第二十五章 锐角的三角比重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版）

第二十五章 锐角的三角比重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（2024·上海·模拟预测）的值在（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·上海浦东新·期末）在△中，，，，那么等于（ ） A． B． C． D． 3．（2023·上海嘉定·模拟预测）规定：，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）在中，，，那么的长是（    ） A． B． C．6 D．12 5．（2023·上海黄浦·一模）对于锐角，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023·上海浦东新·一模）一个测量技术队员在一个高为h（忽略身高）的位置，观测一根高出此建筑物的旗杆，测出与旗杆的顶端的仰角为30°，与地面的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（　　） A． B． C． D． 2、 填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（23-24九年级上·上海宝山·期末）计算： ． 8．（22-23九年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则 ． 9．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）已知是锐角，化简： ． 10．（22-23九年级·上海·假期作业）填空： ； ； ， ． 11．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知点，那么直线与轴夹角的正弦值是 ． 12．（22-23九年级上·上海·阶段练习）在中，，则的形状是 ． 13．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知为锐角，，那么 度． 14．（2023·上海松江·一模）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为 ． 15．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，已知在边长为1个单位的方格纸中，三角形的顶点在小正方形顶点位置，那么的正切值为 ． 16．（2023·上海松江·一模）如图，中，，于点，如果，，那么的值是 17．（2023·上海青浦·二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为 米． 18．（2024·上海·模拟预测）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为a．当时，则点A到桌面的最大高度是 三、解答题（7小题，共64分） 19．（2024九年级下·上海·专题练习）计算：． 20．（22-23九年级·上海·假期作业）求满足下列条件的锐角： (1)； (2)． 21．（22-23九年级下·上海黄浦·课后作业）已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角的度数： （1），； （2），； （3），． 22．（22-23九年级下·上海松江·课后作业）如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 23．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．    (1)已知，求的长； (2)求的值． 24．（22-23九年级上·上海金山·期中）如图，已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，CD⊥BD． （1）求证：； （2）若，S△AOD＝4，求S△BOC的值． 25．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如图，在四边形中，，垂足为点． (1)求的值； (2)交于点，如果，求的长． 26．（2024·上海嘉定·二模）某东西方向的海岸线上有、两个码头，这两个码头相距千米（），有一艘船在这两个码头附近航行．    (1)当船航行了某一刻时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，如图，求码头与船的距离（的长），其结果保留位有效数字； （参考数据∶，，，） (2)当船继续航行了一段时间时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，船到海岸线的距离是（即），如图，求的长，其结果保留根号． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十五章 锐角的三角比重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（2024·上海·模拟预测）的值在（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角函数的计算，根据三角函数的计算求解即可． 【详解】解： ∴的值在． 故选：C． 2．（22-23九年级上·上海浦东新·期末）在△中，，，，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出BC，再利用三角函数即可求解. 【详解】在△中，，，， ∴BC= ∴= 故选C. 【点睛】此题主要考查三角函数，解题的关键是熟知三角函数的定义. 3．（2023·上海嘉定·模拟预测）规定：，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式． 【详解】解：A．，故此结论不正确； B．，故此结论不正确； C．，故此结论正确； D．，故此结论不正确； 故选：C． 4．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）在中，，，那么的长是（    ） A． B． C．6 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，过点A作于D，由三线合一定理得到，解得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于D， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选D． 5．（2023·上海黄浦·一模）对于锐角，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角的三角函数关系逐一判断即可． 【详解】解：A．，故本选项正确； B．，故本选项错误； C． ，故本选项错误； D． ，故本选项错误． 故选A． 【点睛】此题考查的是同角的三角函数关系，掌握同角的三角函数关系是解题关键． 6．（2023·上海浦东新·一模）一个测量技术队员在一个高为h（忽略身高）的位置，观测一根高出此建筑物的旗杆，测出与旗杆的顶端的仰角为30°，与地面的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过A作于E，在中，已知了的长，可利用俯角的正切函数求出AE的值；进而在中，利用仰角的正切函数求出的长；．本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形． 【详解】解：如图，过A作于E， 则． ∵在中，， ∴ ∵在中， ∴ ∴ 即旗杆的高度为． 故选：C． 2、 填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（23-24九年级上·上海宝山·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（22-23九年级上·上海虹口·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】由于，则，然后把代入中利用分式的性质计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系：解题的关键是掌握平方关系：；正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即或． 9．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）已知是锐角，化简： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，化简二次根式，根据锐角的余弦值小于1化简二次根式，然后合并即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：1． 10．（22-23九年级·上海·假期作业）填空： ； ； ， ． 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值直接求解． 【详解】解：；；；． 故答案为：；1；；． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，属于基础题，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 11．