专题19 三角形折叠问题（共45道）-【暑期培优】2024年七升八数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

2024年暑假七升八数学暑假培优计划 三角形折叠问题（共45道） 一、单选题 1．如图，将三角形纸片沿折叠，当点落在四边形的外部时，测量得，，则为（    ） A． B． C． D． 2．如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，，沿折叠,使点B恰好落在边上的点E处，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与之间保持一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　） A． B． C． D． 5．如图，将一张三角形纸片的三角折叠，使点落在的处，折痕为，若，，，那么下列式子中正确的是（  ） A． B． C． D． 6．如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与，重合）为折痕，得到，连结，设，的度数分别为，，若，则，之间的关系是（    ）    A． B． C． D． 7．如图，将沿直线折叠，使点A落在边上的点F处，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，的度数是（    ） A． B． C． D． 9．如图，把沿折叠，折叠后的图形如图所示，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，将沿直线l折叠，使点落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 11．如图，将三角形纸片沿折叠，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 13．如图，把沿折叠，折叠后的图形如图所示，点、点的对应点分别为点、点，连接、，平分，平分，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 14．如图，沿折叠使点A落在点处，、分别是、平分线，若，，则（    ）    A． B． C． D． 15．如图，将沿折叠，使、与边分别相交于点、，若，则 的度数为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 16．如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点A落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为 ． 17．如图是一张三角形纸片，，若 沿 的垂直平分线 折叠，折痕与 交 于点 ， 再沿过点 的直线 折叠，点 恰好落到点 处，则的度数为 ． 18．如图，点M，N分别在上，，将沿折叠后，点A落在点处，若，则 ． 19．如图，在中，和的平分线相交于点O，将沿折叠，使点A落在点O处，若，则的度数为 ．    20．如图，中，，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则 ．      21．如图，中，，D是边上一动点，把沿直线折叠，点A落在点E处，当平行于的直角边时，的度数为 ． 22．如图，有一个三角形纸片，，，将纸片一角折叠，使点C落在外．若，则的大小为 ．    23．如图，将纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若，则 ．    24．如图，在中，，D，E分别为，上一点，将，分别沿，折叠，点A、B恰好重合于点处．若，则 ．    25．如图，一张三角形纸片中，，点在边上，先将纸片沿折叠，点落在点处，交于点（如图1），再将沿折叠，点恰好落在折痕上的点处，此时（如图2），则的度数是 ．    26．如图，将沿折叠，使得点落在处，若，则 度    27．将纸片沿折叠使点A落在点处，若，则的度数为 ． 28．如图，在三角形中，，点D为边上一个动点，连接，把三角形沿着折叠，当时，则 ． 29．已知中，，将按照如图所示折叠，若，则 ． 30．如图，把一张直角△ABC纸片沿DE折叠，已知∠1＝68°，则∠2的度数为 ． 三、解答题 31．如图，在中，，，D是边上一点，将沿过点D的直线折叠，使点B落在下方的点F处，折痕交于点E． (1)当时，求的度数； (2)当的一边与平行时，求的度数． 32．在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点D、E分别在上，将沿着折叠，点A落在点处，记为，为． (1)如图1，当点在内部时，试探求，与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点在外部时，，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 33．如图，在中，，点是边长的一点，，沿折叠得到，延长交于点． (1)求的度数； (2)连接，若，，请说明平分． 34．在中，，均为锐角且不相等，线段是中边上的高，是的角平分线．      (1)如图1，，，求的度数； (2)若，，则______； (3)是射线上一动点，C、H分别为线段A，上的点（不与端点重合），将沿着折叠，使点B落到点F处，如图2所示，请直接写出，与的数量关系． 35．探究： (1)如图①与有什么关系？为什么？ (2)把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）． (3)如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______． 