2.5 一元二次方程的根与系数的关系（5考点·能力提升）-2024-2025学年九年级数学上册分层考点讲与练（北师大版）

2.5 一元二次方程的根与系数的关系（能力提升） 知识点一：一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为：a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 知识点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用 知识框图： 考点一 由根与系数的关系求值 【例1】已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值： （1）                                  （2） 【答案】（1）11；（2） －3． 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得； （1）将所求式子变形为(x1＋x2)2－2x1x2 ，然后整体代入上面两个式子计算即可； （2）将所求式子变形为，然后整体代入上面两个式子计算即可． 【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，∴， （1）＝ (x1＋x2)2－2x1x2 ＝32－2×(－1)＝11； （2）． 【点拨】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握一元二次方程的两根之和与两根之积与系数的关系是解题关键． 【变式1】若、是一元二次方程的两个根，则的值是（       ） A．6 B．9 C．12 D．13 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得，再根据一元二次方程的解的意义得，即，再把代入计算即可． 【解析】∵、是一元二次方程的两个根， ∴，，∴， ∴． 故选：D． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解的意义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 【变式2】已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（       ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程的根及根与系数的关系可得出m2+2m=2022，m+n=-2，再将其代入m2+4m+2n=（m2+2m）+2（m+n）中即可求出结论． 【解析】∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴m2+2m=2022，m+n=-2， ∴m2+4m+2n=（m2+2m）+2（m+n）=2022+2×（-2）=2018， 故选：D． 【点拨】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用一元二次方程的根及根与系数的关系找出“m2+2m=-2022，m+n=-2”是解题的关键． 【变式3】设a，b，c，d是四个不同的实数，如果a，b是方程的两根，c，d是方程的两根，那么的值为______． 【答案】 【分析】由根与系数的关系得，，两式相加得，根据一元二次方程根的定义可得，可得，同理可得，两式相减即可得，根据,求得，进而可得 【解析】由根与系数的关系得，，两式相加得．        因为是方程的根，所以，又， 所以①                     同理可得②                     ①-②得． 因为，所以，所以． 【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据等式的性质变形是解题的关键． 考点二 由根与系数的关系求参数 【例1】已知、是方程的两个实根，是否存在常数k，使成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在．理由见分析 【分析】根据根与系数关系列出关于k的方程，根据方程有实数根列出关于k的不等式，求解即可． 【解析】解：不存在． ∵、是方程的两个实根，∴，即，解得，； 由题意可知，， ∵， ∴，解得，经检验，是原方程的解， ∵，∴不存在常数k，使成立． 【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数关系和解方程，解题关键是根据根与系数关系列出方程并求解，注意：根的判别式要大于或等于0． 【变式1】若m，n是方程x2－x－2 022＝0的两个根，则代数式（m2－2m－2 022）（－n2＋2n＋2 022）的值为（       ） A．2 023 B．2 022 C．2 021 D．2 020 【答案】B 【解析】解：∵m、n是方程x2-x-2022=0的两个根， ∴m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022， ∴m2-m=2022，n2-n=2022， ∴（m2－2m－2 022）（－n2＋2n＋2 022） =（m2-m-m-2022）(-(n2-n)+n+2022) =(2022-m-2022)((-2022+n+2022) =-mn =2022， 故选：B． 【点拨】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，能根据已知条件得出m2-m-2022=0，n2-n-2022=0，mn=-2022是解此题的关键． 