第四次月考滚动检测卷(范围：选择性必修第二册-【课堂百分百】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册单元培优双测卷（人教A版2019）

1解：由题意得，f)=1+}+红-+2+山 第四次月考滚动检测卷 其中x>0,令m(x)=x2+2ax十1，△=4(a2-1), 1.D令/2n-1=35=/45,得2n-1=45,即2m 46,解得n=23,故选D. ①当a>1时，令m(x)=0,得x1=-a十√a-1 <0,x2=-a-√a-1<0. 2.Cfx)=sinx∴f(x)=cosx,∴f(5) 所以(x)>0在(0，十∞)上恒成立，所以f(x) 在(0，十∞)上单调递增： ②当一1≤a≤1时，△≤0，m(x)≥0恒成立，所以 3.A“f)=3r-t+mr+1.f(x)=r f(x)≥0在(0，十∞)上恒成立，所以f(x)在 (0,十∞)上单调递增： 2x十m,令x2一2x十m=0,∴.a2十a1a8=2,又a2a ③当a女一1时， =a,十a,m）:m=1.故选A 令m(x)=0,得x1=-a十a-1>0, 4.D检验易知选项A,B,C的图象均存在造合的函 x2=-a-a-1>0,且x1>x4, 数，选项D的图象所对应的函数不存在，故选D. 可知当r∈(0，-a,-√a-1)时，广(x)>0,则 5.C由题意可得所有项之和S4十S%是所有偶数 f(x)在(0，-a-√a-1)上单调造增： 项之和Sm的4倍，.S年十Sm=4Sw.设等比数列 (a,}的公比为q,由等比数列的性质可得S% 当x∈(-a-√a-1,-a+√0-1)时，f(.x)<0, 则f(.x)在(-a一√a-1,-a十√a-1)上单调 454即5-5号3。+5，-45S0, 递减： ∴解得g=号，又前3项之积au,a=a=64,解得 当x∈(-a+√a-1,+o∞)时，f(.x)>0, 则f(.x)在(-a十√a-1,十o)上单调递增. Q,=4.∴a,--12.故选C. 综上所遂，当a≥一1时，f(x)在(0，十∞)上单调 6.B由f(x)=sin2.x-ksin r+x,得∫(x)=2cos 递增：当a<-1时，f(x)在(0，一a一√a-1)和 2x-keos+L.因为函数f(x)在区间(0，交)上单 (一a十√a-1,+oo)上单调递增，在(-a 调递减，所以可得f(x)=2c0s2.x-keos x十1≤0 √a-1,-a+a-1)上单调递减. (2)由1)知，了(x)=+2ar+1(>0,由题意 在0，受上恒成立.脚≥4cr-心在0，经 上恒成立，令cosx=1∈(0,1)，不妨设g(1)=41 知xx是x+2ax十1=0的两根， 所以x=1.x1十x=-2a. e01.则gu)=4+>0.即80- 可得5=2a=-x一 1 上在(01)上单调递增，所以g()<3,所以≥3. 周为∈[e,+∞)，所以x,∈(0，。 故选B. 7.B根据题意可知，这20位老人年龄之和为1520 f)-fx)=fx)-f侵) 岁，设年纪最小者年龄为n岁，年纪最大者年龄为 m岁，m∈[90,100]，则有n十(n十1)十(n十2)十… =[(+n] 十(n+18)十m=19n+171十m=1520,则有19n十 m=1349,则m=1349-19n,所以90≤1349 令r)=2[e-(-)] 19m≤10，解得65普<<6高国为年龄为整 则F'()=2(号-1lnx-20+)0-h三 数，所以n=66,则m=1349一19×66=95.故 选B. 当r(o,]时，F)<0.则Fx)在(o,]单 8.Df(x)的定义战为(0，十∞)，函数y=ax-a与 调递减，此时F(x)的最小值为F(日)=2 函数f(x)=(x+1)lnx的图象有3个交点，等价 于关于r的方程1nx-aID=0(x>0)有3个 (日-e+&+c)=, x+1 即f(x)一f(x)的最小值为 不相等卖根个g0=一，因为g=0, 所以g(x)必有1个零点x=1.g'(x)= 54 x+1)2-2ax=t+1+2x-2ax≥4x-2a T.一S。=0,即T.=S.故A选项正确.当一1<9 r(x+1) x(.x十1)2 x(x+1)月 2(2-0(当且仅当x=1时取等号).当a≤2时， <-名我g>2时，工-S>0,即T>5,故B选 (x+1)7 g(x)在(0，十∞)上单调递增，不符合题意：当a>2 项正确，D选项错误。