猜想三个角存在的等量关系为______． 36．综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 37．一张三角形纸片中，，点D、E分别在边、上，将沿折叠，点C落在点的位置．      (1)如图1，点在边上，______，可以发现与的数量关系是______． (2)如图2，点在外部，与交于点F，若，求的度数． (3)如图3，点在内部，请直接写出、与之间的数量关系． 38．将一张三角形纸片的一角折叠，使得点落的位置，折痕为． (1)当点落在四边形的外部的位置且与点在直线的两侧． ①如图1，若，，求的度数； ②如图2，请写出、和的关系并证明； (2)如图3，有一张三角形纸片，，，若点是边上的固定点），请在上找一点，将纸片沿折叠，为折痕点落在处，使 与三角形的其中一边平行，求的度数． 39．如图，在中，比大．点是线段上任意一点，点分别在线段上．将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点都在射线上．    (1)______，______，_______． (2)如图1，当点都落在的延长线上时，与有什么数量关系？请说明理由． (3)如图2，当点落在线段上，点落在的延长线时，请直接写出与的数量关系． 40．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系． (1)如图①，若∠A＝80°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______． (2)如图②，若∠A＝80°，沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______． (3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数 (4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数． 41．如图，一个三角形的纸片ABC，其中∠A＝∠C，∠B＝118°． （1）把△ABC纸片按图1所示折叠，使点A落在AC边上的点F处，DE是折痕，说明BC∥DF； （2）把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内时（如图2），探索∠C与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由； （3）当点A落在四边形BCED外时（如图3），若∠1＝29°，则∠2＝　 　°．（直接写出结论）． 42．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落在四边形的外部的位置且与点C在直线的异侧，折痕为，已知，． （1）求的度数； （2）若保持的一边与平行，求的度数． 43．（1）如图①在△ABC中，点D是BC边上的一点，将△ABD沿AD折叠，得到△AED，AE与BC交于点F．已知∠B＝50°，∠BAD＝15°，求∠AFC的度数． （2）如图②，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位置，∠1、∠2与∠A之间存在一定的数量关系，请判断它们之间的关系，并说明理由． （3）如图③，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，此时∠1、∠2与∠A之间也存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的关系，无需说明理由． 44．发现（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，请你判断∠1+∠2与∠A有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由 思考（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=100°，求∠BIC的度数； 拓展（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论． 45．【原题再现】课本第42页有这样一道题： 如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点的位置．试探索∠A与∠1＋∠2之间的数量关系，并说明理由． 小明提出一种正确的解题思路： 连接，则∠1、∠2分别为、的外角，…… 请你按照小明的思路解决上述问题． 【变式探究】如图2，若将原题中“点A落在四边形BCDE内点A'的位置”变为“点A落在四边形BCDE外点的位置”，试猜想此时∠A与∠1、∠2之间的数量关系，并说明理由． 【结论运用】将四边形纸片ABCD（，AB与CD不平行）沿EF折叠成图3的形状，若，，请直接写出∠ABC的度数． 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∵沿折叠得， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 6．如图，将长方形的一角折叠，以（点在上，不与，重合）为折痕，得到，连结，设，的度数分别为，，若，则，之间的关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠以及平行线的性质，先由折叠性质，得，再结合两直线平行，内错角相等，即可作答． 【详解】解：∵以（点在上，不与，重合）为折痕，得到， ∴ ∵设，的度数分别为，，且四边形是长方形 ∴ ∵ ∴ 故选：B 7．