期末综合检测卷(范围：选择性必修第一、二册)-【课堂百分百】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册单元培优双测卷（人教A版2019）

第三部分 期考综合检测卷 期末综合检测卷 [范围：选择性必修第一、二册] (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知各项均为正数的数列{an}为等比数列，若a1·a5=16,a1十a,=12,则公比q= A号 B.1 C.2 D.4 2.由直线y=x十1上任一点向圆(x一3)+y=1引切线.则该切线长的最小值为 A.1 B.2√2 C.7 D.3 3.已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，P为该双曲线上一点，若△PFF,为等腰直角三角形， 单 则该双曲线的离心率为 ( 北 A.3 B.2 C.2√3 D.√2+1 4.点P在曲线y=x3-x 号上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角。的取值范周是( A0,引 (臣到 c D.o.)U.) 5.函数y=4cosx一e的图象可能是 数 6.在等差数列{an}中，a1=一9，a5=一1.记T.=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{T.} 晚 A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项 黄 C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项 7.若函数f(x)=1n(ax十1)十1一'在区间[1，十o)上单调递增，则a的取值范围是 1十x A.(0,+o∞) B.[0十o∞) C.(1,+o) D.[1,+o∞) 8.已知点P是抛物线y2=一2x上的动点，则点P到点M(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的 距离之和的最小值为 A.0 2 B.3 C.5 号 33 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在公比g为整数的等比数列{a.中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1+a,=18,a2十a=12,则 下列说法正确的是 () A.g=2 B.Sg=512 C.数列{S。十2}是等比数列 D.数列lga.}是公差为2的等差数列 10.若函数f(x)的图象上存在两个不同的点A,B,使得曲线y=f(x)在这两点处的切线重合，称 函数(x)具有Z性质.下列函数中具有Z性质的有 () A.y=e-x B.y=x-x C.y=x D.y=x+sin x 11.在平面直角坐标系xOy中，已知F(一2,0)，F2(2,0),A(一1,1)，若动点P满足PF1|+ PF,=6,则 () A.存在点P,使得PF2|=1 B.△PFF2面积的最大值为4√⑤ C对任意的点P,都有PA+PE:>号 D.椭圆上存在2个点P,使得△PAE的面积为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用4万 元，从第二年开始，每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预计使用年，其总费用 (含购买费用)为 万元：当n 时，该渔船年平均费用最低（含购买费用）. 13.长方体ABCD-A,BC,D,中，AB=BC=2,CC,=1,点F是底面ABCD的中心，则直线AC 与直线BF所成角的余弦值为 14.定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足f(x)>0,f(x)为f(x)的导函数，且2f(x)<xf(x)< 3对任意(0，十)恒成立，则号的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知函数f(x)=1ogx(k为常数，k>0且k≠1). (1)在下列条件中选择一个 ,使数列{a}是等比数列，说明理由： ①数列{f(a)}是首项为2，公比为2的等比数列 ②数列{f(a,)}是首项为4，公差为2的等差数列 ③数列{f(am)}是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列 ②在1)的条件下，当=2时，设a6,=求数列6的前n项和工 34 16.