1.1.3集合的基本运算（同步课件）数学人教B版2019必修第一册

《人教B版2019高中数学必修第一册》 第1章 集合与常用逻辑用语 1.1.3 集合的基本运算 1.理解并集、交集、补集的概念.（重点） 2.会求已知集合的并集、交集和补集.（重点） 3.能正确应用并集、交集和补集解决实际问题.（难点） 学习目标 新知探究1——交集 学校高一年级准备成立一个科学兴趣小组，招募成员时要求同时满足: (1)中考的物理成绩不低于80分; (2)中考的数学成绩不低于70分 如果满足条件(1)的同学组成的集合记为P，满足条件(2)的同学组成的集合 记为 M，而能成为科学兴趣小组成员的同学组成的集合记为S，那么这三个集合之 间有什么联系呢? 可以看出，集合S中的元素既属于集合P，又属于集合M. 构建新知 1.交集 一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集，记作AB,读作“A交B”.两个集合的交集可用图1-1-7所示的阴影部分形象地表示 交集的运算性质： ______； ____； ____； ____. <m></m> <m></m> <m></m> <m></m> 例如（1）{1，2，3，4，5}{3，4，5，6，8}={3，4，5}; （2）在平面直角坐标系内，x轴与y轴相交于坐标原点，用集合语言可以表示为 {(x，y)|y=0}∩{(x，y)|x=0}={(0，0)} 可以看成集合之间的一种运算，通常称为交集运算 典例精讲 例1 求下列每对集合的交集: (1)A={1，-3}，B={-1，-3}; (2)C={1，3，5，7}，D={2，4，6，8}; (3)E=(1，3]，F=[-2，2). 解：(1)因为A和B的公共元素只有-3，所以AB=-3 (2)因为C和D没有公共元素，所以CD=∅ (3)在数轴上表示出区间E和F，如图1-1-8所示 由图可知：EF=（1,2） 新知构建 例2 已知 A={x|x 是菱形}，B={x|x是矩形}，求 A∩B. 【解析】A∩B={x|x 是菱形}∩{x|x 是矩形}={x|x 是正方形}. 我们经常使用的“且”可以借助集合的交集来理解，例如，平面直角坐标系中的点(x，y)在第一象限的条件是:横坐标大于0且纵坐标大于0，用集合的语言可以表示为 { (x，y) | x>0 }∩{ (x，y) | y>0 }={ (x，y) | x>0，y>0 }, 也就是说，为了保证点(x，y)在第一象限，条件坐标大于0与纵坐标大于0要同时成立. 新知探究1——并集 某班班主任准备召开一个意见征求会，要求所有上一次考试中语文成绩低于70 分或英语成绩低于 70分的同学参加。如果记语文成绩低于70分的所有同学组成的集 合为 M，英语成绩低于 70分的所有同学组成的集合为 N，需要去参加意见征求会的 同学组成的集合为P，那么这三个集合之间有什么联系呢? 可以看出，集合P中的元素，要么属于集合M，要么属于集合N. 新知构建 （1）自然语言：一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合所有的元素组成的集合，称为集合 与 的并集，记作________（读作“_________”）. （2）符号语言： __________________. （3）图形语言： <m></m> <m></m> 并 <m></m> <m></m> 2.并集 由A，B构造出AUB，通常称为交集运算 例如 {1，3，5}∪{2，3，4，6}={1，2，3，4，5，6). 注意，同时属于A和B的元素，在A∪B中只出现一次 尝试练习 类比交集运算的性质，探索得出并集运算的性质，对于任意两个集合A，B，都有: （1）A∪B= ____ （2）A∪A= ____ （3）A∪∅=∅∪A= ____ （4）如果AB，则A∪B= _，反之也成立。 <m></m> 典例精讲 例3.已知区间A=(-3，1)，B=[-2，3]，求A∩B，A∪B. 【解析】在数轴上表示出A和B，如图1-1-10所示, 由图可知:A∩B= ____ ，AUB= ____ 我们经常使用的“或”可以借助集合的并集来理解. 例如，x≥0的含义是x>0或x=0，这可以用集合语言表示为 { x | x ≥ 0 }={ x | x>0 或 x=0 } = { x | x>0 } ∪ { x | x=0 }, 也就是说，为了保证x≥0，条件x>0与x=0只要有一个成立即可. [-2，1) (-3，3] 探索与研究 (1)设有限集M 所含元素的个数用 card(M)表示，并规定 card(∅)=0.已知 A={x|x是外语兴趣小组的成员}，B={x|x是数学兴趣小组的成员)，且 card(A)=20，card(B)=8，card(A∩B)=4，你能求出 card(AUB)吗? (2)设A，B为两个有限集，讨论 card(A)，card(B)，card(A∩B), card(AUB)之间的关系. 【解析】（1） card(AUB)=20+8-4=24 （2） card(AUB)=card(A)+card(B)-card(A∩B) 新知探究3——补集 学 科 网 如果学校里所有同学组成的集合记为S，所有男同学组成的集合记为M，所女同学组成的集合记为F，那么: (1)这三个集合之间有什么联系? (2)如果x∈S且x∉M，你能得到什么结论? 可以看出，集合M和集合F都是集合S的子集，而且 如果x∈S且x∉M，则一定有x∈F. 新知构建 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示. 如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作： ，读作：“A在U中的补集”. 3.补集 图形语言： <m></m> 由全集U及其子集A得到<m>，通常称为补集运算. 例如，如果U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，则={2，4，6}. 注意，此时此仍是U的一个子集，因此)也是有意义的，此例中的)={1，3，5}=A. 