第五章 一元函数的导数及其应用 本章综合检测-【课堂百分百】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册单元培优双测卷（人教A版2019）

只需证er-lnr<e+L 本章综合检测 2 即证lnx+1>er-e. 1.B （停z)-12兰，A错误：n2x+1订=2品 2x er 设)=h+女到)=这- B正确：(2/=2n2,C错误：(2rsin专cos) er 今r=二=0，解得r=,当xe(0.是)时. =(rsin x)'=sinx十ccosr,D错误.故选B. 2.C由题意，可得曲线y=f(x)在点P处的切线方 h'r)<0:当x∈（日，+e)时，h'(x)>0, 程为y=-一2(x一2)，因为切点在曲线上也在切线 上，所以f(1)=-2×(1一2)=2，故选C. 故画数h(r)在(0，)上单调递减，在(，+∞)）上 3.D由题意得f(x)=(x-2)(.x-1),令f(x)= (x-2)(x2-1)<0,得x<-1或1<x<2,故 单调递增，即h(x)≥h(仁）=0， 选D. 4.B了(x)=3.x2-2ar-b,由题意得 从而有1nx+1≥0. er 1f(2)=8-4a-2b+a2-6a=8, 解得a=一4或a 设g(x)=ex-e',x>0,则g'(x)=e-e, f(2)=12-4a-b=0 令p'(x)=e-e=0,解得x=1, =6.当a=6时，b=-12,(x)=3x2-12x+12= 当x∈(0,1)时，9(x)>0: 3(x一2)，当x≠2时，均有广(x)>0,则x=2不是 当x∈(1，十∞)时，p'(x)<0, 函数的极值，点，故舍去a=6,验证可知a=一4特 故函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上 合题意，故a=一4.故选B. 单调递减，即g(x)≤g(1)=0,从而有ex-e≤0. 因为h(x)和p(x)不同时为0，所以lnr十1>ex 5.B)-一h一的定又城为0-U.+o》 ex 设g(x)=x-1nx-1,则g'(x)=1-,当x∈(0， 一e,故原不等式成立。 19.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，十∞)，当a=一1 1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当x∈(1，+∞) 时f(x)=x-1-+1x-卫令广)=0. 时，g(x)>0,g(x)单调递增，则g(x)≥g(1)=0. 所以f(x)>0,且f(x)在(0,1)上单调递增，在 得x=1或x=一1（舍去）， (1,十o∞)上单调递减.故选B. 当x∈(0,1)时，(x)<0.函数f(x)单调适减， 6.B设BM=x,陆地上修建石油管道的单位长度费 当x∈(1，十o)时，f(x)>0,品数f(x)单调 递增， 用为1，则AM=/100十x,MC=100-x,总费用 所以fx)在x=1处取得极小值，极小值为7，无 为f(x)=3√/100+x+100-x(0<x<100).易得 极大值 071◆f)=0,得x-5a I(r)=-3r (2)当a=1时，易知函数f(x)在[1，e]上为增 函数， 数f代)在(0,100)上只有一个极小值点=5，巨 2 所以f)=f)=)=o=e+1. 所以当=5时，)取得最小位，故选B (3)运明：设F(x)=f)-g)=号r+1nr 7.C由题意，构造函数g(x)=ef(x),g(x)=e 号r≥. f(x)十ef'(x)<0.故函数g(,x)是R上的单调递 则F(x)=r+1-2x2=1-)1+x+2x 减画数，故g(-1)>g(0)>g1)台。(-1D> f0)>cf(1D,化简得到f1)<0)<f-卫D,故 当x>1时，f(x)<0,故F(x)在区间(1，十∞)上 e e 是减函数 选C. 又国为f(1)=-吉<0，所以F()<0在区间 8D由题意，如关于x的不等式号>ax十1)格有 [1,十o)上恒成立，即f(x)<g(x)恒成立.因此 当n=1时，在区间[1，十o)上函数f(x)的图像 两个正整数解设)-号，期f)=2二卫， e 在函数g(x)图像的下方. 故f(x)在（一∞，0），(2，十∞)上单调递减，在 51 (0,2)上单调递增，作出f(x)的大致图象，如图.设 x时，f(x)>0,当x1<x<x2时，f(x)<0,故 g(x)=a(x十1)，g(x)的图象恒过定，点M(一1,0)， f(x)有两个极值点，逃项D正确.故选BD. 设A2B3号.则w-是w=是.又当 12.解析：(x)=1-ln,令广(x=0,解得x=c.当 x=1时，直线AM,BM在f(x)图象下方，由题意 x∈(0，e)时，广(.x)>0,函数f(x)单调递增：当x 可知，x=1和x=2是不等式ae(r+1)-x<0 ∈(e,e]时，f(x)<0,函数f(x)单调递减.