2.4 用因式分解法求解一元二次方程（5考点·基础巩固）-2024-2025学年九年级数学上册分层考点讲与练（北师大版）

2.4 用因式分解法求解一元二次方程（基础巩固） 知识点一：因式分解法解一元二次方程 （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次式的积； ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 【重点说明】 （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式； （4）解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。 知识点二：换元法解一元二次方程 （1）解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理. （2）我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目的. 考点一 用提取公因式法解一元二次方程 【例1】用适当的方法解方程：. 【答案】， 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】解： 解得， 【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【变式1】方程的解是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程移项后，再运用因式分解法求解即可． 【解析】 ∴ 故选：B 【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用一元二次方程的解法是解答本题的关键． 【变式2】解方程：3x(x－2)＝2－x． 【答案】x1＝－，x2＝2 【分析】利用因式分解法解方程； 【解析】解：3x(x－2)＝2－x， 3x(x－2)＋(x－2)＝0， (3x＋1)(x－2)＝0， 3x＋1＝0或x－2＝0， x1＝－，x2＝2． 【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程：将方程的右边化为零，把方程的左边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为零，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 【变式3】方程的根是（       ） A． B．， C．， D． 【答案】C 【分析】移项后用因式分解法求解即可． 【解析】∵x(x−2)=x−2，∴x(x−2)−(x−2)=0，∴(x−2)(x−1)=0，∴x-2=0，或x-1=0， ∴x1=2，x2=1． 故选：C． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 考点二 用平方差、完全平方公式解一元二次方程 【例1】若，则________． 【答案】0，±1 【分析】先移项，再提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可求解． 【解析】x3=x，x3-x=0，x（x2-1）=0，x（x-1）（x+1）=0， 解得x=0，±1． 故答案为：0，±1． 【点拨】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解题的关键是得到x（x2-1）=0． 【变式1】用适当的方法解方程：. 【答案】 【分析】先移项，再用完全平方公式进行因式分解，即可求解． 【解析】解：，，， ． 【点拨】本题主要考查了用因式分解法求解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 【变式2】用适当的方法解方程： 【答案】 【分析】根据平方差公式因式分解，即可求解． 【解析】解：，即， ∴，∴， 即， 解得． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【变式3】用适当的方法解方程：. 【答案】 【分析】先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可求解． 【解析】解：，即，， 解得：． 【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 考点三 用十字相乘法解一元二次方程 【例1】用适当的方法解方程：. 【答案】， 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】解： 解得， 【点拨】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【变式1】解方程：x2－x－2＝0． 【答案】x1＝2，x2＝－1 【分析】利用因式分解法解方程. 【解析】解：x2－x－2＝0， (x－2)(x＋1)＝0， x－2＝0或x＋1＝0， x1＝2，x2＝－1． 【点拨】本题考查了因式分解法解一元二次方程：将方程的右边化为零，把方程的左边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为零，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 【变式2】用适当的方法解方程：． 【答案】， 【分析】将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案； 【解析】解：，， 则或， 解得，， 所以，原方程的解为，； 【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键． 【变式3】由多项式乘法：，将该式从右到左进行运算，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：．如：分解因式：． （1）分解因式： （2）请用上述方法解方程： 【答案】（1）2，4（或4，2）；（2）， 【分析】（1）根据“十字相乘法”进行因式分解，即可得到答案； （2）先利用“十字相乘法”进行因式分解，进而即可求解． 【解析】解：（1） 故答案为：2，4（或4，2）； （2）∵， 或， 解得：，． 【点拨】本题主要考查分解因式以及解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”进行因式分解，是解题的关键． 考点四 用换元法解一元二次方程 【例1】请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知，求的值． 解：设，则原方程变形为，即， ∴，得t1＝﹣2，t2＝1 ∴或. 已知，求的值． 【答案】 【分析】先换元，再求出t的值，最后求出答案即可． 【解析】解：设,∴,即， ∴，解得：，（舍去）. ∴，即的值为． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键． 【变式1】解方程： 【答案】， 【分析】先设：得到解出y的值，再求解x的值并把结果进行检验即可得到答案； 【解析】解：设   ， 原方程化为：， 运用十字相乘法得到：， 解得， 当时，解得， 当时，解得， 经检验，和原方程的分母均不为0， 故原方程的解为：或； 【点拨】本题主要考查了用换元法求解一元二次方程，掌握换元法求解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【变式2】已知实数满足方程，则__________． 