【变式2】已知是关于的一元二次方程的两实根，且，则的值是____． 【答案】 【分析】由是关于的一元二次方程的两实根，可得 代入，再解方程求解 再求解的取值范围，从而可得答案． 【解析】解： 是关于的一元二次方程的两实根， ， 整理得： 即 解得： 所以 故答案为： 【点拨】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，易错点是求解后不注意检验方程是否有根． 【变式3】已知方程的一个根比另一个根小4，求这两个根和的值． 【答案】，， 【分析】设两根为x1和x2，根据根与系数的关系得x1+x2，x1·x2，由|x2-x1|=4两边平方，得(x1+x2)2-4x1·x2=16，代入解得m，此时方程为x2+4x=0，解出两根 . 【解析】解：x2+4x-2m=0 设两根为x1和x2，则△=16+8m>0，且x1+x2=-4，x1·x2=-2m 由于|x2-x1|=4，两边平方得x12-2x1·x2+x22=16，即(x1+x2)2-4x1·x2=16， 所以16+8m=16 ，解得：m=0， 此时方程为x2+4x=0， 解得 x1=0 ， x2=−4 . 【点拨】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是灵活利用一元二次方程根与系数的关系，以及完全平方公式进行变形，求出两根． 考点三 根的判别式与根与系数的关系 【例1】已知关于x的一元二次方程． （1）证明：无论k取任何实数，方程总有实数根． （2）若，求k的值． （3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】（1）证明见分析；（2）；（3）这个等腰三角形的周长为21或18． 【分析】 （1）根据根的判别式即可得到结论； （2）先计算△＝（8＋k）2−4×8k，整理得到△＝（k−8）2，根据非负数的性质得到△≥0，然后根据△的意义即可得到结论； （3）先解出原方程的解为x1＝k，x2＝8，然后分类讨论：腰长为8时，则k＝8；当底边为8时，则得到k＝5，然后分别计算三角形的周长． 【解析】解：（1）．，， 无论k取任何实数，方程总有实数根； （2），， ，解得； （3）解方程得． ①当腰长为8时，． ，能构成三角形，周长为． ②当底边长为8时，． 能构成三角形，周长为． 综上，这个等腰三角形的周长为21或18． 【点拨】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1＋x2＝−，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的判别式和等腰三角形的性质，掌握这些知识点是解题关键． 【变式1】已知关于x的一元二次方程有实数根，设此方程得一个实数根为t，令，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程根的判别式先求解再利用根与系数的关系可得从而可得再利用不等式的性质可得答案． 【解析】 关于x的一元二次方程有实数根， 解得： 设方程的两根分别为 解得： 即 故选B 【点拨】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一次函数的性质，不等式的性质，熟练的运用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键． 【变式2】已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列结论：①若方程两根为-1和2，则2a+c=0；②若b＞a+c，则方程有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则方程有两个不相等的实数根；④若m是方程的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立．其中结论正确的序号是__________． 【答案】①③④ 【分析】利用根与系数的关系判断①；由Δ=b2-4ac判断②；由判别式可判断③；将x=m代入方程得am2=-（bm+c），再代入=（2am+b）2变形可判断④． 【解析】若方程两根为-1和2，则=-1×2=-2，即c=-2a，2a+c=2a-2a=0，故①正确； 由b＞a+c不能判断Δ=b2-4ac值的大小情况，故②错误； 若b=2a+3c，则Δ=b2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故③正确． 若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，所以有am2+bm+c=0，即am2=-（bm+c）， 而（2am+b）2=4a2m2+4abm+b2 =4a[-（bm+c）]+4abm+b2 =4abm-4abm-4ac+b2 =b2-4ac．故④正确； 故答案为：①③④． 【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系及根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根． 【变式3】已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1）见分析   （2）0，-2 【分析】 （1）根据根的判别式即可求证出答案； （2）可以根据一元二次方程根与系数的关系得与的、的关系式，进一步可以求出答案. 