2.5 一元二次方程的根与系数的关系（5考点·基础巩固）-2024-2025学年九年级数学上册分层考点讲与练（北师大版）

2.5 一元二次方程的根与系数的关系（基础巩固） 知识点一：一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为：a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 知识点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用 知识框图： 考点一 由根与系数的关系求值 【例1】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）；          （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】直接运用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【解析】解：（1）这里． ， ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是， 那么． （2）这里． ， ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根是，那么 ． 【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知是解题的关键． 【变式1】若是一元二次方程的两个根，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数关系解答即可 【解析】∵，，则 故本题选B． 【点拨】本题考查一元二次方程根与系数关系，熟记一元二次方程根与系数关系是解答的关键． 【变式2】已知方程的两根分别为、，则的值为（　　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用一元二次方程的根与系数关系，得出，，进而将原式变形求出答案． 【解析】∵6x2−7x−3=0的两根分别为x1、x2， ∴，， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，正确把握根与系数关系是解题的关键． 【变式3】已知a，b是方程x2+x-3=0的两个实数根，则a2+b2+2015的值是 ． 【答案】2022 【分析】由根与系数的关系及完全平方公式的变形应用，即可完成计算． 【解析】∵a，b是方程x2+x-3=0的两个实数根， ∴a+b=-1，ab=-3， ∴， 故答案为：2022. 【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形应用，掌握这两个知识是解题的关键． 考点二 由根与系数的关系求参数 【例1】关于x的一元二次方程的两根为，且，求m的值． 嘉佳的解题过程如下： 解：， ， 整理，得， 解得． 嘉佳的解题过程漏了考虑哪个条件？请写出正确的解题过程． 【答案】的值为． 【分析】根据一元二次方程根的判别式结合根与系数的关系解答． 【解析】解：嘉佳的解题过程漏了考虑这一条件．正确的解题过程如下： 根据题意得，解得． ，， 整理得，解得（舍去）， 的值为． 【点拨】本题中忽略这一条件导致错解针对这一类题，我们一定要看清题目中所给的条件，考虑一元二次方程有解的条件是“”，才能得出正确结果． 【变式1】已知关于x的方程x2+3x+m＝0的一个根是1，则此方程的另一个根为 _____． 【答案】-4 【分析】设该方程的两根为x1，x2，根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和，结合“已知关于x的方程x2+3x+m＝0的一个根是1”，即可得到答案． 【解析】设该方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣3， ∵该方程的一个根为1，∴另一个根为：﹣3﹣1＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【点拨】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【变式2】一元二次方程(m+1)x2-2mx+m2-1＝0有两个异号根，则m的取值范围是（       ） A．m＜1 B．m＜1且m≠-1 C．m＞1 D．-1＜m＜1 【答案】B 【分析】设方程两根为x1，x2，根据一元二次方程的定义和根与系数的关系求解即可． 【解析】设方程两根为x1，x2，根据题意得m+1≠0， ，解得m＜1且m≠-1， ∵x1•x2＜0，∴Δ＞0，∴m的取值范围为m＜1且m≠-1． 故选：B． 【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． 【变式3】若，是的两个根，且，则b的值是（   ） A．1 B． C．1或7 D．7或 【答案】A 【解析】∵，是的两个根， ∴，，且， ∵，∴， ∴，解得：或-7， 当时，， 当时，，不合题意，舍去， 综上所述，b的值是1． 故选：A 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 考点三 根的判别式与根与系数的关系 【例1】已知一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】（1）；（2) 【分析】 （1）一元二次方程有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的范围； （2）利用根与系数的关系，已知结合，先求，再求m． 【解析】解：（1）∵方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）由根与系数的关系可知，，， 解方程组，解得，∴． 【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式、根与系数的关系是解题的关键． 【变式1】已知一元二次方程的两实数根之和等于两实数根之积，则k的值为（       ） A． B．3 C． D．不存在 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即两实数根之和为，两实数根之积为，即可求得的值，再利用一元二次方程跟的判别式进行判断即可得出答案． 【解析】根据题意可知，此一元二次方程，，， ∴，，∴，解得， 当时，，方程无实根， 当时，，方程无实根， ∴不存在， 故选：D 【点拨】本题考查了了一元二次方程的性质，解答本题的关键是熟练运用根与系数的关系和根的判别式，属于基础题型． 【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣2(1﹣m)x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若x1•x2＝1，则m的值为___． 