(15分)已知椭圆M:大、 +方=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F(一2,0)、F,(2,0).在椭圆M中有一内接三角形ABC,其顶点C的 F 坐标为，1AB所在直线的斜率为 (1)求椭圆M的方程： (2)当△ABC的面积最大时，求直线AB的方程. 17.(15分)如图，三棱柱ABC-ABC,的所有棱长都是2，AA1⊥平面ABC,B D,E分别是AC,CC的中点， (1)求证：平面BAE⊥平面A,BD: (2)求平面DBA1和平面BAA1夹角的余弦值： (③)在线段BB(含端点)上是否存在点M,使点M到平面A,BD的距离为5，请说明 理由. -35 18.(17分)已知数列{an|为等比数列，数列(bn}满足bn=log2an,且a4=b=1.设S。为数列{bn》 的前n项和。 (1)求数列{an},{bn}的通项公式及S.: (2)若数列(c,}满足c,= 是求c,的前u项和T 19.(17分)已知函数f(x)=ln(2x一1)一m(2x一1)十1的图象恒在直线y=1的下方. (1)求实数m的取值范围： (2)若数列(lnm的前2m项和为S,证明：S.<2m(2n+1) 5 36(2)由(1)可知当1 n<6时, 第三部分 期考综合检测卷 10001-()”] 总利润S-40+(80n-40)] 2 -# 期末综合检测卷 1.C 由a;·a-16,得a^{}-16.又各项均为正数,所 -2 00×()*+40-200。 以a-4,由a。+a.-12.得a.-8,所以公比q= a8-2,故选C. 所以$-S--200×()+80n-40.n→2, 2.C 由题意得,圆心(3,0)到直线y一x十1的距离 因为f(c)=-2000×()+80x-40为增画数 13-0+11-2、2,圆的半径为1,故切线长的最 2 f(3)<0.f(4)0. 小值为va--8-1-7.故选C. 所以,当2n3时,SS; 当4n6时,S$. 3.D 不妨设点P在双曲线的右支上,则 PF。|一 |PF -2a. 又因为S0.S--528.75<0 所以当1<n<6时,S.<0 .△PFF.是等腰直角三角形. 即前6年该公司未盈利, ..只能是PFF -90,.'.PF。=FF 1-2c 当n7时,S.-S +(b -a)十(b-a)+.十 ' PF -2a+|PF-2a+2c. (b.-a.)--528.75+420(n-6). *(2a+2c)-2·(2c){}即 -2ac-a-0$ 两边同除以a^{,得e{-2e-1-0. 令S>0,得n>8. 综上,预计从第8年起该公司开始盈利 .1..-②+1.故选D. 19.解:(1)当x-0时,f(0)-0. 4.D-3x-1-1,即tana-1,又a[o,. 由f(x)-xe-ln(x+1)-x. 所以#[0#)#,),故选D. 5.A 易知函数y=4cosx一e为偶函数,当x>0 时,y=4cosx-,则y'--4sinx- ,若x 所以切线方程的斜率^-/(0)-e*(0十1)- 0十1 (o.)#,则sinx>0.>o,则y<o,若xe+). -1--1. 所以切线方程为y一一工. 则-4<4sinx<4.e(2.7)19.6>4. (2)由题可知,函数f(x)的定义域为(一1,十). 则y'<0,即当x0时,y--4sinr-e<0恒成 由(1)知. 立,则y=4cosr一e在(0,十)上单调递减,故 选A. #(c)-e'(r十1)-- 十1 6.B 设等差数列a的公差为d,,'a=-9.a=-1, 记g(x)- (x+1)-r-2. ',a=-9+4d--1.d-2,'a--9+(n-1) 所以g'(x)=e(x+4x+3)-1. $$-2n-11.令a.=2n-11<0,则n>5.5. ' 易知x(0,十)时,g'(x)>0. 5时,a.<0;n6时,a.0T=-9<0,T 所以g(x)在区间(0,十o)上单调递增, ($-9)$(-7)-63>0.T-(-9)(-7)$(-5) 所以g(x)>g(0)=-1. =-315<0,T-(-9)$ (-7)X(-5)X(-3)= 又因为g(1)=e(1+1)-1-2=4e-3>0 945>0.T-(-9(-7)X(-5)(-3)X(-1- 所以在区间(0,1)内必存在t,使g(c)-0. -945<0,当n6时,a.0,且a.>1...T T 所以当x(0,e)时,g(x)0.即f(x) 0. <0..T=aa..a.(n=1,2,..)有最大项T,无 所以f(x)在(0,e)上单调递减, 最小项,故选B 当x(,1)时,g(x)0,即r(x)0. 