1.3 探索三角形全等的条件（第6课时）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

八年级苏科版数学上册 第一章 全等三角形 第六课时 斜边、直角边（HL） 1.3 探索三角形全等条件 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”． （难点） 2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．（重点） 校元旦晚会的舞台背景是由两个直角三角形形状的KT板展板一左一右组成，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都各有一条直角边被花盆遮住无法测量. 你能帮工作人员想个办法吗？ 情景导入 下列两个直角三角形，有一对相等的内角（直角），判定它们全等需要满足几个条件，可以是哪些条件呢？ A B C B′ A′ C′ 探索证明三角形全等的条件“HL”斜边、直角边 新知探究 如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？ 由已经学过的三角形全等的判定可知， 满足“一边一锐角分别相等”或者“两直角边分别相等”就可以借助“ASA”，“AAS”或者“SAS”证明. A B C B′ A′ C′ A B C B′ A′ C′ A B C B′ A′ C′ ASA AAS AAS 直角三角形是特殊的三角形，可以用符号“Rt△”表示. 任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°. 再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB. 试问Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等吗？ (1)画∠MC′N =90°； (2)在射线C′M上取B′C′=BC； (3)以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′ N于点A′； (4)连接A′B′． 结论：两个直角三角形能重合． 说明：这两个直角三角形全等． 画法： A B C A′ N M C′ B′ 如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′，怎样用推理的方法证明△ABC≌△ A′B′C′ B C A B′ A′ C′ 将两个直角三角形 等腰三角形 转化 8 证明过程如下： 已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'. 求证：△ABC≌△A'B'C'. C' B' A' C B A 证明：在△ABC和△A'B'C'中， ∵∠C=∠C'=90°， ∴BC2=AB2－AC2，B'C'2=A'B'2－A'C'2. ∵AB=A'B'，AC=A'C', ∴BC=B'C'. ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS). 9 文字表达： 我们已经知道，三边对应相等的两个三角形全等.由勾股定理可知：两边对应相等的两个直角三角形，其第三条也一定相等. 在一个三角形中，由勾股定理可知：如果两条边确定，那么第三条也随之确定.由此可以得出直角三角形的新的判定方法. 因此，斜边和第三边对应相等的两个直角三角形全等. 概念归纳 文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. (可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 直角三角形判定方法“HL”(斜边、直角边) 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90° ∴Rt△ABC≌Rt△ A′B′C′ （HL）. AB=A′B′ BC=B′C′ 几何语言： A C B A′ C′ B′ 本质上还是三组相等 注意：要按照“角—角—边” 的顺序书写. 概念归纳 11 已知条件 可选择的判定方法 需寻找的条件 一锐角对应相等 ASA或AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或者与锐角（或直角）的对边对应相等 斜边对应相等 HL或AAS 可证一直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边对应相等 HL或ASA或AAS 可证斜边对应相等或证已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等 概念归纳 例1.已知：如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°。 求证：AO=BO，CO=DO 在△AOC与△BOD中 ∠C=∠D ∠AOC=∠BOD AC=BD ∴△AOC≌△BOD （AAS） ∴AO=BO，CO=DO A B D C O 证：在Rt△ABC与Rt△BAD中，∠C=∠D=90° ∴Rt△ABC≌Rt△ BAD（HL） ∴AC=BD BC=AD AB=BA 分析： 1、根据已知条件可以得到什么结论？ 2、要求证的结论，需要证明什么才能得到？ 课本例题 例2.如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：BC﹦AD. 证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角. AB=BA, AC=BD . 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD(全等三角形的对应边相等). A B D C 应用“HL”的前提条件是在直角三角形中. 这是应用“HL”判定方法的书写格式. 利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路. 典例剖析 例3.已知：如图，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，PC=PD. 求证：点P在∠AOB的平分线上. A B D C P O 证明：如图作射线OP，∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴∠PCO=∠PDO=90°. 在△OPC和△OPD中， ∵ OP=OP（公共边）， PC=PD， ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL). ∴∠POA=∠POB，∴点P在∠AOB的平分线上. 典例剖析 1.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF. 求证： Rt△ABE≌Rt△CBF. 分析：根据AB＝CB， ∠ABE＝∠CBF＝90°，AE＝CF， 我们可利用“HL”证明Rt△ABE≌Rt△CBF. 练一练 证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠CBF＝∠ABE＝90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中， ∵AE＝CF， AB＝CB， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)． 注意：应用“HL”判定两个直角三角形全等，书写时，两个三角形符号前要加上“Rt”． 练一练 2.已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD， 求证：BC=DC． A B D C 在Rt△ABC和Rt△ADC中，∠B=∠D=90° ∴Rt△ABC≌Rt△ADC ( H L) AB=AD （已知） AC=AC （公共边） 证明：连接AC. ∵AB⊥BC,AD⊥DC（已知）, ∴BC=BD（全等三角形的对应边相等）. 分析：求证边或角相等，常用方法为证明边角所在的三角形全等。没有三角形可考虑构建 ∴∠B=∠D=90°（垂直的定义）, 练一练 3.判断下列各组图中的两个直角三角形是否全等？ (1) (5) 判定两个直角三角形全等的方法有： _________________________________ SAS、ASA、AAS、SSS、HL (2) (3) (4) SAS AAS AAS ASA HL 练一练 C 分层练习-基础 C 分层练习-基础 C 分层练习-基础 AE＝CB或EB＝BD或∠EBD＝90°或∠E＝∠DBC 分层练习-基础 BC 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 D 4cm 分层练习-巩固 AB＝CD ∠BCA＝∠DAC或AD∥BC ∠B＝∠D BC＝AD 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 一条直角边 直角三角形 H.L. 