精品解析：山东省淄博市高青县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末复习训练题 七年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是( ) A. 面朝上的点数是6 B. 面朝上的点数是偶数 C. 面朝上的点数大于2 D. 面朝上的点数小于2 2. 若，是关于和的二元一次方程的解，则的值等于　　 A. 3 B. 6 C. D. 3. 如图，直线，点B，C分别在直线和上，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ） A. 3cm2 B. 4cm2 C. 4.5cm2 D. 5cm2 5. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元方程组的解是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，∠A＝48°，∠ABC与∠ACD平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠An－1BC与∠An－1CD的平分线交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠BAC交CB于点D，过点D作DE⊥AB，垂足恰好是边AB的中点E，若AD＝3cm，则BE的长为（ ） A. cm B. 4cm C. 3cm D. 6cm 9. 如图，直线与直线交于点A的横坐标为，则不等式的解集为（　　） A B. C. D. 10. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 已知关于，二元一次方程组的解满足，则的值为___________． 12. 如图，长方形纸片，为边的中点，将纸片沿折叠，使点落在处，点落在处，若，则的度数为_____． 13. 小华在如图所示的正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是______． 14. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，则的长度是 ________ 15. 如图，直线y＝kx+b经过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，则不等式﹣2＜kx+b＜1的解集为_____． 三、解答题（共8小题，共90分） 16. 解方程组： （1）； （2）解不等式组，并求它的整数解． 17. 如图，在中，，垂足为D，点E在上，在F在上． （1）若，，与平行吗？为什么？ （2）在（1）的条件下，平分，且，求的度数． 18. 某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了　 名学生；若该校共有名学生，估计全校爱好运动的学生共有　 　名； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是　 　； （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是　 　． 19. 如图，在中，，分交于点，过点作交于点，，垂足为点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 为更好推进生活垃圾分类，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元． （1）求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ （2）该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号的垃圾箱有哪些方案？ 21. 如图，直线，直角三角板的顶点C，D分别在直线上，且，，设． （1）如图1，若，，求度数． （2）若的平分线交于点F． ①如图2，当，且时，试说明． ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 22. 问题情境：如图，，，，求度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，易求得的度数为 度；（直接写出答案） （2）问题迁移：如图，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系． 23. （1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末复习训练题 七年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分） 1. 任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是( ) A. 面朝上的点数是6 B. 面朝上的点数是偶数 C. 面朝上的点数大于2 D. 面朝上的点数小于2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意与概率的计算公式，比较四个选项中包含的情况数目，比较可得答案． 【详解】解：A．面朝上的点数为6点的情况为1种； B．面朝上的点数是偶数的情况为3种； C．面朝上的点数大于2的情况为4种； D．面朝上的点数小于2的情况为1种， 比较可得：C包含的情况数目最多，故其概率最大； 故选C． 【点睛】可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相等，那么它们的可能性就相等． 2. 若，是关于和的二元一次方程的解，则的值等于　　 A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把解代入方程，整体代入进行求解即可． 【详解】解：将代入方程得：， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的根，代数式求值，准确计算是解题的关键． 3. 如图，直线，点B，C分别在直线和上，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质即可判断． 【详解】解：∵直线， ∴，，， 只有当时，， 故选项A、B、D说法正确，但不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 4. 如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ） A. 3cm2 B. 4cm2 C. 4.5cm2 D. 5cm2 【答案】C 【解析】 【分析】证△ABP≌△EBP，推出AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出，代入求出即可． 【详解】延长AP交BC于E， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠EBP， ∵AP⊥BP， ∴∠APB＝∠EPB＝90°， 在△ABP和△EBP中， ∠ABP＝∠EBP BP＝BP ∠APB＝∠EPB， ∴△ABP≌△EBP（ASA）， ∴AP＝PE， ∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP， ∴， 故答案选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等． 5. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质．根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、若，则，故本选项错误，不符合题意； B、若，则，，故本选项正确，符合题意； C、若，则，故本选项错误，不符合题意； D、若，则，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 6. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用直线确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标得到答案． 【详解】解：把代入得， 解得，即点坐标为， 所以二元一次方程组的解为． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 7. 