第03讲 全等三角形（4个知识点+7大题型+18道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（浙教版）

第03讲 全等三角形（4个知识点+7大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.认识全等图形，理解全等图形的概念与特征； 2.能欣赏有关的图案，并能指出其中的全等图形； 3.全等图形的概念和特征，认识全等图形。 4. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边，对应角. 5. 掌握并能运用全等三角形的性质。 1.认识全等图形，理解全等图形的概念与特征； 2.能欣赏有关的图案，并能指出其中的全等图形； 3.全等图形的概念和特征，认识全等图形。 4. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边，对应角. 5. 掌握并能运用全等三角形的性质。 知识点 1： 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 【即学即练1】 1．（24-25八年级上·全国·假期作业）找出下列各组图中的全等图形（　　） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形的定义，直接根据全等图形的定义判断即可． 【详解】解：∵图形②和图形⑥不能够完全重合， 故A选项不符合题意； ∵图形②和图形⑦不能够完全重合， 故B选项不符合题意； ∵图形③和图形④能够完全重合， 故C选项符合题意； ∵图形⑥和图形⑦不能够完全重合， 故D选项不符合题意； 故选：C． 知识点2：全等多边形 （1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. （2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等. （3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等. 【即学即练2】 2．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形．根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意； D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； 故选：C． 知识点3： 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 【即学即练3】 3．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．形状、大小相同的两个三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据两个三角形全等的定义即可判断．理解定义是判断的关键． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； B、周长相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； D、形状、大小相同的两个三角形全等，正确，符合题意． 故选：D． 【即学即练4】 4．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】∵， ∴∠的对应角是， 故选：． 知识点4 ：全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 【即学即练5】 5．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，且，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理以及三角形的外角等于不相邻两个内角和即可得出答案． 【详解】，，， ，， ， ． 故选：D． 【即学即练6】 6．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，，下列结论：①与是对应边；② 与是对应边；与是对应角；④与是对应角，其中正确的有（    ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质．由全等三角形的对应边相等、对应角相等对以下结论进行判定． 【详解】解：由得， ①与是对应边．故①不符合题意； ②与是对应边．故②符合题意； ③与是对应角．故③不符合题意； ④与是对应角，故④符合题意． 综上所述，正确的结论是②④， 故选：B． 题型01 图形的全等 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）下列叙述中错误的是（    ） A．能够完全重合的两个图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同 C．所有正方形都是全等图形 D．平移、翻折、旋转前后的图形全等 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，全等形的性质，由全等图形的性质和平移，折叠，旋转的性质依次判断可求解． 【详解】解：A、能够完全重合的两个图形称为全等形，故A选项不符合题意； B、全等形的形状和大小都相同，故B选项不符合题意； C、所有正方形不一定是全等形，故D选项符合题意； D、平移、翻折、旋转前后的图形全等，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）下列选项的图形中，和如图所示的图形全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等图形，熟记全等图形的概念是解题关键．根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等图形）即可得． 【详解】解：观察四个选项可知，只有选项A符合题意， 故选：A． 3．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，下列图形中的全等图形是 . 【答案】（1）（9），（2）（3），（4）（8），（11）（12） 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此逐一判断即可。 【详解】解；由全等图形的定义可知，（1）（9），（2）（3），（4）（8），（11）（12）是全等图形， 故答案为：（1）（9），（2）（3），（4）（8），（11）（12）． 4．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图所示的是两个全等的五边形，，，，，，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的 ， °． 【答案】 11 115 【分析】此题考查了全等多边形的性质，根据全等多边形对应边相等，对应角相等求解即可． 【详解】∵五边形和五边形全等 ∴， 故答案为：11，115． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）先观察猜想结论，再动手验证． (1)如图．圆和圆哪个大？ (2)如图，两条线是否为直线？ 【答案】(1)一样大； (2)是直线； 【分析】先观察猜想得出结论，然后动手验证即可． 【详解】（1）观察猜想得出的结论：圆比圆大， 验证：用重叠法比较，圆和圆一样大； （2）观察猜想得出的结论：不是两条直线， 验证：用支持比较，是两条直线； 【点睛】此题目主要考查了同学们能观察图形的形状和大小，培养识图能力． 题型02 利用全等图形求正方形网格中角度之和 1．（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 【答案】B 【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2． 