第二章 一元二次方程（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第二章 一元二次方程（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程是（　　） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B．1或 C． D．0.5 4．以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 5．下列一元二次方程的解法中，正确的是（　　） A．（x﹣3）（x﹣5）＝10×2，∴x﹣3＝10，x﹣5＝2，∴＝13，＝7 B．，∴（5x﹣2）（5x﹣3）＝0，∴， C．，∴＝2，＝﹣2 D．两边同除以x，得x＝1 6．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C． D．且 7．《2024年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程(   ) A． B． C． D． 8．若，则的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．3或4 9．若等腰三角形三边的长分别是，，3，且，是关于的一元二次方程的两个根，则满足上述条件的的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 10．如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上．连接，若平分，四边形是平行四边形，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．关于x的方程是一元二次方程，则a＝ ． 12．方程的解为________. 13．如果的值与的值相等，则 ． 14．若是关x的方程的解，则的值为 ． 15．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝ ． 16．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀参加比赛的球队有x个，则可以列方程为 ． 17．如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．    18．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则 ． 三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19．用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 20．关于的一元次方程的两根为，，且满足，求的值． 小明同学的解题过程如下； 解：，， 又已知， ， 整理得：， 解得：，， 的值为或4． (1)已知小明同学的解答是错误的，错误的原因是______； (2)请写出正确的解答过程． 21．已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）m为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数． 22．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 23．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时， (1)的面积等于平方厘米？ (2)五边形的面积最小？最小值是多少？ 24．近几年，汉服的火爆“出圈”，引得不少年轻人为之心动，它已然成为当下的一种流行趋势．随着群体的喜爱，受众的普及，汉服市场也在不断扩大，某汉服专卖店统计了近三年店内汉服的销售量，2021年销售量为3000套，2023年销售量为4320套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同． (1)求该款汉服销售量的年平均增长率； (2)若该专卖店打算以进价为100元/套的价格购进一批汉服，经在市场中测算，当售价为130元/套时，年销售量为2000套，若在此基础上售价每上涨1元/套，则年销售量将减少20套，为使年销售利润达到72000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该款汉服的实际售价应定为多少元？ 25．阅读下面的例题：分解因式：． 解：令得到一个关于的一元二次方程， ， ． 解得，； ． 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)已知代数式对应的方程解为和7，则代数式分解后为 　 　； (2)将代数式分解因式． 26．综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；    ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．      (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________．    27．如图1，在坐标系中的，点A、B在x轴，点C在y轴，且，，，D是的中点， (1)求直线的表达式． (2)如图2，若E、F分别是边的中点，矩形的顶点都在的边上． ①请直接写出下列线段的长度：______，______． ②将矩形沿射线AB向右平移，设矩形移动的距离为m，矩形与重叠部分的面积为S，当时，请直接写出平移距离m的值． (3)如图3，在矩形平移过程中，当点F在边上时停止平移，再将矩形绕点G按顺时针方向旋转，当点H落在直线上时，此时矩形记作，由向x轴作垂线，垂足为Q，则______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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【解析】解：A、（x-3）（x-5）=10×2，整理得：，即 ，得：，故此项错误； B、，变形得：，得：，，故此项正确； C、，变形得：，即：，得：， 故此项错误； D、变形：，则，得：，，故此项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 6．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程有实数根的条件可得且，求解即可获得答案． 【解析】解：根据题意， 可得且， 解得且． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式是解题关键． 7．《2024年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【解析】解：设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，根据题意得，， 故选：B． 8．若，则的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．3或4 【答案】B 【分析】根据题意，采用换元法，令，将转化为，即，得到，解得或，再结合，即可确定，从而确定答案． 【解析】解：令， 将转化为， ，即，解得或， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及换元法、解一元二次方程等知识，熟练掌握换元法、因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键． 9．若等腰三角形三边的长分别是，，3，且，是关于的一元二次方程的两个根，则满足上述条件的的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 【答案】B 【分析】对等腰三角形的腰进行分类讨论，然后根据一元二次方程的判别式或一元二次方程的解求出m的值，再通过解一元二次方程求出等腰三角形的边，并验证即可． 【解析】解：①当a，b是等腰三角形的两条腰，则a=b． ∵a，b是关于x的一元二次方程的两个根， ∴． ∴m=4． ∴． ∴． ∴a=2，b=2． 此时2，2，3能够构成等腰三角形． 故m=4符合题意． ②当3是等腰三角形的一条腰时，则等腰三角形的另一条腰的长度是3． ∵a，b是关于x的一元二次方程的两个根， 把x=3代入得． ∴m=3． ∴． ∴，． 此时1，3，3能够构成等腰三角形． ∴m的值为4或3，共2个值． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义，一元二次方程的判别式，一元二次方程的解，解一元二次方程，正确进行分类讨论思想是解题关键． 