1.1.2 空间向量的数量积运算（6大题型）-2024-2025学年高二数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2 空间向量的数量积运算 知识点 1 空间向量的夹角 1、夹角的定义 已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图． 2、夹角的范围 通常我们规定：，且 （1）当、共线且同向时，； （2）当、共线且反向时，； （3）当当、垂直时，即时，． 【注意】只有两个非零向量才有夹角，零向量与任何向量不定义夹角． 知识点 2 空间向量的数量积 1、两个向量数量积的定义 已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即．规定：零向量与任意向量的数量积是0． 2、向量数量积的几何意义 （1）类比平面向量，等于的长度与在方向上的投影的乘积，或的长度与在方向上的投影的乘积． （2）向量在向量上的投影向量 如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量。类似的，可以将向量向直线投影（如图②）． （3）向量在平面上的投影 如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 3、向量数量积的运算规律 （1）； （2）（交换律） （3）（分配律） 4、向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 1、求两个向量的夹角有两种方法： 方法一：（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小；（2）先求，再利用公式求，最后确定． 方法二：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小． 2、求空间向量数量积的步骤： 第一步：将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； 第二步：利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； 第三步：根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模； 第四步：代入求解． 3、空间向量的模长 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：． 将其推广： 4、利用向量法证明垂直关系的步骤 第一步：将已知的几何问题转化为向量问题； 第二步：用已知夹角和模的向量表示所证向量； 第三步：结合向量数量积公式及运算律证明向量的数量积为0； 第四步：将向量问题回归到几何问题，得到几何结论． 题型一 空间向量数量积的概念辨析 【例1】（22-23高二上·广东东莞·月考）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 【变式1-1】（22-23高二上·湖北襄阳·月考）设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·江西宜春·一期中）（多选）设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·月考）（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 题型二 空间向量数量积的计算 【例2】（23-24高二上·湖南长沙·月考）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 【变式2-1】（23-24高二上·山东威海·月考）在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．7 【变式2-2】（23-24高二上·河北·月考）如图，三棱锥的棱长均为，点，，分别是，，的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·湖南娄底·月考）（多选）如图，正方体的棱长为1，设，则下列各式的值为1的有（    ） A． B． C． D． 题型三 利用数量积求向量的夹角 【例3】（23-24高二上·山东烟台·期中）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【变式3-1】（22-23高二上·广东东莞·月考）已知空间向量，，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二上·山西吕梁·期中）在四面体中，，，，，则 ． 题型四 利用数量积求向量的模长 【例4】（23-24高二上·重庆九龙坡·月考）已知空间单位向量，，两两垂直，则（ ） A． B． C．3 D．6 【变式4-1】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则 . 【变式4-2】（23-24高二上·广东广州·期中）在平行六面体中，，，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·河南南阳·期末）如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则长度为 . 题型五 利用数量积求向量的投影向量 【例5】（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·四川内江·期中练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 【变式5-2】如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ． 【变式5-3】（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型六 利用数量积证明垂直关系 【例6】在空间四面体中，，．求证：． 【变式6-1】已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点（如图2所示）． 求证：． 【变式6-2】（23-24高二上·广东云浮·月考）（多选）如图，已知四边形ABCD为矩形，平面，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式6-3】（23-24高二上·四川成都·月考）（多选）如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．向量与夹角是 D．向量与所成角的余弦值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.2 空间向量的数量积运算 知识点 1 空间向量的夹角 1、夹角的定义 已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图． 2、夹角的范围 通常我们规定：，且 （1）当、共线且同向时，； （2）当、共线且反向时，； （3）当当、垂直时，即时，． 【注意】只有两个非零向量才有夹角，零向量与任何向量不定义夹角． 知识点 2 空间向量的数量积 1、两个向量数量积的定义 已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即．规定：零向量与任意向量的数量积是0． 2、向量数量积的几何意义 （1）类比平面向量，等于的长度与在方向上的投影的乘积，或的长度与在方向上的投影的乘积． （2）向量在向量上的投影向量 如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量。类似的，可以将向量向直线投影（如图②）． （3）向量在平面上的投影 如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 3、向量数量积的运算规律 （1）； （2）（交换律） （3）（分配律） 4、向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 1、求两个向量的夹角有两种方法： 方法一：（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小；（2）先求，再利用公式求，最后确定． 方法二：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小． 2、求空间向量数量积的步骤： 第一步：将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； 第二步：利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； 第三步：根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模； 第四步：代入求解． 