所以 的两个正整数解，所以实数4的取值范国为 fx)在(0，e]上的最大值为f(e)= [是是)：故选D 答案：日 13解析：(x)=m-”,由导数几何意义知，了(1) =m一n=2,即m=n十2(n>0).若f(x)在区间 [合+)上单河递瑞，则了≥0在[2+)上 9.AD由题图可知，当x=一2时，导数符号左负右 成立，即n+2>”在[2十∞）上板成立，即 正，函数f(x)取得极小值，选项A正确：当x=1 时，导敏符号左正右正，函数f(x)不能取得极值， t之n2在[}+)上恒成立，号知y=r在 选项B错误：f(x)的图象在x=0处切线的斜率为 (0)>0,选项C错误：当x∈(-2,2)时，f(.x)≥0， [日+)上的最小位为所以平2≤行又 函数f(x)单调递增，选项D正确.故选AD >0,所以0<≤号，则n的漾大值为号 10.AD设g(r)=卫-n,函数g(x)单调道增， 答案：n十2(n>0) 2 0<g(a)>g(x),即f>f) x 14.解析：当x>0时，由f()-一f)<0,可得函教 x x1f(x)>x2f(x1),A正确：设h(x)=f(x)+ x,h'(x)=lnx+2,h'(x)不是恒大于等于零，B g(x)=D在(0，十0)上是减函数，又因为函数 错误：f(x)=xlnx,∴.f(x）=lnx十1，f(x)不 f(x)是定义在R上的偶函数f(2)=0,所以g(.x) 是恒小于等于零，C错误：，lnx>一1，：(x) 是定义在（一∞，0）U(0,十∞)上的奇函数，且 =nx十1>0，函数f(x)单调递增..(x一x) g(2)=0,则g(x)的大致图象如图所示： [f(x)-f(x)]=x1f(x,)+xf(x)-x2f(.x） -f(x,)>0·xf(x1)+x生f(xg)>x:f(x1） +x1f(x:),又x1f(x2)>x:f(x1), xf(x)十x2f()>2xf(x),D正确.故 选AD. 54-3-2-10 1345￥ 11.BD对于A,f(x)的定义战为R,f(一x)= -4 sin(-r)+(-x)-a(-x)=-(sin x+r'-ax) =一f(x),所以f(x)是奇函数，选项A不正确.对 所以不等式xf(x)<0的解集是（一2,0）U(2,十∞) 于B,若f(x)是增函数，则(x)=cosx十3x-a 答案：(-2,0)U(2,十∞) ≥0，即a≤c0sx十3x,在R上恒成立.令g(x)= 15.解：(1)广(x)=a+2hx+1. cosx十3.x2,则g'(x)=-sinx十6.x,令h(x)= -sinx十6x,则h'(x)=一cosx+6>0,所以 1a+2b+1=0 =- 2 g'(x)为增函数，又g'(0)=0,所以当x<0时 由题意 f(1)=0 ,即 g(x)<0,g(x)为减函数，当x>0时，g'(x)>0, f(2)=0 受+46+1=0 1 b=- 6 g(x)为增函数，所以g(x）m=g(0)=1,所以a≤ 1,选项B正确.对于C,当a=一3时，f(x)为增函 (2)由1得了)=号+1>0 数，不可能有两个零点，选项C错误.当a=3时， 令f(x)>0,得1<x<2: 了(x)=cosx十3(x2-1),结合离数y=cosx与 令f(r)<0.得r>2或0<r<1 y=3(1一x2)的图象（图略）可知，了(x)=0有两 所以f(x)的单调递减区间为(0,1)和(2，十∞)， 解（不妨记为x1,x且工1<：），当x<x1或x> 单调递增区间为(1,2). 52 16.解：(1)函数f(x)=cosx十rsin r十e一a.x, 所以1)=-工e为函数f()在R上的最小值. 则f(x)=xrcos x十e-a,f(0)=e°-a=0, 所以a=1.所以(x)=rcos r十e-1 因为不等式fx)+2≥0对xER恒成主. 当re[受0)时f)<0)单洞遥减， 所以-1c+2≥0，解得0<a≤1n2. 当r(0,受]时f(x)>0,f)单调诡增， 所以4的取值范国是(0，ln2]. 18.解：1)fr)=1-+ln,…f)=a二(a>0. 所以函数f八)在[一受·】]上的单润适增区间为 :函数f(x)在(1，十o∞)上为增函数， (0,]单调造减区间为[-受0 .(x)≥0对任意x∈[1，十oo)恒成立， ∴.ax-1≥0对任意x∈[1，十∞)恒成立， (2)f(x)=xcos x+e-a. 即4≥】对任意，x∈[1，十0)恒成立. ①若a=1,由1)知.当x∈(0，受)时，f(x)>0. f(x)单诵递增： 当xe[1,+o∞)时.(）=1， ②若a<1,当xe(0,受)时xc0sE>0e-u>e .实数a的取值范国是[1，十o∞). 一1>0，则f(x)>0,f(x)单调递增： (2)当a=1时，f(x)=1 ⑧若a>1f(0)=1-a<0,则存在x∈(o,受 当xe[2)时fx)<0. 