2.3 用公式法求解一元二次方程（6考点·基础巩固）-2024-2025学年九年级数学上册分层考点讲与练（北师大版）

2.3 用公式法求解一元二次方程（基础巩固） 知识点一： 公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值 ②确定公式中a,b,c的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值； 若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。 知识点二 ：一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac. △＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 一元二次方程 △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 根的判别式 △＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根 知识点三：一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 【重点说明】 （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 考点一 用公式法解一元二次方程 【例1】用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【变式1】用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（       ） A． B． C． D． 【变式3】用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 考点二 一元二次方程根的判别式 【例1】关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A．且 B．且 C． D． 【变式1】不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 【变式2】方程的根的判别式_________． 【变式3】下列一元二次方程中没有实数根的是（       ） A． B． C． D． 考点三 一元二次方程根的判别式的逆用 【例1】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_________． 【变式1】若一元二次方程无解，则c的取值范围为_________． 【变式2】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A．且 B． C．且 D． 【变式3】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_________． 考点四 根据一元二次方程求参数 【例1】已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（       ） A． B．且 C． D．且 【变式1】若关于x的方程的一个根是2，则a的值为（       ） A． B． C．或 D．或 【变式2】若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________． 【变式3】若一元二次方程无实数根，则一次函数的图像经过第（       ） A．二、三、四象限 B．一、三、四象限 C．一、二、四象限 D．一、二、三象限 考点五 公式法在几何中的应用 【例1】已知为的三边长，且方程有两个相等的实数根，则三角形的形状为_________． 【变式1】已知△ABC为等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，则m的值等于（　　） A．12 B．16 C．﹣12或﹣16 D．12或16 【变式2】如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于_________． 【变式3】等腰三角形的一边长为4，另两边的长是关于的方程的两个实数根，则该等腰三角形的周长是_________． 考点六 综合题型 【例1】已知关于的方程． (1)试判断方程根的情况； (2)若=2是方程的一个根，求的值； (3)是否存在实数，使方程与方程有一个相同的根？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值． 【变式2】已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 用公式法求解一元二次方程（基础巩固） 知识点一： 公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值 ②确定公式中a,b,c的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值； 若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。 知识点二 ：一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac. △＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 一元二次方程 △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 根的判别式 △＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根 知识点三：一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 【重点说明】 （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 考点一 用公式法解一元二次方程 【例1】用公式法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】按照公式法的一般步骤：先把式子化为一般式，找到a，b，c，先算，再带入求根公式求解即可． 【解析】解：（1）∵， ∴， ∴， 即； （2）方程化为一般形式，得，这里， ∴， ， ∴原方程的解为． 【点拨】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式，是解决本题的关键． 【变式1】用公式法解方程时，求根公式中a，b，c的值分别是（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】将一元二次方程化为一般形式，即可求得的值 【解析】化为一般形式为：， ，， 故选：C. 【点拨】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【变式2】已知某一元二次方程的两根为，则此方程可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据一元二次方程的求根公式进行判断即可． 【解析】A. 的两根为，故选项A不符合题意； B. 的两根为，故选项B不符合题意； C. 