【详解】 ∵在△ABC和△DBE中 ， ∴△ABC≌△DBE（SAS）， ∴∠3=∠ACB， ∵∠ACB+∠1=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵∠2=45° ∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°， 故选B． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等． 2．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ）． A．30° B．45° C．55° D．60° 【答案】B 【分析】根据网格特点，可得出，，，进而可求解． 【详解】解：如图，则，，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键． 3．（22-23八年级上·重庆潼南·期中）如图，在的正方形网格中标出了和，则 度． 【答案】 【分析】作辅助线，使为等腰直角三角形，根据全等三角形，可得到，利用等角代换即可得解． 【详解】解：如图，连接、，，，， 由图可知，在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了网格中求两角和，构造全等三角形，利用等角代换是解题关键． 4．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 【答案】 【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解． 【详解】解：如图， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 根据网格的特点可知， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，虽然只有七块，但是可以拼出多种多样的图形．如图就是一个七巧板，这七块刚好拼成一个正方形．图中有三对全等的三角形，如，也有几对全等的四边形． (1)请根据全等形的特征，求的度数； (2)请写出图中的一对全等的四边形和另外两对全等的三角形． 【答案】(1) (2)四边形全等四边形；（答案不唯一）； 【分析】（1）根据，求出，根据，得出； （2）根据全等三角形的判定和全等图形的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴； （2）解：图中全等的四边形有：四边形全等四边形；四边形全等四边形；四边形全等四边形；四边形全等四边形； 全等三角形有：；． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等四边形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的对应角相等． 题型03 将已知图形分割成几个全等图形 1．（23-24八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 2．（19-20八年级上·河北石家庄·期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案． 【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示： 故选B． 【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质. 3．（20-21七年级下·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 【答案】7 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 【详解】解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查全等形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等形的性质. 4．（17-18七年级下·广西贵港·期末）如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为 ． 【答案】6 【分析】利用割补法，把阴影部分移动到一边. 【详解】把阴影部分移动到正方形的一边，恰好是正方形的一半，故正方形面积是6. 【点睛】割补法，等面积转换,可以简便运算，化复杂为简单. 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形．      【答案】见解析 【分析】可以利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【详解】解：∵要求分成全等的两块， ∴每块图形要包含有8个小正方形．    【点睛】本题主要考查的是作图-应用与设计作图，利用对称性和互补性解题． 题型04 全等三角形的概念 1．（22-23八年级·全国·课堂例题）说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：形状相同的两个三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故选项A错误； 面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等三角形，故选项B错误； 两个等边三角形，形状相同，边长不一定相等，不一定能完全重合，不一定是全等三角形，故选项C错误． 长相等的两个三角形不一定全等，故选项D正确； 故选D． 2．（23-24八年级上·陕西安康·期中）下列说法正确的是（    ） A．全等三角形是指形状、大小相同的三角形 B．两个全等三角形的面积不一定相等 C．周长相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 【答案】A 【分析】根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】A、形状相同大小相等的三角形能够完全重合，是全等三角形，故本选项正确； B、两个全等三角形的面积一定相等，故本选项错误； C、周长相等的三角形，形状不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，故本选项错误； D、所有的等边三角形形状都相同，大小与边长有关，边长不相等，则不能够重合，所以不一定是全等三角形，故本选项错误． 故选：A． 3．（20-21七年级下·全国·课后作业）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 ．记两个三角形全等时，通常把表示 的字母写在对应位置上． 【答案】 对应顶点 对应边 对应角 对应顶点 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及对应顶点、对应边、对应角的概念填空． 【详解】解：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上． 故答案为：对应顶点；对应边；对应角；对应顶点． 【点睛】此题主要考查了全等形及相关概念，属于基本概念题，是需要识记的内容． 4．（20-21八年级上·江西上饶·期末）以下说法中，正确的是（填写序号） ． ①周长相等的两个三角形全等； ②有两边及一角分别相等的两个三角形全等； ③两个全等三角形的面积相等； ④面积相等的两个三角形全等． 【答案】③ 【分析】根据全等三角形的判定及性质即可判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：周长相等的两个三角形不一定全等，如一个三角形的三边长为3，6，8，另一个三角形的边长为4，5，8，故①错误； 有两边及一角分别相等的两个三角形不一定全等，如两个直角三角形有一个直角对应相等，一个直角三角形的两条直角边与另一个直角三角形一条直角边和斜边相等，则这个两个三角形不全等，故②错误； 两个全等三角形的面积相等，故③正确； 面积相等的两个三角形不一定全等，如两个三角形的同底等高，而这两个三角形不一定全等，故④错误； 故答案为：③． 