当-<Q<2(0≠0)时， 时，令g'(x)=0,得x1=a-1-√a-2a,x2=a-1 T.一S,<0,即T.<S,故C选项错璞.故选AB. +/a-2a,所以0<1<1<x2,易得g(x)在(0，x) 12.解析：因为g3-4=8.所以9=2，所以a=a9 上单调递增，在(.x2,十∞)上单调递增，在(x1,x) 上单调递减，又g(1)=0,所以g(1)>0,g(x2)<0, =32. 又ge)-a-g->08e)-4 答案：32 13.解析：依题意，就行的总费用L()=(0r十女 a(e"-D=-2a,<0,所以g(x)在(xe)上 e+1 e"+1 +540)190=f+5400+10(x>0.所以 有1个零点，在(e“,x1)上有1个零点，所以函数 g(x)有3个零点，即函数y=ax一a与函数f(x)= L')=2x-5400,令L(x)=0,得x=30,当 (x十1)lnx的图象有3个交点，故选D. 9.ABD2020(a 0<x<30时，L'(x)<0:当x>30时，L'(x)>0. 2 所以当x=30时，L(x)取得极小值，也是最小值. 202oain+aam2>0,2021a,+a）=2021am 所以要使得航行的总费用最少，航速应为30千米时 2 2 答案：30 <0,∴.a1o十a1o1>0,a1o11<0,.a101n>0,a1on 14.解析：由f(x)=e(x一1)，得f(x)=e(x一1)十 <0,ao1m>a1o1,故A,B正确，C错误.由上述 e=xe,令f(x)=0,得x=0,当r变化时， 可知等差数列{a}为逆减数列，∴.此数列中绝对值 ∫(x),f(x)的变化情况如表所示 最小的项为a1t,故D正确.故选ABD. (-00,0)】 0 (0,十o∞) 10.BD设h(x)=ef(x),则h'(x)=e[f(x)十 f(x)],因为f子(.x)+f(x)>0.所以h'(x)>0,h(x)在 f(r) 0 R上是增函数，因为a是正实数.所以a<2a,所以 f(x) 单调递减 极小值 单调递增 ef(a)<ef(2a),即f(a)<ef(2a),又e>l. 故f(a),f(2a)大小不确定，故A错误.因为-a<a. 所以，函数f(x)的极小值为f(0)=e(0一1)=一1. 所以e“f(-a)<ef(a),即e"f(a)>f(-a), x1∈[-2,2]，3x2∈[-1,2]，使得f(x1)>g(x), 故B正确.因为a>0,所以ef(a)>ef(0)= 即f(x)在[一2,2]上的最小值大于g(x)在[一1,2]上 f0.fa>f0.又e>1,所以fa0 的最小值，所以当x∈[-1,2]时，g(x)mm<-1. 当x∈[一1,2]时，①若m>0.函效g(x)单调递 大小不确定，故C错误，D正确.故选BD 增，g(x）m=g(一1)=一m,所以一m<一1.即 11.AB由于{an}是等比数列，S>0,所以a1=S>0, m>1:②若m<0,函数g(x)单调递减，g(x)n= 9≠0，当g=1时，S。=a1>0.符合题意：当q≠1 时.S=a0二2>0，二g>0,等价于 g2)=2,所以2m<-1.中m<-之③若m=0, 1-g 1-g g(x)=0,不符合题意.综上，m的取值范国是 1go日0e l1-g>0 ②.解①，由于n可能是 (-，-号U1,+∞) 奇数，也可能是偶数，所以g∈（一1,0）U(0,1).解 ②得q>1,综上所述，g的取值范围是(-1,0)U 答案：-1(（-，-2)U1.+∞) o,+∞).6-a-41-a,g-昌9.所以 15.解：(1)依题意，(.x)=m.x-2m.x-3, 因为f(x)在x=3处有极小值， 工=g-昌5所以T.-5=89-多0 所以f(3)=3m一3=0，解得m=1. 经检验，m=1符合题意，故m的位为1. 1)=S·(g+2)9-2,周为5>0，且∈ (2)由(1)得，f(x)=x-2x-3, （-1,0U(0,+∞)，所以，当g=一号或q=2时， 令f(x)=0,得x=3或x=-1. 又x∈[一4,4]，所以当x变化时，f(x),f(x)的 55 变化情况如下表： 17,解：(1)因为fr)=1+alnr,x∈(0，+oo), 一4《 -4.