2.3 用公式法求解一元二次方程（6考点·能力提升）-2024-2025学年九年级数学上册分层考点讲与练（北师大版）

2.3 用公式法求解一元二次方程（能力提升） 知识点一： 公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值 ②确定公式中a,b,c的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值； 若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。 知识点二 ：一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac. △＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 一元二次方程 △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 根的判别式 △＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根 知识点三：一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 【重点说明】 （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 考点一 用公式法解一元二次方程 【例1】用公式法解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1），．（2），． 【分析】 （1）先把方程化为一般式，再利用公式法进行求解； （2）根据公式法即可求解. 【解析】解：（1）将方程化为一般形式，得． 这里，，． ∵， ∴， 即，． （2）这里，，． ∵， ∴， ∴，． 【点拨】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法解方程. 【变式1】已知则的值=___________ 【答案】或 【分析】依题意解后，分a=b与进行讨论即可． 【解析】依题意得a,b是方程的解， 解得：， 当时，a+b=， 当时，a+b=， 当时，， 故答案为：或． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解的问题，掌握一元二次方程的解以及分类讨论是解题的关键． 【变式2】关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则的值为（　　） A．24 B．25 C．24或25 D．无法确定 【答案】C 【分析】分类讨论6为底边和6为腰两种情况，结合一元二次方程的根与其根的判别式的情况即可确定的值． 【解析】①当6为底边时，则，∴，∴， ∴方程为，解得：， ∵，∴5，5，6能构成等腰三角形； ②当6为腰时，则设，∴，∴， ∴方程为，∴，， ∵，∴4，6，6能构成等腰三角形； 综上所述：或25． 故选：C． 【点拨】本题考查三角形三边关系以及一元二次方程的根与根的判别式．利用分类讨论的思想是解答本题的关键． 【变式3】对于方程，如果方程实根的个数恰为个，则值等于（          ） A．1 B．2 C． D．2.5 【答案】B 【分析】先把已知方程转化为关于|x|的一元二次方程的一般形式，再根据方程有三个实数根判断出方程根的情况，进而可得出结论． 【解析】原方程可化为x2-2|x|+2-m=0，解得|x|=1±， ∵若1-＞0，则方程有四个实数根，∴方程必有一个根等于0， ∵1+＞0，∴1-=0，解得m=2． 故选B． 【点拨】本题考查的是根的判别式及用公式法解一元二次方程，先根据题意得出|x|的值，判断出方程必有一根为0是解答此题的关键． 考点二 一元二次方程根的判别式 【例1】已知关于x的方程 （1）求证：方程总有两个实数根 （2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】 （1）证出根的判别式即可完成； （2）将k视为数，求出方程的两个根，即可求出k的取值范围. 【解析】（1）证明： ∴方程总有两个实数根 （2）解： ∴ ，∴ ∵方程有一个小于1的正根，∴ ∴ 【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式与方程的根之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题关键. 【变式1】在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个 【答案】D 【分析】直线不经过第一象限，则m=0或m＜0，分这两种情形判断方程的根． 【解析】∵直线不经过第一象限，∴m=0或m＜0， 当m＝0时，方程变形为x+1=0，是一元一次方程，故有一个实数根； 当m＜0时，方程是一元二次方程，且△=， ∵m＜0，∴-4m＞0，∴1-4m＞1＞0，∴△＞0, 故方程有两个不相等的实数根， 综上所述，方程有一个实数根或两个不相等的实数根， 故选D． 【点拨】本题考查了一次函数图像的分布，一元一次方程的根，一元二次方程的根的判别式，准确判断图像不过第一象限的条件，灵活运用根的判别式是解题的关键． 【变式2】对于函数，规定，例如，若，则有．已知函数，那么方程的解的情况是（ ） A．有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】根据规定将方程转化为一般式，再由根的判别式判断即可． 【解析】根据题意：， 由：，故：，即：， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点拨】本题考查了利用根的判别式来判断方程根的情况，解题的关键是：要理解规定的内容，将函数转化为一般式后，方程就为一元二次方程再解即可． 【变式3】已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】（1）证明见分析；（2）m=1． 