补集的运算性质： </m> 典例精讲 例4 已知U={x∈N|x≤7},A={x∈U |x2≤7}，B={x∈U|0<2x≤7}，求A,B,(A)U(B),(A∩B). 例5 已知A=(-1，+∞)，B=(-∞，2]，求A，B. 【解析】因为U={0，1，2，3，4，5，6，7}，A={0，1，2}，B={1，2，3} 因此A={3，4，5，6，7}， B={0，4，5，6，7}， (AB)={0，3，4，5，6，7}， B)={0，3，4，5，6，7}. 【解析】在数轴上表示出A和B，如图1-1-12所示 由图可知：A=(一∞，-1]，B=(2，+∞). 探索与研究 给定三个集合A，B，C，式子(A∪B)∩C的意义是什么?(A∩C)∪(B∩C)呢? 作维恩图研究这两个式子之间的关系，并研究(A∩B)∪C和(A∪C)∩(B∪C)之间的关系. 【解析】(A∪B)∩C的意义是：由集合A或B中的元素，同时又在集合C中元素构成的集合； (A∩C)∪(B∩C)的意义是：由集合A与C的公共元素，与集合B与C的公共元素构成的集合. U A B C ① ② ③ (A∪B)∩C表示图中区域为：①②③ (A∩C)∪(B∩C)表示图中区域为：①②③ (A∩B)∪C表示图中区域为：C+④ (A∪C)∩(B∪C)表示图中区域为：C+④ ④ 如图： ∴(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) 典例精讲 （重难点题型）由并集、交集的定义和性质求参数的范围 例6 已知集合A＝{x|－3＜x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围． 【解析】∵A∪B＝A，∴B⊆A， ①当B＝Ø时，k＋1＞2k－1，∴k＜2. ②当B≠Ø，则根据题意如图所示：  根据数轴可得解得. 综合①②可得k的取值范围为 新知运用 解决问题 小组研讨 1.设全集为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，求 <m></m> 及 <m></m> . 【解析】把集合 ， 在数轴上表示如下， 由图知， ， 所以 或 . 因为 或 ， 所以 或 . 新知运用 解决问题 小组研讨 2.已知集合 <m></m> ， <m></m> ． （1）当 <m></m> 时，求 <m></m> ； （2）若 <m></m> ，求实数 <m></m> 的取值范围． 【解析】 （1）当 时， ， 因为集合 ，所以 ． （2）因为 ，所以 . 当 时， ，解得 ； 当 时，由 得 解得 ． 综上， 的取值范围是 ． 归纳提升 1.求两个集合的并集方法： 1.离散型集合的并集，多借助定义或Venn图求解. 2.若 <m></m> ， <m></m> 是无限连续的数集，多利用数轴来求解 <m></m> .但要注意，端点的值用实心点与空心点表示的区别． 1.对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可； 2.对于元素是连续实数的集合，一般借助数轴求交集，在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍. 2.求两个集合的交集方法： 归纳提升 3.补集的求解步骤及方法： 1.步骤：①确定全集，在进行补集的简单运算时，应首先明确全集； ②紧扣定义求解补集. 2.方法：①借助 <m></m> 图或数轴求解； ②借助补集的性质求解. 注意：解决集合的混合运算问题时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分.有限混合运算可借助 <m></m> 图求解，与不等式有关的集合运算可借助数轴求解. 课堂小结 1.并集、交集、补集 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}； A∩B＝{x|x∈A且x∈B}； </m> ,且 <m></m>。。； 2.性质A∩A＝A，A∪A＝A； A∩＝，A∪＝A； A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A； U 集合的基本运算 <m> 课堂练习A 1.已知A={a，b，c，d}，B={b，d，e，f}，求A∩B，A∪B. 2.已知区间A=(0，+∞)，B=(2，+∞)，求A∩B，A∪B. 3.若A={x|x是选修羽毛球课程的同学}，B={x|x是选修乒乓球课程的同学}，请分别说明A∩B，A∪B所表示的含义. 4.设U={x∈N|x<9}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求A, B. 5.已知全集U=R，A=[7，+∞)，求A , (A)∩U , AU(A). A∩B={b，d}, A∪B={a，b，c，d，e，f} A∩B=(2，+∞), A∪B=(0，+∞) A∩B表示既选羽毛球又选乒乓球的 同学的集合 A∪B表示所有选羽毛球或选乒乓球的同学的集合 A={4，5，6，7, 8}, B={1，2，7, 8}. A=（-∞，7）, (A)∩U=（-∞，7）, AU(A)=U=R. 课堂练习B 1.对于任意两个集合 A，B，关系式(A∩B)(A∪B)总成立吗?说明理由. 2.已知集合A={a，b，c}. (1)写出所有满足条件A∪B=A的集合B; (2)满足条件A∩C=C的集合C有多少个? 3.设全集U=Z，A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，求A，B. 4.设全集U={2，4，a2}，集合A={4,a+3}，A={1}，求实数a的值. 5.已知区间A=(2，4)，B=(a，5). (1)若A∩B=(3，4)，求实数a的值; (2)若A∪B=(2，5)，求实数a的取值范围 总成立. A∩B=∅和A∩B≠∅两种情况都成立 （1）BA,满足条件的集合B共有23=8个（2）CA,满足条件的集合C共有23=8个 A={x|x=2k+1，k∈Z}, B={x|x=2k，k∈Z}. A={1}, ∴1∈U，∴a2=1，解得a=-1或a=1(舍去)，a=-1符合题意 （1）a=3 （2）∵2≤a＜4 ，∴a的取值范围是[2,4） 感 谢 $$