的两根为，故选项C不符合题意； D. 的两根为，故选项D符合题意； 故选：D． 【点拨】本题主要考查了运用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解答本题的关键． 【变式3】用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】C 【分析】按照公式法求解一元二次方程的步骤，求解即可． 【解析】 判别式 故选：C 【点拨】此题考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法求解一元二次方程的步骤． 考点二 一元二次方程根的判别式 【例1】关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求的取值范围即可． 【解析】∵关于的方程有实数根， ∴，且， 解得，且， 故选：B． 【点拨】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键． 【变式1】不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（　　） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，Δ=0时，方程有两个相等的实数根，Δ＜0时，方程没有实数根，进而确定根的情况即可. 【解析】∵2x2﹣3x＝3，∴2x2﹣3x﹣3＝0， ∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＝42＞0，∴有两个不相等的实数根， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式判断根的情况，熟练地掌握该知识是解决问题的关键. 【变式2】方程的根的判别式______. 【答案】156 【分析】先把原方程化为一元二次方程的一般形式，再求出根的判别式即可． 【解析】方程化为一元二次方程的一般形式为：2x2﹣6x﹣15=0， 故△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×2×（﹣15）=156． 故答案为156． 【点拨】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解答此类题目时要先把方程化为一元二次方程的一般形式，再进行解答． 【变式3】下列一元二次方程中没有实数根的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过计算方程根的判别式，满足即可得到结论． 【解析】A、，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； B、，方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意； C、，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意； D、，方程无实数根，故本选项符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键． （1）当，方程有两个不相等的两个实数根；（2）当，方程有两个相等的两个实数根；（3）当时，方程无实数根． 考点三 一元二次方程根的判别式的逆用 【例1】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，列出关于m的方程，即可求解． 【解析】∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：， 故答案是：． 【点拨】本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系，掌握一元二次方程有两个实数根，则，是解题的关键． 【变式1】若一元二次方程无解，则c的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到＜0，然后求出c的取值范围． 【解析】关于x的一元二次方程无解， ∵，，，∴， 解得，∴的取值范围是． 故答案为：． 【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 【变式2】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△≥0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【解析】∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴△≥0且a+2≠0，∴（-3）2-4（a+2）×1≥0且a+2≠0， 解得：a≤且a≠-2， 故选：A． 【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 【变式3】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_____． 【答案】-1 【分析】利用一元二次方程的定义及根的判别式计算求出m、n的值，再代入计算． 【解析】由题意得m-1=2，16+4n=0，解得m=3，n=-4，∴=3-4=-1， 故答案为：-1． 【点拨】此题考查一元二次方程的定义及利用根的情况求未知数的值，熟记一元二次方程的定义及根的三种情况是解题的关键． 考点四 根据一元二次方程求参数 【例1】已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（       ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出不等式组，求出不等式组的解集即可． 【解析】关于的一元二次方程有实数根， △且，解得：且， 故选：D． 【点拨】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是能根据题意得出不等式组的解． 【变式1】若关于x的方程的一个根是2，则a的值为（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】将2代入方程，得到关于a的方程，求解方程即可； 【解析】把代入方程，得，即， 所以，解得或， 故选D． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的根的知识点，准确理解是解题的关键． 【变式2】若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是____. 【答案】且． 【解析】∵，. ∴一元二次方程为. ∵一元二次方程有实数根， ∴且. 【点拨】（1）非负数的性质；（2）一元二次方程根的判别式. 【变式3】若一元二次方程无实数根，则一次函数的图像经过第（       ） A．二、三、四象限 B．一、三、四象限 C．一、二、四象限 D．一、二、三象限 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程无实数根，利用判别式求出m的取值范围，然后判断一次函数经过的象限即可． 【解析】由已知得：，解得， ∵一次函数中，， ∴该一次函数图像在第二、三、四象限， 故选A． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根据函数解析式判断函数经过的象限，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式． 考点五 公式法在几何中的应用 【例1】已知为的三边长，且方程有两个相等的实数根，则三角形的形状为______ 【答案】直三角形 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得△=0，即(-2c)2-4(a+b)(a-b)=0，整理可得到c2+b2=a2，根据勾股定理逆定理可判断出△ABC是直角三角形． 【解析】∵方程(a+b)x2-2cx+a=b有两个相等的实数根，∴△=0， ∴(-2c)2-4(a+b)(a-b)=0，∴c2-(a2-b2)=0，∴c2-a2+b2=0，∴c2+b2=a2， ∴△ABC的形状为直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【点拨】此题主要考查了根的判别式，以及勾股定理逆定理，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；②△=0⇔方程有两个相等的实数根；③△＜0⇔方程没有实数根． 【变式1】已知△ABC为等腰三角形，若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，则m的值等于（　　） A．12 B．16 C．﹣12或﹣16 D．12或16 【答案】D 【分析】由△ABC为等腰三角形，BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根，可得两种情况：①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0②AB＝AC，此时方程的判别式为0，分别求解即可． 【解析】∵△ABC为等腰三角形， 若BC＝6，且AB，AC为方程x2﹣8x+m＝0两根， 则①BC＝6＝AB，把6代入方程得36﹣48+m＝0，∴m＝12； ②AB＝AC，此时方程的判别式为0，∴Δ＝64﹣4m＝0，∴m＝16． 故m的值等于12或16． 故选：D． 【点拨】本题考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式2】如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于___ 【答案】6 【分析】由全等可知：AH＝DE，BH＝BG＋HG，由直角三角形可得，列出方程即可解决问题 【解析】由全等可知：AH＝BG，BH＝BG＋HG=AH+HG， 四边形EFGH是正方形，， 在中，设 ，则， ，即， 解得：（舍去），， 故答案为：6． 【点拨】本题考查了三角形全等的性质，勾股定理，解一元二次方程，运用勾股定理列出方程是解题的关键． 【变式3】等腰三角形的一边长为4，另两边的长是关于的方程的两个实数根，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】16 【分析】分为两种情况：①腰长为4，②底边为4，分别求出即可． 【解析】分为两种情况： 情况一：当腰为4时，则另一腰4是方程的一个解， 代入4到方程中，求得，此时方程的两个解为4和8， 对应的三边长为4、4、8，不能构成三角形，故舍去； 情况二：当底边为4时，此时方程有两个相等的实数根， ∴△=12²-4k=0，解得k=36，此时方程的两个解为6和6， 对应的三边长为6、6、4，能构成三角形，此时三角形周长为16， 故答案为：16． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解及解法，等腰三角形的性质等知识点，注意要分类讨论，不要漏解． 考点六 综合题型 【例1】已知关于的方程． (1)试判断方程根的情况； (2)若=2是方程的一个根，求的值； (3)是否存在实数，使方程与方程有一个相同的根？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）；（3）存在， 【分析】(1)计算的值，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若则方程无解； (2)根据题意，将=2代入方程中，解出的值即可； (3) 先解一元二次方程的根，再将其代入方程，即可解出的值． 【解析】解：(1) ，方程有两个不相等的实数根； (2)将=2代入得， (3)解得， 当时， 当时，此时方程无解， 综上所述，存在使得使方程与方程有一个相同的根． 【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、方程有相同解等知识，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【变式1】已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k的值． 【答案】（1）见解析；（2）k=3 【分析】 （1）先根据题意求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案； （2）根据△ABC的两边AC、BC的长是这个方程的两个实数根，则3是方程的一个根，代入方程即可求出k的值． 【解析】解：（1）∵△=[﹣(k+1)]2﹣4×1×(2k﹣3)=k2+2k+1﹣8k+12=(k-3)2+4， ∵无论k为何实数，(k-3)2≥0，∴(k-3)2+4＞0， ∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）∵AC、BC为方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3=0的两个实数根，由（1）可得，AC≠BC， ∵△ABC为等腰三角形，∴AC=AB=3或BC=AB=3，∴方程x2﹣(k+1)x+2k﹣3＝0必有一根为x=3， ∴32﹣3(k+1)+2k﹣3=0，解得k=3． 【点拨】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 【变式2】已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值． 【答案】（1）m＜2；（2）m=1． 【分析】 （1）利用方程有两个不相等的实数根，得△=[2（m-1）]2-4（m2-3）=-8m+16＞0，然后解不等式即可； （2）先利用m的范围得到m=0或m=1，再分别求出m=0和m=1时方程的根，然后根据根的情况确定满足条件的m的值． 【解析】解：（1）△=[2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣3）=﹣8m+16． ∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0．即﹣8m+16>0，解得 m＜2； （2）∵m＜2，且 m 为非负整数，∴m=0 或 m=1， 当 m=0 时，原方程为 x2-2x-3=0， 解得 x1=3，x2=﹣1(不符合题意舍去)， 当 m=1 时，原方程为 x2﹣2=0， 解得 x1=，x2=﹣ ， 综上所述，m=1． 【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 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