【点睛】本题考查全等三角形的判定、全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定定与性质解答． 5．（23-24八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上的三角形），以为一边作出格点三角形，且分别满足下列条件： (1)在下图中作出的与成轴对称； (2)在下图中作出的与全等，但不成轴对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了作图--轴对称，关键是掌握几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也就是确定一些特殊的对称点． （1）利用网格图结合轴对称变换的性质进行画图即可； （2）利用全等三角形的定义进行画图即可． 【详解】（1）如图，即为所作； （2）如图，即为所作； 题型05 利用全等三角形的性质求长度 1．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等可得，再求出，在根据线段和差即可求解，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知，，，则的长度可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的三边关系，根据得出对应边相等，即得出，．结合三角形的三边关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ 即 四个选项满足这个范围的是B选项的3， 故选：B． 3．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，点E，F在线段上(不与点A，C重合)，，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，再利用等量代换可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：3． 4．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，，点A，C，E在同一条直线上，，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据可得出，，再根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵点A，C，E在同一条直线上， ∴， 故答案为：3． 5．（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，，．若，，求线段的长． 【答案】2 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据“全等三角形的对应边相等”可得，再同时减去可得，最后求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ． 题型06 利用全等三角形的性质求角度 1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质，由，则与是一组对应角，与是一组对应角，对于，外角等于除外的两个内角之和，求得，再在中，由三角形内角和即可求得结果． 【详解】解：，，， ，． ∵由三角形外角的性质可得， ． ． ，， ． 故选：B． 2．（2024七年级下·上海·专题练习）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的知识．解题时要认准对应关系．全等图形要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案． 【详解】解：图中的两个三角形全等 与，与分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角 故选：D． 3．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若，且，，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了三角形内角和定理及全等的性质．由三角形内角和定理可以求得，求得． 【详解】解： 在中， ， ． ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，，，，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可计算． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 故答案为：10度． 5．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，，，，． (1)求的长． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等；三角形的内角和等于是解决问题的关键． （1）由全等三角形的性质得，然后根据可得出答案； （2）由全等三角形的性质得，，然后根据三角形的内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）解：，， ， 又， ； （2），，， ，， ． 题型07 全等三角形的动点问题 1．（23-24八年级上·广西桂林·期中）如图，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为，当与全等时，x的值是（   ） A．2 B．1或 C．2或 D．2或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意分和两种情况，根据全等三角形的性质分别求出的长，进而求出运动时间，即可求出x的值，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键． 【详解】解：当时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当与全等时，x的值是2或3， 故选D． 2．（23-24八年级上·广西桂林·期中）《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长，如图，，，，点在线段AB上以的速度由点向点运动，同时，点在线段BD上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，当与全等时，的值是（    ） A．2 B．1或1.5 C．2或1.5 D．2或3 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，一元一次方程的应用．由题意知分时和时两种情况，再根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动， ∴，， ∴． ∵， ∴可分类讨论：①当时， ∴， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∴， 解得：． 综上可知x的值是2或3． 故选：D． 3．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在长方形中 ，，，，，延长至点E，使，连接．动 点P 从 点A  出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点A 停止运动，运动时间为：t秒，当t 的值为 时，和全等． 【答案】或 10 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，当时， ∴ ∵在长方形中，，， ∴， ∴ ∵点P的运动时间为每秒2个单位 ∴（秒）； 如图所示，当时， ∴， ∴， ∴（秒） 综上所述，当t的值为或10秒时，与全等． 故答案为：3.5或10． 4．