专题18 三角形动点问题分类训练（3种类型30道）-【暑期培优】2024年七升八数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

2024年暑假七升八数学暑假培优计划 专题18 三角形动点问题分类训练 （3种类型30道） 目录 【题型1 动点定值问题】 1 【题型2 动点存在性问题】 5 【题型3 动点探究数量关系】 10 【题型1 动点定值问题】 1．如图1，在四边形中，，连接，，作的平分线交于点E． (1)是否等于？为什么？ (2)如图2，作的平分线交的延长线于点H． ①若，求的度数； ②如图3，点P为上一动点（不与B、C重合）连接，交于点Q，作的平分线分别交于点M、N．试探究的值是否为定值﹖若不是，请说明理由，若是，请求出定值． 2．如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图1，若，则 ． (2)如图2，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点．若，求的度数． (3)如图3，中，的角平分线与外角的角平分线交于．若是延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： ①的值为定值； ②的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 3．如图，，分别是两边，上的动点（均不与点重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点，则______°． (2)如图2，当时，，的平分线交于点，则______°（用含的式子表示）． (3)如图3，当（为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．随着点，的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含的式子表示）；如果会，请说明理由． 4．已知△ABC，点E是直线AC上一个动点（不与A、C重合），点F是BC边上一个定点，过点E做DEBC，交直线AB于点D，链接BE，过点F做FGBE， 交直线AC于点G． (1)如图①，当点E在线段AC上时，求证：∠DEB=∠GFC； (2)在（1）的条件下，判断∠DEC、∠EGF、∠BFG这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由； (3)如图②，当点E在线段AC的延长线上时（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系． 5．如图，的内角的角平分线，与外角，的角平分线相交于点D，的角平分线交与点E，． (1)求证； (2)是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)写出所有与互余的角______． 6．在中，，于点D，于点E，、所在直线交于点F． (1)如图，当时，求的度数； (2)若在、这两个角中，有一个角是另一个角的2倍时，求的值； (3)的角平分线与的角平分线交于点G，的度数是否是一个定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 7．已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足． ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数； ②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由． 8．在中，，点D在线段BC上 (1)如图1，点E在线段AC上，，若，则______°； (2)如图2，AH平分，点F在线段BD上，交AD的延长线于点G，与的角平分线交于点P，问是否为定值，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在线段CD上，时，求的度数（用的代数式表示）． 9．已知和都是直角三角形，，，．如图1，点A与点D重合，点B在边上，，现将绕点B以每秒4°的速度顺时针旋转（当点A落在射线上时停止旋转），设旋转时间为t秒． (1)当______秒时，；当______秒时，； (2)在旋转过程中，边与边的交点记为M，如图2，若有两个内角相等，求t的值； (3)当边与边，分别交于点P，Q时，连接，如图3，当时，是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，已知点．      (1)如图1，若正数的立方根等于它本身，，则点坐标为______，线段长度为______，的面积为______； (2)在（1）的条件下，若点为射线上一点，且满足，求此时点的坐标； (3)点为线段上一点（不与两点重合），点为线段上一点（不与两点重合）； ①如图2，若 ，点是轴上点左侧的一点，连接的角平分线和的角平分线交于点，求与的数量关系； ②如图3，若，连接，交于点，记的面积为的面积为的面积为，那么是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【题型2 动点存在性问题】 11．已知：，平分，点A、B、C分别是射线、、上的动点（A、B、不与点O重合），连接交射线于点D，设． (1)如图1，若，则： ①的度数是_________； ②当时， _________；当时，______． (2)如图2，若，则是否存在这样的x的值，使得中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 12．如图1，直线与直线分别交于点E，F，． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在（1）的条件下，与的角平分线交于点P，延长交直线于点G，过点G作交直线于点H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一动点，作平分，当点K运动到使时，与是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们的数量关系，并证明；若不存在，请说明理由． 13．根据以下所给的材料，解答下面的问题．    材料一：如图1，中，若，则． 材料二：如图2，的内角和外角的平分线交于点，则有结论：． 解答问题： 如图3，点与点坐标轴上，且，满足． (1)求，的坐标； (2)为轴正半轴上一动点，为中的外角平分线与的平分线的交点，问是否存在点，使．若存在，求点坐标； (3)如图4，为轴正半轴上的上方一动点，为线段上一动点，连延长交轴于，和平分线交于，点在运动过程中的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围． 14．已知：，平分，点分别是射线、、上的动点（不与点重合），连接交射线于点.设．    (1)如图1，若，则： ①的度数是________； ②如图2，当时，试求的值（要说明理由）； (2)如图3，若，则是否存在这样的的值，使得中有两个相等的角？