精品解析：山东省烟台市牟平区（五四制）2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题

2023—2024学年度第二学期期末质量检测 初二数学试题 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（本题共12个小题，每小题3分，满分36分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，该三角形的内角和为 B. 地球绕着太阳公转 C. 成语“水中捞月”所描述的事件 D. 一次抽奖活动的中奖概率为，抽奖20次中奖1次 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是必然事件、随机事件和不可能事件的概念，根据事件发生概率的可能性大小来确定答案． 【详解】解：A. 任意画一个三角形，该三角形的内角和为，是必然事件，故本选项不符合题意 B. 地球绕着太阳公转，是必然事件，故本选项不符合题意 C. 成语“水中捞月”所描述的事件，是不可能事件，故本选项不符合题意； D. 一次抽奖活动的中奖概率为，抽奖20次中奖1次，是随机事件，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 下列命题的逆命题正确的是（ ） A. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 等边三角形是等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与逆命题，以及命题的真假,线段垂直平分线的性质与判定，刀刀见血，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，根据选项写出原命题的逆命题，判断真假即可． 【详解】解：A. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题为：到条线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上，是真命题，故该选项符合题意； B. 对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，故该选项不符合题意； C. 全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等三角形是全等三角形，是假命题，故该选项不符合题意； D. 等边三角形是等腰三角形的逆命题为：等腰三角形是等边三角形，是假命题，故该选项不符合题意； 故选：A． 3. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，则，根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：得，则， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的性质，注意：当不等式两边同时乘以一个负数，则不等式的符号需要改变． 4. 下面是小明想出画一条直线的平行线的方法，这种画法的依据是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 同位角相等，两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定条件，理解并掌握平行线的判定条件是解题关键．平行线的判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据题意，结合平行线的判定条件，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选：D． 5. 已知一次函数与，如果，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式组，将与，代入不等式，然后解不等式组即可． 【详解】解：∵， ∴ 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 故选：A． 6. 在中，已知两个内角的度数如下，则能判断为等腰三角形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理． 【详解】解：A. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意； B. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意； C. ∵， ∴， ∴， ∴，则为等腰三角形，故该选项正确，符合题意； D. ∵， ∴，不能判断为等腰三角形，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 7. 关于的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，然后对比数轴求解即可． 【详解】解：解得， 由数轴得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】题目主要考查求不等式的解集及参数，熟练掌握求不等式解集的方法是解题关键． 8. 从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和．若点的坐标记作，则点在直线上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查随机事件的概率，一次函数的性质，先求出点的坐标的所有情况的个数，然后求出其中在直线上的坐标的个数，根据随机事件概率的计算方法，即可得到答案． 【详解】解：从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，点的坐标共有6种情况：，，，，，，并且它们出现的可能性相等． 点坐标在直线上有2种情况: ，． 所以，这个事件的概率为． 故选：C． 9. 已知不等式组的解集是，则（　　） A. 0 B. C. 1 D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出、的值，代入计算可得．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 解集为， ，， 解得，， 则． 故选：C． 10. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系． 11. 指示标志在生活中随处可见，无论是带箭头还是没有箭头，导向标志总是给人们的日常生活带来便利．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理．分别延长，交，于点，，过点作，则，利用三角形的内角和运算出和的度数后，通过平行线的性质即可得出结果． 【详解】分别延长，交，于点，，过点作，则，如图所示： ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 12. 甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ） A. 8:28 B. 8:30 C. 8:32 D. 8:35 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，将两个解析式联立，通过解方程求出交点的横坐标即可． 【详解】解：令小亮出发时对应的t值为0，小莹出发时对应的t值为10，则小亮到达乙地时对应的t值为70，小莹到达甲地时对应的t值为40， 设小亮对应函数图象的解析式为， 将代入解析式得，解得， 小亮对应函数图象的解析式为， 设小莹对应函数图象的解析式为， 将，代入解析式，得， 解得， 小莹对应函数图象的解析式为， 令，得， 解得， 小亮与小莹相遇的时刻为8:28． 故选A． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，熟练运用数形结合思想． 二．填空题（每题3分，共18分） 13. 若26个英文字母中元音字母有、、、、，，则在单词（多项式）中任意选择一个字母恰好为元音字母的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式进行计算，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：∵单词（数学）中共有10个字母，元音字母、、、、中出现了4次， ∴任意选择一个字母，字母为元音字母、、、、的概率是． 故答案为：． 14. 关于的不等式组有4个整数解，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解不等式组，根据不等式组有4个整数解得出关于的不等式组，进而可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， ∵关于的不等式组有4个整数解， ∴这4个整数解为，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，，点在上，，为内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】首先利用垂直平分线的性质得到，利用角平分线，求出，再在中用勾股定理求出，最后利用角平分线的性质求解即可． 