7.D 由题意,知当x[1,十o)时,ax十1>0,所以 所以f(x)在(s,1)上单调递增: 所以当x一:时,f(x)有极小值f(). 因为f(0)-0. 2 所以f(c)<f(0)-0. 而f(1)=1xe -ln(1+1)-1=e-ln2-1>0. 所以f(x)在区间(,1)内必存在唯一零点, 在[1,+o)上恒成立,即ar^}十a-2>0在[1,+)上 所以函数f(x)在区间(0,1)内有且只有一个 零点. 57 则y'一1十cos工,设两切点的坐标分别为(x。·y) 和(x,y),则1+cosx。-1+cosx.,所以cosx。 减,则g(x)<g(1)-1,所以a1.综上,a的取值 一cosx,取x= 范围为[1,十).故选D n十1,y= 8.A(1)如图所示. 5π+1.,两切点处的导数值均为1,两切点连线的 由抛物线的定义知,点P到准 线:- .-D 斜率为b--1.所以两切点处的导数值等 r.一x P到焦点F(-,0)的距离l 于两切点连线的斜率,符合乙性质,所以D选项符 合.故选BD. PFl.因此点P到点M(0,2) 11.ACD 由题知,点P的轨迹是a-3.c-2,焦点在 的距离与点P到准线x-的 距离之和等于点P到点M(0.2)的距离与点P到 点F(一}.)的距离之和,其最小值为点M(0.2) 当点P为概圆右项点时,|PF。|=a-c=3-2 1,故A正确;当点P为槛圆上、下顶点时, 到点F(一-o)的距离(当点P位于P的位置时), △PF$F。积的取最大值,且最大值为 Fe $-2 5,故B错误;PA +PF |=|PA|+2a 17.故选A. |PF 2a-lAF-6- (-1+2)+1-6 9.AC.'a.+a-l8,a+a-12,且公比q为整数, '+q-18,aq+aq=12,-2,-2,故 A正确;S2(1-2) -2*-2...S-510,故B 得△PAF 的面积为的P点坐标为P(x。y。). 1-2 错误;S.+2-2,故数列S.+2是等比数列,故 由A,F。坐标知,AF 一②,直线AF,的方程为x C正确;.a.-2,.'lga.-lg2-nlg2,故数列 (lga.)是公差为lg2的等差数列,故D错误,故 /2 选AC. xn-y-1-0或x.-y%。+5=0,联立 10.BD 由题意可得,函数f(x)具有Z性质指函数y {2-_-1_。 一f(x)的图象在两个不同的点处的切线是重合 的,即两个不同的点所对应的导数值相等,且函数 ,化简得7y+5y。-20-0,则△- 图象在该两点处的切线方程也相同,对于A选 项,y一e一x.则y一一1,导函数为增函数,不 25十28×20>0,因此存在两个交点:同理可得直 存在两个不同的文使得导数值相等,所以A选项 (x-y。+5-0 线与联立 不符合;对于B选项,y-t -r”,则y'-4r-2x .化简得7-25y。 2. +40-0,则△-25-28$×40--495 0,所以不 存在交点;综上,有且仅有2个点P,使得△PAF 的面积为3,故D正确;故选ACD. 处的切线重合,切线方 12.解析:每年所需费用是首项为4,公差为2的等差 数列,所以总费用s(n)=n×4+n(n-1)×2+ 2 r*,则y'一3r{},设两切点分别为(r,^)和(x。. , ),由两切点处的导数值相等得3x{}一3x{,解得 100 .=一x。,令x.一a,则x。一一a,两切点处的导数 100 十3-23,当且仅当n= +32/n. ,即n n 7 值均为3a^{},两切点连线的斜率为^-(-^}) a-(一a) 一10时,等号成立,即n一10时,该渔船年平均贵 一a^,则3a}一a^{,得a一0.两切点重合,不符合题 用最低. 意,所以C选项不符合;对于D选项,y一x十sinx, 答案:+3n+100 10 58 13.解析:如图所示,建立 16.解:(1)由圆的定义知2-(-2-③)+(0-1) 如下空间直角坐标系, 依题可得,A(2,0,0). + (2-③)+(0-1),所以a-6,所以6=a} C.(0.2,1).F(1.1,0). B.(2.2.1),则AC= n. (-2,2,1),FB-(1. AC·FB ##一1 1.1).所以cos(AC,FB)= [AC||FB 由 消去y,得2r+2③nr+3r-6-0 -2×1+2×1+1×1-3 0 ,故直线AC,与直线 9.③ 因为直线AB与圆M交于不同的两点A,B.且 #},故答案为}。# 3 点C不在直线AB上, [△-12m-24(n*-2)0. 所以 ()(c>0).则g'(x)= 解得一2<m<2,且m:0 14.解析:设g(x)二 文 设A,B两点的坐标分别为(x·y).(x,y。). xr'(x)-2/(x)→o.故画数g(x)在(0,+o)上 则+r:=-v3m,x3m^-6. _ 3._3 #。