如图，在△ABC中，∠A＝48°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠An－1BC与∠An－1CD的平分线交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1，根据角平分线的定义可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，然后整理得到∠A1＝∠A，根据A1B、A1C分别平分∠ABC、∠ACD可得：∠ABC＝2∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，而∠ACD＝∠A＋∠ABC ，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC，于是有∠A＝2∠A1，同理可得∠A1＝2∠A2，继而∠A2＝∠A，因此发现规律，将∠A代入即可求出使∠An的度数为整数，则n的最大值． 【详解】由三角形的外角性质可得：∠ACD＝∠ABC＋∠A，∠A1CD＝∠A1BC＋∠A1， ∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1， ∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD， ∴∠A1＋∠A1BC＝∠A1CD ＝（∠ABC＋∠A）＝∠A＋∠A1BC， ∴∠A1＝∠A＝×48°＝24°， ∵A1B、A1C分别平分∠ABC、∠ACD， ∴∠ABC＝2∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD， 而∠ACD＝∠A＋∠ABC ，∠A1CD＝∠A1＋∠A1BC， ∴∠A＝2∠A1， ∴∠A1＝∠A, 同理可得：∠A1＝2∠A2， ∴∠A2＝∠A， ∴∠A＝2n∠An， ∴∠An＝∠A ∵∠A＝48° ∴当n＝4时，∠A4＝×48°＝3°，此时n的值最大， 故选：C 【点睛】本题考查了三角形外角性质、角平分线的性质、熟练掌握这两个性质并准确识图找出规律是解题的关键． 8. 如图，在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠BAC交CB于点D，过点D作DE⊥AB，垂足恰好是边AB的中点E，若AD＝3cm，则BE的长为（ ） A. cm B. 4cm C. 3cm D. 6cm 【答案】A 【解析】 【分析】先根据角平分线的性质可证CD=DE，从而根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△AED，由DE为AB中线且DE⊥AB，可求AD=BD=3cm ，然后在Rt△BDE中，根据直角三角形的性质即可求出BE的长. 【详解】∵AD平分∠BAC且∠C=90°，DE⊥AB， ∴CD=DE， 由AD＝AD， 所以，Rt△ACD≌Rt△AED， 所以，AC=AE. ∵EAB中点，∴AC=AE=AB， 所以，∠B=30° . ∵DE为AB中线且DE⊥AB， ∴AD=BD=3cm ， ∴DE=BD=, ∴BE= cm. 故选A. 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质,含30°角的直角三角形的性质，及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键. 9. 如图，直线与直线交于点A的横坐标为，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到当直线直线的图象在直线的图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当直线直线的图象在直线的图象上方时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为， 故选：B． 10. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的无解问题，先分别解出，再结合无解，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵关于的不等式组无解， ∴， 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据原方程组得：，得出,根据，得出，求出k的值即可． 【详解】解：， 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的方法，得出． 12. 如图，长方形纸片，为边的中点，将纸片沿折叠，使点落在处，点落在处，若，则的度数为_____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据折叠的性质可知相等的角，再根据补角的定义可知，最后根据角的和差运算即可求出的度数． 【详解】解：如图，由折叠的性质得：， ∵， ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，补角的定义，角的和差运算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 13. 小华在如图所示的正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】分别确定阴影部分的面积和大正方形的面积，两者相比即可得出飞镖落在阴影区域的概率． 【详解】解：∵阴影部分的面积=7个小正方形的面积，大正方形的面积=16个小正方形的面积， ∴阴影部分的面积占总面积的， ∴飞镖落在阴影区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了几何概率，正确掌握概率公式是解题关键． 14. 小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，则的长度是 ________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查角平分线判定，平行线性质及等角对等边．根据图形可得是的角平分线，再根据平行线性质及等角对等边即可得到答案； 【详解】解：作，， 由题意可得，如图所示， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ∴， 故答案为：3． 15. 如图，直线y＝kx+b经过A（2，1），B（﹣1，﹣2）两点，则不等式﹣2＜kx+b＜1的解集为_____． 【答案】﹣1＜x＜2． 【解析】 【分析】将A、B两点的坐标代入直线解析式可以得到关于k、b的二元一次方程组,解方程组得到k、b的值;接下来将-2＜kx+b＜1拆分为不等式组,结合上述结果解不等式组即可得到答案. 【详解】∵ 直线y=kx+b经过A(2,1),B(-1,-2)两点 ∴  解得， ∵ -2＜kx+b＜1， ∴-2＜x-1＜1， ∴ ，解得-1＜x＜2， 故答案为-1＜x＜2. 【点睛】此题考查如何求解函数的解析式，解题的关键是掌握待定系数法. 三、解答题（共8小题，共90分） 16. 解方程组： （1）； （2）解不等式组，并求它的整数解． 【答案】（1） （2），整数解为、、 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解一元一次不等式组，掌握相关解法是解题关键． （1）先整理方程组，再利用加减消元法解方程组即可； （2）先求出每个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定不等式组的解集，再写出整数解即可． 【小问1详解】 解：原方程可化为， 由得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解集为； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 整数解为、、． 17. 如图，在中，，垂足为D，点E在上，在F在上． （1）若，，与平行吗？为什么？ （2）在（1）的条件下，平分，且，求的度数． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义求出，再根据平行线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 18. 某校为研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次研究中，一共调查了　 名学生；若该校共有名学生，估计全校爱好运动的学生共有　 　名； （2）补全条形统计图，并计算阅读部分圆心角是　 　； （3）在全校同学中随机选出一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生概率是　 　． 