【举一反三题型总结】第一单元长正方体单元复习（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学苏教版

长正方体单元整理复习 长方体和正方体的特征 1、长方体的特征 6个面、8个顶点、12条棱相对的面完全相同，相对的棱长度相等 2、正方体的特征 6个面、8个顶点、12条棱6个面是完全相同的正方形，12条棱长度都相等 正方体是特殊的长方体 注意：当长方体有2个面是正方形时，其他4个面的面积相等。 长方体和正方体的表面积 长方体的表面积：S=(ab+ah+bh)x2（注意所求的面积是几个面的） 正方体的表面积：S=6a2面积和。（注意所求的面积是几个面的） 体积和容积单位意义及单位 1、物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2、容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 体积和容积的单位 1、体积单位：立方米、立方分米、立方厘米 2、容积单位：升、毫升 相邻体积单位间的进率 相邻体积单位间的进率为1000 单位换算法则： 高级体积单位×进率=低级体积单位 低级体积单位÷进率=高级体积单位 长方体和正方体的体积 1、长方体的体积：V=abh 2、正方体的体积：V=a3 3、通用公式：V=Sh 注意：容积的计算方法和体积的计算方法相同，但要从容器内部测量长、宽、高。 重难点一：包装纸盒问题 【例题】 用丝带捆扎一个长方体礼品盒，如右下图，打结用了40cm长的丝带。包扎这个礼品盒一共要用多长的丝带? 【变式】商店营业员用一根塑料带为顾客捆扎两个食品盒，每个食品盒的长、宽、高分别是15厘米、11厘米、4厘米，如右图那样捆扎一道并留下18厘米长为手提环，这样一共需要多少厘米长的塑料带？ 重难点二：切的问题 【例题】 一个正方体的表面积是48平方厘米，将它平均分成两个小长方体，每个小长方体的表面积是多少？   【变式】 一个正方体的表面积是96平方厘米，将它平均分成两个小长方体，每个小长方体的表面积是多少立方厘米？ 重难点三：拼的问题 【例题】 如图，把5个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是198平方厘米。求一个正方体的表面积。 【变式】 把两个棱长是5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 重难点四：涂色类问题 （1）把一个涂色的大正方体平均分成若干个同样大的小正方体。有三个面涂色的小正方体都在大正方体( )的位置，都是( )个。有两个面涂色的小正方体都在大正方体( )的位置。个数都是( ）的倍数有一个面涂色的小正方体都在大正方体的（ ）的中心位置个数都是( )的倍数。 （2）如果用n表示把大正方体的棱平均分的份数，用a、b、c分别表示2面涂色、1面涂色和6面都不涂色的小正方体的个数，那么a= b= c= （3) 把一个外表面涂有黄色涂料的正方体木块平均分成若干个同样大的小正方体，至少分成（ ）个小正方体才会出现6个面都不涂色的小正方形。 【例题】 下图是由27个小正方体拼成的大正方体，把它的表面全部涂成绿色。 （1）没有涂成绿色的小正方体有几个? （2） 一面涂成绿色的小正方体有几个? （3） 两面涂成绿色的小正方体有几个? （4）三面涂成绿色的小正方体有几个? 【变式】 右图是由125块大小相同的小正方体拼成的大正方体模型。将其表面涂上红色。 三面涂色的有（ ）个，两面涂色的有（ ）个，一面涂色的有（ ）个，没有涂色的有( ）个。 重难点五：高的变化引起表面积的变化 【例题】 一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？   【变式】 一个长方体，如果高减少2厘米就成了正方体，而且表面积要减少56平方厘米，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 重难点六：已知体积求高 【例题】把60升水倒入一个长6分米宽2.5分米的长方体水箱内，正好倒满。