为边上的两个动点，且，则线段的最小值为 ． 变式1．（2023·陕西·模拟预测）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为________ 变式2．（2024·河北邯郸·三模）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D．2 变式3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形中，，是对角线上两点点靠近点，且，当的最小值为时，的长为 ． 例2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，中，，，，，；垂足分别为点F和E．点G和H分别是和上的动点，，那么的最小值为______．    变式1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在中，，，M、N分别是、边上的动点，且，则的最小值是________．    变式2．（2024·陕西西安·二模）如图1，正方形的边长为4，点是对角线上两动点，且，将点沿的方向平移2个单位得到点，连接、． (1)①四边形的形状为_____________；②连接、，当点，，共线时，的值为_____________．(2)自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在支流1的左上方有一村庄，支流2的右下方有一开发区，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1和支流2上分别修建一座桥梁、（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄到开发区理论上的最短路程吗？（即和的最小值）．经测量，、两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为米、250米，且与线段所夹的锐角分别为、． 1．（23-24八年级下·新疆伊犁·期中）如图，在正方形中，是上一点，，，若是上一动点，则的最小值是（    ） A．12 B．10 C．8 D．16 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在矩形中，，E为的中点， F 为对角线上的动点，则的最小值为（   ） A．cm B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）如图，正方形的边长为12，点E、F分别为、上动点（E、F均不与端点重合），且，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（    ） ， A．12 B．13 C． D． 4．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，在正方形中，对角线，相交于点，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·重庆·一模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（　　） A．2 B．4 C．2 D．4 6．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，点E、F分别为、上的两个动点，连接，以为边作，对角线、相交于点O，连接．若，则周长的最小值是 ． 7．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，，点为延长线上一动点，连接，以为一组邻边作平行四边形，连接交于点，则周长的最小值为 ． 6．（2023·湖北·模拟预测）如图，正方形中，，连接，的平分线交于点，在上截取，连接，分别交，于点，，点是线段上的动点，于点，连接．下列结论：①；②；③；④的最小值是，其中所正结论的序号是        8.（2024.浙江中考模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60º，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且BM＝BC,P为对角线BD上一点，则PM－PN的最大值为 . 9．（2024·广西南宁·二模）如图，矩形中，，，点E，F将对角线三等分，点P是矩形边上的动点．则的最小值为 . 10．（2022·陕西西安·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=15，若点P为BC上的动点，以BP为斜边向矩形ABCD内部作等腰直角△BPQ，∠BQP=90°，则PD+PQ的最小值为 ． 11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为 ． 12．（2022·福建福州·模拟预测）如图，在等腰中，，把沿翻折得到．则若， 点、、分别为线段、、上的任意一点，则的最小值为 ．    13．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，正方形的边长为4，点M在边上，，P为正方形内（含边上）一点，且，G为边上一动点，连接，则的最小值为 ．    14．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，则的最小值为 ． 15．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）如图正方形的边长为，是中点，将沿直线平移得到在此过程中的最小值为 ． 16．（2022·统考一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正方形EFGH，连接AH，CG．若，，，则的最小值为______． 17．（2022·山东泰安·模拟预测）如图，在菱形中，，，点，在上，且，连接，，则的最小值为________． 18．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，O为坐标原点，四边形是矩形，，，点D是的中点，动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点C向点B运动，设运动时间为t秒． (1)点B的坐标为______，当______时，四边形是平行四边形；(2)在直线上是否存在一点Q，使得以O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点M在线段上且，试求四边形周长的最小值． 19．（2024·陕西榆林·二模）【问题提出】（1）如图1，在四边形中，，，，点E为的中点，点F为BC上一点，连接EF，，则的长为________； 【问题探究】（2）如图2，菱形的边长为8，且，E是的中点，F为对角线上一动点，连接，求周长的最小值； 【问题解决】（3）某校为了开展劳动教育，开辟出一块四边形空地，其平面示意图如图3中四边形所示，经测量，米，米，，并沿着对角线修建一条隔墙（厚度不计）将该空地分成和两个区域，其中区域为幼苗培育区，区域为作物观察区，的中点P处有一扇门，现计划在上取点E、F（点E在点F左侧），并沿修建一面结果记录墙（厚度不计），根据规划要求，米，且与的长度之和最小，请问的值是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 20．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）在正方形中，E是边上一点（点E不与点B，C重合），，垂足为点E，与正方形的外角的平分线交于点F． (1)如图1，若点E是的中点，猜想与的数量关系是__________；证明此猜想时，可取的中点P，连接．根据此图形易证．则判断的依据是__________． (2)点在边上运动．①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由． ②如图3，连接若正方形的边长为4，直接写出的周长最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$