1.3.1尺规作图（3题型基础+能力+创新+易错）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（青岛版）

1.3.1尺规作图 题型一 尺规作一个角等于已知角 1．如图，作一个角等于已知角（尺规作图）的正确顺序是（   ） A．①⑤②④③ B．①②④⑤③ C．①④③⑤② D．②①③④⑤ 2．如图，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中，弧是（   ） A．以点为圆心，为半径的弧 B．以点为圆心，为半径的弧 C．以点为圆心，为半径的弧 D．以点为圆心，为半径的弧 3．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 4．已知直线和外一点，过点作的平行线．要求：用直尺与圆规作图，保留作图痕迹． 5．如图，请用尺规在线段下方作一点P，使得平分角，且，（保留作图痕迹，不写作法）    题型二 尺规作角的和差 1．下列对尺规作图步骤的描述不准确的是（    ） A．作，使 B．作，使 C．以点为圆心，线段的长为半径作弧 D．以点为圆心作弧 2．如图为一副三角尺，其中，作． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 3．已知和，作一个角等于．（保留作图痕迹，不必写作法） 题型三 尺规作图与其他知识的综合应用 1．如图，已知，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，过点作射线则 ． 2．如图，在中，，，过点C作，连接． (1)基本尺规作图：作，交线段于点F（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)求证：． 3．已知平面内有A、B、C、O、D五点，其中C、O、D三点在同一直线上；请按如下操作作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)画出直线，射线； (2)利用直尺和圆规，作，且点E与点A在直线的同一侧； (3)在射线和射线上分别作出P、Q两点，使得的值最小．这样作图的依据是______． 1．如图，直线相交于点O，，过点O作，射线平分．    (1)求、的度数； (2)的内部作出射线，使得（要求：尺规作图不写作法，保留作图痕迹）． (3)在（2）的条件下，判断与的位置关系，并说明理由． 2．如图，在中，的平分线交于点． (1)尺规作图：在上求作一点，使，交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；根据三角形全等的有关知识，作图依据是______；（提示：） (2)求证：； (3)已知，的周长为15，求的周长． 3．如图，已知点D为△ABC的边AB上一点 （1）请在边AC上确定一点E，使得S△BCD＝S△BCE（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）； （2）根据你的作图证明S△BCD＝S△BCE． 1．尺规作图之旅 下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形． 尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题． 【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的 画×． （1）过一点作一条直线．(　　　)     （2）过两点作一条直线．(　　　) （3）画一条长为的线段．(　　　) （4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．(　　　) 【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程． 已知：． 求作：使 作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，____________________； （4）过点画射线，则． 说理：由作法得已知： 求证： 证明：在和中 (　　　) ∴ (　　　) 【小试牛刀】请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线． 已知：直线与直线外一点A． 求作：过点A的直线，使得． 【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图． 2．如图，在中，点D 在边的延长线上，过点D 作射线，点 E 是射线上 一 个定点 ． (1)用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与 的延长线交于点F． (不写作法，但保留作图痕迹) (2)在（1）的条件下，若，求证： ，请把以下的解题过程补充完整． 证明：∵  ( 已 知 )， ∴( ① )， ∵( 已 知 ) ， ∴ ② (等式的性质) ∴， 在和 中 ， ∴( ③ ) ∴ ④ (全等三角形的对应角相等)， ∴ ( ⑤ )． 1．如图1，使用尺规经过直线l外的点P作已知直线l的平行线，作图痕迹如图2： 下列关于图中的四条弧线①、②、③、④的半径长度的说法中，正确的是（    ） A．弧②、③的半径长度可以不相等 B．弧①的半径长度不能大于的长度 C．弧④以的长度为半径 D．弧③的半径可以是任意长度 2．尺规作图：已知，在边上求作点D，使得．要求： (1)简写作图思路； (2)尺规作图，保留作图痕迹． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3.1尺规作图 题型一 尺规作一个角等于已知角 1．如图，作一个角等于已知角（尺规作图）的正确顺序是（   ） A．①⑤②④③ B．①②④⑤③ C．①④③⑤② D．②①③④⑤ 【答案】A 【分析】此题主要考查了基本作图，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的作法是解题的关键． 【详解】解：根据用尺规作一个角等于已知角的作图步骤可知正确的是：①⑤②④③． 故选：A． 2．如图，点在的边上，用尺规作出了，作图痕迹中，弧是（   ） A．以点为圆心，为半径的弧 B．以点为圆心，为半径的弧 C．以点为圆心，为半径的弧 D．以点为圆心，为半径的弧 【答案】D 【分析】本题主要考查尺规作角等于已知角，掌握其作法是解题的关键，弧是以点为圆心，以为半径作的弧，运用作一个角等于已知角可得答案． 【详解】解：根据作一个角等于已知角可得弧是以点为圆心，为半径的弧． 故选：． 3．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.    上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 4．已知直线和外一点，过点作的平行线．要求：用直尺与圆规作图，保留作图痕迹． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了尺规作图，过直线外一点作已知直线的平行线，解答此题的关键是熟练掌握基本尺规作图，作一个角等于已知角的步骤．过点作直线交直线于，再作，直线即为所求． 【详解】解：如图，直线即为所求． 5．如图，请用尺规在线段下方作一点P，使得平分角，且，（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，作与已知角相等的角的尺规作图，如图，作，再以A为圆心，的长为半径画弧交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：如图，作，再以A为圆心，的长为半径画弧交于点P，则点P即为所求．    题型二 尺规作角的和差 1．下列对尺规作图步骤的描述不准确的是（    ） A．作，使 B．作，使 C．以点为圆心，线段的长为半径作弧 D．以点为圆心作弧 【答案】D 【分析】根据基本尺规作图的概念逐项分析即可． 【详解】解：A. 作，使，此选项描述准确； B. 作，使，作一个角等于已知角的倍数是常见的尺规作图，此选项描述准确； C. 以点A为圆心，线段a的长为半径作弧，此选项描述准确； D. 画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，此选项描述不准确； 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是尺规作图，主要内容有：作线段等于已知线段；作角等于已知角；作角的平分线；作线段的垂直平分线（中垂线）或中点；过直线外一点作直线的垂线． 2．如图为一副三角尺，其中，作． （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作角，根据尺规作角的方法，作图即可．掌握尺规作角的方法，是解题的关键． 【详解】解：如图，即为所求； 3．已知和，作一个角等于．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】见解析 【分析】先作，再作，则即为所求． 【详解】如图所示，，，则即为所求． 作法：①作射线， ②以任意长度为半径，的顶点为圆心作弧，的定点为圆心作弧，以同样长度为半径，以为圆心，作弧，交射线于点， ③以的长为半径，为圆心，作弧交弧于点，过点，作射线，则， ③以的长为半径，为圆心，作弧交弧于点， ④以的长为半径，为圆心，作弧交弧于点， ⑤过点作射线，则 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，掌握基本作图是解题的关键． 题型三 尺规作图与其他知识的综合应用 1．如图，已知，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，过点作射线则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了平行线的性质、基本作图—作一个角等于已知角，由平行线的性质得出，由作法可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由作法可得：， ∴， 故答案为：． 2．如图，在中，，，过点C作，连接． (1)基本尺规作图：作，交线段于点F（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了作图-基本作图、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，熟练掌握作图方法是解答本题的关键． （1）根据作一个角等于已知角的作图方法作出图形即可； （2）根据平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：如图，即为所作． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．已知平面内有A、B、C、O、D五点，其中C、O、D三点在同一直线上；请按如下操作作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)画出直线，射线； (2)利用直尺和圆规，作，且点E与点A在直线的同一侧； (3)在射线和射线上分别作出P、Q两点，使得的值最小．这样作图的依据是______． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)图见详解，两点之间线段，线段最短 【分析】本题主要考查画直线、射线，角的尺规作图及 （1）根据直线、射线的定义可直接进行作图； （2）由（1）可以点O为圆心，适当长为半径画弧，交、、分别于点M、F、G，然后以点G为圆心，长为半径画弧，进而问题可求解； （3）根据两点之间线段最短可直接进行求解． 【详解】（1）解：所作直线，射线，如图所示； （2）解：所作如图所示； （3）解：所找点P、Q如图所示，这样作图的依据是两点之间，线段最短； 故答案为两点之间，线段最短． 1．如图，直线相交于点O，，过点O作，射线平分．    (1)求、的度数； (2)的内部作出射线，使得（要求：尺规作图不写作法，保留作图痕迹）． (3)在（2）的条件下，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)、 (2)画图见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂直的定义，作与已知角相等的角的尺规作图： （1）由平角的定义结合角之间的关系可得，，据此根据角平分线的定义可得答案； （2）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （3）根据垂直的定义得到，，进而推出，则，即． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵射线平分， ∴ （2）解；如图所示，射线即为所求；    （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，的平分线交于点． (1)尺规作图：在上求作一点，使，交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；根据三角形全等的有关知识，作图依据是______；（提示：） (2)求证：； (3)已知，的周长为15，求的周长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)33 【分析】本题考查作一一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义得到，然后利用证明三角形全等； （3）由全等三角形的对应边相等得到，，然后求出周长即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所作； 根据三角形全等的有关知识，作图依据是． 故答案为：； （2）证明：∵的平分线交于点， ∴， 由∵，， ∴． （3）解：∵， ∴，， ∴的周长为 ． 3．