这个水箱深多少分米？ 【变式题】把37.5升水倒入一个长5分米，宽3分米，高3.5分米的鱼缸里。这时水面离缸口还有多少分米？ 重难点七：熔铸锻造等体积转化问题 【例题】工人师傅把一个棱长6分米的正方体铁块，锻造成了一个长12分米、宽4.5分米的长方体零件。这个零件高多少分米? 【变式】工人把3节长5米、宽2.4米、高2米的火车车厢中的沙子（沙子装满车厢）铺在一条长400米、宽3米的路上，沙子能铺多少厘米厚? 重难点八：运用转化法解决长方体问题 【例题】 一个封闭的长方体容器，里面装着水，它的长、宽、高分别是20厘米、20厘米、30厘米。红红不小心把容器碰倒了。 【变式】 有一个长50厘米，宽10厘米，高10厘米的全封闭容器，里面装了8厘米深的水，如果把容器竖起来，水面的高度是多少厘米？ 重难点九：浸没问题 【例题】 在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水，如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么水箱中水深多少分米？ 【变式1】 有一个小金鱼缸，长4分米，宽3分米，水深2分米。把一个小块假山石浸入水中后，水面上升了0.8分米，这块假山石的体积是多少立方分米？ 【变式2】 一个长方体容器的底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米，底面边长18厘米的长方体铁块。这时容器里的水深0.5米。如果把铁块取出，容器里水深多少厘米? 1.一个长方体的长是1.2分米，宽是1分米，高是0.8分米，它的占地面积最大是（ ）平方分米，最小是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。 2.右图是由3个小正方体拼成的，每个小正方体的棱长都是1分米，这个图形的表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。 3.一个长方体的棱长总和是36厘米，从一个顶点出发的三条棱长的和是（ ）厘米。 4.一个长方体游泳池，长50米，宽20米，放满水之后可以感水3000计方米，这个游泳池深（ ）米，它的占地面积是（ ） 平方米。 5.(1)一个粉笔盒的体积约是0.6（ ）。 (2）一间客厅的地面面积约是30（ ） (3）一个金鱼缸的容积约是60（ ） (4)一节火车车厢的容积约是108（ ） 6.5900 dm3=（ ）m3 8.8L=（ ）dm3=（ ）cm3 6.03 m3=（ ）m3（ ）dm3 7.把一块体积是8立方分米的正方体钢坯锻造成横截面面积是2平方分米的长方体钢坯，这块长方体钢坯长（ ）厘米。 8.一个装满牛奶的长方体牛奶盒，长6厘米、宽4厘米、高12厘米。小明倒出一些牛奶后，盒中空出的部分如右图所示。小明倒出了（ ）毫升牛奶。 9.一个正方体纸盒的表面积是72平方分米，将纸盒切成两个完全一样的长方体 后，表面积增加了（ ）平方分米。 10.个表面涂色的正方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中两面涂色的小正方体有24个。原来正方体的体积是（ ）立方厘米。 三、判断题。(每题1分,共6分) 1.体积相等的两个长方体，它们的表面积一定相等。（ ） 2.长方体形状的橡皮泥捏成正方体后，它的表面积和体积都变了。（ ） 3.把一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，,它的体积扩大到原来的8倍。（ ） 4.长方体的底面积越大,它的体积就越大。（ ） 5.长方体相对的面完全相同，相邻的两个面也有可能完全相同。（ ） 6.如一个长方体和一个正方体的底面周长相等，高也相等，则表面积也相等。（ ） 四、选择题。 1.一个长方体有四个面的面积相等，则其余两个面是（ ）。 A.长方形 B.