使得当，x∈(0，x)时，f(x)<0,f(x)单调递减， 不符合题意， “)在[号1)上单调道减 综上所述，实数4的取值范围是（一∞，1门. 当x∈(1.2]时，f(x)>0, 17.解：1)当a=2时fx)=(d2-x-2)e, f(x)在(1,2]上单调递增 f)=2r+40x-1De. x)在[2,2]上的最小值是f)=0 令f(x)=0,解得x=一4或x=1. 又f(2)=1-ln2f=-2+n2.(2） 当x<-4时，f(x)>0,f(x)单调递增； 当-4<x<1时，(.x)<0,f(x)单调递减： f2)=号-2h2>0, 当x>1时，f(x)>0,f(x)单调递增. )在[22习]上的最大值是f(侵)=1-n2。 所以f(x)的极大值为f(-4)=18e2,极小值为 f(1)=-2e. (3)当a=1时f)=1+lnr,fx)=号， 2r)=a(+2e-10e .f(x)在[1，十o∞)上是增函数 令f)=0.脚ax+名)x-1)=0, 当>1时：◆xn马则>1，且>=0， 解得x= 2或x=1 ()=”2+h”-+ 因为a>0,所以当x变化，f(x),f(x)的变化情 n-1 况如下表： >0, 即lnn>1 n-1 n' (1,+o∞) ,31」 n-1 n f(x》 0 0 + f(x)单调递增 极大值 单调递减 极小值单调递增 当x< 2时，有x>0.-x> a4>0, + 所以-x一>0，从而)>0 :对于任高大于1的正整数m都有1n>号十号 又画数)在=1处取得核小值)=-e<0, +…+1 53 1解：由题意得，f)=1+}+红-+2+山 第四次月考滚动检测卷 其中x>0,令m(x)=x2+2ax十1，△=4(a2-1), 1.D令/2n-1=35=/45,得2n-1=45,即2m 46,解得n=23,故选D. ①当a>1时，令m(x)=0,得x1=-a十√a-1 <0,x2=-a-√a-1<0. 2.Cfx)=sinx∴f(x)=cosx,∴f(5) 所以(x)>0在(0，十∞)上恒成立，所以f(x) 在(0，十∞)上单调递增： ②当一1≤a≤1时，△≤0，m(x)≥0恒成立，所以 3.A“f)=3r-t+mr+1.f(x)=r f(x)≥0在(0，十∞)上恒成立，所以f(x)在 (0,十∞)上单调递增： 2x十m,令x2一2x十m=0,∴.a2十a1a8=2,又a2a ③当a女一1时， =a,十a,m）:m=1.故选A 令m(x)=0,得x1=-a十a-1>0, 4.D检验易知选项A,B,C的图象均存在造合的函 x2=-a-a-1>0,且x1>x4, 数，选项D的图象所对应的函数不存在，故选D. 可知当r∈(0，-a,-√a-1)时，广(x)>0,则 5.C由题意可得所有项之和S4十S%是所有偶数 f(x)在(0，-a-√a-1)上单调造增： 项之和Sm的4倍，.S年十Sm=4Sw.设等比数列 (a,}的公比为q,由等比数列的性质可得S% 当x∈(-a-√a-1,-a+√0-1)时，f(.x)<0, 则f(.x)在(-a一√a-1,-a十√a-1)上单调 454即5-5号3。+5，-45S0, 递减： ∴解得g=号，又前3项之积au,a=a=64,解得 当x∈(-a+√a-1,+o∞)时，f(.x)>0, 则f(.x)在(-a十√a-1,十o)上单调递增. Q,=4.∴a,--12.故选C. 综上所遂，当a≥一1时，f(x)在(0，十∞)上单调 6.B由f(x)=sin2.x-ksin r+x,得∫(x)=2cos 递增：当a<-1时，f(x)在(0，一a一√a-1)和 2x-keos+L.因为函数f(x)在区间(0，交)上单 (一a十√a-1,+oo)上单调递增，在(-a 调递减，所以可得f(x)=2c0s2.x-keos x十1≤0 √a-1,-a+a-1)上单调递减. (2)由1)知，了(x)=+2ar+1(>0,由题意 在0，受上恒成立.脚≥4cr-心在0，经 上恒成立，令cosx=1∈(0,1)，不妨设g(1)=41 知xx是x+2ax十1=0的两根， 所以x=1.x1十x=-2a. e01.则gu)=4+>0.即80- 可得5=2a=-x一 1 上在(01)上单调递增，所以g()<3,所以≥3. 周为∈[e,+∞)，所以x,∈(0，。 故选B. 7.B根据题意可知，这20位老人年龄之和为1520 f)-fx)=fx)-f侵) 岁，设年纪最小者年龄为n岁，年纪最大者年龄为 m岁，m∈[90,100]，则有n十(n十1)十(n十2)十… =[(+n] 十(n+18)十m=19n+171十m=1520,则有19n十 m=1349,则m=1349-19n,所以90≤1349 令r)=2[e-(-)] 19m≤10，解得65普<<6高国为年龄为整 则F'()=2(号-1lnx-20+)0-h三 数，所以n=66,则m=1349一19×66=95.