【详解】如图所示， 由尺规作图痕迹可得，是的垂直平分线， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 由尺规作图痕迹可得，是的平分线， ∴点到的距离等于点P到的距离，即的长度， ∴点到的距离为1． 故答案为：1 ． 【点睛】本题考查角平分线和垂直平分线的性质，勾股定理，数形结合思想是关键． 16. 如图，点、、在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理三角形，全等的判定和性质，三角形三边关系，①过点作于点，根据平行线间的距离相等可得，得出，根据中，为斜边，为直角边，得出，即可判断①；②根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理得出，根据三角形三边关系得出，即可得出，判断②；③证明，根据勾股定理得出，求出，根据，得出，即可得出，判断③，④． 【详解】解：①过点作于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵在中，为斜边，为直角边， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即，故③正确； ∵ ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 17. 折纸能锻炼人的综合协调能力，包括手、眼和大脑． 如图，纸艺社团的小凡拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿 折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现， 则的度数是__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，理解并掌握折叠后对应的角相等，角的互补关系，直角三角形两锐角互余等知识是解题的关键． 根据折叠可得，，由与互补可得，从而求出的度数，在中根据直角三角形两锐角互余可得的度数，由对顶角相等可得的度数，最后再由折叠的性质得，由此即可求解． 【详解】解：将纸片沿  折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 故答案为： ． 18. 如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线OM上，点B1、B2、B3、…在射线ON上，△A1B1B2、△A2B2B3、△A3B3B4、…均为等边三角形，若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为_____． 【答案】128 【解析】 【分析】根据题意易得，，则有，进而可得，同理可得，依此规律可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，OB1＝1， ∴， ∵∠MON=30°， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，，……； ∴， ∴△A8B8B9的边长为：； 故答案为128． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 三．解答题（满分66分） 19. （1）解二元一次方程组： （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）（2）原不等式组无解，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集； （1）设，则原方程组可化为进而根据加减消元得出，即可求解． （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1） 设 原方程组可化为 得 解得：， 将代入①得，， 解得：， ∴， 得，， 解得：， 将代入①得， 解得： （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴不等式组的解集无解 在数轴上表示如图， 20. 如图，、两点分别在的、边上，与分别与相交于、两点，且，，，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据得出，进而根据平行线的性质得出，，根据已知进而得出，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ， ． ， 21. 已知：如图，点在的边上． 求作：射线，使，且点在的平分线上． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，． ②分别以点，为圆心．大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点． ③画射线． ④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点． ⑤画射线． 射线即为所求． （1）用尺规作图，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）根据以上作图过程，试证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作尺规作图—作角平分线和相等线段，等边对等角，平行线的判定等知识， （1）根据题意用尺规作图，依作法补全图形即可； （2）由平分推导，由推导，从而推出，继而利用“内错角相等，两直线平行”判定． 【小问1详解】 根据意义作图如下：射线即为所求作的射线． 【小问2详解】 证明：平分， ， ， ， ． ． 22. 已知方程组 （1）求使它的解满足的a的取值范围． （2）求使不等式成立的最小正整数a的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）再除以5即可得出，得出不等式，求出不等式的解集即可； （2即可得出，得出不等式，求出不等式的解集即可得． 【小问1详解】 ， 得：， ， ∵， ∴， ∴， 即使它的解满足的a的取值范围是； 【小问2详解】 ， 得：， ∵， ∴， ∴， ∴使不等式成立的最小正整数a的值为1． 【点睛】本题考查了解二次一次方程组，解一元一次不等式的应用，根据题意得出关于a的不等式是解题的关键． 23. 在一个不透明的盒子中有四根长度分别为2cm，6cm，8cm和10cm的细塑料棒，小明手中有一根长度为6cm的细塑料棒，现随机从盒子中取出两根细塑料棒与小明手中的细塑料棒放在一起，回答下列问题： （1）求这三根细塑料棒能构成三角形的概率； （2）求这三根细塑料棒能构成直角三角形的概率； （3）求这三根细塑料棒能构成等腰三角形的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了用列举法或枚举法求概率，构成三角形的条件，勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义； （1）首先用枚举法列举所有情况，再根据三角形的三边关系判断能否构成三角形， （2）由（1）可知所有可能情况，再找到在构成直角三角形三角形的情况数即可求出其概率； （3）由（1）可知所有可能情况，再找等腰三角形的情况有几种即可分别求出概率． 【小问1详解】 解：从四根细塑料棒中取两根细塑料棒的所有可能情况为：、、、、、共有6种情况． 其中能构成三角形有：、、、共有4种． 故； 【小问2详解】 从四根细塑料棒中取两根细塑料棒的所有可能情况为：、、、、、共有6种情况． 其中能构成直角三角形有：共有1种． 故； 【小问3详解】 从四根细塑料棒中取两根细塑料棒的所有可能情况为：、、、、、共有6种情况． 其中能构成等腰三角形有：、、共有3种． 故． 24. 某物流公司的经营理念是“智慧引领行业，创新创造价值”．该物流公司在向灾区运送捐赠物资时，调度员发现用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨． （1）求辆型车和辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）该物流公司现有吨物资需要运往灾区，计划同时租用型车辆，型车辆（每种车辆至少辆），一次运完且恰好每辆车都装满货物，请问调度员有哪几种租车方案？ 【答案】（1）辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨 （2）共有种租车方案，方案一：租用型车辆，型车辆；方案二：租用型车辆，型车辆；方案三：租用型车辆，型车辆 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用， （1）设辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得：，进而根据圴为正整数，求得整数解，即可求解． 【小问1详解】 解：设辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨． 根据题意得： 解得： 辆型车装满货物一次可运货吨，辆型车装满货物一次可运货吨； 【小问2详解】 根据题意得： ，圴为正整数， 或或 共有种租车方案，方案一：租用型车辆，型车辆； 方案二：租用型车辆，型车辆 方案三：租用型车辆，型车辆 25. 