3、空间向量的模长 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：． 将其推广： 4、利用向量法证明垂直关系的步骤 第一步：将已知的几何问题转化为向量问题； 第二步：用已知夹角和模的向量表示所证向量； 第三步：结合向量数量积公式及运算律证明向量的数量积为0； 第四步：将向量问题回归到几何问题，得到几何结论． 题型一 空间向量数量积的概念辨析 【例1】（22-23高二上·广东东莞·月考）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 【答案】B 【解析】对A，若，则，不能得出，故A错误； 对B，，当与存在零向量时，与共线成立； 当与均不为零向量时，，故夹角为或，则与共线，故B正确； 对C，若，则，不能得出，故C错误； 对D，，， 故不成立，故D错误；故选：B 【变式1-1】（22-23高二上·湖北襄阳·月考）设，，都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由向量加法的结合律知A项正确；由向量数量积的运算律知B项、D项正确； C项若，不共线且不垂直， 则，故C不一定正确．故选：C. 【变式1-2】（23-24高二上·江西宜春·一期中）（多选）设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A选项，向量不能作除法，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对.故选：BD. 【变式1-3】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·月考）（多选）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A：，故A正确； 对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确；故选：AD 题型二 空间向量数量积的计算 【例2】（23-24高二上·湖南长沙·月考）已知向量和的夹角为，且，，则（    ） A．12 B． C．4 D．13 【答案】D 【解析】．故选：D． 【变式2-1】（23-24高二上·山东威海·月考）在正四面体中，棱长为2，且是棱中点，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】A 【解析】将正四面体放在正方体中，如图， 因为在正四面体中，棱长为2，两两夹角为， 所以， 因为是棱中点，所以， 又， 所以. 故选：A. 【变式2-2】（23-24高二上·河北·月考）如图，三棱锥的棱长均为，点，，分别是，，的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知三棱锥为正四面体， 取的中点，连接，则， 平面， 所以平面，平面， 所以，点，，分别是，，的中点， 所以， 所以，且． 因为，， ，，故选：D． 【变式2-3】（23-24高二上·湖南娄底·月考）（多选）如图，正方体的棱长为1，设，则下列各式的值为1的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】正方体中，∴，即，，即， ，即，∴，，. 对于选项A， ，故A错误； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误；故选：BC. 题型三 利用数量积求向量的夹角 【例3】（23-24高二上·山东烟台·期中）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【解析】由题设，则， 所以，又，可得，即.故选：C 【变式3-1】（22-23高二上·广东东莞·月考）已知空间向量，，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以， 因为， 所以，即， 因为， 所以，即与的夹角为．故选：D． 【变式3-2】（23-24高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ， 故， 所以.故选：B. 【变式3-3】（23-24高二上·山西吕梁·期中）在四面体中，，，，，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 又，所以，所以. 又，，所以，所以. 又，所以． 故答案为： 题型四 利用数量积求向量的模长 【例4】（23-24高二上·重庆九龙坡·月考）已知空间单位向量，，两两垂直，则（ ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【解析】由题意，，，，， ， .故选：A. 【变式4-1】（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则 . 【答案】 【解析】单位向量两两夹角均为，则， 所以. 故答案为： 【变式4-2】（23-24高二上·广东广州·期中）在平行六面体中，，，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如下图， ，则， 所以， 又，， 所以.故选：B 【变式4-3】（23-24高二上·河南南阳·期末）如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则长度为 . 【答案】 【解析】因为. 所以 所以. 故答案为：. 题型五 利用数量积求向量的投影向量 【例5】（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在四面体中，因为， 设，且，， 则， 在上的投影向量为.故选：B 【变式5-1】（23-24高二上·四川内江·期中练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 【答案】 【解析】四棱锥，底面是矩形，则，即， 且，由底面，底面，则， 由，面，则面， 又面，则，故向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 【变式5-2】如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ． 【答案】 ； . 【解析】（1）法一：在正方体中，易知，， 向量与向量夹角为45°，，， 所以向量在向量上的投影向量是． 法二：设，如图，由正方体的性质得，，， 向量在向量上的投影向量是． （2）如图，连接AC，交BD于点O，易知，线面垂直性质有， 由，平面，则平面， 所以在平面上的投影向量就是，易知． 故答案为：； 【变式5-3】（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，设向量的夹角为， 所以，可得，解得， 所以在方向上的投影为 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以在方向上的投影的最大值为．故选：C. 题型六 利用数量积证明垂直关系 【例6】在空间四面体中，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】因为，，所以，； 因为，， 所以. . 所以. 【变式6-1】已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点（如图2所示）． 求证：． 【答案】证明见解析 【解析】如图，取AB中点O，连接OC交BM于E， ∵为等边三角形， ∴， 又∵平面平面，平面，平面平面， 故平面， 而平面，∴， 又∵，， ∴． ∴， 又∵平面，平面，，∴平面， ∵平面，∴． 【变式6-2】（23-24高二上·广东云浮·月考）（多选）如图，已知四边形ABCD为矩形，平面，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD 【解析】对于A，由于平面，平面，则， 又，平面，则有平面， 而平面，则有，即向量､一定垂直， 则向量､的数量积一定为0，故A正确； 对于B，由于平面，平面，则， 又，平面，则有平面， 而平面，则有，即向量､一定垂直， 则向量､的数量积一定为0，故B正确； 因为，所以直线与所成的角为，显然， 则与的数量积不为0，故C错误. 对于D，由于平面，平面，则，即向量､一定垂直， 则向量､的数量积一定为0，故D正确；故选：ABD. 【变式6-3】（23-24高二上·四川成都·月考）（多选）如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．向量与夹角是 D．向量与所成角的余弦值为 【答案】CD 【解析】在平行六面体中，其中以顶点为端点的三条棱长均为6 ，且彼此夹角都是， . 对于A， ， ， A正确； 对于B，， ，即，B正确； 对于C，连接，由题意可知是等边三角形，则， ，且向量与的夹角是， 向量与夹角是，C错误； 对于D，， ， ， ，D错误.故选：CD 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$