正方形 C.无法确定 2.把下图中左边正方体的表面展开，得到的展开图是（ ） 3.一个长方体的长、宽、高分别是a米、6 米、h米,如果高减少2米,长、宽不变,那么新的长方体体积比原来减少（ ）立方米。 A. 2ab B.2abh C.ab(h+2) D.4a+4b 4. 把一个长 10 厘米,宽8 厘米,高4 厘米的长方体切成两个相等的长方体，表面积最多增加（ ）平方厘米。 A.80 B.64 C.160 D.320 5.如果从前面和上面看到的图形都如右图所示，那么搭成这样一个立体图形最少要（ ）个小正方体。 A.7 B.6 C.5 五、按要求计算。 1.体和正方体的表面积与体积 2. 如图是一个长方体纸箱的平面展开图，这个纸箱的体积是多少立方分米? 3.下面是长方体表面展开图中的4个面，请你画出其余2 个面，使它成为长方体的一个完整的表面展开图。 六、解决问题。 1.一个无盖的长方体水箱，长2.5 分米,宽2分米,高3分米。做这样一个水箱至少要用多少平方分米的铁皮?这个水箱最多能盛多少千克水?(每升水重1千克)(4分) 2.一节通风管长1米，横截面是边长为2分米的正方形。做10 节这样的通风管至少需要多少平方分米的铁皮? 3.一根长方体木料，体积是0.084立方米,已知木料宽2分米,高3分米。这根木料长多少分米? 4.明明喜欢做陶艺,他从材料筐里拿出一块棱长是4 厘米的正方体泥块，拍打成一块宽10 厘米、厚5毫米的长方体泥板,这块泥板有多长?(损耗忽略不计) 5. 一个学习小组的四名同学观察并测量了一个长方体。 甲说:“如果高再增加2分米,它恰好是一个正方体。” 乙说:“长方体的前、后、左、右四个面的面积之和是96平方分米。”丙说:“它的底面周长是24分米。” 丁说:“这个长方体的棱长总和是64分米。” 若四人得到的数据都是正确的，你能筛选出必要的数据作为条件，求出这个长方体的体积吗? 6. 一个长方体形状的金鱼缸,底面长25厘米,宽20 厘米。缸中水面高12厘米，将一个长方体形状的铁块全部浸人水中后，水面上升到15厘米。已知这个长方体铁块的底面是边长为10 厘米的正方形，求铁块的高度。(水没有溢出)(6 分) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长正方体单元整理复习 长方体和正方体的特征 1、长方体的特征 6个面、8个顶点、12条棱相对的面完全相同，相对的棱长度相等 2、正方体的特征 6个面、8个顶点、12条棱6个面是完全相同的正方形，12条棱长度都相等 正方体是特殊的长方体 注意：当长方体有2个面是正方形时，其他4个面的面积相等。 长方体和正方体的表面积 长方体的表面积：S=(ab+ah+bh)x2（注意所求的面积是几个面的） 正方体的表面积：S=6a2面积和。（注意所求的面积是几个面的） 体积和容积单位意义及单位 1、物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2、容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 体积和容积的单位 1、体积单位：立方米、立方分米、立方厘米 2、容积单位：升、毫升 相邻体积单位间的进率 相邻体积单位间的进率为1000 单位换算法则： 高级体积单位×进率=低级体积单位 低级体积单位÷进率=高级体积单位 长方体和正方体的体积 1、长方体的体积：V=abh 2、正方体的体积：V=a3 3、通用公式：V=Sh 注意：容积的计算方法和体积的计算方法相同，但要从容器内部测量长、宽、高。 重难点一：包装纸盒问题 【例题】 用丝带捆扎一个长方体礼品盒，如右下图，打结用了40cm长的丝带。包扎这个礼品盒一共要用多长的丝带? 解析：10×2+15×2+8×4=122厘米 【变式】商店营业员用一根塑料带为顾客捆扎两个食品盒，每个食品盒的长、宽、高分别是15厘米、11厘米、4厘米，如右图那样捆扎一道并留下18厘米长为手提环，这样一共需要多少厘米长的塑料带？ 