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．（自己画图） 15．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，线段交轴于点．    (1)求点的坐标； (2)动点在轴上，且在点的上方，过点作，作、的角平分线、，如图2，求的度数； (3)如图3，若存在坐标轴上的点（点与不重合），使得三角形与三角形的面积相等，请直接写出点坐标和满足条件的点坐标． 16．已知：，平分，点A在射线上，B、C分别是射线、ON上的动点(B、C不与点O重合)，连接交射线于点D．设． (1)如图1，若，则：①　 　°；②当时，　 　°； (2)如图2，若，垂足为A，则是否存在这样的x的值，使得中存在两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 17．已知：，平分，点A，B，C分别是射线上的动点（A，B，C不与点O重合），连接交射线于点D．设． (1)如图1，若AB∥ON，则： ①的度数是_______________； ②如图2，当时，试求的值； (2)如图3，若，则是否存在这样的的值，使得中有两个相等的角？若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由． 18．如图1，在中，，，为边上一点，分别过点、作、的平行线交于点． (1)求的度数． (2)点为直线上的一个动点，过点作PF∥AE，且，连． ①如图2，当点在点的右侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由． ②在整个运动中，是否存在点，使得？若存在，请求出的度数，若不存在，请说明理由． 19．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： (1)【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； (3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线MN与的延长线交于点M，若，求的度数． 20．如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【题型3 动点探究数量关系】 21．如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连结，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 22．在苏科版数学教材七下第43页我们曾经研究过内外角平分线夹角问题．小聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】 如图（1），若，点分别在上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．则 (2)【问题推广】 ①如图（2），若（1）中的其余条件不变，则 ②如图（2），点分别在上运动（不与点重合），点是上一动点，是的平分线，是角平分线，试探索和的数量关系，并说明理由； (3)【拓展提升】 如图（3），若，，试探索和的数量关系（用含的代数式表示），并说明理由． 23．在中，，点分别是边，上的点，点是平面内的一个动点，连结，，设，，． (1)如图①，若点在边上，则，和之间的数量关系为 ． (2)如图②，若点在线段的延长线上时，求，和之间的数量关系． (3)如图③，若点在的内部，且在直线上方时，直接写出，和之间的数量关系． (4)若点在的外部，且始终在右侧，借助图④，直接写出，和之间的数量关系． 24．如图，在中，，，，E为的中点，动点D在上从点A向点B运动，将沿翻折，使点A落在点处． (1)如图，当时，求的度数； (2)若与点C重合，证明：； (3)点D从点A运动到点B的过程中，探究与的数量关系，并说明理由． 25．已知射线平分，点C为上任意一点，过点C作直线交射线于点D． (1)如图1，若，则_________°； (2)点E是射线上一动点（不与点C，D重合），平分交于点F，过点F作交于点G． ①如图2，若，当时，求的度数； ②当点E在运动过程中，设，，直接写出和之间的数量关系． 26．如图，点在的边上，．动点从点出发，在的边上，沿方向运动，在动点的运动过程中，始终有过点的射线． (1)在动点的运动过程中，使得平分，猜想和之间有何数量关系？并请说明理由． (2)当时，判断与的位置关系，并求的度数． 27．如图，在中，平分，交于点D，动点E在射线上（不与点D重合），过点E作交线段于点F（不与点A，C重合），的平分线所在的直线与射线交于点G． (1)当点E在线段上时． ①若，，的度数为______；的度数为______； ②求证； (2)当点E在线段的延长线上时，直接写出与之间的数量关系． 28．在中，平分，．    (1)如图1，若于点，，，则______； (2)如图2，若点是线段上一动点，过点作于点，则与，之间的数量关系是______； (3)如图3，若点是延长线上一点，过点作于点，则与，之间有何数量关系？画出图形并证明你的结论． 29．在中，平分交于点，点是线段上的动点（不与点重合），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点． (1)如图，点在线段上运动． ①若，，则的度数是______；的度数是______． ②探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点在线段上运动时，请在备用图中补全图形，并直接写出与之间的数量关系． 30．在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点． 初探：（1）如图1，若点在线段上运动， ①当时，则　 ； ②，，之间的数量关系为：　　． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年暑假七升八数学暑假培优计划 专题18 三角形动点问题分类训练 （3种类型30道） 目录 【题型1 动点定值问题】 1 【题型2 动点存在性问题】 21 【题型3 动点探究数量关系】 45 【题型1 动点定值问题】 1．如图1，在四边形中，，连接，，作的平分线交于点E． (1)是否等于？为什么？ (2)如图2，作的平分线交的延长线于点H． ①若，求的度数； ②如图3，点P为上一动点（不与B、C重合）连接，交于点Q，作的平分线分别交于点M、N．试探究的值是否为定值﹖若不是，请说明理由，若是，请求出定值． 【答案】(1) (2)①②的值是定值 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理： （1）设，则，，，根据得，由此得，据此可得的度数； （2）①设，则，，由（1）可知，则，由三角形内角和定理得，，进而得，则，再根据可得出∠D的度数； ②设，则，，，，由（1）可知，则，由三角形的外角定理得：，，据此可得的值． 