10．如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上．连接，若平分，四边形是平行四边形，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点F作于H，的延长线于的延长线交于T，连接，设，则，证明四边形为菱形，则，在中由勾股定理得，即，整理得，由此解出x即可得出答案． 【解析】解：过点F作于H，的延长线于的延长线交于T，连接，如下图所示： 设 ∵四边形为矩形，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴ ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即为线段的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴ ， ∴ ， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，平行四边形的性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造菱形，灵活运用勾股定理构造一元二次方程是解决问题的难点． 二、填空题 11．关于x的方程是一元二次方程，则a＝ ． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的定义，令二次项次数为2，二次项系数不等于0，解答即可． 【解析】解：∵方程是一元二次方程， ∴a²+1＝2且a+1≠0， ∴a＝±1且a≠﹣1， ∴a＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 12．方程的解为________. 【答案】， 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】解：， ， ∴或， ∴或， 故填：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法包括：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法，找到适当的方法是解题的关键． 13．如果的值与的值相等，则 ． 【答案】或1 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元一次方程，等式的性质等知识，根据题意得到方程，求出方程的解即可． 【解析】解：根据题意得：， ∴， 分解因式得：， ∴，， 解方程得：，． 故答案为：或1． 14．若是关x的方程的解，则的值为 ． 【答案】2019 【分析】将代入方程，得到，利用整体思想代入求值即可． 【解析】解：∵是关x的方程的解， ∴，即：， ∴ ； 故答案为：2019． 【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 15．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝ ． 【答案】﹣2 【分析】根据根与系数的关系及两同学得出的结论，即可求出p，q的值． 【解析】解：由小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3； 可得q＝1×（﹣3）＝﹣3， 小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，可得﹣p＝4﹣2， 解得p＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于．”是解题的关键． 16．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环比赛（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个队参加比赛？设应邀参加比赛的球队有x个，则可以列方程为 ． 【答案】 【分析】设邀请个队参加比赛，则每个队比赛场，可得方程： 从而可得答案． 【解析】解：设邀请个队参加比赛，则每个队比赛场， 所以：． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决比赛场次问题是解题的关键． 17．如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的知识，根据已知条件，用a和S表示出矩形的面积，根据一元二次方程的解法解答即可． 【解析】解：根据题意，得起始矩形的面积，变化后矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∵有且只有一个a的值， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴S的值是． 故答案为：． 18．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及新定义，解题的关键是由和，可得关于x的方程两个实数根为，，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或． 【解析】解：∵同时满足和， ∴关于x的方程两个实数根为，， ∵， ∴或， ∴的根为或， ∵与互为“同伴方程”， ∴或， 故答案为：1或2． 三、解答题 19．用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， (5) (6)， 【分析】利用直接开平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解． 【解析】（1）解： 直接开平方可得：， 或 ∴原方程的解为：，； （2）解： 因式分解得：， ∴原方程的解为：，； （3）解：， 平方差因式分解得：， 整理得：， ∴原方程的解为：，； （4）， 提取公因式可得：， 整理得：， ∴原方程的解为：，； （5）解：∵方程， ， ∴原方程的解为：； （6）， ， 因式分解得：， ∴原方程的解为：， 【点睛】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择． 20．关于的一元次方程的两根为，，且满足，求的值． 小明同学的解题过程如下； 解：，， 又已知， ， 整理得：， 解得：，， 的值为或4． (1)已知小明同学的解答是错误的，错误的原因是______； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)没有验证是否符合题意 (2)见解析 【分析】（1）的值需要代入，看是否可使方程由两个实数根， （2）将代入验证，即可求解， 本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系． 【解析】（1）解：的值需要代入，看是否可使方程有两个实数根， 故答案为：没有验证是否符合题意， （2）解：，， 又已知， ， 整理得：， 解得：，， 当时，代入，得：，， 不符合题意，舍去， 当时，代入，得：，解得：，， 符合题意， 所以的值为． 21．已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）m为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数． 【答案】（1）见解析；（2）m=2或m=3 【分析】（1）根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可； （2）利用公式法求出方程的两个根，再根据方程的两个实数根都为正整数，即可求出m的值． 【解析】解：（1）∵△=（-2m）2-4（m+1）（m-1）=4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）∵△=（-2m）2-4（m+1）（m-1）=4＞0，m-1≠0， ∴x=， ∴，， ∵方程的两个实数根都为正整数，且m＞1， ∴是正整数， ∴m=2或m=3． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 22．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 【答案】（1）504万元；（2）20%． 【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解； (2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解． 