2.4 用因式分解法求解一元二次方程（5考点·能力提升）-2024-2025学年九年级数学上册分层考点讲与练（北师大版）

2.4 用因式分解法求解一元二次方程（能力提升） 知识点一：因式分解法解一元二次方程 （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次式的积； ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 【重点说明】 （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式； （4）解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。 知识点二：换元法解一元二次方程 （1）解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理. （2）我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目的. 考点一 用提取公因式法解一元二次方程 【例1】用适当的方法解方程：． 【变式1】方程的解是（        ） A． B． C． D． 【变式2】解方程：（x﹣3）2＝2x﹣6 【变式3】以下是婷婷解方程 x（x－3）＝2（x－3）的解答过程： 解：方程两边同除以（x－3），得：x＝2 ∴原方程的解为x＝2 试问婷婷的解答过程是否有错误？ 如果有错误，请写出正确的解答过程． 考点二 用平方差、完全平方公式解一元二次方程 【例1】“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是_____________． 【变式1】解一元二次方程：（2x+1）2＝（x﹣1）2． 【变式2】如果a、b为实数，满足，那么的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式3】用适当的方法解下列方程：. 考点三 用十字相乘法解一元二次方程 【例1】已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程的根，则这个三角形的周长为（    ） A．17 B．19 C．21 D．25 【变式1】若分式的值为0，则（   ） A．x＝1或x＝3 B．x＝3 C．x＝1 D．x≠1且x≠2 【变式2】 解方程：． 【变式3】对于实数a、b、c、d，我们定义运算ad﹣bc，例如：2×5﹣1×3＝7，上述记号就叫做二阶行列式．若4，则x＝　 　． 考点四 用换元法解一元二次方程 【例1】解方程：． 【变式1】阅读例题，解答问题： 例：解方程． 解：原方程化为． 令，原方程化成 解得，（不合题意，舍去）． ．． ∴原方程的解是， 请模仿上面的方法解方程：． 【变式2】若实数、满足，则a2+b2的值为（       ） A．-5 B．-2或5 C．2 D．-5或-2 【变式3】在实数范围内，已知，则的值是______． 考点五 因式分解法解一元二次方程的应用 【例1】如图，已知平面直角坐标系中的，点，，坐标系内存在直线：将分成面积相等的两部分，且这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则的值为（       ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC>AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，DE=10，则AD的长为______________． 【变式2】已知中，，，，则的面积是________． 【变式3】某花卉生产基地举行花卉展览，如图所示是用这两种花卉摆成的图案，白色圆点为盆景，灰色圆点为盆花．图1中盆景数量为2，盆花数量为2；图2中盆景数量为4，盆花数量为6；图3中盆景数量为6，盆花数量为12…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)图6中盆景数量为________，盆花数量为___________； (2)已知该生产基地展出以上两种花卉在某种图案中的数量之和为130盆，分别求出该图案中盆景和盆花的数量； (3)若有n（n为偶数，且）盆盆景需要展出（只摆一种图案），照此组合图案，需要盆花的数量为________．（用含n的代数式表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 用因式分解法求解一元二次方程（能力提升） 知识点一：因式分解法解一元二次方程 （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次式的积； ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 【重点说明】 （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式； （4）解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。 知识点二：换元法解一元二次方程 （1）解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理. （2）我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目的. 考点一 用提取公因式法解一元二次方程 【例1】用适当的方法解方程：． 【答案】， 【分析】先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案． 【解析】解： ， ， 则，或， 解得，． 所以，原方程的解为，． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键． 【变式1】方程的解是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程移项后，再运用因式分解法求解即可． 【解析】，， ， ∴ 故选：B. 【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用一元二次方程的解法是解答本题的关键． 