【详解】（1）解：，理由如下： 设， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①设， ∵是的平分线， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴； ②为定值， 设， ∵是的平分线，平分， ∴，， 由（1）可知：， ∴， ∴， 由三角形的外角定理得：，， ∴， ∴． 2．如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图1，若，则 ． (2)如图2，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点．若，求的度数． (3)如图3，中，的角平分线与外角的角平分线交于．若是延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： ①的值为定值； ②的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)正确的结论是①，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴（四边形内角和可以看做两个三角形内角度数之和）， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为定值，①正确，其值是180°． 3．如图，，分别是两边，上的动点（均不与点重合）．    (1)如图1，当时，的外角，的平分线交于点，则______°． (2)如图2，当时，，的平分线交于点，则______°（用含的式子表示）． (3)如图3，当（为定值，）时，是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．随着点，的运动，的大小会改变吗？如果不会，求出的度数（用含的式子表示）；如果会，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的大小不变，理由见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理计算即可； （3）根据三角形的外角性质得到，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵分别为的平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当时，，的平分线交于点，则 ∵， ∴， ∵分别为的平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）的大小不变； 理由如下：∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∵， ∴，即的大小不变． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理和三角形的外角性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． 4．已知△ABC，点E是直线AC上一个动点（不与A、C重合），点F是BC边上一个定点，过点E做DEBC，交直线AB于点D，链接BE，过点F做FGBE， 交直线AC于点G． (1)如图①，当点E在线段AC上时，求证：∠DEB=∠GFC； (2)在（1）的条件下，判断∠DEC、∠EGF、∠BFG这三个角的度数和是否为一个定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由； (3)如图②，当点E在线段AC的延长线上时（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠DEC、∠EGF、∠BFG之间的关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)是为一个定值，∠DEC+∠EGF+∠BFG=360° (3)点E在线段AC的延长线上时（2）中的结论仍然成立，∠DEC+∠EGF+∠BFG=360° 【分析】（1）由，，其性质得，，再根据等量代换证明； （2）由，其性质得，，再根据等式的性质得，最后由平行线的性质，等量代换，角的和差证明，其值是一个定值； （3）当点在线段的延长线上时，同理可得，（2）中结论仍然成立． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ； （2）解：． 理由如下： ， ，， ， 又， ， ， 又， ， 即三个角的和是一个定值； （3）解：当点在线段的延长线上时（2）结论仍然成立． 理由如下： ， ， ， 又， ， ． 【点睛】本题综合考查了平行线的性质，点在直线上的位置，三角形的内角和外角性质，等量代换等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是点在线段上或延长线或反向延长线上时证明角的数量关系是否成立． 5．如图，的内角的角平分线，与外角，的角平分线相交于点D，的角平分线交与点E，． (1)求证； (2)是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)写出所有与互余的角______． 【答案】(1)见解析 (2)不是定值，理由见解析 (3)，，， 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角性质，余角的定义，掌握相关的知识是解题的关键． （1）根据邻补角的性质，三角形外角的性质和角平分线的定义求解即可； （2）设，根据角平分线定义和平行线的性质求出，再求出后判定即可； （3）根据（1）和（2）的结论可以得到，再找出和相等的角即可． 【详解】（1）∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：； （2）设， ∵， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， 即 ∴不是定值，会随着的变化而变化； （3）由（2）得，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 与互余的角有：，，，． 故答案为：，，，． 6．在中，，于点D，于点E，、所在直线交于点F． (1)如图，当时，求的度数； (2)若在、这两个角中，有一个角是另一个角的2倍时，求的值； (3)的角平分线与的角平分线交于点G，的度数是否是一个定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)，见解析 【分析】（1）根据，得到，结合四边形内角和定理，时，计算的度数即可； （2）根据题意，，分和，计算即可； （3）先证明，，再证明，利用三角形内角和定理计算即可． 本题考查了高的性质，四边形内角和定理，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， 解得； 当时， ∴， 解得； 综上所述，或． （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的角平分线与的角平分线交于点G， ∴， ∴， ∴ ． 7．已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足． ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数； ②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①或；②是定值， 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据“内错角相等，两直线平行”可得结论； （2）①由垂直的定义可知，即可得，设，则可表示和的度数，然后利用三角形的内角和解题即可解题；②设，则可求出的值，然后表示的度数解题即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①如下图，当点可以在点的右侧， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴； 当点可以在点的左侧， 同理，可得， 综上，的度数为或； ②，理由如下： 如图，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线、平行线的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 8．在中，，点D在线段BC上 (1)如图1，点E在线段AC上，，若，则______°； (2)如图2，AH平分，点F在线段BD上，交AD的延长线于点G，与的角平分线交于点P，问是否为定值，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在线段CD上，时，求的度数（用的代数式表示）． 【答案】(1)50 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形外角的性质得到∠ADC=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CDE，再结合已知条件可证∠BAD=2∠CDE=50°； （2）如图，延长GF交AB于K．设∠P=x，∠CFG=y，求出x与y之间的关系即可解决问题； （3）如图，延长GH交AB于K，延长PG交BC于N．设∠BFG=y，仿照（2）求出x与y之间的关系即可解决问题； 【详解】（1）解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CDE， ∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE， ∵∠ADE=∠AED，∠C=∠B， ∴∠ADE=∠C+∠CDE=∠B+∠CDE， ∴∠B+∠BAD=∠B+∠CDE+∠CDE， ∴∠BAD=2∠CDE=50°， 故答案为：50； （2），理由如下： 如图，延长GF交AB于K．设∠P=x，∠CFG=y． ∵AH⊥GK，AH平分∠BAD， ∴∠GAH+∠AGH=90°，∠KAH+∠AKG=90°，∠KAH=∠GAH， ∴∠AGK=∠AKG， ∵PD平分∠AGF， ∴∠AGK=2∠PGK， ∵∠AKQ=∠B+∠KFB， ∴2∠PGK=∠KFB+∠B=∠ACB+∠CFG， ∵CP平分∠ACB， ∴∠ACB=2∠PCB， ∴2∠PGK=2∠PCB+y ∴ 由三角形的外角性质得∠P+∠PCB=∠PGK+∠CFG， ∴， ∴x-y=，即x=， ∴ （3）解：如图，延长GH交AB于K，延长PG交BC于N．设∠BFG=y． 同法可证：∠AGK=∠AKG， ∴∠AGK=∠AKG=∠B+∠BFK， ∴∠AGF=180°-∠AGK=180°-∠B-∠BFK， ∵PG平分∠AGF， ∴，， ∵CP平分∠ACB， ∴∠ACB=2∠PCB， 又∵∠B=∠ACB， ∴∠B=2∠PCB， ∴， ∴， 由三角形外角的性质可知， ∴， ∴， ∴ ∴； 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 9．已知和都是直角三角形，，，．如图1，点A与点D重合，点B在边上，，现将绕点B以每秒4°的速度顺时针旋转（当点A落在射线上时停止旋转），设旋转时间为t秒． (1)当______秒时，；当______秒时，； (2)在旋转过程中，边与边的交点记为M，如图2，若有两个内角相等，求t的值； (3)当边与边，分别交于点P，Q时，连接，如图3，当时，是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)7.5，15； (2)7.5或18.75； (3)是定值， 15°． 【分析】（1）根据题意先求出∠DBA的值，用∠DBA的值除以4即为t的值； （2）分情况讨论两个内角相等时求出∠DBM的值，即可求出t的值； （3）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得、，将代入前式得到，再将代入可求出其值为15°，是定值． 【详解】（1）∵，，， ∴∠BAC=∠BDF=90°-60°=30°， 当时， ∠DBA=∠BAC=30°， 即△ABC转动了30°， ∴t=30°÷4°=7.5（秒）． 当时， ∠DBA=90°-∠BDF=90°-30°=60°， ∴t=60°÷4°=15（秒）． 故答案为：7.5；15； （2）∵∠BDM=30°， 若∠MDB=∠MBD，则t=30°÷4°=7.5（秒）； 若∠DBM=∠DMB，则∠DBM==75°， ∴t=75°÷4°=18.75（秒）； ∵∠DMB逐渐变小，最终点M与点F重合，此时∠DMB=∠F=45°， ∴内不存在∠BDM=∠DMB的情况． 所以t的值为7.5或18.75． （3）是定值，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 所以是定值，此定值为15°． 【点睛】本题考查了三角形的角，熟练掌握三角形内角和定理和外角的性质是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，已知点．      (1)如图1，若正数的立方根等于它本身，，则点坐标为______，线段长度为______，的面积为______； (2)在（1）的条件下，若点为射线上一点，且满足，求此时点的坐标； (3)点为线段上一点（不与两点重合），点为线段上一点（不与两点重合）； ①如图2，若 ，点是轴上点左侧的一点，连接的角平分线和的角平分线交于点，求与的数量关系； ②如图3，若，连接，交于点，记的面积为的面积为的面积为，那么是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)，5，10； (2)或 (3)①；②是定值，定值为1， 【分析】本题主要考查坐标与图形，立方根的性质，非负数的性质，平行线的性质与三角形面积： （1）根据立方根的意义求出，由非负数的性质得出进一步求出，得到，由三角形面积公式可得； （2）根据列出方程求解即可； （3）①过点Q作，交于点F，求出，由可得，；②设，求出 代入可得结论 【详解】（1）解：∵正数的立方根等于它本身， ∴ ∵，且， ∴ 解得， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5；10； （2）解：，， ∴， 解得，或， ∴或 （3）解：①过点Q作，交于点F，如图，    设， ∵ ∴ ∴ ∴① 在中，② 由①②可得：； ②设， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 所以，是定值，为1 【题型2 动点存在性问题】 11．