2.6.1等腰三角形 课件 2024-2025学年 青岛版数学八年级上册

2．6　等腰三角形 第2章 图形的轴对称 2．6.1　等腰三角形 知识点 等腰三角形的性质 知1－讲 1 1. 性质1 等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线. 2. 性质2 等腰三角形的底边上的高、底边上的中线及顶角的平分线重合(简写成“三线合一”). 已知等腰三角形的“一线”，则它具有另外“两线”的性质. 感悟新知 知1－讲 几何语言： 如图2 .6 -1，在△ ABC 中， ①因为AB=AC，AD ⊥ BC， 所以AD 平分∠ BAC，BD=CD. ②因为AB ＝ AC，BD ＝ DC， 所以AD ⊥ BC，AD 平分∠ BAC. ③因为AB ＝ AC，AD 平分∠ BAC， 所以BD ＝ DC,AD ⊥ BC． 感悟新知 知1－讲 特别解读 应用“三线合一”的前提必须是等腰三角形，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角的平分线才相互重合，若是一腰上的高与中线就不一定重合. 感悟新知 知1－讲 3. 性质3 等腰三角形的两个底角相等 (简写成“等边对等角”). 拓展： (1)等腰三角形两腰上的中线、高分别相等. (2)等腰三角形两底角的平分线相等. (3)等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 特别提醒 适用条件：必须在同一个三角形中. 感悟新知 知1－练 例 1 [新考法 方程建模法]如图2 .6-2，在△ ABC 中，AB=AC，点D，E 分别在AC，AB 边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠ A 的度数. 解题秘方：利用“等边对等角”及外角的性质将△ ABC 中的三个角都用要求的∠ A 来表示，利用三角形的内角和等于180°解决问题. 感悟新知 知1－练 解：设∠ A=x°. 因为AD=DE，所以∠ AED= ∠ A=x°. 因为DE=EB，所以易得∠ EBD= ∠ BDE=x°. 所以∠ BDC= ∠ A＋ ∠ EBD=x°. 感悟新知 知1－练 因为BC=BD，所以∠ C= ∠ BDC=x°. 因为AB=AC，所以∠ ABC= ∠ C=x°. 在△ ABC 中，∠ A＋ ∠ ABC＋ ∠ C=180°， 所以x＋x＋ x =180，解得x =45 . 所以∠ A=45 . 感悟新知 知1－练 1-1.[中考·滨州] 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD ⊥ BC，且顶角∠ BAC=120°，则∠ C的大小为_________． 30°　 感悟新知 知1－练 1-2.[中考·聊城] 如图，在△ ABC 中，AB=AC，∠ C=65°，点D 是BC边上任意一点，过点D作DF ∥ AB 交AC 于点E，则∠ FEC 的度数是( ) A.120° B.130° C.145° D.150° B 感悟新知 知1－练 如图2 .6-3，在△ ABC 中，AB=AC，AD 平分∠ BAC. 解题秘方：利用等腰三角形的性质——“三线合一”，将未知量转化为已知量. 例 2 感悟新知 知1－练 (1)若BC=3cm，求BD 的长； 解：因为AB=AC，AD 平分∠ BAC， 所以BD=CD=BC=×3 =1.5(cm). 感悟新知 知1－练 (2)若∠ BAD=50°，求∠ B 的度数. 解：因为AB=AC，AD 平分∠ BAC， 所以AD ⊥ BC. 所以∠ ADB=90°. 又因为∠ BAD=50 °，所以∠ B=40 °. 感悟新知 知1－练 2-1. 如图所示，在△ ABC中，AB=AC，AD ⊥ BC于点D， 若AB = 6，CD = 4，则△ ABC 的周长是( ) A.10 B.14 C.16 D.20 D 感悟新知 知1－练 例 3 如图2.6-4，AB=AE，BC=DE，∠ B= ∠ E，AM ⊥ CD，垂足为点M. 试说明：CM=MD. 解题秘方：由已知AM ⊥ CD 和结论CM=MD，联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此连接AC，AD，构造等腰三角形. 感悟新知 知1－练 解：如图2 .6 -4，连接AC，AD. 在△ ABC 和△ AED 中， 所以△ ABC ≌△ AED. 所以AC=AD. 又因为AM ⊥ CD，所以CM =MD. 感悟新知 知1－练 3-1.如图，在△ ABC中，AB=AC，D 是BC的中点，E，F 分别是AB，AC 上的点， 且AE =AF，试说明：DE =DF． 感悟新知 知1－练 感悟新知 知1－练 [母题 教材P56例2]如图2 .6 -5，用尺规(无刻度直尺和圆规)作一等腰三角形，使其底边长为a，腰长为b，并作出顶角的平分线(保留作图痕迹，不必写出做法). 