解析：营业员为顾客捆扎食品盒的塑料袋长度，可以看成是手提环长度与捆扎长度之和，整个图形的长为15厘米，宽为11厘米，高为:4×2=8(厘米)，15×2+11×2+8×4+18=102(厘米） 重难点二：切的问题 【例题】 一个正方体的表面积是48平方厘米，将它平均分成两个小长方体，每个小长方体的表面积是多少？   答案：48÷6+48÷2=32平方厘米 【变式】 一个正方体的表面积是96平方厘米，将它平均分成两个小长方体，每个小长方体的表面积是多少立方厘米？ 重难点三：拼的问题 【例题】 如图，把5个完全一样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是198平方厘米。求一个正方体的表面积。 答案：54平方厘米 【变式】 把两个棱长是5厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 答案：5×5×6×2-5×5×2=250平方厘米 重难点四：涂色类问题 （1）把一个涂色的大正方体平均分成若干个同样大的小正方体。有三个面涂色的小正方体都在大正方体( )的位置，都是( )个。有两个面涂色的小正方体都在大正方体( )的位置。个数都是( ）的倍数有一个面涂色的小正方体都在大正方体的（ ）的中心位置个数都是( )的倍数。 （2）如果用n表示把大正方体的棱平均分的份数，用a、b、c分别表示2面涂色、1面涂色和6面都不涂色的小正方体的个数，那么a= b= c= （3) 把一个外表面涂有黄色涂料的正方体木块平均分成若干个同样大的小正方体，至少分成（ ）个小正方体才会出现6个面都不涂色的小正方形。 答案：（1）顶点；8；棱；12；面；6 （2）12（n-2）；6（n-2）2 ；（n-2）×（n-2）×（n-2） （3）27 【例题】 下图是由27个小正方体拼成的大正方体，把它的表面全部涂成绿色。 （1）没有涂成绿色的小正方体有几个? （2） 一面涂成绿色的小正方体有几个? （3） 两面涂成绿色的小正方体有几个? （4）三面涂成绿色的小正方体有几个? 答案：（1）1个 （2）6个 （3）12个 （4）8个 【变式】 右图是由125块大小相同的小正方体拼成的大正方体模型。将其表面涂上红色。 三面涂色的有（ ）个，两面涂色的有（ ）个，一面涂色的有（ ）个，没有涂色的有( ）个。 答案：8，36，54，27 三面涂色的小正方体都在顶点处，一共有8个； 两面涂色的有:(5-2)x12=36(个)； 一面涂色的有:(5-2)x(5-2)x6=54 (个)； 没有涂色的有:(5-2)x(5-2)x(5-2)=27(个)； 重难点五：高的变化引起表面积的变化 【例题】 一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？   答案：正方体棱长：56÷4÷2=7(厘米) 7x7x6-56=294-56=238(平方厘米) 答:原来长方体的表面积是238平方厘米 【变式】 一个长方体，如果高减少2厘米就成了正方体，而且表面积要减少56平方厘米，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 答案：56÷4=14(平方厘米) 14÷2=7(厘米) 7+2=9(厘米) 7x7x2+7x9x4=350(平方厘米) 重难点六：已知体积求高 【例题】把60升水倒入一个长6分米宽2.5分米的长方体水箱内，正好倒满。这个水箱深多少分米？ 答案：60升=60立方分米 60÷（6×2.5）=60÷15=4（分米） 【变式题】把37.5升水倒入一个长5分米，宽3分米，高3.5分米的鱼缸里。这时水面离缸口还有多少分米？ 重难点七：熔铸锻造等体积转化问题 【例题】工人师傅把一个棱长6分米的正方体铁块，锻造成了一个长12分米、宽4.5分米的长方体零件。这个零件高多少分米? 答案：6×6×6÷12÷4.5=4（分米） 【变式】工人把3节长5米、宽2.4米、高2米的火车车厢中的沙子（沙子装满车厢）铺在一条长400米、宽3米的路上，沙子能铺多少厘米厚? 