已知：，平分，点A、B、C分别是射线、、上的动点（A、B、不与点O重合），连接交射线于点D，设． (1)如图1，若，则： ①的度数是_________； ②当时， _________；当时，______． (2)如图2，若，则是否存在这样的x的值，使得中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①；②，； (2)存在，或35或50或125，理由见解析； 【分析】 本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，分类讨论的运用是解题的关键． （1）①根据角平分线的定义结合平行线的性质可求解；②可分两种情况：当时，当时，根据三角形点的内角和定理分别计算可求解； （2）可分两种情况：当点D在线段上；当点D在射线上，再分别从当时，当时，当时，三个角度分别计算可求解． 【详解】（1）解：①，平分， ， ， ∴， 故答案为：； ②当时， ， ， ， ， 当时， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）存在这样的x的值，使得中有两个相等的角， , 是的角平分线， ， ， ， ， ①当点D在线段上时， 若， 则， 若， 则， 若， ， 则， ②当点D在射线上时， ，且三角形的内角和为， ， ． 综上可知，存在这样的x的值，使得中有两个相等的角，或35或50或125． 12．如图1，直线与直线分别交于点E，F，． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图2，在（1）的条件下，与的角平分线交于点P，延长交直线于点G，过点G作交直线于点H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一动点，作平分，当点K运动到使时，与是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们的数量关系，并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由平行线的判定可得结论； （2）由平行线的性质可得，由角平分线的性质可求，可得结论； （3）由外角的性质和平行线的性质可证，由角平分线的性质可求，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， ； （2）证明：， ， 平分，PE平分， ，， ， ． ， ， ； （3）解：，理由如下： ，， ． ， ， ． 平分， ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握平行线的判定定理和性质定理是解题关键． 13．根据以下所给的材料，解答下面的问题．    材料一：如图1，中，若，则． 材料二：如图2，的内角和外角的平分线交于点，则有结论：． 解答问题： 如图3，点与点坐标轴上，且，满足． (1)求，的坐标； (2)为轴正半轴上一动点，为中的外角平分线与的平分线的交点，问是否存在点，使．若存在，求点坐标； (3)如图4，为轴正半轴上的上方一动点，为线段上一动点，连延长交轴于，和平分线交于，点在运动过程中的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围． 【答案】(1)， (2)存在， (3)不变化， 【分析】（1）由已知，求出、的值即可求出，的坐标； （2）由题意可求得，根据外角性质求得的外角和的外角的度数，可推得，即可求出，从而得到点坐标； （3）设、交于点，通过三角形角平分线及三角形内角和推出，从而确定比值不变得出结论． 【详解】（1）解：，，， ，，得到，， ，； （2）若存在，如图，      则得：平分， ，， 的外角， 平分的外角， 的外角的外角， ， 在中：, ， ， ； （3）不变化，， 设、交于点，    则得：，， ，平分，， ， ， 在中： ， 在中： ， ． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线，三角形内角和定理，三角形外角性质，绝对值的非负性，平面直角坐标系，熟练掌握三角形角平分线的用法是解答本题的关键． 14．已知：，平分，点分别是射线、、上的动点（不与点重合），连接交射线于点.设．    (1)如图1，若，则： ①的度数是________； ②如图2，当时，试求的值（要说明理由）； (2)如图3，若，则是否存在这样的的值，使得中有两个相等的角？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．（自己画图） 【答案】(1)①；②的值为60 (2)存在这样的的值，使得中有两个相等的角，且或或 【分析】（1）①利用角平分线的性质求出的度数即可；②利用角平分线的性质和平行线的性质求得； （2）分类讨论：当点在线段上和点在射线上两种情况，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①，平分， ， ， ， 故答案为：； ②如图所示，   ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ，即， 的值为60； （2）解：如图，当点在线段上时，   ， ， ， 若，则，即； 若，则，，即； 若，则，，即； 如图，点在射线上时，   ， ， ， 三角形的内角和为， 只有， 此时， 即，则不在射线上，舍去； 综上所述，存在这样的的值，使得中有两个相等的角，且或或． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质的应用，熟练掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，是解题的关键． 15．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，线段交轴于点．    (1)求点的坐标； (2)动点在轴上，且在点的上方，过点作，作、的角平分线、，如图2，求的度数； (3)如图3，若存在坐标轴上的点（点与不重合），使得三角形与三角形的面积相等，请直接写出点坐标和满足条件的点坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点坐标为；点坐标为，， 【分析】（1）根据平方的非负性及绝对值的非负性解答即可； （2）解法1：根据平行线的性质及直角三角形的性质可知和，再利用对顶角相等解答即可；解法2：根据平行线的性质及角平分线的定义可知，最后利用三角形的外角及三角形的内角和定理解答即可； （3）根据平面直角坐标系与三角形的面积关系可知D点坐标为(0，3)，再根据题意分点在轴上和轴上两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴；； （2）解法1：过点作交轴于点，如图， ∵，分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，① ∵， ∴，② ∵， ∴得， ∴， ∴；    解法2：设交于点，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；    （3）解：点坐标为；点坐标为理由如下: 连接，作轴，如图，设， ∵ ∴， 解得：， ∴点坐标为， ∵，，， ∴，， ∴，    当点在轴上时，如图，设， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴此时点坐标为或；    当点在轴上时，如图， 设， ∴， 则， 解得：或舍去)， ∴此时点坐标为， 综上所述，满足条件的点坐标为，，．    