【解析】解：(1)证明：∵， ∵无论为何实数，，∴， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)由一元二次方程根与系数的关系得：，， ∵，∴，∴， ∴，化简得：， 解得，． 【点拨】本题主要考查根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握概念和运算技巧即可解题. 考点四 根与系数关系的综合应用 【例1】已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 (1)根据判别式 计算即可． (2)利用根与系数关系定理计算即可． 【解析】解：(1)∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，解得：． (2)方程的两个实数根为、， ∴，， ∵，∴， 即， 解得：． 【点拨】本题考查了根的判别式，根与系数关系定理，熟练掌握判别式和根与系数关系定理是解题的关键． 【变式1】已知关于x、y的方程组有两组不同的实数解：和，求： (1)实数b的取值范围． (2)的值． 【答案】(1)b<5； (2)−4． 【分析】 (1)根据判别式大于零即可求出b的取值范围； (2)根据根与系数的关系即可求出y1+y2+b(x1+x2)的值． 【解析】解：(1)由关于x、y的方程组，得2x+b=4−x2，即x2+2x+b−4=0． ∵方程组有两组实数解，∴△=22−4(b−4)>0，解得：b<5； (2)由(1)知，x2+2x+b−4=0，则x1+x2=−2． 由2x−y+b=0，得y=2x+b． 则y1+y2=2x1+b+2x2+b=2(x1+x2)+2b=−4+2b． 所以y1+y2+b(x1+x2)=−4+2b−2b=−4． 【点拨】本题考查了二元一次方程组与一元二次方程的综合应用，熟练掌握代入法、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题关键． 【变式2】关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是___________． 【答案】32 【分析】由题意得b2-4ac≥0，求出m≥0，再根据根与系数的关系，得m=2，最后把化简为(x1x2)2 +2(x1+x2)2-4x1.x2+4，即可得答案． 【解析】由题意得b2-4ac=(2m)2 -4(m2 -m)≥0，∴m≥0， ∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m=0的两实数根x1，x2，x1x2=2， ∴x1+x2=-2m，x1·x2=m2-m=2，∴m2 -m-2=0， 解得：m=2或m=-1(舍去)，∴x1+x2=-4， =(x1x2)2 +2(x1+x2)2-4x1.x2+4， =22+2×(-4)2-4×2+4 =32． 【点拨】本题考查了根据根与系数的关系，解题的关键是掌握x1+x2= ，x1x2=． 【变式3】如图，点是的边的中点，且，设，则的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据“点是的边的中点，且”得出AB的长度以及△ABC是直角三角形，设出AC和BC的值，得到一个一元二次方程，根据根的判别式求出x的取值范围，即可得出答案. 【解析】∵点是的边的中点，且，∴AB=4，△ABC是直角三角形 故x=AC+BC>AB=4，令AC=a，BC=b，∴ ∴，∴a，b是关于y的一元二次方程的两个实数根 ∴，即：. 综上所述，x的取值范围是：. 【点拨】本题综合考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线及根的判别式．解题时，还利用了一元二次方程的根与系数的关系这一知识点．. 考点五 根与系数关系的拓展应用 【例1】阅读材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值． 解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0可知p≠0， 又∵pq≠1，∴p≠． ∵1﹣q﹣q2＝0可变形为﹣1＝0， 根据p2﹣p﹣1＝0和﹣1＝0的特征， ∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根， 则p+，即． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：2m2﹣5m﹣1＝0，，且m≠n，求： （1）mn的值； （2）． 【答案】(1)；29． 【分析】 （1）由题意可知：可以将方程化简为的形式，根据根与系数的关系直接得：的值； （2）将变形为求解． 【解析】解：由知m≠0，∴， ∵，m≠n，∴， ∴和是方程的两个根， （1）由和是方程的两个根得，∴； 经检验：是原方程的根，且符合题意． （2）由和是方程的两个根得，， ∴． 【点拨】本题考查一元二次方程根与系数关系，代数式的值，乘法公式，掌握一元二次方程根与系数关系与乘法公式恒等变形是解题关键． 【变式1】定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若方程为x2﹣2x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标． （2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． （3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx﹣2（k﹣2）的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由． 