重难点八：运用转化法解决长方体问题 【例题】 一个封闭的长方体容器，里面装着水，它的长、宽、高分别是20厘米、20厘米、30厘米。红红不小心把容器碰倒了。 答案：20×20×15=6000立方厘米，6000÷（30×20）=10厘米 【变式】 有一个长50厘米，宽10厘米，高10厘米的全封闭容器，里面装了8厘米深的水，如果把容器竖起来，水面的高度是多少厘米？ 答案：50×10×8÷（10×10）=40厘米 重难点九：浸没问题 【例题】 在一个长15分米，宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水，如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么水箱中水深多少分米？ 答案：将正方体铁块放入水中，水面上升，上升部分水的体积与铁块的体积相等，所以水的体积等于30厘米=3分米，3×3×3=27立方米，求上升水的高度，用水的体积÷长÷宽，27÷12÷15=0.15分米 【变式1】 有一个小金鱼缸，长4分米，宽3分米，水深2分米。把一个小块假山石浸入水中后，水面上升了0.8分米，这块假山石的体积是多少立方分米？ 答案：上升水的体积和假山石的体积是相等的，要求假山石的体积即求上升水的体积=4×3×0.8（水上升的高度）=9.6立方分米 【变式2】 一个长方体容器的底面是一个边长60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米，底面边长18厘米的长方体铁块。这时容器里的水深0.5米。如果把铁块取出，容器里水深多少厘米? 答案：本题主要考查长方体体积的应用；长方体体积公式=长×宽×高，0.5×100=50厘米，根据题意可知，有0.5米高的铁块浸没在水中，所以浸没在水中铁块的体积是18×18×50=16200立方厘米，用浸没在水中的铁块的体积除以容器的底面积，就可以求出水面下降的高度，即16200÷（60×60）=4.5厘米，然后用0.5米减去下降的高度，就是铁块取出后容器里的水面高度。即50-4.5=45.5厘米。 1.一个长方体的长是1.2分米，宽是1分米，高是0.8分米，它的占地面积最大是（ ）平方分米，最小是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。 2.右图是由3个小正方体拼成的，每个小正方体的棱长都是1分米，这个图形的表面积是（ ）平方分米，体积是（ ）立方分米。 3.一个长方体的棱长总和是36厘米，从一个顶点出发的三条棱长的和是（ ）厘米。 4.一个长方体游泳池，长50米，宽20米，放满水之后可以感水3000计方米，这个游泳池深（ ）米，它的占地面积是（ ） 平方米。 5.(1)一个粉笔盒的体积约是0.6（ ）。 (2）一间客厅的地面面积约是30（ ） (3）一个金鱼缸的容积约是60（ ） (4)一节火车车厢的容积约是108（ ） 6.5900 dm3=（ ）m3 8.8L=（ ）dm3=（ ）cm3 6.03 m3=（ ）m3（ ）dm3 7.把一块体积是8立方分米的正方体钢坯锻造成横截面面积是2平方分米的长方体钢坯，这块长方体钢坯长（ ）厘米。 8.一个装满牛奶的长方体牛奶盒，长6厘米、宽4厘米、高12厘米。小明倒出一些牛奶后，盒中空出的部分如右图所示。小明倒出了（ ）毫升牛奶。 9.一个正方体纸盒的表面积是72平方分米，将纸盒切成两个完全一样的长方体 后，表面积增加了（ ）平方分米。 10.个表面涂色的正方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中两面涂色的小正方体有24个。原来正方体的体积是（ ）立方厘米。 三、判断题。(每题1分,共6分) 1.体积相等的两个长方体，它们的表面积一定相等。（ ） 2.长方体形状的橡皮泥捏成正方体后，它的表面积和体积都变了。（ ） 3.把一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，,它的体积扩大到原来的8倍。