【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，平面直角坐标系与三角形的面积关系，掌握平面直角坐标系与几何图形的关系是解题的关键． 16．已知：，平分，点A在射线上，B、C分别是射线、ON上的动点(B、C不与点O重合)，连接交射线于点D．设． (1)如图1，若，则：①　 　°；②当时，　 　°； (2)如图2，若，垂足为A，则是否存在这样的x的值，使得中存在两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①22；② (2)存在这样的x的值，使得中有两个相等的角，且 【分析】（1）①根据角平分线的定义和平行线的性质推导出；②根据三角形内角和计算出度数，再根据三角形外角性质可求x值； （2）当点D在线段上时，有三种情况、、，依次构造关于x的方程即可求解x；当点D在射线上时，因为，且三角形的内角和为，所以只有，列出方程即可求解． 【详解】（1）①∵平分， ∴． ∵， ∴； ②由①可知， 若，则． ∴． 即； 故答案为①22；②． （2）∵，∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ①如图1，当点D在线段上时， (Ⅰ)若，则          可得， (Ⅱ)若，则       可得， (Ⅲ)若，则         可得， ②如图2，当点D在射线上时，因为，且三角形的内角和为， 所以只有，此时    解得． 综上可知，存在这样的x的值，使得中有两个相等的角，且、34、46、124 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角性质，同时考查了分类讨论思想，解题的关键是通过平行线推导角之间的关系，并根据题意画出正确的图形． 17．已知：，平分，点A，B，C分别是射线上的动点（A，B，C不与点O重合），连接交射线于点D．设． (1)如图1，若AB∥ON，则： ①的度数是_______________； ②如图2，当时，试求的值； (2)如图3，若，则是否存在这样的的值，使得中有两个相等的角？若存在，直接写出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)①40°；②60° (2)存在，的值为10°或40°或25° 【分析】（1）①根据平分，可得∠BON=∠AOB=40°，再由AB∥ON，即可求解；②由①得：，再由AB∥ON，可得∠BAO=100°，即可求解； （2）根据直角三角形两锐角互余可得∠ABO=50°，然后分两种情况讨论：当点D在线段OB上时，若∠ADB=∠ABD=50°；若∠BAD=∠ABD=50°；若∠BAD=∠ADB；当点D在射线OE上时，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，平分， ∴∠BON=∠AOB=40°， ∵AB∥ON， ∴∠ABO=∠BON=40°； 故答案为：40° ②由①得：， ∵AB∥ON， ∴∠BAO+∠MON=180°， ∵， ∴∠BAO=100°， ∴∠OAC=∠BAO-∠BAD=60°，即 （2）解：存在， ∵∠AOB=40°，∠BAO=90°， ∴∠ABO=50°， 当点D在线段OB上时，如图， 若∠ADB=∠ABD=50°， ∴∠BAD=180°-∠ADB-∠ABD=80° ∴∠OAC=90°-80°=10°，即； 若∠BAD=∠ABD=50°， ∴∠OAC=90°-50°=40°，即； 若∠BAD=∠ADB， ∴， ∴∠OAC=90°-65°=25°，即； 当点D在射线OE上时，∠ABD=180°-∠ABO=130°， ∴只有∠ADB=∠BAD， ∵∠ABO=∠ADB+∠BAD， ∴∠BAD=25°， ∴∠DAO=115°， ∵∠MON=80°， ∴此时AD与ON不相交，故不符合题意，舍去； 综上所述，的值为10°或40°或25°． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，和三角形的外角性质的应用，平行线的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，注意分类讨论思想的运用． 18．如图1，在中，，，为边上一点，分别过点、作、的平行线交于点． (1)求的度数． (2)点为直线上的一个动点，过点作PF∥AE，且，连． ①如图2，当点在点的右侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由． ②在整个运动中，是否存在点，使得？若存在，请求出的度数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)63° (2)①DE⊥DF，见解析；②存在，∠PFD=42°或∠PFD=126° 【分析】（1）延长ED交BC于点F，利用平行线的性质定理，推理得证∠E=∠B即可． （2）①过点D作DG∥PF，交AB于点H，根据题意可证DH∥PF∥AE∥BC，从而得证∠PFD=∠FDG=27°,∠EDG=∠E=63°，计算∠EDF=90°即可得证． ②分∠PFD和∠EDF是三角形的内角和一个内角，另一个是外角两种情况计算 【详解】（1）如图，延长ED交BC于点F， ∵AE∥BC， ∴∠EFC=∠E． ∵DE∥AB， ∴∠EFC=∠B． ∴∠E=∠B． ∵∠B=63°， ∴∠E=63°． （2）①过点D作DG∥PF，交AB于点H， ∵AE∥BC∥PF， ∴DH∥PF∥AE∥BC， ∴∠PFD=∠FDG=27°,∠EDG=∠E=63°， ∴∠EDF=∠EDG +∠FDG =27°+63°=90°， 故DE⊥DF． ②如图，设PF与DE交于点N， ∵AE∥PF， ∴∠PND=∠E=63°， ∵∠PND=∠PFD+∠EDF，∠PFD=2∠EDF， ∴∠EDF =21°， ∴∠PFD=42°． 如图，设AE与DF交于点M， ∵AE∥PF， ∴∠PFD=∠AMD， ∵∠AMD=∠E+∠EDF，∠PFD=2∠EDF， ∴∠EDF =∠E=63°， ∴∠AMD=2∠E=126°， ∴∠PFD=126°， 故存在这样的点P使得∠PFD=2∠EDF，且∠PFD=126°或42°． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的证明，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的判定和性质，三角形外角的性质是解题的关键． 19．