【答案】-1 【分析】根据根与系数的关系得到x1•x2＝m²=1，最后要验算判别式大于等于0． 【解析】由根与系数的关系可知：x1•x2＝m²=1，∴m=±1， 又方程有实数根，∴△=b²-4ac=4(1-m)²-4m²=4-8m≥0， ∴，∴m=1舍去， 故答案为：m=-1． 【点拨】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，计算过程中细心，同时要注意根与系数关系成立的前提条件是方程必须有实数根，即判别式必须大于等于0． 【变式3】已知，关于x的一元二次方程． (1)k取何值时，此方程有两个不相等的实数根？ (2)如果此方程的一个根为，求k的值和另一个根． 【答案】(1)时，方程有两个不相等的实数根 (2)，另一个根为 【分析】 （1）利用一元二次方程的根的判别式计算解答； （2）把代入原方程，解得k的值．再根据一元二次方程根与系数的关系求得另一个根． 【解析】解：(1)∵，，， ∴． ，解得 所以，当时，方程有两个不相等的实数根． (2)把代入原方程得：，解得：． 设另一个根为，则， 即，所以方程的另一个根为． 【点拨】此题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的知识点是解题的关键． 考点四 根与系数关系的综合应用 【例1】 甲、乙两人同解一个二次项系数为1的一元二次方程，甲抄错了常数项，解得两根分别为3和2，乙抄错了一次项系数，解得两根分别为－5和－1，求原来的方程. 【答案】 【分析】 解法一：利用甲乙解出的根，可以得出两个一元二次方程，取甲方程的一次项系数，取乙方程的常数项，即可重新组合出原来正确的方程． 解法二：利用根与系数的关系，取甲方程的一次项系数，取乙方程的常数项，即可重新组合出原来正确的方程． 【解析】解：解法一：设原一元二次方程为，代入甲解出的两根3、2得  ，解得，因为甲抄错常数项，所以取. 同理，代入乙解出的两根－5和－1，可得，而乙抄错了常数项，所以取， 综上可得原方程为 解法二：甲抄错常数项，解得两个为3和2，两根之和正确；乙抄错了一次项系数，解得两根为－5和－1，则两根之积正确．设原方程的两根分别为、，可得，，所以原方程就是． 【点拨】在没有学习根与系数关系之前，可用方程的解的性质，代入两根求出方程系数，学习之后可直接利用根与系数关系得出方程系数，更为简单． 【变式1】已知关于x的一元二次方程mx2﹣2（m＋2）x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1＋x2＝2m，则m的值是___． 【答案】2 【分析】由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围，根据根与系数的关系得到＝2m，解分式方程即可． 【解析】根据题意得：m≠0且Δ＝[﹣2（m＋2）]2﹣4m2＝16m＋16＞0，∴m＞﹣1且m≠0， ∵关于x的一元二次方程mx2﹣2（m＋2）x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴x1＋x2＝， ∵x1＋x2＝2m，∴＝2m， ∵m≠0，∴m2﹣m﹣2＝0， 解得m＝2或﹣1， 经检验，m＝2或﹣1是原分式方程的解， ∵m＞﹣1，∴m＝2． 故答案为：2 【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解分式方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解分式方程的步骤是解题的关键． 【变式2】关于x的一元二次方程的两实数根，，满足，则m的值是______． 【答案】2 【分析】先根据根的判别式求得m的取值范围，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到x1x2＝m2−m＝2，进而求得m＝2或m＝−1，故可得解． 【解析】由题意得Δ＝（2m）2−4（m2−m）≥0，∴m≥0， ∵关于x的一元二次方程的两实数根，， 则x1x2＝m2−m＝2， ∴m2−m−2＝0，解得m＝2或m＝−1（舍去）， 故答案为：2． 【点拨】本题考查的是解一元二次方程和一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1x2＝． 【变式3】在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝________，q＝________． 【答案】 ﹣2     ﹣3 【分析】由小明看错了系数p知常数项q无误，根据所得两根之积可得q的值；由小红看错了系数q知一次项系数p无误，根据所得两根之和可得p和q的值． 【解析】∵小明看错了系数p，解得方程的根为和，∴， ∵小红看错了系数q，解得方程的根为和，∴，∴， 故答案为：；． 【点拨】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝﹣，x1•x2＝，解题关键熟记根与系数的关系． 考点五 根与系数关系的拓展应用 【例1】已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，是否存在实数a使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，a＝-6 【分析】根据方程的解的定义得出m2-2m=1，n2-2n=1，m+n=2，再整体代入即可得出a的值． 【解析】解：存在，理由如下： ∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根， ∴m2﹣2m＝1，n2﹣2n＝1，m+n＝2， ∴﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7） ＝﹣（m+n）[7（m2﹣2m）+a][3（n2﹣2n）﹣7] ＝﹣2×（7+a）（3﹣7） ＝8（7+a）， 由8（7+a）＝8得a＝﹣6， ∴存在实数a＝﹣6，使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，解题的关键是得出m2-2m=1，n2-2n=1，m+n=2，注意解题中的整体代入思想． 【变式1】（1）不解方程，判别关于x的一元二次方程x－(2m+1)x+m(m+1)=0的根的情况； （2）在Rt△ABC中，斜边AB=，直角边BC、AC的长是（1）中方程的两个不相等的实数根，求m的值． 【答案】（1）关于x的一元二次方程x-(2m+1)x+m(m+1)=0有两个不相等的实数根 （2）m=4或-5 【分析】 （1）先根据题意求出的值，再根据一元二次方程根的情况与根的判别式的关系即可得出答案． （2）设直角边BC．AC的长是（1）中方程的两个不相等的实数根分别为x1．x2，根据韦达定理得到两根之积与两根之和，再求出即可解题． 【解析】解：（1）=[-(2m+1)]-4×1×m(m+1)=1＞0， ∴关于x的一元二次方程x-(2m+1)x+m(m+1)=0有两个不相等的实数根； （2）设直角边BC．