如图，将沿直线折叠，使点A落在边上的点F处，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质； 根据平行线的性质可得，根据折叠的性质求出，进而可计算的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得：， ∴， 故选：B． 8．如图，将长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，再沿边将折叠到处，已知，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理等知识．根据折叠的性质，得到，再根据平行线的性质，得到，过点作，根据平行线的性质，得到，，然后利用三角形内角和定理，求得，进而得到，即可求出的度数． 【详解】解： 由折叠的性质可知，，，，，， ， ， ， ， ， 过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 9．如图，把沿折叠，折叠后的图形如图所示，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠前后对应角相等是解题的关键．由，得，再由折叠的性质得，从而得出答案． 【详解】解：， ， ， 把沿对折， ， 故选：D． 10．如图，在中，，将沿直线l折叠，使点落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角形外角的性质得知，，则，即可得出答案．此题考查了折叠的性质，三角形外角定理，解答关键在于熟练掌握相关知识点． 【详解】解：如图 将沿直线l折叠，使点落在点的位置 ， 故选：D． 11．如图，将三角形纸片沿折叠，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，由折叠的性质可得， ，再根据三角形的内角和定理即可求解．明确折叠前后对应角相等是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵将三角形纸片沿BD折叠， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 12．如图，将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，三角形的内角和定理等知识．根据，求出即可解答． 【详解】解：，， ， 由翻折的性质可知：， ， 故选：B． 13．如图，把沿折叠，折叠后的图形如图所示，点、点的对应点分别为点、点，连接、，平分，平分，若，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握折叠前后对应角相等是解题的关键．根据三角形内角和定理和角平分线的概念得到，然后由折叠得到，求出，得，再由折叠的性质得，从而得出答案． 【详解】∵ ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴ 由折叠可得， ∴ ， ， 把沿对折， ， ． 故选：D． 14．如图，沿折叠使点A落在点处，、分别是、平分线，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】欲求，因为，所以仅需求．根据三角形外角的性质，得．因为、分别是、平分线，所以，进而可求出． 【详解】解：如图，   、分别是、平分线， ，． 又， ， 又， ， ， ， 由题意得：， ， ， 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质以及角平分线的定义是解决本题的关键． 15．如图，将沿折叠，使、与边分别相交于点、，若，则 的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可得，，可求，从而可求，由，，即可求解． 【详解】解：由翻折得： ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握性质及定理是解题的关键． 二、填空题 16．如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点A落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 首先根据三角形内角和定理得到，然后根据折叠的性质和平行线的性质分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵把沿折叠， ∴， 如图，若， ∴， ∴ ∵把沿折叠， ∴； 如图，若， ∴   ∵把沿折叠， ∴ 综上所述，的大小为或． 故答案为：或． 17．如图是一张三角形纸片，，若 沿 的垂直平分线 折叠，折痕与 交 于点 ， 再沿过点 的直线 折叠，点 恰好落到点 处，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，三角形的外角的性质；根据折叠的性质可得，根据三角形的外角的性质可得，进而根据三角形内角和定理得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵折叠， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴, 故答案为：． 18．如图，点M，N分别在上，，将沿折叠后，点A落在点处，若，则 ． 【答案】116 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据折叠的性质得出，，再由三角形内角和定理得出，再根据平行线的性质得出，进而求解即可． 【详解】∵，将沿折叠后，点A落在点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：116． 19．