【答案】（1）衍生点为M（0，2）；（2）；（3）存在，b＝﹣6，c＝8； 【分析】 （1）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题； （2）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点的定义，再利用正方形的性质构建方程即可解决问题； （3）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可； 【解析】解：（1）∵x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0， 解得：x1＝0，x2＝2，故方程x2﹣2x＝0的衍生点为M（0，2）． （2）x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0） ∵m＜0，∴2m＜0，解得：x1＝2m，x2＝1， 方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M（2m，1）． 点M在第二象限内且纵坐标为1，由于过点M向两坐标轴做垂线，两条垂线与x轴y轴恰好围城一个正方形， 所以2m＝﹣1，解得． （3）存在． 直线y＝kx﹣2（k﹣2）＝k（x﹣2）+4，过定点M（2，4）， ∴x2+bx+c＝0两个根为x1＝2，x2＝4，∴2+4＝﹣b，2×4＝c，∴b＝﹣6，c＝8． 【点拨】本题考查一元二次方程的解法及根与系数的关系、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题． 【变式2】已知关于的方程． (1)求证：取任何实数，方程总有实数根； (2)若直角三角形的一边长为4，另两边m，n的长恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】(1)证明见分析 (2)或 【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式判断即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系和求根公式计算求值即可； 【解析】(1)证明：∵，∴无论取任何实数，方程总有实数根； (2)解：∵，，∴； 当斜边长为4时，即， ∴，解得：，或（舍去）； k＞2时方程的根为：， 当直角边长为4，斜边为m时，，，即 ∴，解得：，或（舍去）； 当直角边长为4，斜边为n时，，， 同理可得：，或（舍去）； 综上，或． 【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式；求根公式；根与系数的关系， ；勾股定理. 【变式3】在平面直角坐标系中的位置如图所示，与轴交于点，点的坐标为，线段，的长分别是方程的两根，． (1)求线段的长； (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴负半轴向终点运动，过点作直线与轴垂直，设点运动的时间为秒，直线扫过四边形的面积为，求与的关系式； (3)为直线上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9 (2) (3)存在满足条件的N点，其坐标为（2，3）或（-4，0）或（-1，-3）． 【分析】 （1）解方程可求得OA、OC的长，则可求得A、C的坐标，从而可得AC 长； （2）分两种情况：①当0＜t≤1时；②当1＜t≤7时，利用梯形的面积公式即可求解； （3）分两种情况：①AP为正方形的对角线时，②AP为正方形的边时，根据正方形以及等腰直角三角形的性质，可求得N点坐标． 【解析】解：(1)解方程x2﹣9x+14＝0可得x＝2或x＝7， ∵线段OA，OC的长分别是方程x2﹣9x+14＝0的两根，且OC＞OA， ∴OA＝2，OC＝7，∴A（2，0），C（﹣7，0）， (2)过点P作PH⊥OC于H，而 ，， ， 设直线AB解析式为y＝kx+b，而点B（0，2）， ∴， 解得， ∴直线AB解析式为y＝﹣x+2， ①如图1所示，当0＜t≤1时，点E（﹣t，t+2）， ∴S＝S梯形OBED＝（0＜t≤1）； ②如图2所示，当1＜t≤7时，设直线CP解析式为y＝mx+n， ∵C（﹣7，0），点P的坐标为（﹣1，3）， ∴ ，解得 ，∴直线CP解析式为，设， ∴DE＝， ∴S＝S梯形OBPH+S梯形HPED＝ ； 综上，；                   图1 图2 (3) 分两种情况：①AP为正方形的对角线时，如图3所示， ∵A（2，0），B（0，2），∴∠OAB＝45°， ∵四边形AMPN是正方形，∴∠PAN＝45°，∠NAM＝90°， ∴∠OAB+∠PAN＝90°，∴点M在x轴上，NA⊥x轴，轴，∴N（2，3）； ②AP为正方形的边时，如图4所示， ∵∠OAB＝45°，四边形AMNP是正方形， ∴∠NAM＝∠OAB＝45°，AP＝AM， ∴HN＝PH＝3，∴N（-4，0）； 如图5所示，四边形ANMP是正方形， ∵PH＝NH＝3，∴；∴N（-4，0）或（-1，-3）， 综上可知，存在满足条件的N点，其坐标为（2，3）或（-4，0）或（-1，-3）． 图3 图4 图5 【点拨】本题为四边形的综合题，考查了一元二次方程、勾股定理、待定系数法、正方形的性质、等腰直角三角形的性质等知识．