AC的长是（1）中方程的两个不相等的实数根分别为x1．x2， 由韦达定理得：x1+x2=2m+1，x1x2= m(m+1)， 由题意可知：（x1+x2）-2 x1x2=（） 即（2m+1）-2×m(m+1)=41， 化简解得：m=4或-5 【点拨】本题考察了根的判别式，一元二次方程根的情况与根的判别式之间的关系．熟练掌握方程有两个不相等的；实数根方程有两个相等的实数根；方程没有实数根是解题的关键． 【变式2】关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根 （2）设该方程两个同号的实数根为，，试问是否存在使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2）不存在，理由见分析 【分析】 （1）根据根的判别式公式列出的表达式，证明>0即可证明此方程总有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系可得，，将方程中的转化为，再整体代入得到关于m的一元二次方程，解方程，最后根据两个同号的实数根进行取舍即可． 【解析】解：（1）证明：， 无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （2）由根与系数的关系可得：，， ， 则有， ， 整理得：，解得：或， 由方程有两个同号的实数根可得：，即m－2>0， m>2，不存在m使成立． 【点拨】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，熟记根的判别式以及根与系数的关系公式是解题关键，此题还需注意的是根据两实数根同号对求出的m值进行取舍． 【变式3】菱形的边长为5，两条对角线、相交于点，且，的长分别是关于的方程的两根，求的值． 【答案】． 【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AO2+BO2=25，则再根据根与系数的关系可得：AO+BO=−(2m−1)，AO∙BO=m2+3；代入AO2+BO2中，得到关于m的方程后，即可求得m的值． 【解析】解：∵，的长分别是关于的方程的两根， 设方程的两根为和，可令，， ∵四边形是菱形，∴， 在中：由勾股定理得：， ∴，则， 由根与系数的关系得：，， ∴， 整理得：， 解得：， 又∵， ∴，解得， ∴． 【点拨】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、以及根与系数的关系，将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5 一元二次方程的根与系数的关系（基础巩固） 知识点一：一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为：a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 知识点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用 知识框图： 考点一 由根与系数的关系求值 【例1】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）；          （2）． 【变式1】若是一元二次方程的两个根，则的值是（       ） A． B． C． D． 【变式2】已知方程的两根分别为、，则的值为（　　　）． A． B． C． D． 【变式3】已知a，b是方程x2+x-3=0的两个实数根，则a2+b2+2015的值是 ． 考点二 由根与系数的关系求参数 【例1】关于x的一元二次方程的两根为，且，求m的值． 嘉佳的解题过程如下： 解：， ， 整理，得， 解得． 嘉佳的解题过程漏了考虑哪个条件？请写出正确的解题过程． 【变式1】已知关于x的方程x2+3x+m＝0的一个根是1，则此方程的另一个根为 _____． 【变式2】一元二次方程(m+1)x2-2mx+m2-1＝0有两个异号根，则m的取值范围是（       ） A．m＜1 B．m＜1且m≠-1 C．m＞1 D．-1＜m＜1 【变式3】若，是的两个根，且，则b的值是（    ） A．1 B． C．1或7 D．7或 考点三 根的判别式与根与系数的关系 【例1】已知一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）若方程的两个实数根为，且，求m的值． 【变式1】已知一元二次方程的两实数根之和等于两实数根之积，则k的值为（       ） A． B．3 C． D．不存在 【变式2】已知关于x的一元二次方程x2﹣2(1﹣m)x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若x1•x2＝1，则m的值为___． 【变式3】已知，关于x的一元二次方程． (1)k取何值时，此方程有两个不相等的实数根？ (2)如果此方程的一个根为，求k的值和另一个根． 考点四 根与系数关系的综合应用 【例1】 甲、乙两人同解一个二次项系数为1的一元二次方程，甲抄错了常数项，解得两根分别为3和2，乙抄错了一次项系数，解得两根分别为－5和－1，求原来的方程. 【变式1】已知关于x的一元二次方程mx2﹣2（m＋2）x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1＋x2＝2m，则m的值是___． 【变式2】关于x的一元二次方程的两实数根，，满足，则m的值是______． 【变式3】在解一元二次方程x2＋px＋q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝________，q＝________． 考点五 根与系数关系的拓展应用 【例1】已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，是否存在实数a使﹣（m+n）（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）的值等于8？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（1）不解方程，判别关于x的一元二次方程x－(2m+1)x+m(m+1)=0的根的情况； （2）在Rt△ABC中，斜边AB=，直角边BC、AC的长是（1）中方程的两个不相等的实数根，求m的值． 【变式2】关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根 （2）设该方程两个同号的实数根为，，试问是否存在使成立，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【变式3】菱形的边长为5，两条对角线、相交于点，且，的长分别是关于的方程的两根，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$