【答案】（1）；（2）补全条形统计图，见解析；阅读部分圆心角是108°，（3）选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为. 【解析】 【分析】（1）根据爱好运动人数的百分比以及人数即可求出共调查的人数；利用样本估计总体即可估计全校爱好运动的学生人数； （2）根据两幅统计图即可求出阅读的人数以及上网的人数，从而可补全图形，然后用360°乘以爱好阅读的人数所占百分比； （3）根据爱好阅读的学生人数所占的百分比即可估计选出的恰好是爱好阅读的学生的概率． 【详解】（1）爱好运动的人数为，所占百分比为 共调查人数为：人， 爱好运动的学生人数所占的百分比为， 全校爱好运动的学生共有：人； 故答案为； （2）∵爱好上网人数为：人， ∴爱好上网的人数所占百分比为， 爱好阅读人数为：人， 补全条形统计图，如图所示， 阅读部分圆心角是， 故答案为； （3）爱好阅读的学生人数所占的百分比， 用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为； 故答案为． 【点睛】本题考查统计与概率，解题的关键是能够正确的从两幅统计图中获取信息，本题属于中等题型． 19. 如图，在中，，分交于点，过点作交于点，，垂足为点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）利用三角形角平分线的定义和平行线的性质可得，即可求证； （）由角平分线的性质可得，利用勾股定理得，进而得，再利用勾股定理即可求解； 本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵分， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵分交于点，， ∴， 在中， ， ∵， ∴ 在中，． 20. 为更好的推进生活垃圾分类，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元． （1）求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ （2）该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号的垃圾箱有哪些方案？ 【答案】（1）每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元 （2）方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱；方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱；方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找准数量关系，正确列出二元一次方程组与不等式组． （1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买B型垃圾箱m个，则购买A型垃圾箱个，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元”列出不等式组，求出m的范围，可得出答案． 【小问1详解】 解：设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元． 依题意，得： ， 解得：． 答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元； 【小问2详解】 解：设购买m个B型垃圾箱，则购买个A型垃圾箱． 依题意，得：， 解得：． 又m为整数，m可以为5，6，7， ∴有3种购买方案：方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱； 方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱； 方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱． 21. 如图，直线，直角三角板的顶点C，D分别在直线上，且，，设． （1）如图1，若，，求的度数． （2）若平分线交于点F． ①如图2，当，且时，试说明． ②如图3，当保持不变时，试求出与之间的数量关系． 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据，可得，从而得到，再由，即可； （2）①根据平分，可得，从而得到，即可；②根据，可得，从而得到，再由平行线的性质可得，，再由平分，可得，即可． 【小问1详解】 解：因， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以； 【小问2详解】 解：①因为，平分， 所以． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以； ②因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以，． 因为平分， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 22. 问题情境：如图，，，，求度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，易求得的度数为 度；（直接写出答案） （2）问题迁移：如图，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3）当在延长线上时，；当在延长线上时，． 【解析】 【分析】（）过点作，由平行线性质求即可； （）过点作，交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （）分两种情况：在延长线上和在延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质解答即可求解； 本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 理由如下： 如图，过点作，交于， ∵， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：当在延长线上时，如图所示， 由（）可知，，， ∴； 当在延长线上时，如图所示， 由（）可知，，， ∴． 23. （1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE； （2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD； （3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=60°，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形． 【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA=90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°． ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD． 又AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立．证明如下： ∵∠BDA =∠BAC=， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-． ∴∠DBA=∠CAE． ∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）△DEF为等边三角形．理由如下： 由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE， ∵△ABF和△ACF均等边三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60°． ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF． ∴∠DBF=∠FAE． ∵BF=AF， ∴△DBF≌△EAF（SAS）． ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE． ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°． ∴△DEF为等边三角形． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$