如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． （1）求证：； （2）若，时，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由求出，然后利用证明，可得，再由等边对等角得出结论； （2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点E作于F， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键． 26. 某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元） （1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由． （2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价． （3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）活动一更合算 （2）400元 （3）当或时，活动二更合算 【解析】 【分析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可； （2）设这种健身器材的原价是元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可； （3）由题意得活动一所需付款为元，活动二当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，当时，所需付款为元，然后根据题意列出不等式即可求解． 【小问1详解】 解：购买一件原价为450元的健身器材时， 活动一需付款：元，活动二需付款：元， ∴活动一更合算； 【小问2详解】 设这种健身器材的原价是元， 则， 解得， 答：这种健身器材的原价是400元， 【小问3详解】 这种健身器材的原价为a元， 则活动一所需付款为：元， 活动二当时，所需付款为：元， 当时，所需付款为：元， 当时，所需付款为：元， ①当时，，此时无论为何值，都是活动一更合算，不符合题意， ②当时，，解得， 即：当时，活动二更合算， ③当时，，解得， 即：当时，活动二更合算， 综上：当或时，活动二更合算． 【点睛】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期期末质量检测 初二数学试题 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（本题共12个小题，每小题3分，满分36分．每小题都给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，该三角形的内角和为 B. 地球绕着太阳公转 C. 成语“水中捞月”所描述的事件 D. 一次抽奖活动的中奖概率为，抽奖20次中奖1次 2. 下列命题的逆命题正确的是（ ） A. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 B. 对顶角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 等边三角形是等腰三角形 3. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下面是小明想出画一条直线的平行线的方法，这种画法的依据是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 同位角相等，两直线平行 5. 已知一次函数与，如果，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知两个内角的度数如下，则能判断为等腰三角形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 关于的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8. 从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和．若点的坐标记作，则点在直线上的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知不等式组的解集是，则（　　） A. 0 B. C. 1 D. 2024 10. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 11. 指示标志在生活中随处可见，无论是带箭头还是没有箭头，导向标志总是给人们的日常生活带来便利．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（ ） A. B. C. D. 12. 甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（ ） A. 8:28 B. 8:30 C. 8:32 D. 8:35 二．填空题（每题3分，共18分） 13. 若26个英文字母中元音字母有、、、、，，则在单词（多项式）中任意选择一个字母恰好为元音字母的概率是_________． 14. 关于的不等式组有4个整数解，则实数的取值范围是_________． 15. 如图，，点在上，，为内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为___________． 16. 如图，点、、在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 17. 折纸能锻炼人的综合协调能力，包括手、眼和大脑． 如图，纸艺社团的小凡拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿 折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现， 则的度数是__________． 18. 如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线OM上，点B1、B2、B3、…在射线ON上，△A1B1B2、△A2B2B3、△A3B3B4、…均为等边三角形，若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为_____． 三．解答题（满分66分） 19. （1）解二元一次方程组： （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 20. 如图，、两点分别在的、边上，与分别与相交于、两点，且，，，．求的度数． 21. 已知：如图，点在的边上． 求作：射线，使，且点在的平分线上． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，． ②分别以点，为圆心．大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点． ③画射线． ④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点． ⑤画射线． 射线即为所求． （1）用尺规作图，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）根据以上作图过程，试证明． 22. 已知方程组 （1）求使它的解满足的a的取值范围． （2）求使不等式成立的最小正整数a的值． 23. 在一个不透明的盒子中有四根长度分别为2cm，6cm，8cm和10cm的细塑料棒，小明手中有一根长度为6cm的细塑料棒，现随机从盒子中取出两根细塑料棒与小明手中的细塑料棒放在一起，回答下列问题： （1）求这三根细塑料棒能构成三角形的概率； （2）求这三根细塑料棒能构成直角三角形的概率； （3）求这三根细塑料棒能构成等腰三角形的概率． 24. 某物流公司的经营理念是“智慧引领行业，创新创造价值”．该物流公司在向灾区运送捐赠物资时，调度员发现用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨． （1）求辆型车和辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）该物流公司现有吨物资需要运往灾区，计划同时租用型车辆，型车辆（每种车辆至少辆），一次运完且恰好每辆车都装满货物，请问调度员有哪几种租车方案？ 25. 如图，在四边形中，点E是边上一点，且，． （1）求证：； （2）若，时，求的面积． 26. 某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种． 活动一：所购商品按原价打八折； 活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元） （1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由． （2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价． （3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $