第03讲 比例线段（第2课时）（十一大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第03讲 比例线段（第2课时）（十一大题型） 学习目标 1、学会自主运用一元二次方程的解法在比例线段中的应用推出黄金分割数； 2、会解有关黄金分割的题； 3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点。 一、知识引入 例题 如图24—9,已知线段AB的长度是l,点P是线段AB上的一点，,求线段AP的长 . 图24-9 解 设线段AP 的长为x, 那么线段PB的长为l-x.,得到关于x的方程 即 x²+lx-l²=0. 解得 因为 , (舍去), 所以，线段AP的长是 在比例式 中，两个内项都是线段AP, 这时线段 AP称为线段AB与PB的比例中项. 如果点P把线段AB分割成AP和PB(AP>PB)两段(如图24 - 9),其中AP是AB和P的比例中项，那么称这种分割为黄金分割(golden section),点P称为线段AB的黄金分割点. AP与 AB的比值 称为黄金分割数(简称黄金数).黄金分割数是一个无理数，在应用时常取它的近似值0.618. 【即学即练1】 已知线段，C为线段AB的黄金分割点，则 ． 【即学即练2】 若线段长为，是的黄金分割点且，则线段 ． 【即学即练3】 已知，点P、Q是线段的两个黄金分割点，若，则的长是 ． 二、作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 温馨提示： 一条线段的黄金分割点有两个. 【即学即练1】 已知线段，试用尺规作图画出线段的黄金分割点C，使得，保留作图痕迹，不写作法． 题型1：解黄金数（比）、证黄金分割点[学生自主利用一元二次方程的解法求黄金分割数] 【典例1】．如图，点是线段的黄金分割点，计算线段的黄金比的值．    【典例2】．已知线段，在上有一点A，如果，求证：点A是的黄金分割点. 题型2：已知全线段，求较长线段 【典例3】．已知是线段的黄金分割点，，若，则的长为 ．（结果保留根号） 【典例4】．如果P是线段的黄金分割点，，那么较长线段的长是 ． 【典例5】．点C是线段的黄金分割点（），若，则 题型3：已知全线段，求较短线段的长 【典例6】．已知点是线段的黄金分割点，且，，则 ． 【典例7】．如图，C为线段的黄金分割点，，并且，则 ． 【典例8】．已知点P是线段AB上的黄金分割点，，，那么 ． 题型4：已知较长线段或较短线段，求全线段的长 【典例9】．已知点是线段上的黄金分割点，，，那么 ． 【典例10】．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，如果AP1，那么AB＝ ． 题型5：分类讨论较长线段和较短线段的长 【典例11】．已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点，则AP的长为 ． 题型6：由比例中项转化为黄金分割问题解决 【典例12】．已知点是线段上的一点，且，如果，那么的长是 ． 【典例13】．已知线段，点在线段上，且，那么线段的长 ． 题型7：两个黄金分割点问题 【典例14】．已知，点P、Q是线段的两个黄金分割点，若，则的长是 ． 【典例15】．已知线段MN的长是20cm，点P、Q都是线段MN的黄金分割点，则点P、Q之间的距离是 cm． 【典例16】．已知线段是线段的黄金分割点，则 ． 题型8：黄金分割的实际应用 【典例17】．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，她至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号）    【典例18】．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，,点P为的黄金分割点（），那么的长度为 ． 【典例19】．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　）    A． B． C． D． 题型9：有关黄金分割的式子综合辨析 【典例20】．如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【典例21】．已知M是线段上的黄金分割点，且．那么下列各项正确的是（    ） A． B． C． D．是与的比例中项 【典例22】．已知点C把线段黄金分割，且，那么下列等式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例23】．已知点C是线段AB上的一个点，且满足,则下列式子成立的是……（ ） A．； B．； C．； D． 【典例24】．点是线段的黄金分割点，且，则下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 题型10：黄金分割的几何应用 【典例25】．如图，以线段为边作正方形，取的中点E，连接，延长至F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点．若记矩形的面积为，正方形的面积为，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【典例26】．新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点E、F分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在CD边上，点A的对应点为，过点E作于点G，当矩形也是黄金矩形（）时，则（    ） A． B． C． D． 【典例27】．如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（    ） A． B． C． D． 【典例28】．如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且． (1)以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　； (2)如图1，设，请你说明为什么k约为； (3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由； (4)图3中的的黄金分割线有几条？ 一、单选题 1．如图，若点D是线段的黄金分割点（），，则的长是（    ） A．3 B． C． D． 2．已知点是线段的一个黄金分割点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如果点P把线段分割成和两段，下列数据能构成点P为线段黄金分割点的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列各式不正确的是（   ） A．AP：BP=AB：AP B． C． D． 5．黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（    ） A． B． C． D． 6．点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 7．点C是线段的黄金分割点（），若，则 8．已知点是线段的黄金分割点，且，，则 ． 9．点是线段上的一点，如果，，那么 ． 10．如图，若点，是线段的黄金分割点，，则的长度是 ． 11．已知线段，点P是它的黄金分割点，则的长为 ． 12．已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为 ． 13．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比）．如图，B为的黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 14．如图是意大利著名画家达・芬奇（年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形内，图中四边形为正方形．已知点为线段的黄金分割点，且，．则 ． 15．如图所示，C是线段的黄金分割点，，D，E分别是，的中点．    （1）C也是线段 的黄金分割点； （2）若线段的长为，线段 （结果不求近似值）． 16．如图①，点在线段上，若满足（即），则称点为线段的黄金分割点，每条线段都有两个黄金分割点，如图②，已知点都是线段的黄金分割点，若，则的长是 ． 17．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯系统研究了黄金分割，其定义为：如图①，点C将线段分成两部分（），若，则称点C为线段的黄金分割点．如图②，在中，点D是边的黄金分割点（），且．若，则的长为 ． 18．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号： ． 三、解答题 19．如图，点是线段的黄金分割点，计算线段的黄金比的值．    20．已知线段的长度为，点P在线段上，，求线段的长． 21．某校要设计一座高的雕像（如图），使雕像的点（肚脐）为线段（全身）的黄金分割点，上部（肚脐以上）与下部（肚脐以下）的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为多少（结果精确到）米． （，结果精确到）． 22．已知点C在线段AB上，且满足． (1)若AB=1，求AC的长； (2)若AC比BC大2，求AB的长． 23．如果一个矩形的宽长之比时，则称这个矩形是黄金矩形，如图所示，四边形是黄金矩形且，将矩形剪裁掉一个正方形后，剩余的四边形是否是黄金矩形？请说明理由. 24．中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线． (1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点； (2)若，求的面积．（结果保留根号） 25．在中，，，把像这样的三角形叫做黄金三角形． (1)请你设计三种不同的分法，将黄金三角形分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中） 注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法． (2)如图4中，平分交于，取的中点，连接并延长交的延长线于．试判断与之间的数量关系？只需说明结果，不用证明． 答：与之间的数量关系是　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 比例线段（第2课时）（十一大题型） 学习目标 1、学会自主运用一元二次方程的解法在比例线段中的应用推出黄金分割数； 2、会解有关黄金分割的题； 3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点。 一、知识引入 例题 如图24—9,已知线段AB的长度是l,点P是线段AB上的一点，,求线段AP的长 . 图24-9 解 设线段AP 的长为x, 那么线段PB的长为l-x.,得到关于x的方程 即 x²+lx-l²=0. 解得 因为 , (舍去), 所以，线段AP的长是 在比例式 中，两个内项都是线段AP, 这时线段 AP称为线段AB与PB的比例中项. 如果点P把线段AB分割成AP和PB(AP>PB)两段(如图24 - 9),其中AP是AB和P的比例中项，那么称这种分割为黄金分割(golden section),点P称为线段AB的黄金分割点. AP与 AB的比值 称为黄金分割数(简称黄金数).黄金分割数是一个无理数，在应用时常取它的近似值0.618. 【即学即练1】 已知线段，C为线段AB的黄金分割点，则 ． 【答案】cm 【分析】利用黄金分割的定义计算即可． 【解析】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC， ∴ ∴cm， 故答案为：cm． 【点睛】本题考查了黄金分割点的定义，若C为线段AB的黄金分割点，则，熟练应用黄金分割的性质列出方程是解题的关键． 【即学即练2】 若线段长为，是的黄金分割点且，则线段 ． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割的概念及得到，从而求出的长，再根据进行计算即可得到答案． 【解析】解：是的黄金分割点且， ， 线段长为， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割，一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这个点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的倍． 【即学即练3】 已知，点P、Q是线段的两个黄金分割点，若，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】先由黄金分割的比值求出，再由进行计算即可． 【解析】解：如图，点、是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，熟记黄金比是解题的关键． 二、作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 温馨提示： 一条线段的黄金分割点有两个. 【即学即练1】 已知线段，试用尺规作图画出线段的黄金分割点C，使得，保留作图痕迹，不写作法． 【答案】见解析 【分析】先作线段的垂直平分线得到的中点O，过点B作的垂线，再在上截取，连接，在上截取，然后在上截取，则点C满足条件． 【解析】解：如图，点C为所作． 理由：设， 由垂直平分线的性质可得，， 由作图可知，则， ∵， ∴∠ABD=90° ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即线段的黄金分割点为C． 【点睛】此题考查了黄金分割点、垂直平分线的作图和性质、勾股定理、二次根式的运算等知识，准确作图是解题的关键． 题型1：解黄金数（比）、证黄金分割点[学生自主利用一元二次方程的解法求黄金分割数] 【典例1】．如图，点是线段的黄金分割点，计算线段的黄金比的值．    【答案】黄金比为． 【分析】本题考查的是黄金分割的含义，本题设线段，较长的线段的长为，结合图形可得，结合黄金分割点的含义建立方程求解即可. 【解析】解：设线段，较长的线段的长为，结合图形可得， 是线段的黄金分割点， ，即， 解得：（舍去负值）， ， 答：黄金比为． 【典例2】．已知线段，在上有一点A，如果，求证：点A是的黄金分割点. 【答案】见解析 【分析】先求得，即可得到，结论得证． 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴点A是的黄金分割点． 【点睛】解答本题的关键是应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的． 题型2：已知全线段，求较长线段 【典例3】．已知是线段的黄金分割点，，若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】利用黄金分割比的定义求解即可． 【解析】由题意得：， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键． 【典例4】．如果P是线段的黄金分割点，，那么较长线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比． 根据黄金分割的定义解答． 【解析】解：设， 根据题意列方程得，， 即， 解得(负值舍去)． 故答案为：． 【典例5】．点C是线段的黄金分割点（），若，则 【答案】/ 【分析】此题考查黄金分割，根据黄金分割的概念把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割． 【解析】解：由题意得：， ∵，， ∴， 解得：，负值已舍去． 故答案为． 题型3：已知全线段，求较短线段的长 【典例6】．已知点是线段的黄金分割点，且，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，掌握黄金分割的概念、黄金比值为是解题的关键．根据黄金比值为计算即可． 【解析】解：点是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 【典例7】．如图，C为线段的黄金分割点，，并且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，先根据黄金分割的定义得出，然后求出，再求出结果即可． 【解析】解：∵点C为线段的黄金分割点，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例8】．已知点P是线段AB上的黄金分割点，，，那么 ． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可求解． 【解析】解：∵P为线段AB的黄金分割点，且， 则，即， ∴ ∴ 故答案为 【点睛】本题考查黄金分割的概念，熟练掌握把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割是解题的关键． 题型4：已知较长线段或较短线段，求全线段的长 【典例9】．已知点是线段上的黄金分割点，，，那么 ． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值是计算即可． 【解析】解：点是线段上的黄金分割点，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割是解答本题的关键． 【典例10】．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，如果AP1，那么AB＝ ． 【答案】2 【分析】根据黄金分割的定义可得，进而即可求解． 【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP， ∴， ∵AP1， ∴AB=2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查黄金分割的定义，掌握黄金分割点与黄金比的关系是解题的关键． 题型5：分类讨论较长线段和较短线段的长 【典例11】．已知线段AB＝4，点P是线段AB的黄金分割点，则AP的长为 ． 【答案】或 【分析】根据题意代入数据，分两种情况即可得出AP的长． 【解析】解：当AP＞BP时， ， 当AP＜BP时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段与全线段的比等于较短线段与较长线段的比，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比；熟记黄金分割的公式：较长的线段=原线段的是解题关键．注意有两种情况． 题型6：由比例中项转化为黄金分割问题解决 【典例12】．已知点是线段上的一点，且，如果，那么的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意，列出方程解题即可． 【解析】解：设的距离为，则， 根据题意列方式： ， ， 整理得： ， ， 根据求根公式， 解出，（舍去）． 故答案为：． 【典例13】．已知线段，点在线段上，且，那么线段的长 ． 【答案】/ 【解析】根据黄金分割的定义得到点是线段的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案． 【解答】解：∵， 点是线段的黄金分割点，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键． 题型7：两个黄金分割点问题 【典例14】．已知，点P、Q是线段的两个黄金分割点，若，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】先由黄金分割的比值求出，再由进行计算即可． 【解析】解：如图，点、是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，熟记黄金比是解题的关键． 【典例15】．已知线段MN的长是20cm，点P、Q都是线段MN的黄金分割点，则点P、Q之间的距离是 cm． 【答案】/ 【分析】设 ，则 ，根据题意得： ，可求出 ，从而得到，同理可得，即可求解． 【解析】解：如图，设 ，则 ， 根据题意得： ，解得： ， 即 ， 则 ， 同理 ， 所以点P、Q之间的距离是 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了黄金分割的知识，属于基础题，熟练掌握黄金分割的定义：C是AB上一点，且AC：AB=BC：AC，那么C点就是AB黄金分割点是解题的关键． 【典例16】．已知线段是线段的黄金分割点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要是考查了黄金分割点的概念，根据黄金分割点的概念解答即可，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系是解题的关键． 【解析】根据黄金分割点的概念，可知， 则， 故答案为：． 题型8：黄金分割的实际应用 【典例17】．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，她至少走 米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号）    【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的概念，可求出，即可求解． 【解析】解：由题意知米， ∴， ， 米， 故主持人从舞台一侧点进入，则他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上， 故答案为：． 【典例18】．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，,点P为的黄金分割点（），那么的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解析】解：∵点P为的黄金分割点（），， ∴， ∴故答案为：． 【典例19】．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查线段成比例．黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，用分数表示为，由此即可求解． 【解析】解：弦，点是靠近点的黄金分割点，设，则， ∴，解方程得，， 点是靠近点的黄金分割点，设，则， ∴，解方程得，， ∴之间的距离为， 故选：B． 题型9：有关黄金分割的式子综合辨析 【典例20】．如图，点是线段的黄金分割点，下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割点：线段上一点分线段对应成比例，且短比长等于长比全，等于，则这个点叫做线段的黄金分割点，据此进行判断即可． 【解析】解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∴， 故错误的是选项B， 故选B． 【典例21】．已知M是线段上的黄金分割点，且．那么下列各项正确的是（    ） A． B． C． D．是与的比例中项 【答案】A 【分析】本题主要考查黄金分割点的定义，把一条线分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比等于即可得到答案． 【解析】解：由于M是线段上的黄金分割点， ， 故选项A正确，选项B、C错误； 由比例中项定义可知，选项D错误． 故选A． 【典例22】．已知点C把线段黄金分割，且，那么下列等式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，难度适中． 根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，从而得出答案． 【解析】解：∵点C把线段黄金分割，且， ∴， ∴． 故选：B． 【典例23】．已知点C是线段AB上的一个点，且满足,则下列式子成立的是……（ ） A．；B．； C．； D． 【答案】B 【解析】试题分析：把AB当作已知数求出AC，求出BC，再分别求出各个比值，根据结果判断即可． AC2=BC•AB， AC2-BC•AB=0， AC2-（AB-AC）AB=0， AC2+AB•AC-AB2=0， AC=， ∵边长为正值， ∴AC=AB，BC=AB-AC=， ∴ , 即选项A、C、D错误，只有选项B正确； 故选B． 考点：黄金分割. 【典例24】．点是线段的黄金分割点，且，则下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点是线段的黄金分割点，且，则，即可． 【解析】∵点是线段的黄金分割点，且 ∴ ∴ ∴A、B、C等式成立，D等式不成立 故选：D． 【点睛】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金比例的公式． 题型10：黄金分割的几何应用 【典例25】．如图，以线段为边作正方形，取的中点E，连接，延长至F，使得，以为边作正方形，则点H即是线段的黄金分割点．若记矩形的面积为，正方形的面积为，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、黄金分割点等知识点，利用黄金分割点的定义得到是解答本题的关键．先根据H是的黄金分割点求出，得出． 【解析】解：∵点H即是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【典例26】．新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点E、F分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在CD边上，点A的对应点为，过点E作于点G，当矩形也是黄金矩形（）时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查黄金比，矩形与折叠，勾股定理． 连接，根据黄金矩形的定义设，，则，证明得到，从而，设，则 ，在中，根据构造方程，求解得到，从而． 【解析】连接， ∵矩形是黄金矩形，，， ∴设，， ∵矩形是黄金矩形，， ∴， ∴， ∵四边形是四边形翻折得到， ∴，， ， ∴， ∵在矩形中，， 又 ∴， ∴， ∴， 设，则 ， ∵在中，， ∴ 解得：， ∴， ∴． 故选：D 【典例27】．如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金三角形，规律型等知识； 由黄金三角形的定义得，同理求出，，可得第1个黄金三角形的腰长为，第2个黄金三角形的腰长是，第3个黄金三角形的腰长是，第4个黄金三角形的腰长是，得出规律第n个黄金三角形的腰长是，即可得出答案． 【解析】解：∵是第1个黄金三角形，第1个黄金三角形的腰长为， ∴， ， ∵是第2个黄金三角形， ∴，第2个黄金三角形的腰长是， ， ∵是第3个黄金三角形， ∴，第3个黄金三角形的腰长是， ， ∴第4个黄金三角形的腰长是， … 第n个黄金三角形的腰长是， 第2024个黄金三角形的腰长是， 故选：A． 【典例28】．如图1，点P将线段分成一条较小线段和一条较大线段，如果，那么称点P为线段的黄金分割点，设，则k就是黄金比，并且． (1)以图1中的为底，为腰得到等腰（如图2），等腰即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　； (2)如图1，设，请你说明为什么k约为； (3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为和面积为的两部分（设），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段的黄金分割点，那么直线是的黄金分割线吗？请说明理由； (4)图3中的的黄金分割线有几条？ 【答案】(1)满足的矩形是黄金矩形 (2)见解析 (3)直线是的黄金分割线，理由见解析 (4)无数条 【分析】（1）仿照题意进行定义即可； （2）（3）根据线段黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析； （4）根据（2）中的结论，得到这样的直线有无数条． 【解析】（1）解：由题意得，满足的矩形是黄金矩形， 故答案为：满足的矩形是黄金矩形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）； （3）解：直线是的黄金分割线，理由如下： ∵点P是线段的黄金分割点， ∴， 设的边上的高为h，则 ， ∴ ∴直线是的黄金分割线． （4）解：由（2）知，在边上也存在这样的黄金分割点Q，则也是黄金分割线，设与交于点W，则过点W的直线均是的黄金分割线，故黄金分割线有无数条． 【点睛】本题主要考查了黄金分割图形，正确理解题意是解题的关键． 一、单选题 1．如图，若点D是线段的黄金分割点（），，则的长是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义可得，即可求解． 【解析】解：∵点D是线段的黄金分割点（），， ∴． 故选：D 2．已知点是线段的一个黄金分割点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的比值是解题的关键，其中．根据黄金比是求出的长，即可得出答案． 【解析】解：∵点是线段的一个黄金分割点， ∴， ∴， 故选：B． 3．如果点P把线段分割成和两段，下列数据能构成点P为线段黄金分割点的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据黄金分割的定义判断即可． 【解析】∵点P把线段分割成和两段， ∴，即， ∴， A、∵，， ∴， 故A项错误； B、∵，， ∴，故B项错误； C、∵，， ∴，故C项错误； D、∵，， ∴，故D项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了黄金分割，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割，记住定义是解题的关键． 4．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列各式不正确的是（   ） A．AP：BP=AB：AP B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据黄金分割的概念排除选项即可． 【解析】由题意得： AP：BP=AB：AP，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，，故D正确． 故选C． 【点睛】本题主要考查黄金分割点，熟记黄金分割点的概念是解题的关键． 5．黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的有关计算，根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可得到答案． 【解析】解：点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故选：C． 6．点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割比，牢记黄金分割比是解题的关键．根据黄金分割比为求解即可． 【解析】解：∵是线段的黄金分割点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选B 二、填空题 7．点C是线段的黄金分割点（），若，则 【答案】/ 【分析】此题考查黄金分割，根据黄金分割的概念把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割． 【解析】解：由题意得：， ∵，， ∴， 解得：，负值已舍去． 故答案为． 8．已知点是线段的黄金分割点，且，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，掌握黄金分割的概念、黄金比值为是解题的关键．根据黄金比值为计算即可． 【解析】解：点是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 9．点是线段上的一点，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，由题意得出点是的黄金分割点，得到，结合，，代入计算即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴点是的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．如图，若点，是线段的黄金分割点，，则的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正确理解黄金分割的定义是解答本题的关键，根据黄金分割的定义，分别求得和的长，再根据，即可求得答案． 【解析】点，是线段的黄金分割点， ，， ． 11．已知线段，点P是它的黄金分割点，则的长为 ． 【答案】1或 【分析】 本题考查的是黄金分割的概念，根据黄金比值计算即可． 【解析】解：∵点P是线段的黄金分割点， 当时， ， 当时， ， 故答案为：1或． 12．已知是线段的黄金分割点，且，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点的应用，“把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是” ，理解黄金分割点的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义列可得答案． 【解析】点是线段的黄金分割点，且， ， ， ， 故答案为：． 13．大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比）．如图，B为的黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意知，，即，计算求解即可． 【解析】解：由题意知，，即， 解得，，， 故答案为：． 14．如图是意大利著名画家达・芬奇（年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形内，图中四边形为正方形．已知点为线段的黄金分割点，且，．则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查黄金分割，由点为线段的黄金分割点，且可得，代入数据可求解． 【解析】解：∵点为线段的黄金分割点，且，， ∴ 故答案为： 15．如图所示，C是线段的黄金分割点，，D，E分别是，的中点．    （1）C也是线段 的黄金分割点； （2）若线段的长为，线段 （结果不求近似值）． 【答案】 / / 【分析】（1）根据线段中点定义得，再根据点C是线段的黄金分割点，则，通过计算得，即可得到结论； （2）根据点C是线段的黄金分割点，利用黄金比计算即可． 【解析】解：（1）分别是的中点， ，， ， ∵点C是线段的黄金分割点，， ， ， ， ， ， ， 即：， ∴点C是线段的黄金分割点； （2）， ， 点C是线段的黄金分割点， ， ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了黄金分割，明确黄金分割的定义和熟练应用黄金比是解题关键． 16．如图①，点在线段上，若满足（即），则称点为线段的黄金分割点，每条线段都有两个黄金分割点，如图②，已知点都是线段的黄金分割点，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查线段成比例的运算，黄金分割点的计算方法，掌握线段成比例的运算方法是解题的关键． 根据点都是线段的黄金分割点，可得，根据线段的和差运算即可求解． 【解析】解：已知点为线段的黄金分割点，则（即）， ∵点都是线段的黄金分割点， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯系统研究了黄金分割，其定义为：如图①，点C将线段分成两部分（），若，则称点C为线段的黄金分割点．如图②，在中，点D是边的黄金分割点（），且．若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割以及等角对等边，根据点D是边的黄金分割点，可得出，再根据等角对等边可得出，代入求解即可． 【解析】解：∵点D是边的黄金分割点（）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为． 18．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号： ． 【答案】①②③ 【分析】先讨论顶角为和的等腰三角形中的黄金分割关系，再在题中的所给图形中分析出顶角为和的等腰三角形，逐个判断即可．本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形的相关性质及黄金分割的比例关系，并能准确的计算是本题的解题关键． 【解析】解：如图1，中，，，平分， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，， ， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图2，中，，，， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，，则， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图，连接、、、、， 五边形为正五边形，， ， ， ，故①正确； 易证：，， 和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ，故②正确； 由题得和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ， ， ，故③正确； 在中，，， 由图1得：， 即：，故④错误， 故答案为：①②③． 三、解答题 19．如图，点是线段的黄金分割点，计算线段的黄金比的值．    【答案】黄金比为． 【分析】本题考查的是黄金分割的含义，本题设线段，较长的线段的长为，结合图形可得，结合黄金分割点的含义建立方程求解即可. 【解析】解：设线段，较长的线段的长为，结合图形可得， 是线段的黄金分割点， ，即， 解得：（舍去负值）， ， 答：黄金比为． 20．已知线段的长度为，点P在线段上，，求线段的长． 【答案】 【分析】由题意得点P是线段的黄金分割点，再列式计算即可． 【解析】解：点P在线段上，， 点P是线段的黄金分割点，且， ， 线段的长度为， ． 【点睛】本题考查了黄金分割点的定义，解题的关键是掌握黄金分割的几何含义并熟记其比值． 21．某校要设计一座高的雕像（如图），使雕像的点（肚脐）为线段（全身）的黄金分割点，上部（肚脐以上）与下部（肚脐以下）的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为多少（结果精确到）米． （，结果精确到）． 【答案】米 【分析】设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为m．根据雕像上部与下部的高度之比等于下部与全部的高度比，列出方程求解即可． 【解析】解：设雕像下部的设计高度为xm，那么雕像上部的高度为m． 依题意，得 解得（不合题意，舍去）． 经检验，是原方程的根． ∴雕像下部设计的高度应该为：． 【点睛】本题考查了黄金分割的应用，利用黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 22．已知点C在线段AB上，且满足． (1)若AB=1，求AC的长； (2)若AC比BC大2，求AB的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据已知可得点C是线段AB的黄金分割点，从而可得AC=AB，然后进行计算即可解答； （2）根据已知可设AC=x,则BC=x-2，从而可得AB=2x-2，然后根据，可得，从而进行计算即可解答． 【解析】（1）∵点C在线段AB上，且满足， ∴点C是线段AB的黄金分割点， ∴AC=AB=， ∴AC的长为； （2）∵AC比BC大2， ∴设AC=x,则BC=x-2， ∴AB=AC+BC=2x-2， ∵， ∴， 解得：（舍去）， ∴AB=2x-2=， ∴AB的长为． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 23．如果一个矩形的宽长之比时，则称这个矩形是黄金矩形，如图所示，四边形是黄金矩形且，将矩形剪裁掉一个正方形后，剩余的四边形是否是黄金矩形？请说明理由. 【答案】剩下的矩形也是一个黄金矩形 【分析】根据黄金分割设出矩形的长和宽，然后表示出矩形的宽，再求出宽与长的比值即可得证． 【解析】证明：设矩形的长为， 四边形为黄金矩形， 宽为， 四边形是正方形， ， ， 与的比是黄金比， 剩下的矩形也是一个黄金矩形 【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，要熟记黄金分比． 24．中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线． (1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点； (2)若，求的面积．（结果保留根号） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由等高的两个三角形面积之比等于底之比，可得，，又因为，等量代换得出，根据黄金分割点的定义即可证明D是的黄金分割点； （2）由（1）知，那么，，又等高的两个三角形面积之比等于底之比，将代入，即可求出的面积． 【解析】（1）证明：∵，， 又∵， ∴， ∴D是的黄金分割点； （2）解：由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．也考查了三角形的面积． 25．在中，，，把像这样的三角形叫做黄金三角形． (1)请你设计三种不同的分法，将黄金三角形分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中） 注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法． (2)如图4中，平分交于，取的中点，连接并延长交的延长线于．试判断与之间的数量关系？只需说明结果，不用证明． 答：与之间的数量关系是　　． 【答案】(1)画图见解析； (2) 【分析】（1）黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36°，每个底角为72°．它的底与它的腰成黄金比．当底角被平分时，角平分线分对边也成黄金比，并形成两个较小的等腰三角形．这两三角形之一相似于原三角形．依此作图即可． （2）连接，根据黄金三角形的性质即可得出与之间的数量关系，从而得出与之间的数量关系． 【解析】（1）解：如图所示： （2）连接，如图： ∵在中，，， ∴， ∵平分交于， ∴， ∴， ∴ ∵是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了黄金三角形，注意线段的黄金分割点的概念的延伸，关键是能够根据黄金分割的定义结合等腰三角形的判定和性质进行分析并作图． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 37 页 共 37 页 学科网（北京）股份有限公司 $$