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： (1)【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； (3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线MN与的延长线交于点M，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】（1）由余角的性质可得，由角平分线的性质和外角的性质可得结论； （2）由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质可求，由余角的性质可求解； （3）由平角的性质和角平分线的性质可求，由外角的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵，是高， ∴， ∴ ∵是角平分线， ∴ ∵， ∴ （2）∵， ∴ ∵是的平分线 ∴ ∵是边上的高， ∴ ∴ ∵， ∴ （3）∵C、A、G三点共线，是角平分线， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 20．如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数是或或或 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的角的计算，三角形的内角和定理，外角定理等知识． （1）先求出，进而求出，即可求出； （2）先求出，进而求出，即可求出； （3）延长至点，先证明，再求出．分①，②，③，④四种情况分类讨论即可求解 ． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：，， ， 点是和的角平分线的交点， ，， ， ； （3）解：（3）如图③，延长至点， 为的外角的角平分线， 是的外角的角平分线， ， 平分， ， ， ， 即， ， 即． 平分，平分，， ． 如果在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况： ①当时，则， ； ②当时，则，， ； ③当时，则， ； ④当时，则， ． 综上所述，的度数是或或或． 【题型3 动点探究数量关系】 21．如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连结，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查平行线性质和三角形内角和定理，综合性较强，画出辅助线是关键，方法不唯一． （1）过点B作直线，结合平行线性质即可得出结论． （2）过点B作直线，结合平行线性质即可． （3）结合题意分为①当点P在上时；②当点M在的延长线上时，两种情况画出图形，分类讨论即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作直线， 图1， ， ，． ， ， ， ； （2），理由如下： 如图2，过点作直线， 由（1）得，， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）或理由如下： 当点P在上时，如图3（1）， 在中，， ， ， ， ， ， ； 当点M在的延长线上时，如图3（2）， 在中，， ， ， ， ， ， ， 综上，或． 22．在苏科版数学教材七下第43页我们曾经研究过内外角平分线夹角问题．小聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】 如图（1），若，点分别在上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．则 (2)【问题推广】 ①如图（2），若（1）中的其余条件不变，则 ②如图（2），点分别在上运动（不与点重合），点是上一动点，是的平分线，是角平分线，试探索和的数量关系，并说明理由； (3)【拓展提升】 如图（3），若，，试探索和的数量关系（用含的代数式表示），并说明理由． 【答案】(1)； (2) ， ，证明见解析； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的定义及性质、几何图形中角度的计算，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由角平分线的定义得出，，表示出，再由三角形外角的定义及性质得出，即可得解； （2）①由角平分线的定义得出，，表示出，再由三角形外角的定义及性质得出，即可得解；②由角平分线的定义得出，，表示出，再由三角形外角的定义及性质得出，即可得解； （3）由题意得出，再由三角形外角的定义及性质得出，即可得解． 【详解】（1）解： 平分，平分， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：① 平分，平分， ，， ， ， ， ， 故答案为：； ②，理由如下： 平分，平分， ，， ， ， ， ； （3）解：， 理由如下： ，， ，， ， ， ． 23．在中，，点分别是边，上的点，点是平面内的一个动点，连结，，设，，． (1)如图①，若点在边上，则，和之间的数量关系为 ． (2)如图②，若点在线段的延长线上时，求，和之间的数量关系． (3)如图③，若点在的内部，且在直线上方时，直接写出，和之间的数量关系． (4)若点在的外部，且始终在右侧，借助图④，直接写出，和之间的数量关系． 【答案】(1) (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角的性质等，熟知三角形外角的性质是解题的关键． （1）连接，证明即可得到答案； （2）利用三角形外角的性质求解即可； （3）利用三角形外角的性质求解即可； （4）根据题意画出图形，利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：设与交于F， ∵，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示，连接， ∵，， ∴ ， ∴； （4）解：． 如图， ∵，，， ∴． 24．如图，在中，，，，E为的中点，动点D在上从点A向点B运动，将沿翻折，使点A落在点处． (1)如图，当时，求的度数； (2)若与点C重合，证明：； (3)点D从点A运动到点B的过程中，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或．理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，折叠的性质． （1）利用平行线的性质求得，再利用折叠的性质求解即可； （2）利用折叠的性质结合三角形内角和定理求得，推出，据此求解即可； （3）分点在内部和点在外部时，两种情况讨论，利用三角形的外角性质结合折叠的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：若与点C重合，如图， ，， ∴， ∴； （3）解：或．理由如下， 连接， 当点在内部时， 由三角形的外角性质得，， ∴ ； 当点在外部时， 由三角形的外角性质得，， ∴ ； 综上，或． 