（ ） 4.长方体的底面积越大,它的体积就越大。（ ） 5.长方体相对的面完全相同，相邻的两个面也有可能完全相同。（ ） 6.如一个长方体和一个正方体的底面周长相等，高也相等，则表面积也相等。（ ） 四、选择题。 1.一个长方体有四个面的面积相等，则其余两个面是（ ）。 A.长方形 B.正方形 C.无法确定 2.把下图中左边正方体的表面展开，得到的展开图是（ ） 3.一个长方体的长、宽、高分别是a米、6 米、h米,如果高减少2米,长、宽不变,那么新的长方体体积比原来减少（ ）立方米。 A. 2ab B.2abh C.ab(h+2) D.4a+4b 4. 把一个长 10 厘米,宽8 厘米,高4 厘米的长方体切成两个相等的长方体，表面积最多增加（ ）平方厘米。 A.80 B.64 C.160 D.320 5.如果从前面和上面看到的图形都如右图所示，那么搭成这样一个立体图形最少要（ ）个小正方体。 A.7 B.6 C.5 五、按要求计算。 1.体和正方体的表面积与体积 2. 如图是一个长方体纸箱的平面展开图，这个纸箱的体积是多少立方分米? 3.下面是长方体表面展开图中的4个面，请你画出其余2 个面，使它成为长方体的一个完整的表面展开图。 六、解决问题。 1.一个无盖的长方体水箱，长2.5 分米,宽2分米,高3分米。做这样一个水箱至少要用多少平方分米的铁皮?这个水箱最多能盛多少千克水?(每升水重1千克)(4分) 2.一节通风管长1米，横截面是边长为2分米的正方形。做10 节这样的通风管至少需要多少平方分米的铁皮? 3.一根长方体木料，体积是0.084立方米,已知木料宽2分米,高3分米。这根木料长多少分米? 4.明明喜欢做陶艺,他从材料筐里拿出一块棱长是4 厘米的正方体泥块，拍打成一块宽10 厘米、厚5毫米的长方体泥板,这块泥板有多长?(损耗忽略不计) 5. 一个学习小组的四名同学观察并测量了一个长方体。 甲说:“如果高再增加2分米,它恰好是一个正方体。” 乙说:“长方体的前、后、左、右四个面的面积之和是96平方分米。”丙说:“它的底面周长是24分米。” 丁说:“这个长方体的棱长总和是64分米。” 若四人得到的数据都是正确的，你能筛选出必要的数据作为条件，求出这个长方体的体积吗? 6. 一个长方体形状的金鱼缸,底面长25厘米,宽20 厘米。缸中水面高12厘米，将一个长方体形状的铁块全部浸人水中后，水面上升到15厘米。已知这个长方体铁块的底面是边长为10 厘米的正方形，求铁块的高度。(水没有溢出)(6 分) 答案： 一、1、49 8000 0.81 1.8 0.001 0.09 6.2 1 0 2、x=10 x=5.8 二、1、1.2 0.8 0.96 2.、14 3 3、9 4、3 1000 5、(1)立方分米 (2)平方米(3)升 (4)立方米 6、5.9 8.8 8800 6 30 7、40 8、72 9、24 10、64 三、1×2.×3.√4.× 5.√ 6..× 四、1.B 2.D 3.A 4.C 5.B 五、1、(1)S长=(15x10+8x10+15x8)x2-700(cm2) V长-15x10x8=1200(cm3) (2)S长=6x6x2+6x15x4=432(dm2) V长-6x6x15-540(dm3) (3)S正=12x12x6=864(m2) V正=12x12x12=1728(m) 2、14÷2-5-2(分米) 5x3x2-30(立方分米) 3、图略，答案不唯一 六、1、2.5x2+(2.5x3+2x3)x2-32(平方分米) 2.5x2x3-15(立方分米)=15升1x15=15(千克) 2、1米=10分米 2x4x10x10=800(平方分米) 3、0.084 立方米=84立方分米 84-2-3-14(分米) 4、5毫米 =0.5厘米 4x4x4+(10X0.5)=12.8(厘米) 5、 长、宽:24÷4=6(分米) 高:6-2-4(分米)体积:6x6x 4=144(立方分米) 6、25x20x(15-12)-(10x10)-=15(厘米) 学科网（北京）股份有限公司 $$