斜边、直角边 D 课堂反馈 S.A.S. A.S.A. A.A.S. S.S.S. H.L. AB＝DC(答案不唯一) 课堂反馈 70° 课堂反馈 课堂反馈 直角三角形全等的证明（HL） 内容 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 前提条件 在直角三角形中 使用方法 只须找除直角外的两个条件即可 （两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等） 课堂小结 1．如图，可以用“H.L.”判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′全等的条件是(　　) A．AC＝A′C′，BC＝B′C′ B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C．AC＝A′C′，AB＝A′B′ D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′ 2．如图，AB＝EF，AC⊥BE，BC＝CF，∠A＝38°，则∠EFC等于(　　) A．38°　　 B．62°　　 C．52°　　 D．142° 3．如图，△ABC和△EDF中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，点B、F、C、D在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定△ABC≌△EDF的是(　　) A．AB＝ED B．AC＝EF C．AC∥EF D．BF＝DC 4．如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，请添加一个适当的条件 ，使得△EAB≌△BCD. 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，PQ＝AB，点P，Q分别在AC和AC的垂线AX上移动，当AP＝ 时，才能使△ABC≌△QPA. 6．如图，AC＝DF，BF＝CE，AB⊥BE，DE⊥BE，垂足分别为点B、E.求证：∠A＝∠D. 证明：利用“H.L.”证Rt△ABC≌Rt△DEF. 7．如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF＝AC，FD＝CD.求证：BE⊥AC. 证明：∵AD⊥BC，∴∠BDF＝∠FDC＝90°，在Rt△BDF和Rt△ADC中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(BF＝AC,FD＝CD))∴Rt△BDF≌Rt△ADC(H.L.)，∴∠CAD＝∠FBD，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BDF＝∠AEF，∴∠AEF＝90°，即BE⊥AC. 9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，BC＝BD.若AC＝4cm，则AE＋DE＝ ． 8．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且AD＝AE.有下列结论：①∠B＝∠C；②△ADO≌△AEO；③△BOD≌△COE；④图中有四组三角形全等．其中正确的结论有(　　) A．1个　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个 10．如图所示，BA⊥AC，DC⊥AC，要使△ABC≌△CDA，现已有∠BAC＝∠DCA＝90°和AC是公共边，还需要添加什么条件，才能保证结论成立？ (1) (SAS)； (2) (ASA)； (3) (AAS)； (4) (HL)． 11．如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD.求证：AD＝BC. 证明：连结CD，∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠DAC＝∠CBD＝90°，在Rt△ADC和Rt△BCD中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AC＝BD,DC＝CD))，∴Rt△ADC≌Rt△BCD(H.L.)， ∴AD＝BC. 12．如图，∠C＝90°，PQ＝AB，AC＝10，BC＝5， AM⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在射线AC 和射线AM上运动，且Q点运动的速度是P点运动速 度的2倍，当点P运动到AC的什么地方时，△ABC与 △APQ全等？请说明理由． 解：当点P运动到AC的中点处时，△ABC与△APQ全等．理由如下：当AP＝BC时，∠C＝∠QAP＝90°，AC＝2BC＝2AP＝QA.在Rt△ABC与Rt△QPA中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(CB＝AP,∠C＝∠QAP,AC＝QA))，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(S.A.S.)，∴AP＝BC＝5，即点P运动到AC的中点处时，△ABC与△APQ全等． 13．(1)如图①，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角三角形ABC，求点C的坐标； (2)如图②，OA＝2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰直角三角形APD，过点D作DE⊥x轴于点E，求OP－DE的值． 解：(1)过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD＋∠ACD＝∠CAD＋∠BAO＝90°，∴∠ACD＝∠BAO.在△ACD和△BAO中，∵∠ACD＝∠BAO(已知)，∠ADC＝∠AOB，AC＝AB (已知)， ∴△ACD≌△BAO(A.A.S.)，∴AD＝OB＝4，CD＝AO＝2.∴OD＝6.∵点C在第三象限，∴点C的坐标为(－6，－2)； (2)过点D作DF⊥y轴于点F，则四边形OEDF为长方形，DE＝OF.∠APO＋∠DPO＝∠PDF＋∠DPO＝90°，∴∠APO＝∠PDF，在△AOP和△PDF中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠APO＝∠PDF,∠AOP＝∠DFP,AP＝DP))，∴△AOP≌△PDF(A.A.S.)．∴AO＝PF即OP－DE＝OP－OF＝PF＝AO＝2. 斜边和 分别相等的两个 全等；简记为： (或 )． 1. 如图，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是(　　) A．S.S.S.　　　　　　　　　 B．A.S.A.　　　　　　　　　 C．SSA　　　　　　　　　 D．H.L. 证明两个直角三角形全等的方法有 、 、 、 和 . 2. (娄底中考)如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你再添加一个条件，(不添加字母和辅助线)，使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是 ． 易错点：证明两个直角三角形全等的方法理解不全面． 3. 如图，点D是△ABC的边BC上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F，且BE＝CF.若∠B＝70°，则∠C＝ . 能利用“HL”证直角三角形全等． 4.如图，已知∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，BF＝EC.求证：AB＝DE. 【思路分析】题目中，已知△ABC和△DEF均为直角三角形，且斜边AC与DF对应相等，故可考虑使用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DEF，得到AB＝DE. 【规范解答】因为BF＝CE，所以BF＋CF＝CE＋FC，即BC＝EF.在Rt△ABC和Rt△DEF中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AC＝DF,BC＝EF))，所以Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．所以AB＝DE. 【方法归纳】HL是判定直角三角形全等的特殊方法，只适合直角三角形，在证明两个直角三角形全等时，首先考虑HL定理．在应用该定理时，要注意看清问题的已知中是否已经指明三角形是直角三角形，如果没有指明，首先要确定是直角三角形． $$