【变式2】解方程：（x﹣3）2＝2x﹣6 【答案】x1＝3，x2＝5 【分析】把右边部分移项后，用因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】解：（x﹣3）2＝2x﹣6 ∵（x﹣3）2＝2（x﹣3），∴（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0， 则（x﹣3）（x﹣5）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣5＝0， 解得：x1＝3，x2＝5． 【点拨】此题考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题的关键． 【变式3】以下是婷婷解方程 x（x－3）＝2（x－3）的解答过程： 解：方程两边同除以（x－3），得：x＝2 ∴原方程的解为x＝2 试问婷婷的解答过程是否有错误？ 如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】有错误，见分析 【分析】首先判断出婷婷解方程的过程是错误的，再移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解析】解：婷婷的解答过程有错误． 移项，得： ，x－3＝0或x－2＝0 ， 【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． 考点二 用平方差、完全平方公式解一元二次方程 【例1】“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是_____________． 【答案】 【分析】先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可. 【解析】解： 则或或 解得： 故答案为： 【点拨】本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键. 【变式1】解一元二次方程：（2x+1）2＝（x﹣1）2． 【答案】x1＝﹣2，x2＝0． 【分析】直接利用平方差公式分解因式解方程即可得出答案． 【解析】解：（2x+1）2＝（x﹣1）2， （2x+1+x﹣1）（2x+1﹣x+1）＝0， 则3x（x+2）＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝0． 【变式2】如果a、b为实数，满足，那么的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】首先把整理为，再根据算术平方根的非负性和平方的非负性，得出，，解出和的值，然后代入，计算即可． 【解析】∵， 又∵，，∴，， 解得：或，，∴或． 故选：C 【点拨】本题考查了算术平方根的非负性和平方的非负性、代数式求值、解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握二次根式和平方的非负性． 【变式3】用适当的方法解下列方程： 【答案】 ， 【分析】用配方法求解即可． 【解析】解：，， ，， ，， ∴ ，． 【点拨】本题考查解一元二次方程，熟练掌握根据方程特点选择适当解法是解题的关键． 考点三 用十字相乘法解一元二次方程 【例1】已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程的根，则这个三角形的周长为（    ） A．17 B．19 C．21 D．25 【答案】D 【分析】根据条件易知方程的两个根，再根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得结果； 【解析】∵，∴，∴或， 当时，，不能构成三角形， 当时，，能够成三角形， ∴三角形的周长； 故选D． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的求解和三角形三边关系，准确计算是解题的关键． 【变式1】若分式的值为0，则（  ） A．x＝1或x＝3 B．x＝3 C．x＝1 D．x≠1且x≠2 【答案】B 【分析】直接利用分式值为0的条件进而分析得出答案． 【解析】∵分式的值为0，∴，解得， 故选：B. 【点拨】此题主要考查了分式的值为0，正确掌握分式的值为0的条件是解答本题的关键． 【变式2】 解方程：． 【答案】， 【分析】将（3x-4）看作整体因式分解后可得两个一元一次方程，解之可得． 【解析】解： 原方程变形为． 由，得． 由，得． 所以，方程的解为， 【点拨】本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程． 【变式3】对于实数a、b、c、d，我们定义运算ad﹣bc，例如：2×5﹣1×3＝7，上述记号就叫做二阶行列式．若4，则x＝　 　． 【答案】2或4 【分析】根据题中的新定义化简所求式子，计算即可求出x的值． 【解析】根据题中的新定义得：x2﹣6（x﹣2）＝4，即x2﹣6x+8＝0， 分解因式得：（x﹣4）（x﹣2）＝0， 解得：x＝4或2． 故答案为：2或4． 考点四 用换元法解一元二次方程 【例1】解方程：． 【答案】 【分析】设，用完全平方公式将方程化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即为的值，进而求出x的值，将x的值代入原方程进行检验，即可得到原分式方程的解． 【解析】解：设，则， 原方程化成，解这个方程，得，， 当y＝1时，=1，即．由，此方程无实根， 当y＝－2时，，即， 解得：， 经检验，x＝－1是原分式方程的解， ∴原方程的解为x＝－1． 【点拨】题目主要考查了换元法解分式方程，关键是利用进行转化，进而设，将原方程转化为一元二次方程． 【变式1】阅读例题，解答问题： 例：解方程． 解：原方程化为． 令，原方程化成 解得，（不合题意，舍去）． ．． ∴原方程的解是， 请模仿上面的方法解方程：． 【答案】， 【分析】根据题意利用换元法解一元二次方程，然后解绝对值方程即可． 【解析】解：原方程化为． 令，原方程化成． 解得，（不合题意，舍去）． ， ． ∴原方程的解是，． 【点拨】本题主要考查了用换元法和因式分解法解一元二次方程，解绝对值方程，解题的关键在于能够准确根据题意使用换元法解方程． 【变式2】若实数、满足，则a2+b2的值为（       ） A．-5 B．-2或5 C．2 D．-5或-2 【答案】C 【分析】根据换元法，令a2+b2=m，将原式整理成含有m的一元二次方程，解出m的值，根据题意对m的值进行取舍即可. 【解析】令a2+b2=m，原式可化为：，即，解得：m=-5或m=2， 因为a2+b2≥0，所以m=2，a²+b²=2. 故答案为：C. 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，利用换元法求一元二次方程根，进而求出相应代数式的值，解决本题的关键是正确理解题意，能够用m将所求式子替换下来. 【变式3】在实数范围内，已知，则的值是______． 【答案】-3 【分析】直接利用换元法解方程，再利用一元二次方程的解法分析得出答案． 【解析】设，则，， 故，解得：，， 当时，则， 此时△，此方程无解， 故，故的值是． 故答案为：． 【点拨】此题主要考查了换元法解方程，正确解一元二次方程是解题关键． 考点五 因式分解法解一元二次方程的应用 【例1】如图，已知平面直角坐标系中的，点，，坐标系内存在直线：将分成面积相等的两部分，且这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则的值为（       ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】连接AC、BD，交于点E，然后由题意易得点E为AC的中点，然后根据中点坐标公式可得，进而可得直线必过点E，则有，然后求出直线与x、y轴的交点坐标，最后根据三角形面积公式可求解． 【解析】连接AC、BD，交于点E，如图所示： ∵四边形是平行四边形，∴点E为AC的中点， ∵点，，∴由中点坐标公式可得，即， ∵直线：将分成面积相等的两部分，∴直线必过点E， 把点代入直线解析式得：2k+b=2，解得：b=2-2k，∴， ∴当x=0时，则y=2k-2，当y=0时，则有， ∴直线与x、y轴的交点坐标分别为， ∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，∴， 解得：， 故选C． 【点拨】本题主要考查平行四边形的性质、一次函数与几何的综合及一元二次方程的解法，熟练掌握平行四边形的性质、一次函数与几何的综合及一元二次方程的解法是解题的关键． 【变式1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC>AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一点，且∠DCE=45°，DE=10，则AD的长为______________． 【答案】6或8 【分析】过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形．再设BE＝x，再用x表示出AE、AD,再利用勾股定理可求出x、最后求出AD即可． 【解析】过C作CG⊥AD于G，并延长DG，使GF＝BE， 在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∠A＝∠B＝90°，∠CGA＝90°，AB＝BC， ∴四边形ABCG为正方形，∴AG＝BC＝GC=12， ∵∠DCE＝45°，∴∠ECB+∠GCD=45°， ∵BE＝GF，∠B＝∠FGC=90°，BC＝GC，∴△EBC≌△FGC， ∴∠ECB＝∠FCG，∴∠FCG+∠GCD=∠DCF =45°=∠DCE， ∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，∴△ECD≌△FCD， ∴ED＝DF，∴DE＝GF＋DG＝BE＋GD， 设BE=x，则AE=12-x，DG=10-x，AD=12-(10-x)=2+x 在Rt△AED中，∵DE2＝AD2＋AE2， ∴102＝（2+x）2＋（12-x）2，解得：x＝4或x=6， ∴AD=6或AD=8． 故答案为：6或8． 【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识点，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解答本题的关键． 【变式2】已知中，，，，则的面积是________． 【答案】或 【分析】如图所示，过点C作CE⊥AB于E，先根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，设，则，，由，得到，由此求解即可． 【解析】如图所示，过点C作CE⊥AB于E， ∴∠CEB=∠CEA=90°， ∵∠ABC=60°，∴∠BCE=30°，∴BC=2BE，∴， 设，则，， ∵，∴， 解得或，∴或， ∴或， 故答案为：或． 【点拨】本题主要考查了勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握含30度角的直角三角形的性质． 【变式3】某花卉生产基地举行花卉展览，如图所示是用这两种花卉摆成的图案，白色圆点为盆景，灰色圆点为盆花．图1中盆景数量为2，盆花数量为2；图2中盆景数量为4，盆花数量为6；图3中盆景数量为6，盆花数量为12…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)图6中盆景数量为________，盆花数量为___________； (2)已知该生产基地展出以上两种花卉在某种图案中的数量之和为130盆，分别求出该图案中盆景和盆花的数量； (3)若有n（n为偶数，且）盆盆景需要展出（只摆一种图案），照此组合图案，需要盆花的数量为________．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)12；42 (2)该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110 (3) 【分析】 （1）由图可知，依次写出图1到图5的盆景的数量，盆花的数量；推导出一般性规律：图中盆景的数量为：；盆花的数量为：，将代入求解即可； （2）由题意知，，求出满足要求的值，进而可得盆景，盆花的数量； （3）根据推导出的一般性规律作答即可． 【解析】(1) 解：由图可知，盆景的数量依次为：、、、、 盆花的数量依次为：、、、、 ∴可推导出一般性规律：图中盆景的数量为：；盆花的数量为： ∴图6中盆景的数量为：；盆花的数量为： 故答案为：12；42． (2)由题意知，，整理得， 解得，（不合题意，舍去） 当时，盆景数量为，盆花数量为 ∴该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110． (3)由一般性规律可知，当有n盆盆景需要展出时，需要盆花的数量为. 故答案为：． 【点拨】本题考查了图形类规律探究，列代数式，解一元二次方程．解题的关键在于推导出一般性规律． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$