如图，在中，和的平分线相交于点O，将沿折叠，使点A落在点O处，若，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】根据折叠的性质得到，再由平角的定义结合已知条件得到，则由三角形内角和定理得到，即可利用角平分线的定义和三角形内角和定理得到，则． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵和的平分线相交于点O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，推出是解题的关键． 20．如图，中，，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则 ．      【答案】10° 【分析】本题考查了直角三角形的性质、折叠的性质、三角形外角的性质，根据，可求，由折叠可知，利用外角性质可求, 解题关键是灵活运用三角形的性质和轴对称性质建立角之间的联系． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可知， ∴， 故答案为：． 21．如图，中，，D是边上一动点，把沿直线折叠，点A落在点E处，当平行于的直角边时，的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．由折叠的性质可得， ，，分两种情况讨论，利用平行线的性质和三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵把沿直线折叠， ∴， ，， 如图，当时，   ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴； 综上分析可知，或． 故答案为：或． 22．如图，有一个三角形纸片，，，将纸片一角折叠，使点C落在外．若，则的大小为 ．    【答案】/度 【分析】记的交点为，证明，，可得，由折叠可得：，求解，而，从而可得答案． 【详解】解：如图，记的交点为，    ∵，， ∴， 由折叠可得：， ∵，， ∴，而， ∴； 故答案为： 【点睛】本题主要是考查了三角形的内角和为180°，三角形的外角的性质；熟练掌握三角形的内角和定理与外角的性质是解题的关键． 23．如图，将纸片先沿DE折叠，再沿FG折叠，若，则 ．    【答案】 【分析】根据邻角的性质得，，再利用三角形的内角和定理得，最后利用内角和的性质求解即可． 【详解】如图，设与相交于点M，与相交于点M，    ∵，， ∴， ， ∵将纸片先沿折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查折叠的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 24．如图，在中，，D，E分别为，上一点，将，分别沿，折叠，点A、B恰好重合于点处．若，则 ．    【答案】/127度 【分析】由折叠性质结合三角形外角的性质分析计算． 【详解】解：由折叠性质可得，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，三角形外角的性质，理解题意，准确识图是解题关键． 25．如图，一张三角形纸片中，，点在边上，先将纸片沿折叠，点落在点处，交于点（如图1），再将沿折叠，点恰好落在折痕上的点处，此时（如图2），则的度数是 ．    【答案】 【分析】根据翻折后对应角得到，利用已知条件和三角形的内角和等于，建立等量关系可求的度数． 【详解】解：由题意可得， ，， 设，则 ， ∵三角形的内角和等于， ∴在中，，即 ； ∴在中，，即 ； ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形的翻折，利用翻折的特点，此类题目便可迎刃而解． 26．如图，将沿折叠，使得点落在处，若，则 度    【答案】 【分析】在中，利用三角形内角和定理，可得出的度数，由折叠的性质，可得出，，再结合，，即可求出的度数． 【详解】解：在中，， ， 由折叠的性质，可知：，， 又，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 27．将纸片沿折叠使点A落在点处，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】先由折叠的性质得到，再由三角形外角的性质推出，据此求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和是解题的关键． 28．如图，在三角形中，，点D为边上一个动点，连接，把三角形沿着折叠，当时，则 ． 【答案】或 【分析】根据题意分在三角形外部和在三角形内部两种情况讨论，分别根据折叠的性质和角的和差求解即可． 【详解】解：当在三角形外部，如图： ∵，， ∴， ∵三角形沿着折叠， ∴ ∴ 当在三角形内部，如图： ∵，， ∴， ∵三角形沿着折叠， ∴， ∵． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了折叠的性质，角的和差，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 29．已知中，，将按照如图所示折叠，若，则 ． 【答案】 【分析】利用三角形的内角和定理的推论，先用表示出，再利用邻补角和四边形的内角和定理用表示出，最后再利用三角形的内角和定理求出． 【详解】解：由折叠知． ∵， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”、“四边形的内角和是”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键． 30．如图，把一张直角△ABC纸片沿DE折叠，已知∠1＝68°，则∠2的度数为 ． 【答案】46° 【分析】由题意得∠C′＝90°，由折叠得∠CDE＝∠C′DE，那么∠CDE＝180°﹣∠1＝112°，故∠C′DE＝∠C′DA+∠1＝112°，进而推断出∠C′DA＝112°﹣68°＝44°，从而求得∠2． 