在（1）中求得OA、OC的长是解题的关键，在（2）中分类讨论是解题的关键，在（3）中分类思想的运用是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5 一元二次方程的根与系数的关系（能力提升） 知识点一：一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为：a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 知识点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用 知识框图： 考点一 由根与系数的关系求值 【例1】已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－1＝0的两根，不解方程求下列各式的值： （1）                                  （2） 【变式1】若、是一元二次方程的两个根，则的值是（       ） A．6 B．9 C．12 D．13 【变式2】已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（       ）. A． B． C． D． 【变式3】设a，b，c，d是四个不同的实数，如果a，b是方程的两根，c，d是方程的两根，那么的值为______． 考点二 由根与系数的关系求参数 【例1】已知、是方程的两个实根，是否存在常数k，使成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】若m，n是方程x2－x－2 022＝0的两个根，则代数式（m2－2m－2 022）（－n2＋2n＋2 022）的值为（       ） A．2 023 B．2 022 C．2 021 D．2 020 【变式2】已知是关于的一元二次方程的两实根，且，则的值是____． 【变式3】已知方程的一个根比另一个根小4，求这两个根和的值． 考点三 根的判别式与根与系数的关系 【例1】已知关于x的一元二次方程． （1）证明：无论k取任何实数，方程总有实数根． （2）若，求k的值． （3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【变式1】已知关于x的一元二次方程有实数根，设此方程得一个实数根为t，令，则（       ） A． B． C． D． 【变式2】已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列结论：①若方程两根为-1和2，则2a+c=0；②若b＞a+c，则方程有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则方程有两个不相等的实数根；④若m是方程的一个根，则一定有b2-4ac=（2am+b）2成立．其中结论正确的序号是__________． 【变式3】已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 考点四 根与系数关系的综合应用 【例1】已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为，且，求m的值． 【变式1】已知关于x、y的方程组有两组不同的实数解：和，求： (1)实数b的取值范围． (2)的值． 【变式2】关于x的一元二次方程的两实数根，满足，则的值是___________． 【变式3】如图，点是的边的中点，且，设，则的取值范围是_________. 考点五 根与系数关系的拓展应用 【例1】阅读材料：已知方程p2﹣p﹣1＝0，1﹣q﹣q2＝0且pq≠1，求的值． 解：由p2﹣p﹣1＝0，及1﹣q﹣q2＝0可知p≠0， 又∵pq≠1，∴p≠． ∵1﹣q﹣q2＝0可变形为﹣1＝0， 根据p2﹣p﹣1＝0和﹣1＝0的特征， ∴p、是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根， 则p+，即． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：2m2﹣5m﹣1＝0，，且m≠n，求： （1）mn的值； （2）． 【变式1】定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2（x1＜x2），分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M（x1，x2），则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若方程为x2﹣2x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标． （2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． （3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx﹣2（k﹣2）的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由． 【变式2】已知关于的方程． (1)求证：取任何实数，方程总有实数根； (2)若直角三角形的一边长为4，另两边m，n的长恰好是这个方程的两个根，求的值． 【变式3】在平面直角坐标系中的位置如图所示，与轴交于点，点的坐标为，线段，的长分别是方程的两根，． (1)求线段的长； (2)动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴负半轴向终点运动，过点作直线与轴垂直，设点运动的时间为秒，直线扫过四边形的面积为，求与的关系式； (3)为直线上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$