【分析】 （1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可； （2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值． 【解析】方法1 ：利用判别式 （1）证明：． ∵不论m为何值，，即． ∴不论m为何值，方程总有实数根． （2）解：解关于x的一元二次方程，得 ，∴，． ∵方程的两个根都是正整数，∴是正整数，∴或． 又∵方程的两个根不相等，∴，∴． 方法2：直接解一元二次方程求出根 （1）证明：解关于x的一元二次方程，得，， ∴不论m为何值，方程总有实数根． （2）解：解关于x的一元二次方程，得 ，∴，． ∵方程的两个根都是正整数，∴是正整数，∴或． 又∵方程的两个根不相等，∴，∴． 考点三 一元二次方程根的判别式的逆用 【例1】定义：当关于的一元二次方程满足时，称此方程为“合理”方程．若“合理”方程有两个相等的实数根，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次方程有两个相等的根得=n2-4mp=0，再由“合理”方程得4m-2n+p=0，再对两式进行恒等变换和代入即可． 【解析】∵“合理”方程有两个相等的实数根，∴ 4m-2n+p=0 ①，=n2-4mp=0 ② 则有 p=2n-4m代入②得：n2-4m (2n-4m) =0，16m2-8mn=- n2，16m2-8mn+n2=-n2+n2. ∴(4m-n)2=0,∴4m=n，代入①得n-2n+p=0， ∴n=p，∴ 4m=n=p 故选：D 【点拨】本题考查一元二次方程根的情况，灵活对等式进行恒等变换是关键．整体代入是常用的方法． 【变式1】定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A．a=c B．a=b C．b=c D． 【答案】A 【分析】 因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2-4ac=0，又a+b+c=0，即b=-a-c，代入b2-4ac=0得(-a-c)2-4ac=0，化简即可得到a与c的关系． 【解析】∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，∴△=b2−4ac=0， 又a+b+c=0，即b=−a−c，代入b2−4ac=0得(−a−c)2−4ac=0， 即(a+c)2−4ac=a2+2ac+c2−4ac=a2−2ac+c2=(a−c)2=0，∴a=c 故选：A 【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，根据方程根的情况确定方程中字母系数之间的关系． 【变式2】亮亮在解一元二次方程：□时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（ ） A．1 B．0 C．7 D．9 【答案】D 【分析】设常数项为c，利用判别式的意义得到△＝（﹣6）2﹣4c≥0，再解不等式得到c的范围，然后在此范围内确定最大值即可． 【解析】设常数项为c，根据题意得△＝（﹣6）2﹣4c≥0，解得c≤9，所以c的最大值为9． 故选：D． 【点睛】 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 【变式3】当b+c=5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c=0的根的情况为____． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】由b+c=5可得出c=5-b，根据方程的系数结合根的判别式可得出△=（b-6）2+24，由偶次方的非负性可得出（b-6）2+24＞0，即△＞0，由此即可得出关于x的一元二次方程3x2+bx-c=0有两个不相等的实数根． 【解析】∵b+c=5，∴c=5-b． △=b2-4×3×（-c）=b2+12c=b2-12b+60=（b-6）2+24． ∵（b-6）2≥0，∴（b-6）2+24＞0，∴△＞0， ∴关于x的一元二次方程3x2+bx-c=0有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【点拨】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 考点四 根据一元二次方程求参数 【例1】关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 【答案】（1）；（2）的值为． 【分析】 （1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足． 【解析】解：（1）根据题意得，解得； （2）的最大整数为2， 方程变形为，解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，，解得； 当时，，解得， 而，∴的值为． 【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【变式1】已知关于的不等式组无解，且关于y的一元二次方程有两个实数根，则整数的值可以是______ 【答案】3，4． 【分析】先利用不等式组的解集情况可确定m≥3，再根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△＝42－4m≥0，解得m≤4且m≠0，所以m的范围为3≤m≤4，然后找出此范围内的整数即可． 【解析】 ，解不等式①，得x＞m，解不等式②，得x＜3， ∵关于x的不等式组无解，∴m≥3， ∵关于y的一元二次方程有两个实数根， ∴△＝42－4m≥0，且m≠0，解得m≤4且m≠0， ∴3≤m≤4， ∴符合条件的整数m为3，4． 故答案为：3，4． 【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了解一元一次不等式组．熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元一次不等式组的解法是解题的关键． 【变式2】已知关于的方程有两个不相等的实数根． 求的取值范围； 若，且方程的两个实数根都是整数，求的值． 【答案】 ； ，或． 【分析】 (1)关于x的方程x2-2x-2n=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2-4ac>0，即可得到关于n的不等式，从而求得n的范围； (2)利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值即可． 【解析】解：∵关于的方程的二次项系数、一次项系数、常数项， ∴， 解得； 由原方程，得，解得， ∵方程的两个实数根都是整数，且，不是负数， ∴，且是完全平方形式， ∴，或， 解得，或． 【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 【变式3】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求实数m的取值范围； （2）是否存在实数m，使得成立？如果存在，求出m的值：如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）m＜1；（2）m=-1 【分析】 （1）由方程有两个不相等的实数根，那么△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2=-2（m-1），x1•x2=m2-1，由条件可得出关于m的方程，解之即可得出m的值． 【解析】解：（1）∵方程x2+2（m-1）x+m2-1=0有两个不相等的实数根x1，x2． ∴△=4（m-1）2-4（m2-1）=-8m+8＞0， ∴m<1； （2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2=-2（m-1），x1•x2=m2-1． ∵x12+x22=16+x1x2 ，∴(x1+x2)2＝16+3x1x2， ∴4（m-1）2=16+3（m2-1），解得：m1=-1，m2=9， ∵m＜1，∴m2=9舍去， 即m=-1． 【点拨】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出根与系数的关系；（2）根据根与系数的关系得出m的值，注意不能忽视判别式应满足的条件． 考点五 公式法在几何中的应用 【例1】如图（1），将一个等腰直角三角形纸片沿着虚线剪成三块，再利用这三块小纸片进行拼接，恰好拼成一个如图（2）无缝隙、不重叠的平行四边形，则的值是___． 【答案】 【分析】 等腰直角三角形纸片沿图中虚线剪成三块图形，能拼成一个没有缝隙且不重叠的平形四边形，则等腰直角三角形的面积和平行四边形的面积相等，可得，求出和之间的关系即可得出结论． 【解析】如图，等腰直角三角形纸片沿图中虚线剪成三块图形，能拼成一个没有缝隙且不重叠的平行四边形，∴等腰直角三角形的面积等于平行四边形的面积， 由图（1）可知：等腰直角三角形的直角边的长为， 由图（2）可知：平行四边形的底边长为，高为， ∴，∴，∴ 解得：或（舍去），∴的值是． 故答案为： 【点拨】本题考查了图形的剪拼、一元二次方程的解法、等腰直角三角形和平形四边形的面积公式．解决本题的关键是利用转化思想，剪拼前后两个图形的面积相等． 【变式1】如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为______． 【答案】 【分析】如图（见解析），设，先根据直角三角形的面积公式、正方形的面积公式求出的值，再根据建立等式，然后根据建立等式求出a的值，最后代入求解即可． 【解析】如图，由题意得：，，，是直角三角形，且均为正数， 则大正方形的面积为，小正方形的面积为， 设，则 ， 又，即， 解得或（不符题意，舍去） 将代入得： 两边同除以得： 令，则 解得或（不符题意，舍去） 即的值为 故答案为：． 【点拨】本题考查了一元二次方程与几何图形、勾股定理、三角形全等的性质等知识点，理解题意，正确求出的值是解题关键． 【变式2】如图，在中，，，，D是AC上一点，且，E是BC边上一点，将沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为________． 【答案】 【分析】根据题意可知点F的运动轨迹为以D为圆心，CD长为半径的圆．即可知当B、F、D三点共线时，BF的值最小．由勾股定理可求出BC的长，设，则，在中，利用勾股定理解出x，即求出BF的最小值． 【解析】根据题意可知点F的运动轨迹为以D为圆心，CD长为半径的圆． 由点F的运动轨迹可知当B、F、D三点共线时，BF的值最小，如图，∴， 在中，．设，则， ∴在中，，即， 解得：，（舍）． 故BF的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查折叠的性质，圆的基本性质，勾股定理以及解一元二次方程．理解当B、F、D三点共线时，BF的值最小是解答本题的关键． 【变式3】如图，在矩形ABCD中，AD=10，点E是AD上一点，且AE=m（m是常数），作△BAE关于直线BE的对称△BFE，延长EF交直线BC于点G. (1)求证：EG=BG； (2)若m=2． ①当AB=6时，问点G是否与点C重合，并说明理由； ②当直线BF经过点D时，直接写出AB的长． 【答案】(1)点G是与点C重合，见分析； (2)①见分析，② 【分析】 （1）欲证明EG=BG，只要证明∠EBG=∠BEG即可； （2）①如图1中，过点E作EH⊥BG于点H，则四边形ABHE是矩形，设BG=EG=x，在Rt△EHG中，EG2=EH2+HG2，构建方程求出x，即可判断； ②由轴对称的性质可知AB=BF，AE=EF=2，则，推出，设AB=k，BD=4k，则DF=3k，在Rt△DEF中，DE2=EF2+DF2，构建方程，可得结论； 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG， ∵△ABE与△FBE关于BE对称，∴∠AEB=∠BEF，∴∠EBG=∠BEF， ∴EG=BG； (2)解：①点G与C重合； 理由：如图1中，过点E作EH⊥BG于点H，则四边形ABHE是矩形， ∴EH=AB=6．AE=BH=2，设BG=EG=x，在Rt△EHG中，EG2=EH2+HG2， ∴x2=62+（x-2）2，∴x=10， ∵BC=AD=10，BG=10，∴点G与C重合； ②如图2中， 由轴对称的性质可知AB=BF，AE=EF=2， ∵，∴ ， ∴设AB=k，BD=4k，则DF=3k， 在Rt△DEF中，DE2=EF2+DF2，∴82=22+（3k）2，∴ （负根已经舍去）， ∴AB=； 【点拨】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会利用参数构建方程解决问题． 考点六 综合题型 【例1】已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 【答案】（1）详见分析 （2）或 【分析】 （1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 【解析】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1，∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4． 【点拨】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 【变式1】已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0． (1)求证：不论m取何值，此方程总有实数根； (2)若m为整数，且方程的一个根小于2，请写出一个满足条件的m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)﹣1（答案不唯一） 【分析】 （1）由题意知，判断其与0的关系，即可得出结论； （2）表示出方程的两根，根据要求进行求解即可． 【解析】(1)证明：由题意知 ∵（m+2）2≥0，∴△≥0，∴关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0总有实数根； (2)解：由（1）知，△＝（m+2）2， ∴x， ∴，， ∵方程有一根小于2，∴﹣m＜2，∴m＞﹣2， ∵m为整数，∴满足条件的m的一个值为﹣1． 【点拨】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键在于利用判根公式确定方程根的个数，利用公式求方程的根． 【变式2】如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm． （1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？ （2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． （3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？ 【答案】（1）经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2； （2）线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分，见解析； （3）经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2 【分析】 （1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，根据等量关系：△PBQ的面积等于8cm2，列出方程求解即可； （2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； （3）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x＜4）；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6）；进行讨论即可求解. 【解析】解：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有：（6﹣x）•2x＝8， 解得x1＝2，x2＝4，经检验，x1，x2均符合题意. 故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2； （2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有：△ABC的面积＝×6×8＝24， （6﹣y）•2y＝12，y2﹣6y+12＝0， ∵△＝b2﹣4ac＝36﹣4×12＝﹣12＜0，∴此方程无实数根， ∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分； （3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x＜4），设经过m秒，依题意有 （6﹣m）（8﹣2m）＝1，m2﹣10m+23＝0， 解得m1＝5+，m2＝5﹣， 经检验，m1＝5+不符合题意，舍去， ∴m＝5﹣； ②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6）， 设经过n秒，依题意有：（6﹣n）（2n﹣8）＝1，n2﹣10n+25＝0， 解得n1＝n2＝5，经检验，n＝5符合题意. ③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6）， 设经过k秒，依题意有：（k﹣6）（2k﹣8）＝1，k2﹣10k+23＝0， 解得k1＝5+，k2＝5﹣，经检验，k1＝5﹣不符合题意，舍去， ∴k＝5+； 综上所述，经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2. 