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若和全等，则a的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握分类讨论思想的应用是解决本题的关键． 分两种情况分别计算：当时；当时；分别根据全等三角形对应边相等的性质列方程求解即可． 【详解】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时，，即， 解得； 当时，，， 即，， 解得， 则， 解得， 综上，的值为3或． 故答案为：3或． 5．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1后，与是否全等？说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当时间为何值时，与全等？求出此时点的运动速度． 【答案】(1)，见解析 (2)，速度为厘米/秒 【分析】本题借助动点问题，考查了全等三角形的性质，熟记相关性质定理的内容是解题关键． （1）根据运动时间，可得出，，据此即可求证； （2）由点的运动速度与点的运动速度不相等可得出且时，与全等，据此即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： （秒） ，点为的中点 在和中， ∴ （2）解： 若与全等，则 故 所以点、的运动时间： 此时（厘米/秒） A夯实基础 1．（24-25七年级上·山东·随堂练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，由此即可判断． 【详解】解：A中两个图形大小不同，不是全等图形，不符合题意； B中图形是一个图形，不是全等图形，不符合题意； C中两个图形是全等图形，符合题意； D中两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，若，，，则的度数为（   ）     A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和，三角形的外角定理，解题的关键是掌握全等三角形对应角相等，三角形的内角和是180度，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 先根据三角形的外角定理得出，再根据全等三角形的性质得出，最后根据三角形的内角和定理和对顶角相等，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，，其中．则的周长为 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，，进而可得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴的周长为， 故答案为：15． 4．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，图中的两个三角形全等，则 °． 【答案】55 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应角相等．根据全等三角形的性质进行解答即可． 【详解】解：根据左图可知，边a、c夹角为， ∵两个三角形全等， ∴． 故答案为：55． 5．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，先根据全等三角形的性质得到，进而证明，求出即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即 ， ． 6．（23-24七年级下·全国·课后作业）将沿方向平移，得到． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 【答案】(1)80° (2)1cm 【分析】本题考查图形的平移： （1）根据平移的性质，得到，得到，利用三角形的内角和进行求解即可； （2）用，求解即可． 【详解】（1）解：∵平移， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）∵， ∴． ∴平移的距离为1 cm． B能力提升 1．（23-24七年级下·海南海口·期末）如图，在中，于点是上一点，若，，则的周长为（    ） A．22 B．23 C．24 D．26 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，根据的周长为即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为， ； 故选：C ． 2．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，三点共线，三点共线，且，则长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质求出，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 3．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 4．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在长方形中 ，，，，，延长至点E，使，连接．动 点P 从 点A  出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点A 停止运动，运动时间为：t秒，当t 的值为 时，和全等． 【答案】或 10 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，当时， ∴ ∵在长方形中，，， ∴， ∴ ∵点P的运动时间为每秒2个单位 ∴（秒）； 如图所示，当时， ∴， ∴， ∴（秒） 综上所述，当t的值为或10秒时，与全等． 故答案为：3.5或10． 5．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）沿图形中的虚线，分别把下面的图形划分为两个全等图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据全等图形的定义画出图形即可． 【详解】解：如图所示： 或 6．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图所示，，点在边上，与交于点．    (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的外角的性质； （1）由，得到，而，即可得到的长； （2）由，得到，由三角形外角的性质得到，进而即可求解． 【详解】（1）解：解： ， ∴. （2）解： ， . C综合素养 1．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知线段米，射线于点，射线于点 ，点从 点向运动，每秒走米，点从点向 运动，每秒走米，同时从点出发，若射线上有一点，使得和全等，则线段的长度为（    ） A．米 B．米或米 C．米 D．米或米 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，设运动时间为秒，由题意可得，，，分和两种情况解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意可得，，，， ∵，， ∴， 当时，，， ∴， 解得， ∴米； 当时，，， ∴， 解得， ∴米； 综上，线段的长度为米或米， 故选：． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点匀速运动，若与在某一时刻全等，则点运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，， ∴， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴， 解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 故选：D． 3．