-1) -1 (-1.3)3(3.4) ( 0 所以了)=+- 70 单调 单调 单洞 当a≤0时，f(x）<0,函数f(x)在(0，十∞)上单 f(x》 11 14 递增 运减 造增 3 调递减 由上表可知f(x)在[一4,4]上的最小位为一3 70 当a>0时，由fx<0.得0<r<合，由f) 化在[一上的装大值为号 >0,得>日，所以画数八)在(0，）上单洞递 16.解：(1)选①. 减，在（日十）上单洞递增。 设等差数列(a,}的公差为d ,2a1=2,au十ag=10,.2a+8d=10, (2)要证当a=1时，f()+gr)-(1+)mx>e, ∴.a1=1,d=1,.a.=1+(n-1)X1=n, ,b1=2.λSw=b.-1, 即运+号-n一e>0 ,当n=1时，有S,=λb,=b1一1， 即入×2=2-1.得=立： 1 即证e一er+1 eln在(0，十o)上恒成立. 令F(.x)=e-ex十1，则F(.x)=e-e, 当n≥2时，b,=S.-S。-1=2(6-1)-2(b.-1-1),即 b.=2b。-1· 当x∈(0,1)时，F'(x)<0,此时函数F(x)单调 .{b}是以2为首项，2为公比的等比数列. 递减， .b.=2×2"-1=2". 当x∈(1，十∞)时，F(x)>0,此时函效F(.x)单 选②. 调递增 设等差数列{an}的公益为d, 可得当x=1时，函数F(x)取得最小值F(1)=1. ,2a1=2,a2+am=10,2a1+8d=10, 令G(x)=enr,则G(r)=e1-ln2 ∴.a1=1,d=1,.a.=1+(-1)X1=n, a=4. 当0<x<e时，G(x)>0,此时G(x)单调递增. 设等比数列(b.}的公比为q(q>0), 当x>e时，G(x)<0,此时G(x)单调递减， 'a=S,-2S+S1, 所以当x=e时，函数G(x)取得最大值G(e)=l. a=(S4-S:)-(S2-S,)=b-b=b19-b4 因为x=1与x=e不同时取得，所以F(x)>Gx), 又：a,=4,b=2,g2-q-2=0, 即e-ex+1>cln2在(0，十o)上恒成立. 解得q=2或q=一1（舍去）， ∴b.=2×2-1=2 选③. 所以当a=1时，)+g)-1+兰)h>e 设等差数列{an}的公益为d. 18.解：(1)设第n(n∈N)年的预计投入资金和出售 2a1=2,ae十a=10,∴.2a1+8d=10. 产品收入分别为a。万元，b。万元. .a1=1,d=1,a.=1+(N-1)×1=m 依题意得，当授入的资金不低于20万元，即a.≥ b.=2a1=1,h=2, 1 20时0，=20-(n≥2).b,=b.-1+80(n≥2). .令n=1.得b1=2,即2=2， 解得1=1..b=2. 此时，a,是首项为1000，公比为号的等比数列， 即bn=2“. {6,}是首项为40，公差为80的等差数列， (2)由(1)知a.·h=n·2, .T.=1×2+2×2+3×2+…+n×2",① 所以a,=100×(空》，6=80m-40. 2T=1×22+2×2+…+(n-1)×2+n× 令a.<20.得2->50，解得n≥7， 2+,② ①-②得-T.=2+2+2+…十2"-nX2+1= 所以，a, 100x(侵厂.1≤≤6 2(1-2*) 20,n≥7 1-2 一n×2, 180n-40,1≤n≤6 .T.=(n-1)×2+1+2. b. 1440.n≥7 56 (2)由(1)可知当1≤n≤6时， 第三部分 期考综合检测卷 总利润S= [40+(80m-40)] 160x[1-(2门 期末综合检测卷 12 1.C由a1·a5=16,得a=16.又各项均为正数，所 =200×(号）广+40r-2000. 以a=4,由a1+a=12.得a,=8,所以公比g= 所以5-S1=-20(号)】月 a=8=2,故选C. +80m-40,n≥2， 434 2.C由题意得，圆心(3,0)到直线y=x+1的距离 因为f(.x)=-2000X (号)广+80r-40为增画数 d=3-0+1山=22，圆的半径为1，故切线长的最 f(3)<0,f(4)>0, ② 所以，当2≤n≤3时，S-1>S.: 小值为√-r=√8-I=7,故选C 当4≤n≤6时，5。-1<S, 3.D不坊设点P在双曲线的右支上，则「PF|一 又因为S,<0.S=-528.75<0, 1PF.=2a. 所以当1≤n≤6时，S<0, ”△PFF:是等腰直角三角形. 即前6年该公司未盈利， .