【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 用公式法求解一元二次方程（能力提升） 知识点一： 公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值 ②确定公式中a,b,c的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值； 若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。 知识点二 ：一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac. △＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 一元二次方程 △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 根的判别式 △＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根 知识点三：一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 【重点说明】 （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 考点一 用公式法解一元二次方程 【例1】用公式法解下列方程： （1）． （2）． 【变式1】已知则的值=___________ 【变式2】关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则的值为（　　） A．24 B．25 C．24或25 D．无法确定 【变式3】对于方程，如果方程实根的个数恰为个，则值等于（          ） A．1 B．2 C． D．2.5 考点二 一元二次方程根的判别式 【例1】已知关于x的方程 （1）求证：方程总有两个实数根 （2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围 【变式1】在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个 【变式2】对于函数，规定，例如，若，则有．已知函数，那么方程的解的情况是（ ） A．有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【变式3】已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 考点三 一元二次方程根的判别式的逆用 【例1】定义：当关于的一元二次方程满足时，称此方程为“合理”方程．若“合理”方程有两个相等的实数根，则下列等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A．a=c B．a=b C．b=c D． 【变式2】亮亮在解一元二次方程：□时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（ ） A．1 B．0 C．7 D．9 【变式3】当b+c=5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c=0的根的情况为____． 考点四 根据一元二次方程求参数 【例1】关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． 【变式1】已知关于的不等式组无解，且关于y的一元二次方程有两个实数根，则整数的值可以是______ 【变式2】已知关于的方程有两个不相等的实数根． 求的取值范围； 若，且方程的两个实数根都是整数，求的值． 【变式3】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求实数m的取值范围； （2）是否存在实数m，使得成立？如果存在，求出m的值：如果不存在，请说明理由． 考点五 公式法在几何中的应用 【例1】如图（1），将一个等腰直角三角形纸片沿着虚线剪成三块，再利用这三块小纸片进行拼接，恰好拼成一个如图（2）无缝隙、不重叠的平行四边形，则的值是___． 【变式1】如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为______． 【变式2】如图，在中，，，，D是AC上一点，且，E是BC边上一点，将沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为________． 【变式3】如图，在矩形ABCD中，AD=10，点E是AD上一点，且AE=m（m是常数），作△BAE关于直线BE的对称△BFE，延长EF交直线BC于点G. (1)求证：EG=BG； (2)若m=2． ①当AB=6时，问点G是否与点C重合，并说明理由； ②当直线BF经过点D时，直接写出AB的长． 考点六 综合题型 【例1】已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 【变式1】已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0． (1)求证：不论m取何值，此方程总有实数根； (2)若m为整数，且方程的一个根小于2，请写出一个满足条件的m的值． 【变式2】如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm． （1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？ （2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． （3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$