例 4 感悟新知 知1－练 解题秘方：作一个三角形，关键是确定三个顶点，由底边可确定两个顶点，以底边的两个端点为圆心、腰长为半径作弧，两弧的交点就是第三个顶点；根据角平分线的尺规作图方法作顶角的平分线即可. 感悟新知 知1－练 解：如图2 .6 - 6，△ ABC 即为所求作的等腰三角形，AD是顶角的平分线. 感悟新知 知1－练 4-1.如图，AC ⊥ BC，∠ ABC =40°. (1)尺规作图：在直线BC 上找一点P，使得△ ABP 是等腰三角形.(要求保留作图痕迹，若有多个点，用P1，P2，P3，⋯表示) 感悟新知 知1－练 解：如图所示，P1，P2，P3，P4即为所求． 感悟新知 知1－练 (2) 在(1) 条件下，∠ ABP=__________ . 40°或140° 感悟新知 知2－讲 知识点 等腰三角形的判定 2 1. 定义法 有两边相等的三角形是等腰三角形. 2. 判定方法 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”). 几何语言：在△ ABC 中，因为∠ B=∠C，所以AB=AC. 感悟新知 知2－讲 3. 等腰三角形的性质与判定的异同 相同点：使用的前提都是“在同一个三角形中”. 不同点：由三角形的两边相等，得到它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形的两角相等，得到它是等腰三角形，是等腰三角形的判定，即等边 等角. 感悟新知 知2－讲 特别提醒 “等角对等边”不能叙述为“如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”，因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词. 感悟新知 知2－练 如图2 .6 -7，AD 是△ ABC 的边BC 上的高，且AD 平分∠ BAC，试说明：△ ABC 为等腰三角形. 例 5 解题秘方：根据等腰三角形的定义来判定，只需说明有两边相等即可. 感悟新知 知2－练 解：因为AD ⊥ BC，所以∠ ADB= ∠ ADC=90°. 因为AD 平分∠ BAC，所以∠ BAD= ∠ CAD. 在△ ABD 和△ ACD 中， 所以△ ABD ≌△ ACD(ASA). 所以AB=AC. 所以△ ABC 为等腰三角形. 感悟新知 知2－练 5-1.如图，在△ ABC中，点D 是边BC 上的一点，点E 是边AC上的一点， 且AB=AC=DC，BD=CE，连接AD，DE. 感悟新知 知2－练 (1)试说明：△ ADE是等腰三角形; 感悟新知 知2－练 (2)若∠ ADE=40°，求∠ BAC 的度数. 解：因为△ABD≌△DCE，所以∠BAD＝∠EDC. 所以∠BAD＋∠BDA＝∠EDC＋∠BDA＝ 180°－∠ADE＝140°. 所以在△ABD中，∠B＝180°－(∠BAD＋∠BDA)＝180°－140°＝40°.所以∠C＝∠B＝40°. 所以∠BAC＝180°－40°－40°＝100°. 感悟新知 知2－练 如图2 .6 -8，在△ ABC 中，P 是BC 边上一点，过 点P 作BC 的垂线，交AB 于点Q，交CA 的延长线于点R，若AQ=A R，试说明： △ ABC 是等腰三角形. 例 6 解题秘方：利用“等角对等边”判定等腰三角形，只需说明三角形有两个内角相等即可. 感悟新知 知2－练 解：因为AQ=AR，所以∠ R= ∠ AQR. 又因为∠ BQP= ∠ AQR，所以∠ R= ∠ BQP. 因为RP ⊥ BC， 所以∠ B＋∠ BQP=90°，∠ C＋∠ R=90°. 所以∠ B= ∠ C. 所以AB=AC. 所以△ ABC 是等腰三角形. 感悟新知 知2－练 6-1.如图，已知点D，E 分别是△ ABC 的边BA 和BC 延长线上的点，作∠ DAC 的平分线AF，且AF ∥ BC. 感悟新知 知2－练 (1)试说明：△ ABC 是等腰三角形； 解：因为AF平分∠DAC，所以∠DAF＝∠CAF. 因为AF∥BC，所以∠DAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB. 所以∠B＝∠ACB.所以AB＝AC. 所以△ABC是等腰三角形． 感悟新知 知2－练 (2) 作∠ ACE 的平分线交AF 于点G，若∠ B=40 °，求∠ AGC的度数. 解：因为∠B＝40°， 所以∠ACB＝∠B＝40°.所以∠ACE＝140°. 因为CG平分∠ACE ，所以∠ACG＝∠GCE＝70°. 因为 AF∥BC ，所以∠AGC＝∠GCE＝70°. 感悟新知 等腰三角形 等腰三角形 判定 等角对等边 性质 轴对称性 等边对等角 三线合一 互逆 课堂小结 解：连接AD.因为AB＝AC，D是BC的中点， 所以∠EAD＝∠FAD. 在△AED和△AFD中， 所以△AED≌△AFD(SAS)．所以DE＝DF. 解：因为AB＝AC，所以∠B＝∠C. 在△ABD和△DCE中， 所以△ABD≌△DCE(SAS)．所以AD＝DE. 所以△ADE是等腰三角形． $$