25．已知射线平分，点C为上任意一点，过点C作直线交射线于点D． (1)如图1，若，则_________°； (2)点E是射线上一动点（不与点C，D重合），平分交于点F，过点F作交于点G． ①如图2，若，当时，求的度数； ②当点E在运动过程中，设，，直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1)60 (2)①；②或 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，也考查了角平分线的定义． （1）根据角平分线的定义和平行线的性质即可求解； （2）①由三角形内角和定理可得，由平行线的性质和角平分线的定义可得，，根据即可求解；②分为点在线段上和点在下方两种情况讨论，结合平行线的性质和角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； ②如图，点在线段上， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， 如图，点在下方， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ， 即． 26．如图，点在的边上，．动点从点出发，在的边上，沿方向运动，在动点的运动过程中，始终有过点的射线． (1)在动点的运动过程中，使得平分，猜想和之间有何数量关系？并请说明理由． (2)当时，判断与的位置关系，并求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． （1）根据角平分线可得，由平行线的性质可得，，则有； （2）由，有，则可求，由平行线的性质可得． 【详解】（1）解：， 理由如下： 平分， ， ， ，， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 27．如图，在中，平分，交于点D，动点E在射线上（不与点D重合），过点E作交线段于点F（不与点A，C重合），的平分线所在的直线与射线交于点G． (1)当点E在线段上时． ①若，，的度数为______；的度数为______； ②求证； (2)当点E在线段的延长线上时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①20°；50°；②见解析 (2) 【分析】 本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． （1）①根据平行线的性质与角平分线的定义求解，即可解答；②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到即可解答； （2）先证明，，，．由角平分线的定义可得，结合三角形的外角的性质可得，可得结论． 【详解】（1）解：①， ∴在中，， ∵， ，， 平分，平分， ，， ，； ②∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； （2），理由如下：如图，点E在线段的延长线上．    ∵平分， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 28．在中，平分，．    (1)如图1，若于点，，，则______； (2)如图2，若点是线段上一动点，过点作于点，则与，之间的数量关系是______； (3)如图3，若点是延长线上一点，过点作于点，则与，之间有何数量关系？画出图形并证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)，图形及理由见详解 【分析】（1）先求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （2）先求出，求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （3）先求出，求出，根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； 【详解】（1）解：如图1，、， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， 理由是：如图2，过作于，    ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， 证明：如图3，过作于，    ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，平行线的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，证明过程类似． 29．在中，平分交于点，点是线段上的动点（不与点重合），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点． (1)如图，点在线段上运动． ①若，，则的度数是______；的度数是______． ②探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点在线段上运动时，请在备用图中补全图形，并直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①的度数是；的度数是；② (2) 【分析】本题考查角平分线，平行线的性质，三角形内角和定理；掌握角平分线的定义以及弄清题目中各个角之间的关系是解题关键． （1）①根据三角形的内角和及平行线的性质可知，再利用角平分线的定义即可解答；②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可解答； （2）根据平行线的性质及角平分线的定义得到，再根据角平分线的定义及外角的性质即可解答． 【详解】（1）①解：， ; , ； ， ． ② ， ， 又， ； ． （2）如图， 平分交于点， ； ， ； 又 平分， ； ， ． 30．在中，，点，分别是边，上的两个定点，点是平面内一动点． 初探：（1）如图1，若点在线段上运动， ①当时，则　 ； ②，，之间的数量关系为：　　． 再探：（2）若点运动到边的延长线上，交于，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展：（3）当点在的内部，且，，不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论． 【答案】（1）①130度；②；（2）；（3）或 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）①如图1中，连接．证明即可． ②利用①中结论解决问题． （2）利用三角形的外角的性质解决问题即可． （3）利用三角形的外角的性质解决问题即可． 【详解】解：（1）①如图1中，连接． ，， ， ，， ． 故答案为：； ②由①可知，， 故答案为：． （2）结论：． 理由：如图2中， ，， ． （3）结论：． 理由：如图3中，当在 内部时， ，， ， ． 当在四边形内部时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$