只能是∠PF2F,=90°，.PF2|=|FF:=2e, 当n≥7时，S。=S6十(b-a)+(b。-ag)十…十 .lPF,|=2a+|PF2|=2a+2c, (b.-am)=-528.75+420(n-6). .(2a+2c)=2·(2c).即c2-2ac-a2=0, 令S>0,得n≥8. 两边同除以a°，得e一2e-1=0. 综上，预计从第8年起该公司开始盈利， ,e>1,∴.e=√2+1.故选D. 19.解：(1)当x=0时，f(0)=0. 4,Dy'=3.x2-1≥-1，即tana≥-1，又a∈[0，x), 由f(x)=xe-ln(x+1)-x, 所以ae[,受U[),故选D 得(x)=e(x+1D-1 +11. 5.A易知函数y=4cosx一e为偶函数，当x>0 时，y=4cosx-e,则y'=-4sinx-e,若x∈ 所以切线方程的斜率k=∫(0)=心(0十1)一0十 (o,受)则m>0e>0,期<0，若xe[受+o）, -1=-1, 所以切线方程为y=一x, 则-4≤4sinx≤4，e≥e>(2.7)>/19.6>4, (2)由题可知，函数f(x)的定义战为（一1，十∞）， 则y'<0,即当x>0时，y'=一4sinx-e<0恒成 由(1)知， 立，则y=4cosx一e在(0，十o∞)上单调递减，故 x+-1=ex+1--2 f(x)=e(x+1D- 选A. +1 6.B设等差数列{an}的公差为d,,a1=一9，a=一1， 记g(x)=e(x+1)-x-2, .a5=-9+4d=-1,d=2,an=-9+(n-1) 所以g'(x)=e(x+4.x+3)-1, ×2=2n-11.令a.=2n-11≤0，则n≤5.5，.n 易知x∈(0，十∞)时，g'(x)>0, 5时，4.<0：n≥6时，4.>0.∴.T1=-9<0,T2= 所以g(x)在区间(0，十∞)上单调递增， (-9)×(-7)=63>0,T,=(-9)×(-7)×(-5) 所以g(x)>g(0)=一1. =-315<0,T,=(-9)×(-7)×(-5)×(-3)= 又因为g(1)=e(1+1)2-1-2=4e-3>0, 945>0,T=(-9)×(-7)×(-5)×(-3)×(-1)= 所以在区间(0,1)内必存在E,使g(E)=0, -945<0,当n≥6时，a.>0,且aw≥1.T.+1<T 所以当x∈(0，e)时，g(x)<0,即f(x)<0, <0,.T.=a1a…a(n=1,2,…)有最大项T,无 所以f(x)在(0，e)上单调递减， 最小项，故选B 当x∈(e,1)时，g(x)>0,即f(x)>0, 7.D由题意，知当x∈[1，+o)时，a.x十1>0，所以 所以f(x)在(e,1)上单调递增， ≥0.由)=lnax+1)+是得f) 所以当x=e时，f(x)有极小值f(e). 2 ax'ta-2 因为f(0)=0, a 所以f(e)<f(0)=0, ax+(x+1)-(a+1Dr+1)由fr)在区 而f(1)=1×e-ln(1+1)-1=e-1n2-1>0, 1.十止单满运塔，译了0=a予之0 所以f(x)在区间(e,1)内必存在唯一零点， 在[1.十o心)上恒成立，即ax十a-2>0在[1，十o∞)上 所以函数f(x)在区间(0,1)内有且只有一个 零点 成主，即a>异在1，十o四)止恒或主，设g) 57第四次月考滚动检测卷 [范围：选择性必修第二册] (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知数列1,3,5，√7，…√2n-1,则35是这个数列的第 A.20项 B.21项 C.22项 D.23项 2.已知函数fx)=sin,其导函数为f(x),则f(） A- 2 c D.、3 2 3.已知等差数列{an},若a2,a1是函数f(x)= 3x-x+mx十1的极值点.则a2的值为( A.1 B.-1 C.土1 D.0 单 4.设f(x)是函数f(x)的导函数，将y=f(x)和y=了(x)的图象画在同一个平面直角坐标系 北 中，则不可能正确的是 如 数 5.已知一个项数为偶数的等比数列{am),所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为 64,则a1= A.1 B.4 C.12 D.36 6.函数f(x)=sin2x一ksin十x在区间(0,2)上单调递减，则k的取值范围是 A.[-3,+o∞) B.