故 选B. 当r(o,]时，F)<0.则Fx)在(o,]单 8.Df(x)的定义战为(0，十∞)，函数y=ax-a与 调递减，此时F(x)的最小值为F(日)=2 函数f(x)=(x+1)lnx的图象有3个交点，等价 于关于r的方程1nx-aID=0(x>0)有3个 (日-e+&+c)=, x+1 即f(x)一f(x)的最小值为 不相等卖根个g0=一，因为g=0, 所以g(x)必有1个零点x=1.g'(x)= 54本章综合检测 [范围:第五章 一元函数的导数及其应用] (时间:120分钟满分:150分) 1 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.下列求导计算正确的是 1_ ) A.(1)-101 222 C.(2)-2+11 D.(2.sinco)-cos ln2 2.如图,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线过点(2,0),且f(1)三一2,则f(1)的值为 ) A.-1 B1 C.2 D.3 3.已知函数y-f(x)(xER)图象上任一点(x。,y)处的切线方程为y-=(x。-2)(}-1)(x-x。),那 么函数f(x)的减区间是 ( A.[一1,+) B.(一2] C.[-1,1],[2,+) D.(-o.-1).(1.2) 4.函数f(c)-x-ax②-bx十a②-6a在x-2处取得极值8,则a ,s_ ) B一4 A.一4或6 C.6 D.4或-6 “孩 5.函数/(r)一一 1 的图象大致是 -lnx一 ##### 6.某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里,垂足为B,海岸线上距离B处100 f 海里有一原油厂C,现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位 长度费用是陆地上的3倍,要使从油田A到原油厂C修建管道的费用最低,则中转站M到B 处的距离应为 A.5/2海里 C.5海里 D.10海里 7.定义域为R的可导函数f(x)的导函数为/(x),且满足/(x)十/(x)0,则下列关系正确的 是 A.f(1)/(0) )</(一1) B./(-1)一f(0)f(1) e e C.(1)一/(0)/(-1) D./(0) </(1)一/(-1) 2 。 。 。。 25 8.若关于x的不等式aE(x十1)一r<0的解集中恰有两个正整数解,则实数a的取值范围为( B) C. A.) D.) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分 9.如图是函数f(x)的导函数f(x)的图象,则 A.当x一一2时,函数f(x)取得极值 B.当x一1时,函数/(x)取得极值 C. f(x)的图象在x一0处切线的斜率小于0 D.函数f(c)在区间(一2,2)上单调递增 10.已知函数f(x)一xlnx.若ox<x。,则下列结论正确的是 A.x。f(x)f() B.x.十f(x.)<x。十f(x。) f()-f(c)0 C. 一2 D.当lnx>-1时,xf(x)十x。f(x。)>2x。f(x.) 11.已知函数f(x)一x(x一a)十sinx,则下列结论正确的是 A./(x)是偶函数 B.若f(x)是增函数,则a1 C.当a一一3时,函数f(x)恰有两个零点 D.当a一3时,函数f(x)恰有两个极值点 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.函数/(x)ln-x在(o,e]上的最大值是 2 2 <0的解集为 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)设x=1和x-2是函数f(x)=alnx十bx*}十x的两个极值点 (1)求a,b的值; (2)求/(:)的单调区间. 26 16.(15分)已知函数f(x)一cosx十xsinx十e-ax. (1)若函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线与x轴平行,求实数a的值及函数f(x)在区 问一 上的单调区间: 17.(15分)已知函数f(x)一(c---1)e^(a>0). (2)若f(o)+2二o对xeR恒成立,求a的取值范围. 27 ar (1)若函数f(x)在1,十)上为增函数,求实数a的取值范围; 上的最大值和最小值; 19.(17分)已知函数/(x)=x-1+2alnx(aR). 2 (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个极值点x·x,其x。Ee,十o),求f(x)一f(x。)的最小值 28