【详解】解：由题意得：∠C′＝90°， 由折叠得∠CDE＝∠C′DE． ∵∠1＝68°， ∴∠CDE＝180°﹣∠1＝112°． ∴∠C′DE＝∠C′DA+∠1＝112°． ∴∠C′DA＝112°﹣68°＝44°． ∴∠2＝180°﹣∠C′﹣∠C′DA＝46°． 故答案为：46°． 【点睛】本题考查了三角形折叠问题和三角形内角和，解题关键是根据折叠得出角相等，利用三角形内角和求解． 三、解答题 31．如图，在中，，，D是边上一点，将沿过点D的直线折叠，使点B落在下方的点F处，折痕交于点E． (1)当时，求的度数； (2)当的一边与平行时，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的性质： （1）先由三角形内角和定理求出，进而求出，由折叠的性质可得； （2）分当时，当时，两种情况，画出对应的图形讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得； （2）解：如图所示，当时， ∴， 由折叠的性质可得， 同理可得； 如图所示，当时， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 32．在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点D、E分别在上，将沿着折叠，点A落在点处，记为，为． (1)如图1，当点在内部时，试探求，与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点在外部时，，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，证明见解析． 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，折叠的性质： （1）利用三角形两次外角定理得出结论； （2）由三角形外角定理，，故，再由折叠可得：即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接 ∵∠1是的外角， ∴． 同理，． ∴． 由折叠性质得． ∴． （2）解：，证明如下： 连接， ∵∠1是的外角， ∴． 同理，． ∴． 由折叠性质得． ∴， ∴． 33．如图，在中，，点是边长的一点，，沿折叠得到，延长交于点． (1)求的度数； (2)连接，若，，请说明平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，三角形的外角，正确理解题意是解题的关键． （1）根据折叠的性质得出，然后根据三角形的外角即可得出答案； （2）根据三角形的内角和，可知，进而得到，证明平分． 【详解】（1）∵沿折叠得到，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． （2）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分． 34．在中，，均为锐角且不相等，线段是中边上的高，是的角平分线．      (1)如图1，，，求的度数； (2)若，，则______； (3)是射线上一动点，C、H分别为线段A，上的点（不与端点重合），将沿着折叠，使点B落到点F处，如图2所示，请直接写出，与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理，求出，则，再求出，最后根据求解即可； （2）根据直角三角形两个锐角互余可得，进而得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据三角形的内角和定理即可求解； （3）连接，根据三角形的外角定理得出，再根据折叠的性质得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵是的角平分线． ∴， ∵线段是中 边上的高， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵，线段是中边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：连接，      ∵，， ∴， ∵由折叠所得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为，直角三角形两个锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 35．探究： (1)如图①与有什么关系？为什么？ (2)把图①沿折叠，得到图②，填空：______（填“>”“<”“＝”）． (3)如图③，是由图①的沿折叠得到的，如果，则______． 猜想三个角存在的等量关系为______． 【答案】(1)，理由如下 (2) (3)， 【分析】（1）由题意知，，进而可得； （2）由题意知，，进而可得； （3）由，，可得，由折叠与平角的性质，可知，，则，进而可求三个角存在的等量关系． 【详解】（1）解： ，理由如下： 由题意知，， ∴； （2）解：由题意知，， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， 由折叠与平角的性质，可知，， ∴， 故答案为：； 由题意知，， ∴三个角存在的等量关系为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 36．综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质得出，，由平角的定义及三角形内角和定理可得出答案； （2）由（1）可知，，求出，则可得出答案； （3）由（2）可知，，求出，由周角的定义求出，则可得出答案． 