+n. ) 0 (2)f(x)(x>o),则(c)-xf(r)-3f(x) 所以lAB-(x。-x)+(y一y){ r 4[(,+)-4七:]→2、4-. <0,故h(x)在(0,十c)上单调减,所以f(2) #3)_)#_ 高 点C③,1)到直线- #3的离③]# 即(2) 2 /(3) 的取值范围是(,). 于是△ABC的面积S= 答案:(2) 5 15.解:(1)①③不能使a.)成等比数列. 当且仅当ml一4一n,即m=士、②时“-”成立 ②可以使(a。成等比数列,理由如下: 所以m=士②时,△ABC的面积最大,此时直线 由题意f(a.)-4+(n-1)×2-2n+2. AB的方程为y-3 3士v2,即x-3y士v6-0. 即loga。-2n+2,得a.-k,且a-k-0 17.解:取AC的中点O.连 .1_201? 接BO.OD.易得OA. -~= OD.OB,两两垂真,如图: “k为常数,k0.'^为非零常数, 以Q为原点:QA:QD '数列a是以为首项,b为公比的等比 OB. 所在直线分别为x 数列. 轴,y轴,:轴建立空间直 (2)由(1)知a.-^*,当b-②时,a.=2*}. 角坐标系. 2_1 “a二 则A(1,2,0),B(0.2.3),D(0,2.0),A(1,0.0). E(-1.1,0). 6.-(2n-1)(2+1-1(22). (1)证明:AD-(-1,2,0),AB-(-1.2.3). BA-(1,0.-③),BE=(-1,-1,-③). 'T-b十b十.+b -寸#(1+101+-) 设n=(x,y,z),n-(x,y,z)分别为平面 A.BD和平面BAE的法向量。 -(1-)-# -x+2y-0. 由AD.n=0.AB·n.-0,得 -+2+③-0. 59 令y-1,则r-2,-0. 由①-②得,-T-(-6)×2-+(2-+2- 'n=(2,1,0)是乎面A.BD的一个法向量。 *+2)-(n-7)×2-(-6)x2+$ 2 ×(1-2”)-(n-7)x2--(8-n)x2 1-。-0. 由BA·n.=0.BE·n.=0,得 1---3:=0. 1-2 令。-1,则x。-3,--23. 2 '.n-(3,-2③,1)是平面BAE的一个法向量。 当n7时,T=-T.--(n-8)·2 'n.n-0.平面BAE1平面A.BD. (2)A.A-(0,2,0),设平面A.AB的法向量为m (x.y,x). 12y-0. 由AA·m-0,AB·m-0.得 即T。二 -+2y+3-0. 令:-1,则x-3, 19.解:(1)因为函数f(x)=ln(2x-1)-m(2x-1) '.m-(3,0,1)是平面AAB的一个法向量。 十1的图象恒在直线y一1的下方。 设平面DBA和平面BAA.的夹角为日, 所以/(2)<1在(,+)上恒成立, n·n2③15 则cos0-- n n 5×2 等价于ln(2r-1)-m(2r-1)<0在(,+)上恒 V15 成立, 即平面DBA.和平面BAA.夹角的余弦值为 等价于m(2r-1)>ln(2r-1)在(,+)上恒 (3)假设在线段B.B(含端点)上存在点M,使点 成立, M到平面A.BD的距离为25. 设M(0.a.③)(0<a<2),则BM(0,a-2,0). n 5 令g(x)-1n(2-1),则g'()-2-21n(2-1). 2r-1 故在线段B.B上存在点M(端点处),使点M到 (2-1) 令(c)-0.可得x-+1. #)时,(c)>o 18.解:(1)当nN'时,b.-loga.,b-log:a. 2 _. 则$ -b.-log。a-loga.=log。 当1时g(c)<0. 2 因为数列(a.为等比数列,所以为定值, 所以&(1)在(1)上单调增,在 a. a..为定值,数列(b。)为等差数列. 所以log。 (1+)上单调减, a 由b-log,a.-log1-0,b -1,得数列(b)的公 故g(2)的大值为(^)-,以## 差为1, 即实数的取值范是(,十~). 所以b-b+(n-4)x1-n-4,a.-2 -2. (b.+b.)n(n-7)n 一时#成 2 2 (2)由(1)可知,m= {5 ·(n-7) -1(n1一7) 2-1 即ln(2x-1)<2(2-1)在(,+)上恒成立. (2)c一 .21. 5 设 $=(n-7)·2,T。为数列()的前n项 令-2x-1(keN),则ln2 和,则 T'=(-6)×2+(-5)$2+(-4)$×2+$ ...+(n-7)×2,① 22n(1+2n)_2n(2n+1) +..十2n)二 2 $ T'$-(-6)$2+(-5)$2-*+(-4)$2+ 5 ...+(n-7)×2,② 即$.-2n(2n+1) 5 60