如图，已知点D为△ABC的边AB上一点 （1）请在边AC上确定一点E，使得S△BCD＝S△BCE（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）； （2）根据你的作图证明S△BCD＝S△BCE． 【答案】（1）点E即为所求，图见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）过点D作DE//BC交AC于E，点E即为所求； （2）连接DC,分别过点D和点E作DF⊥BC,EG⊥BC．根据平行线间的距离相等得到DF=EG，然后再分别表示出S△BCD和S△BCE即可证明． 【详解】（1）如图，过点D作DE//BC交AC于E，点E即为所求； （2）如图：连接DC,分别过点D和点E作DF⊥BC,EG⊥BC ∵DE//BC ∴DF=EG ∵S△BCD＝BC·DF, S△BCE＝BC·EG, ∴S△BCD＝S△BCE 【点睛】本题考查了尺规作图－作平行线、三角形的面积等知识，掌握平行线间的距离相等是解答本题的关键． 1．尺规作图之旅 下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形． 尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题． 【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的 画×． （1）过一点作一条直线．(　　　)     （2）过两点作一条直线．(　　　) （3）画一条长为的线段．(　　　) （4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．(　　　) 【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程． 已知：． 求作：使 作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，____________________； （4）过点画射线，则． 说理：由作法得已知： 求证： 证明：在和中 (　　　) ∴ (　　　) 【小试牛刀】请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线． 已知：直线与直线外一点A． 求作：过点A的直线，使得． 【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图． 【答案】【作图原理】（1）√；（2）√；（3）×；（4）√；【回顾思考】作法：以点为圆心，以CD为半径画弧，与第二步中所画的弧相交于；说理：SSS，全等三角形对应角相等；【小试牛刀】答案见解析；【创新应用】答案见解析． 【分析】本题主要考查了作图−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识， [作图原理]：根据尺规作图的概念判断即可； [回顾思考]：由作一个角等于已知角的步骤填空即可；由“”证明三角形全等，从而可得； [小试牛刀]：以A为顶点，作同位角相等，从而可得被截直线平行； [创新应用]：根据要求涉及图案，写出涉及理念即可． 熟练掌握全等三角形判定与性质，尺规作图的方法是解决此题的关键． 【详解】[作图原理]：（1）过一点作一条直线．可以用尺规作图，符合题意； （2）过两点作一条直线．可以用尺规作图，符合题意； （3）画一条长为的线段．不可以用尺规作图，不符合题意； （4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆，可以用尺规作图，符合题意； 故答案为：√，√，×，√ [回顾思考]：作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点； （4）过点画射线，则． 说理：由作法得已知： ，，， 求证：． 证明：在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， 故答案为：长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点，，全等三角形的对应角相等； [小试牛刀]：如图， 由作图知，所作的两个同位角相等， ∴， ∴直线即为所求（方法不唯一） [创新应用]：如图所示（答案不唯一），设计意图：书架中隐藏着无限宝藏， ． 2．如图，在中，点D 在边的延长线上，过点D 作射线，点 E 是射线上 一 个定点 ． (1)用尺规完成以下基本作图：在射线上方作，与 的延长线交于点F． (不写作法，但保留作图痕迹) (2)在（1）的条件下，若，求证： ，请把以下的解题过程补充完整． 证明：∵  ( 已 知 )， ∴( ① )， ∵( 已 知 ) ， ∴ ② (等式的性质) ∴， 在和 中 ， ∴( ③ ) ∴ ④ (全等三角形的对应角相等)， ∴ ( ⑤ )． 【答案】(1)画图见解析 (2)两直线平行，同位角相等；；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质； （1）作即可； （2）根据题干信息逐步填写推理过程与推理依据即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的角； ． （2）证明：∵  ( 已 知 )， ∴( 两直线平行，同位角相等 )， ∵( 已 知 ) ， (等式的性质) ∴， 在和 中 ， (全等三角形的对应角相等)， ∴ (同位角相等，两直线平行)． 1．如图1，使用尺规经过直线l外的点P作已知直线l的平行线，作图痕迹如图2： 下列关于图中的四条弧线①、②、③、④的半径长度的说法中，正确的是（    ） A．弧②、③的半径长度可以不相等 B．弧①的半径长度不能大于的长度 C．弧④以的长度为半径 D．弧③的半径可以是任意长度 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图的原理，考查推理能力、几何直观，熟练掌握过直线外一点作已知直线的平行线的作法是解题关键．根据作图原理逐一分析即可． 【详解】解：该作图过程中，弧①的半径长度为任意长；弧②、③的半径长度相等，且大于的长；弧④以的长度为半径．只有C选项正确， 故选：C． 2．尺规作图：已知，在边上求作点D，使得．要求： (1)简写作图思路； (2)尺规作图，保留作图痕迹． 【答案】(1)见解析 (2) 作图见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，作一个角等于已知角，熟练掌握三角形内角和定理及作一个角等于已知角是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可知，当时，，即作即可； （2）根据作一个角等于已知角尺规作图，作出，角的另一边交于点D，即得答案． 【详解】（1）在中，， 在中，， ， ， 因此求作点D，只要作即可； （2）如图，点D就是所求作的点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$