【详解】（1）． 理由：由折叠得：，， ， ， ； （2）由（1）可知，， ， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知，， ， ，， ， 又 ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 37．一张三角形纸片中，，点D、E分别在边、上，将沿折叠，点C落在点的位置．      (1)如图1，点在边上，______，可以发现与的数量关系是______． (2)如图2，点在外部，与交于点F，若，求的度数． (3)如图3，点在内部，请直接写出、与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质，三角形外角性质计算即可． （2）根据折叠的性质，三角形外角性质计算即可． （3）连接，根据折叠的性质，三角形外角性质计算即可． 【详解】（1）∵ 沿折叠，点C落在点的位置，， ∴，， ∴， 故答案为：，． （2）∵沿折叠，点C落在点的位置，，， ∴，， ∴． （3）．理由如下： 连接， ∵沿折叠，点C落在点的位置， ∴，      ∵， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，熟练掌握两条性质是解题的关键． 38．将一张三角形纸片的一角折叠，使得点落的位置，折痕为． (1)当点落在四边形的外部的位置且与点在直线的两侧． ①如图1，若，，求的度数； ②如图2，请写出、和的关系并证明； (2)如图3，有一张三角形纸片，，，若点是边上的固定点），请在上找一点，将纸片沿折叠，为折痕点落在处，使 与三角形的其中一边平行，求的度数． 【答案】(1)①；② (2) 或或 【分析】（1）①先求出的度数，在根据四边形内角和求出的度数，由 和 的度数可求出答案； ②同①的方法即可求解． （2）分三种情况讨论，当时，当，在上方时，当，在下方时，画出图形，根据平行线的性质以及三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）由折叠可知， 在中， 在中， 在四边形中， ； ②由折叠可知， 在中， 在中， 在四边形中， ； （2）解：①当时，如图所示， ∴， ∵由折叠可知， ，， ∵， ∴； ②当，在上方时，如图所示， ∵， ∴， 由（1）可得， ∴， 由折叠可知， ， ∴， ∴； ③当，在下方时，如图所示，， 则， ∴， ∴， 由折叠可知， ， ∴， 综上所述， 或或． 【点睛】本题考查了四边形内角和公式，三角形内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识，并能分类讨论是解题的关键． 39．如图，在中，比大．点是线段上任意一点，点分别在线段上．将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点都在射线上．    (1)______，______，_______． (2)如图1，当点都落在的延长线上时，与有什么数量关系？请说明理由． (3)如图2，当点落在线段上，点落在的延长线时，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由三角形内角和定理及可求得的度数，进而可得的度数； （2）由折叠的性质及三角形外角的性质，结合（1）中所求即可求得与有数量关系； （3）与（2）同． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵比大， ∴， ∴； 故答案为：，， （2）解： 理由如下： 由折叠可得：， ∵，， ∴， ∵，， ∴； （3）解：； 由折叠可得：， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质等知识，掌握三角形内外角的性质是解题的关键． 40．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系． (1)如图①，若∠A＝80°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______． (2)如图②，若∠A＝80°，沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______． (3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数 (4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数． 【答案】(1)260° (2)160° (3) (4) 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠B+∠C＝180°-80°=100°，再由平角进行求解即可； （2）利用翻折的性质得出∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,根据三角形内角和定理得出∠ADE+∠AED＝100°，结合图形，由平角及各角之间的关系进行计算即可‘ （3）连接．根据三角形外角的性质得出∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，然后利用各角之间的数量关系得出，再由三角形内角和定理即可求解； （4）设AB与交于点F，根据三角形外角得出，，再由折叠的性质得出，结合图形及各角之间的数量关系进行求解即可 【详解】（1）解：∵∠A＝80°， ∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°， ∴， 故答案为：260°； （2）∵∠A＝80°， ∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°， ∵翻折， ∴∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’, ∴∠ADA’+∠AEA’＝2(∠ADE+∠AED)=200°， ∴∠1+∠2=360°-(∠ADA’+∠AEA’)=160°， 故答案为：160°； （3）解：连接．