（23-24七年级下·上海长宁·期末）一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 ． 【答案】17 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 先根据全等三角形的性质，得出x和y的值，再根据三角形三边之间是关系，得出该等腰三角形的底边和腰长，即可解答． 【详解】解：∵一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5， ∴， ∵， ∴等腰三角形底边长为3，腰长为7， ∴等腰三角形的周长， 故答案为：17． 4．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使与以点、、为顶点的三角形全等． 【答案】7或15 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分两种情况讨论，或，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：为边上的高， ， ，， ， ， 当时，， ， 或， 或， 即当或秒时，能使与以点、． 故答案为：或． 5．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，，且，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】（1）解： ， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ． 6．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，用表示出三角形的高是解题的关键． （1）根据题意可知，再由，推出，结合即可得到； （2）由，，可推出，，，由（1）可知，，即以为底时高为，从而推出当时，在线段上，此时，则，解之得到；当 时，在线段上，此时，则，解之得到． 【详解】（1）解：在中，为高 ， 又 ， （2）解：，， ， 由（1）可知，，且点从点出发，在上以4个单位的速度运动，那么 ，即以为底时高为，如图所示    当时，在线段上，则 解得： 当 时，在线段上，则 解得： 综上所述，存在的值为或 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 全等三角形（4个知识点+7大题型+18道强化训练） 课程标准 学习目标 1.认识全等图形，理解全等图形的概念与特征； 2.能欣赏有关的图案，并能指出其中的全等图形； 3.全等图形的概念和特征，认识全等图形。 4. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边，对应角. 5. 掌握并能运用全等三角形的性质。 1.认识全等图形，理解全等图形的概念与特征； 2.能欣赏有关的图案，并能指出其中的全等图形； 3.全等图形的概念和特征，认识全等图形。 4. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边，对应角. 5. 掌握并能运用全等三角形的性质。 知识点 1： 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 【即学即练1】 1．（24-25八年级上·全国·假期作业）找出下列各组图中的全等图形（　　） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 知识点2：全等多边形 （1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. （2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等. （3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等. 【即学即练2】 2．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 知识点3： 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 【即学即练3】 3．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．形状、大小相同的两个三角形全等 【即学即练4】 4．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，和，和是对应边，则的对应角是（    ） A． B． C． D． 知识点4 ：全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 【即学即练5】 5．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，且，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【即学即练6】 6．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，，下列结论：①与是对应边；② 与是对应边；与是对应角；④与是对应角，其中正确的有（    ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．③④ 题型01 图形的全等 1．（23-24七年级下·全国·假期作业）下列叙述中错误的是（    ） A．能够完全重合的两个图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同 C．所有正方形都是全等图形 D．平移、翻折、旋转前后的图形全等 2．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）下列选项的图形中，和如图所示的图形全等的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，下列图形中的全等图形是 . 4．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图所示的是两个全等的五边形，，，，，，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的 ， °． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）先观察猜想结论，再动手验证． (1)如图．圆和圆哪个大？ (2)如图，两条线是否为直线？ 题型02 利用全等图形求正方形网格中角度之和 1．（20-21八年级上·湖北鄂州·期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 2．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，则的度数为（    ）． A．30° B．45° C．55° D．60° 3．（22-23八年级上·重庆潼南·期中）如图，在的正方形网格中标出了和，则 度． 4．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， 度． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，虽然只有七块，但是可以拼出多种多样的图形．如图就是一个七巧板，这七块刚好拼成一个正方形．图中有三对全等的三角形，如，也有几对全等的四边形． (1)请根据全等形的特征，求的度数； (2)请写出图中的一对全等的四边形和另外两对全等的三角形． 题型03 将已知图形分割成几个全等图形 1．（23-24八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 2．（19-20八年级上·河北石家庄·期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（20-21七年级下·福建宁德·期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于 ． 