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知点，那么直线与轴夹角的正弦值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正弦函数．在直角坐标系中，过作轴，构造直角三角形，可得直线与轴夹角的正弦值． 【详解】解：过作轴，交轴于点，则， ∵， ∴， 在中，， 直线与轴夹角的正弦值， 故答案为：． 12．（22-23九年级上·上海·阶段练习）在中，，则的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【分析】根据非负数的性质得到，，从而求出∠A与∠B的度数，即可判断△ABC的形状． 【详解】∵ ∴， 即， ∴， ∴ ∴是钝角三角形 故答案为：钝角三角形 【点睛】本题考查了非负数的性质，三角形的分类与特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键． 13．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知为锐角，，那么 度． 【答案】45 【分析】先利用，求出，再根据三角函数值求对应的角度即可． 【详解】解：， ， 为锐角， ， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 14．（2023·上海松江·一模）如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正切值为 ． 【答案】/0.5 【分析】根据题意和图形，可以求得、和的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，然后即可求得的正弦值． 【详解】解：由图可得，，，． ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图，已知在边长为1个单位的方格纸中，三角形的顶点在小正方形顶点位置，那么的正切值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理及三角形函数的性质等知识点，构建合适的直角三角形即可解决问题，构造出合适的直角三角形是解题的关键． 【详解】连接，如图所示， 易得是直角三角形， 由勾股定理得， ， 在中， ． 故答案为：． 16．（2023·上海松江·一模）如图，中，，于点，如果，，那么的值是 【答案】/ 【分析】根据题意得出，继而根据余弦的定义即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求余弦，掌握余弦的定义是解题的关键． 17．（2023·上海青浦·二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为 米． 【答案】 【分析】由正切的定义分别确定的表达式，进而联立成方程组，求解方程组即可得到答案． 【详解】解：如图，CD为树高，点C为树顶，则，BD=AD-100 ∴依题意，有 由①得 将③代入②，解得 故答案为：． 【点睛】本题考查正切的定义，二元一次方程组得应用，能依题意根据正切的定义列出方程组是解题的关键． 18．（2024·上海·模拟预测）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为a．当时，则点A到桌面的最大高度是 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形解决问题． 过点作于，过点作于，利用解直角三角形可得，，根据点到桌面的最大高度，即可求得答案． 【详解】如图，过点作于，过点作于， 在中，， 在中，， 点到桌面的最大高度， 故答案为：． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（2024九年级下·上海·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算．分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 20．（22-23九年级·上海·假期作业）求满足下列条件的锐角： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值求解即可； （2）根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】（1）解：由得，则；； （2）解：由得，则． 【点睛】本题主要是对特殊锐角三角比的值的综合运用，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． 21．（22-23九年级下·上海黄浦·课后作业）已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角的度数： （1），； （2），； （3），． 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】利用计算器完成即可． 【详解】（1）由计算器可得：，； （2）由计算器可得：，； （3）由计算器可得：， 【点睛】本题考查了在已知三角函数值的情况下用计算器求锐角，关键是会使用计算器． 22．（22-23九年级下·上海松江·课后作业）如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作AB和BC边上的高．） 【答案】． 【分析】分别作，垂足分别为，根据正弦的定义，在4个直角三角形中分别表示出，进而将等式变形，即可求得． 【详解】解：如图，分别作，垂足分别为， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正弦的定义，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．    (1)已知，求的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意设，则，利用勾股定理列式计算求得，据此求解即可； （2）作于，求得，利用余弦函数求得，再利用勾股定理和余切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴设，则， ∵，即， 解得， ∴； （2）解：作于，    由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 24．（22-23九年级上·上海金山·期中）如图，已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，CD⊥BD． （1）求证：； （2）若，S△AOD＝4，求S△BOC的值． 【答案】（1）见解析；  （2）9． 【分析】（1）可证明，可得到，从而，即可求证； （2）利用，可得，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】（1）证明： AB⊥AC，CD⊥BD， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：在 中，， ， ， ， S△AOD＝4， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数的定义，解题的关键是要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，有两角对应相等的三角形相似与有两边对应成比例且夹角相等三角形相似的性质的应用． 25．（23-24九年级上·上海长宁·期末）如图，在四边形中，，垂足为点． (1)求的值； (2)交于点，如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、解直角三角形： （1）根据，得证明，结合相似三角形的性质，得的值； （2）根据相似三角形的性质且，得，，再证明，列式代数计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ 则 （2）解：如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， 得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得． 26．（2024·上海嘉定·二模）某东西方向的海岸线上有、两个码头，这两个码头相距千米（），有一艘船在这两个码头附近航行．    (1)当船航行了某一刻时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，如图，求码头与船的距离（的长），其结果保留位有效数字； （参考数据∶，，，） (2)当船继续航行了一段时间时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，船到海岸线的距离是（即），如图，求的长，其结果保留根号． 【答案】(1)码头与船的距离为千米 (2)船到海岸线的距离为千米 【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是掌握三角形函数的定义． （1）根据题意可得，，进而得到，根据三角函数即可求解； （2）过点作，垂足为，根据题意可得，，进而得到，根据，求出，推出，从而求出，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 又， ， 在中， 又，千米， （千米）， 千米 答：码头与船的距离为千米； （2）， ， ， ， 又， ∴， 过点作，垂足为， 在中，，， （千米），（千米）， 在中， （千米）， （千米）， 在中，， （千米）， 答：船到海岸线的距离为千米． 学科网（北京）股份有限公司 $$