如图所示： ∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A， ∴∠1+∠2=∠DAA’+∠DA’A+∠EAA’+∠EA’A=∠EAD+∠EA’D， ∵， ∴， ∴， ∴． （4）解：如图，设AB与交于点F， ∵，， 由折叠可得，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及三角形外角的性质，平角的定义等，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键． 41．如图，一个三角形的纸片ABC，其中∠A＝∠C，∠B＝118°． （1）把△ABC纸片按图1所示折叠，使点A落在AC边上的点F处，DE是折痕，说明BC∥DF； （2）把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED内时（如图2），探索∠C与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由； （3）当点A落在四边形BCED外时（如图3），若∠1＝29°，则∠2＝　 　°．（直接写出结论）． 【答案】（1）见解析；（2）2∠C＝∠1+∠2，理由见解析；（3）91 【分析】（1）由折叠的性质得∠DFE＝∠A，再由已知∠A＝∠C，推出∠DFE＝∠C，即可得到结论； （2）由四边形的内角和等于360°得出∠A+∠A′＝∠1+∠2，再由图形翻折变换的性质即可得出结果； （3）由折叠的性质得∠A′ED＝∠AED（设为α），∠A′DE＝∠ADE（设为β），则∠2+2α＝180°，∠1＝β﹣∠BDE＝β﹣（∠A+α），推出∠2﹣∠1＝180°﹣（α+β）+∠A，再由三角形的内角和得到∠A＝180°﹣（α+β），证得∠2﹣∠1＝2∠A，即可得出结果． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得：∠DFE＝∠A， ∵∠A＝∠C， ∴∠DFE＝∠C， ∴BC∥DF； （2）解：2∠C＝∠1+∠2，理由如下： ∵四边形的内角和等于360°， ∴∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′＝360°． 又∵∠1+∠ADA′+∠2+∠AEA′＝360°， ∴∠A+∠A′＝∠1+∠2． 由折叠的性质得：∠A＝∠A′， ∴2∠A＝∠1+∠2， ∵∠A＝∠C， ∴2∠C＝∠1+∠2； （3）解：∠2﹣∠1＝2∠C，理由如下： 由折叠的性质得：∠A′ED＝∠AED，∠A′DE＝∠ADE， 设∠A′ED＝∠AED＝α，∠A′DE＝∠ADE＝β， ∵∠2+2α＝180°，∠1＝β﹣∠BDE＝β﹣（∠A+α）， ∴∠2﹣∠1＝180°﹣2α﹣β+（∠A+α）＝180°﹣（α+β）+∠A， ∵∠A＝180°﹣（α+β）， ∴∠2﹣∠1＝2∠A， ∵∠A＝∠C， ∴∠A+∠C＝∠2﹣∠1， ∵∠A+∠C＝180°﹣∠B＝180°﹣118°＝62°， ∴∠2＝62°+∠1＝62°+29°＝91°， 故答案为：91． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了翻折变换的性质，四边形内角和定理，平行线的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识；本题综合性强，熟练掌握平行线的判定和三角形的外角性质，熟记翻折变换的性质是解题的关键． 42．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落在四边形的外部的位置且与点C在直线的异侧，折痕为，已知，． （1）求的度数； （2）若保持的一边与平行，求的度数． 【答案】（1）60°；（2）45°或30° 【分析】（1）先求出∠B的度数，在根据四边形内角和求出∠1+∠BFD的度数，由∠BFD=∠A′FE和∠A′的度数可求出答案． （2）分EA'∥BC和DA'∥BC两种情况讨论．当DA'∥BC时，先求出∠A′DA=90°，再根据折叠可得出∠ADE=45°；当EA'∥BC时，根据平行线的性质求出∠2=∠ABC=60°，由（1）得出∠1=120°，再根据折叠可求出∠ADE的度数． 【详解】解：（1）由折叠可知， 在中， 在中， 在四边形中， 因为 （2）①当时， 沿折叠 ②当时， 由（1）知，， ， 沿折叠 综上，∠ADE的度数为：45°或30°． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，平行线的性质，属于综合题，但难度不大．熟记性质准确识图是解题的关键． 43．（1）如图①在△ABC中，点D是BC边上的一点，将△ABD沿AD折叠，得到△AED，AE与BC交于点F．已知∠B＝50°，∠BAD＝15°，求∠AFC的度数． （2）如图②，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部点A′的位置，∠1、∠2与∠A之间存在一定的数量关系，请判断它们之间的关系，并说明理由． （3）如图③，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，此时∠1、∠2与∠A之间也存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的关系，无需说明理由． 