4．（17-18七年级下·广西贵港·期末）如图，已知正方形中阴影部分的面积为3，则正方形的面积为 ． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图1，把大小为的正方形网格分割成了两个全等形．请在图2中，沿着虚线画出四种不同的分割方法，把的正方形网格分割成两个全等形．      题型04 全等三角形的概念 1．（22-23八年级·全国·课堂例题）说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等 2．（23-24八年级上·陕西安康·期中）下列说法正确的是（    ） A．全等三角形是指形状、大小相同的三角形 B．两个全等三角形的面积不一定相等 C．周长相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 3．（20-21七年级下·全国·课后作业）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 ，重合的角叫做 ．记两个三角形全等时，通常把表示 的字母写在对应位置上． 4．（20-21八年级上·江西上饶·期末）以下说法中，正确的是（填写序号） ． ①周长相等的两个三角形全等； ②有两边及一角分别相等的两个三角形全等； ③两个全等三角形的面积相等； ④面积相等的两个三角形全等． 5．（23-24八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上的三角形），以为一边作出格点三角形，且分别满足下列条件： (1)在下图中作出的与成轴对称； (2)在下图中作出的与全等，但不成轴对称． 题型05 利用全等三角形的性质求长度 1．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知，，，则的长度可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，点E，F在线段上(不与点A，C重合)，，若，则的长为 ． 4．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，，点A，C，E在同一条直线上，，，则的长为 ． 5．（18-19八年级上·全国·单元测试）如图，，．若，，求线段的长． 题型06 利用全等三角形的性质求角度 1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级下·上海·专题练习）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）若，且，，则的度数为 ． 4．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，，，，则 ． 5．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，，，，． (1)求的长． (2)求的度数． 题型07 全等三角形的动点问题 1．（23-24八年级上·广西桂林·期中）如图，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为，当与全等时，x的值是（   ） A．2 B．1或 C．2或 D．2或3 2．（23-24八年级上·广西桂林·期中）《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长，如图，，，，点在线段AB上以的速度由点向点运动，同时，点在线段BD上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，当与全等时，的值是（    ） A．2 B．1或1.5 C．2或1.5 D．2或3 3．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在长方形中 ，，，，，延长至点E，使，连接．动 点P 从 点A  出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点A 停止运动，运动时间为：t秒，当t 的值为 时，和全等． 4．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若和全等，则a的值为 ． 5．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1后，与是否全等？说明理由； (2)若点的运动速度与点的运动速度不相等，当时间为何值时，与全等？求出此时点的运动速度． A夯实基础 1．（24-25七年级上·山东·随堂练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，若，，，则的度数为（   ）     A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）如图，，其中．则的周长为 4．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，图中的两个三角形全等，则 °． 5．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，，若，，求的度数． 6．（23-24七年级下·全国·课后作业）将沿方向平移，得到． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． B能力提升 1．（23-24七年级下·海南海口·期末）如图，在中，于点是上一点，若，，则的周长为（    ） A．22 B．23 C．24 D．26 2．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，三点共线，三点共线，且，则长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 4．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在长方形中 ，，，，，延长至点E，使，连接．动 点P 从 点A  出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点A 停止运动，运动时间为：t秒，当t 的值为 时，和全等． 5．（23-24七年级下·河北保定·阶段练习）沿图形中的虚线，分别把下面的图形划分为两个全等图形． 6．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图所示，，点在边上，与交于点．    (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． C综合素养 1．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知线段米，射线于点，射线于点 ，点从 点向运动，每秒走米，点从点向 运动，每秒走米，同时从点出发，若射线上有一点，使得和全等，则线段的长度为（    ） A．米 B．米或米 C．米 D．米或米 2．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点匀速运动，若与在某一时刻全等，则点运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24七年级下·上海长宁·期末）一个三角形的三边长为x，5，7，另一个与它全等的三角形的三边长为3，y，5，那么以x、y为腰长和底边长的等腰三角形的周长等于 ． 4．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当 秒时，能使与以点、、为顶点的三角形全等． 5．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，，且，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 6．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$