【解析】解：(1)第七天的营业额是450×12%=54(万元)， 故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元． (2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x， 依题意，得：350(1+x)2=504， 解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)． 答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时， (1)的面积等于平方厘米？ (2)五边形的面积最小？最小值是多少？ 【答案】(1)2秒或4秒 (2)3秒时，五边形的面积最小，最小值是39平方厘米 【分析】（1）设运动时间为，则，，再由面积公式建立方程求解即可； （2）由（1）可得：要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9， 则此时五边形的面积最小，从而可得答案． 【解析】（1）解：设运动时间为，则，， 则， 解得：或． ∴经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米． （2）由（1）可得： ∴要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9， 则此时五边形的面积最小，最小值为． 【点睛】本题主要考查动点问题，一元二次方程的应用，配方法的应用，熟练的解一元二次方程是解本题的关键． 24．近几年，汉服的火爆“出圈”，引得不少年轻人为之心动，它已然成为当下的一种流行趋势．随着群体的喜爱，受众的普及，汉服市场也在不断扩大，某汉服专卖店统计了近三年店内汉服的销售量，2021年销售量为3000套，2023年销售量为4320套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同． (1)求该款汉服销售量的年平均增长率； (2)若该专卖店打算以进价为100元/套的价格购进一批汉服，经在市场中测算，当售价为130元/套时，年销售量为2000套，若在此基础上售价每上涨1元/套，则年销售量将减少20套，为使年销售利润达到72000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该款汉服的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)该款汉服销售量的年平均增长率为 (2)该款汉服的实际售价应定为140元 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）设该款壮族服饰销售量的年平均增长率为x，根据“2021年销售量为3000套，2023年销售量为4320套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该款汉服的实际售价为y元/套，根据题意，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案． 【解析】（1）解：设该款汉服销售量的年平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该款汉服销售量的年平均增长率为； （2）解：设该款汉服的实际售价为y元/套， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴ 答：该款汉服的实际售价应定为140元． 25．阅读下面的例题：分解因式：． 解：令得到一个关于的一元二次方程， ， ． 解得，； ． 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法完成下面问题： (1)已知代数式对应的方程解为和7，则代数式分解后为 　 　； (2)将代数式分解因式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中给出的求根法的定义即可得出答案； （2）先令，得到一个关于的一元二次方程，用求根公式求出它的两根，然后代入即可． 【解析】（1）解：代数式对应的方程解为和7， 代数式分解后为， 故答案为：； （2）解：令，得到一个关于的一元二次方程， ， ， ， 解得，， ． 【点睛】本题主要考查的是求根法因式分解，公式法解一元二次方程，对于二次三项式的因式分解有：，其中、是的两根，理解并掌握题目中的求根法因式分解是解题的关键． 26．综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；    ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．      (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________．    【答案】(1)； (2)，图形见详解； (3)，． 【分析】（1）运用直接开平方法解方程，即可得到方程的另一个根． （2）将方程变形为，画四个长为，宽为的矩形，构造一个“空心”大正方形；仿照例题求解即可； （3）由中间围成的正方形面积为4，可得中间正方形的边长为2．设长方形的宽为x，则长为，由题意得，整理得，即可求得a和b的值．仿照例题构造大正方形，即可求出x的值． 本题主要考查学生的阅读理解能力，综合运用知识的能力．读懂例题，正确的构造出大正方形是解题的关键． 【解析】（1）由得 ∴ ∴原方程的另一个根是． 故答案为： （2）将方程变形为， 画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，    则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． （3）∵中间围成的正方形面积为4， ∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为， 由题意得， 整理得， ，． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． ∴方程的一个正根为． 故答案为：，．．        27．如图1，在坐标系中的，点A、B在x轴，点C在y轴，且，，，D是的中点， (1)求直线的表达式． (2)如图2，若E、F分别是边的中点，矩形的顶点都在的边上． ①请直接写出下列线段的长度：______，______． ②将矩形沿射线AB向右平移，设矩形移动的距离为m，矩形与重叠部分的面积为S，当时，请直接写出平移距离m的值． (3)如图3，在矩形平移过程中，当点F在边上时停止平移，再将矩形绕点G按顺时针方向旋转，当点H落在直线上时，此时矩形记作，由向x轴作垂线，垂足为Q，则______． 【答案】(1)直线的表达式为； (2)①2，；②m的值为或； (3)． 【分析】（1）根据已知，由直角三角形的性质可知，求得B、C的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）①利用中位线的性质可得，在中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理可得； ②首先利用分类讨论的思想，分析当矩形与重叠部分为三角形时才满足条件，分和两种情况，利用三角形的面积公式，列出方程解得m； （3）设，则，求得，，，利用勾股定理可得n，即可求解． 【解析】（1）解：在中， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， 设直线的表达式为． ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：①∵D是的中点， ∴， 又∵E、F分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴，， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：2，； ②设矩形移动的距离为m， 当时，如图， ∴． ∴， 依题意得， ∴(负值已舍)； 当时，如图， 此时G、D重合， ∴， ∴，此情况不存在； ∴当重叠部分为多边形时，都不存在； 当时，如图， ∴． ∴， 依题意得， ∴(舍)或； 综上，m的值为或； （3）解：当点F在边上时， 在中，， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 解之得（负值已舍）， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的性质，矩形的性质，中位线的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等，利用分类讨论的思想，构建直角三角形是解答此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$