【答案】 【分析】设，将原式整理为含的方程即可得出答案 【解析】设，则原方程为：，则：，解得：， 当时，无实数解，故舍去， 经检验是的解， 故答案为：． 【点拨】本题考查了换元法解方程，解一元二次方程，熟练掌握解方程的一般步骤是解本题的关键． 【变式3】若实数x，y满足，则的值为（       ） A．－1 B．2 C．－1或2 D．－2或1 【答案】C 【分析】设：，则变为，进而解含a的一元二次方程，即可求出x+y的值． 【解析】设：，则变为， 变形可得：，则，则， 解得：，即的值为2或﹣1， 故选：C． 【点拨】本题考查解一元二次方程，整体思想，能够将等式转化为一元二次方程是解决本题的关键． 考点五 因式分解法解一元二次方程的应用 【例1】已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣3x＝4（x﹣3）的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．2.5 【答案】D 【分析】先利用因式分解法解方程得到直角三角形两直角边分别为3、4，再利用勾股定理计算出斜边＝5，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解． 【解析】x（x﹣3）﹣4（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣4）＝0，x﹣3＝0或x﹣4＝0，所以x1＝3，x2＝4， 则直角三角形两直角边分别为3、4，所以斜边5， 所以该直角三角形斜边上的中线长． 故选：D． 【变式1】如图，点在数轴的负半轴，点在数轴的正半轴，且点对应的数是，点对应的数是，已知，则的值为______． 【答案】-2 【分析】根据数轴上点的位置可得，即可得到，由此解方程，再根据即进行求解即可． 【解析】由数轴上点的位置可得， ∴即， ∴，解得或， ∵即，∴， 故答案为：-2． 【点拨】本题主要考查了数轴上两点的距离，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握数轴上两点的距离以及解一元二次方程的方法． 【变式2】已知正比例函数图像上有一个点，点的横坐标是方程x2+6x﹣91＝0的根，则点的纵坐标为 ___． 【答案】或##或 【分析】根据因式分解法解一元二次方程，进而将两根分别代入正比例函数解析式即可求得点的纵坐标 【解析】x2+6x﹣91＝0，即，解得 点的横坐标是方程x2+6x﹣91＝0的根， 当，解得，当时，解得 点的纵坐标为或 故答案为：或 【点拨】本题考查了解一元二次方程，正比例函数上点的特征，正确的解一元二次方程是解题的关键． 【变式3】如图，一次函数y=-3x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．若矩形OCPD的面积为1时，则点P的坐标为（　　） A．（，3） B．（，2） C．（，2）和（1，1） D．（，3）和（1，1） 【答案】D 【分析】由点P在线段AB上可设点P的坐标为（m，-3m+4）（0＜m＜），进而可得出OC=m，OD=-3m+4，结合矩形OCPD的面积为1，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再将其代入点P的坐标中即可求出结论． 【解析】∵点P在线段AB上（不与点A，B重合），且直线AB的解析式为y=-3x+4， ∴设点P的坐标为（m，-3m+4）（0＜m＜），∴OC=m，OD=-3m+4． ∵矩形OCPD的面积为1，∴m（-3m+4）=1，∴m1=，m2=1， ∴点P的坐标为（，3）或（1，1）． 故选：D． 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解一元二次方程，利用一次函数图象上点的坐标特征及，找出关于m的一元二次方程是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 用因式分解法求解一元二次方程（基础巩固） 知识点一：因式分解法解一元二次方程 （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次式的积； ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 【重点说明】 （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式； （4）解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。 知识点二：换元法解一元二次方程 （1）解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理. （2）我们常用的是整体换元法,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程,从而达到降次的目的. 考点一 用提取公因式法解一元二次方程 【例1】用适当的方法解方程：. 【变式1】方程的解是（        ） A． B． C． D． 【变式2】解方程：3x(x－2)＝2－x． 【变式3】方程的根是（       ） A． B．， C．， D． 考点二 用平方差、完全平方公式解一元二次方程 【例1】若，则________． 【变式1】用适当的方法解方程：. 【变式2】用适当的方法解方程： 【变式3】用适当的方法解方程：. 考点三 用十字相乘法解一元二次方程 【例1】用适当的方法解方程：. 【变式1】解方程：x2－x－2＝0． 【变式2】用适当的方法解方程：． 【变式3】由多项式乘法：，将该式从右到左进行运算，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：．如：分解因式：． （1）分解因式： （2）请用上述方法解方程： 考点四 用换元法解一元二次方程 【例1】请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知，求的值． 解：设，则原方程变形为，即， ∴，得t1＝﹣2，t2＝1 ∴或. 已知，求的值． 【变式1】解方程： 【变式2】已知实数满足方程，则__________． 【变式3】若实数x，y满足，则的值为（       ） A．－1 B．2 C．－1或2 D．－2或1 考点五 因式分解法解一元二次方程的应用 【例1】已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2﹣3x＝4（x﹣3）的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．2.5 【变式1】如图，点在数轴的负半轴，点在数轴的正半轴，且点对应的数是，点对应的数是，已知，则的值为______． 【变式2】已知正比例函数图像上有一个点，点的横坐标是方程x2+6x﹣91＝0的根，则点的纵坐标为 ___． 【变式3】如图，一次函数y=-3x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A，B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．若矩形OCPD的面积为1时，则点P的坐标为（　　） A．（，3） B．（，2） C．（，2）和（1，1） D．（，3）和（1，1） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$