【答案】（1）80°；（2）∠1+∠2＝2∠A，见解析；（3）∠1﹣∠2＝2∠A 【分析】（1）根据折叠的性质可知∠EAD＝∠BAD＝15°，再根据三角形的外角的性质即可求出∠AFC的度数． （2）连接AA′，根据折叠的性质到底∠DA′E＝∠DAE，再根据三角形的外角的性质即可证明∠1、∠2与∠A之间的数量关系； （3）根据折叠的性质到底∠A′＝∠A，再根据三角形的外角的性质即可证明∠1、∠2与∠A之间的数量关系． 【详解】（1）由折叠的性质可知，∠EAD＝∠BAD＝15°， ∴∠BAF＝30°， ∴∠AFC＝∠BAF+∠B＝80°； （2）∠1+∠2＝2∠A； 理由如下：连接AA′， 由折叠的性质可知，∠DA′E＝∠DAE， 由三角形的外角的性质可知，∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A， ∴∠1+∠2＝∠DAA′+∠DA′A+∠EAA′+∠EA′A＝2∠DAE； （3）∠1﹣∠2＝2∠A． 理由如下：由折叠的性质可知，∠A′＝∠A， ∠1＝∠3+∠A，∠3＝∠2+∠A′， ∴∠1＝∠2+∠A+∠A′， ∴∠1﹣∠2＝2∠A． ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，找出折叠后相等的边和相等的角，三角形外角的性质，三角形的外角等于不相邻的两个内角之和． 44．发现（1）如图1，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A’处，请你判断∠1+∠2与∠A有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由 思考（2）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=100°，求∠BIC的度数； 拓展（3）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC折叠使点A和点H重合，试探索∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论． 【答案】（1）∠1+∠2=2∠A；理由见解析；（2）∠BIC=115°；（3）∠BHC=180°-（∠1+∠2）． 【分析】（1）根据翻折变换的性质、三角形内角和定理、以及平角的定义求出即可； （2）根据三角形角平分线的性质得出∠IBC+∠ICB=90°-∠A，在用三角形的内角和定理即可求出∠BIC的度数可； （3）根据垂线的性质得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，再依据四边形AGHF的内角和为360°，表示出与的关系，运用对顶角等量代换，得到与的关系，再结合第（1）问，得到∠BHC与∠1+∠2的关系． 【详解】解：（1）∠1+∠2=2∠A； 理由：根据翻折的性质，∠ADE=（180°-∠1），∠AED=（180°-∠2）， ∵∠A+∠ADE+∠AED=180°， ∴∠A+（180-∠1）+（180-∠2）=180°， 整理得2∠A=∠1+∠2； （2）由（1）知：∠1+∠2=2∠A， 又∠1+∠2=100°， ∴∠A=50° ∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB， ∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A， ∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A=90°+×50°=115°； （3）∵BF⊥AC，CG⊥AB， ∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°， ∴∠FHG+∠A=180°， ∴∠BHC=∠FHG=180°-∠A， 由（1）知∠1+∠2=2∠A， ∴∠A=（∠1+∠2）， ∴∠BHC=180°-（∠1+∠2）． 【点睛】此题主要考查了图形的翻着变换的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理，正确的利用翻折变换的性质、及等量代换是解题的关键． 45．【原题再现】课本第42页有这样一道题： 如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点的位置．试探索∠A与∠1＋∠2之间的数量关系，并说明理由． 小明提出一种正确的解题思路： 连接，则∠1、∠2分别为、的外角，…… 请你按照小明的思路解决上述问题． 【变式探究】如图2，若将原题中“点A落在四边形BCDE内点A'的位置”变为“点A落在四边形BCDE外点的位置”，试猜想此时∠A与∠1、∠2之间的数量关系，并说明理由． 【结论运用】将四边形纸片ABCD（，AB与CD不平行）沿EF折叠成图3的形状，若，，请直接写出∠ABC的度数． 【答案】原题再现：，理由见解析；变式探究：，理由见解析；结论运用： 【分析】原题再现：先根据折叠的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得； 变式探究：设交于点，先根据折叠的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得； 结论运用：延长，相交于点，先利用变式探究的结论可得，再根据直角三角形的两个锐角互余即可得． 【详解】解：原题再现：，理由如下： 如图1，连接， 由折叠的性质得：， ， ， 即； 变式探究：，理由如下： 如图2，设交于点， 由折叠的性质得：， ， ， 即； 结论运用：如图3，延长，相交于点， 由变式探究的结论得：， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的外角性质、直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$