[3,+o∞) C.[0,+o∞) D.[-3,3] 剂 7.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，书中有如下记载：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一 章，四章为一都，七十六岁，二十篩为一遂，遂千五百二十岁，…，生数皆终，万物复始，天以更 元，作纪历.”某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年纪 最大者已是奔百之龄（年龄介于90岁至100岁），其余19人的年龄依次相差一岁，则年纪最大 者年龄为 ( A.94岁 B.95岁 C.96岁 D.98岁 8.函数y=a.x一a与函数f(x)=(x十1)lnx的图象有3个交点，则实数a的取值范围是( A.(1,2) B.(2,e) C.(e,十∞) D.(2.+∞) 29 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知等差数列{an的前n项和为Sm,且S2>0,S21<0,则下列说法正确的是 A.S1o1o最大 B.a11o>|a1o11 C.a1o11>0 D.数列中绝对值最小的项为a1 10.若f(x)满足，f(x)十f(x)>0,则对任意正实数a,下列不等式恒成立的是 A.f(a)<f(2a) B.f(a)e>f(-a) C.f(a)>f(0) D.f(a)f(o) e“ 3 11.已知等比数列(a,}的公比为g,前n项和S,>0,设b,=a+2一2a+1…记{b,}的前n项和为 T。,则下列判断正确的是 ( A.若q=2,则T.=S B.若q>2,则Tm>S C若q=-子则T>S D若g=-则T.<S 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在等比数列{an}中，a2=2,us=16,则a6= 13。一艘船的燃料费y(单位：元/时)与船速x(单位：千米/时)的关系是y=0十x,若该船航 行时其他费用为540元/时，则在100千米的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应 为 千米/时. 14.已知函数f(x)=e(x一1)，则它的极小值为 :若函数g(x)=mx,对任意的x1∈[一 2,2],总存在x2∈[-1,2]，使得f(x1)>g(x2),则实数m的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15,(13分)已知函数fx)=3mr-mr-3x十2在1=3处有极小值。 (1)求实数m的值： (2)求f(.x)在[一4,4]上的最大值和最小值. 30 16.(15分)已知{a.}为等差数列，各项为正的等比数列bn}的前n项和为S.,2a1=b=2,a2十as =10, .在①λS=b.一1，②a,=S,一2S2+S1,③bn=2,这三个条件中任选其中一 个，补充在横线上，并完成下面问题的解答（如果选择多个条件解答，则以第一个解答记分）. (1)求数列{a.}和{bn)的通项公式： (2)求数列{a.·bn}的前n项和T. 1.(5分)已知函数)=+alnx,g（x)= (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)证明：当a=1时，f(x)+g(x)-(1+号)nx>e 31 18.(17分)公司生产一种产品，第1年投人资金1000万元，出售产品收入40万元，预计以后每 每的投入资金是上一年的一半，出售产品收入比上一年多80万完，同时，当预计投入的资金 低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等. (1)求第n(n∈N)年预计投入资金与出售产品收入： (2)预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盘利是指总收入大于总投入） 19.(17分)已知函数f(x)=xe'一ln(x十1)-x. (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程： (2)证明：函数f(x)在区间(0,1)内有且只有一个零点. 32-