第五章 一元函数的导数及其应用 B卷能力提升卷-【课堂百分百】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册单元培优双测卷（人教A版2019）

第五章一元函数的导数及其应用 B卷能力提升卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知f(x)=x2+2.x·f(1),则f(3)等于 A.-4 B.-2 C.1 D.2 2.已知函数f(x)=ax2+b的图像开口向下，1im f(a十△)-fa)=4,则a △x A.2 B.-√2 C.2 D.-2 3.设曲线y=n号在点(1,0)处的切线与直线x一ay十1=0垂直，则a x+1 A-司 C.-2 D.2 4.若函数f)=二(>)有最大值-4，则实数a的值是 单 A.1 B.-1 C.4 D.-4 北 布 数(x)=x十在（一∞，-1）上单调递增，则实数a的 A.[1,+∞) B.(-∞，0)U(0,1] C.(0,1] D.(-∞，0)U[1,+∞) 函数八)=二的部分图像大致为 数 7.设a=e,b= lnπ n3则a,b,c大小关系是 A.a<c<b B.b<c<a C.c<K<a D.c<a<b 咖 8.方程元一lnx一2=0的根的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知函数f(x)的导数为f(x),若存在x。,使得f(x)=∫(x),则是称x。是f(x)的一个“巧 值点”，则下列函数中有“巧值点”的是 () A.f(r)=x B./(z)-I C.f(x)=In x D.f)=() 21 10.已知函数y=f(x)的导函数y=(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是 A.f(x)在（一3，一1）上是增函数 B.f(.x)在(1,2)上是增函数 C.f(x)在(1,3)上是减函数 45 D.当x=4时，(x)取得极小值 11.已知函数f(x)=一x3十m.z2十n.x十p在（一∞，0]上是减函数，在[0,1]上是增函数，则下列说 法正确的是 () A.n=0 B若=1.则2≥-号 C.若函数f(x)的图象关于点(1，f(1))中心对称，则m=一3 D.当p=0时，曲线y=f(x)过原点的切线有且仅有两条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设f(x)是奇函数f(x)的导函数，f(-2)=一3，则f(2)= :若对任意x∈R都有 f(x)<2,则使得f(e)<2e一1成立的x的取值范围是 .(第一空2分，第二空3分) 13,设函数fx)=lnx+m∈R,若任意两个不相等正数a,b都有fb)二f@<1恒成立，则 b-a m的取值范围是 14.法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中给出一个定理：如果函数y=f(x)满足条件： (1)在闭区间[a,b们上是连续不断的： (2)在区间(a,b)上都有导数. 则在区间(a,b)上至少存在一个实数t,使得f(b)一f(a)=f(t)(b一a),其中t称为“拉格朗 日中值”.函数g(x)=x在区间[0,1]上的“拉格朗日中值”= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)=x2一x-3lnx. (1)求f(.x)的图像在点(1，f(1))处的切线方程： (2)求x)在[23]上的最大值与最小值 22 16.(15分)某个体户计划经销A,B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销 A,B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)=a(x-1)十2，g(x) 6ln(x+b),a>0,b>0.已知投资额为0时收益为0. (1)求a,b的值： (2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能 获得最大利润. 17.(15分)设函数f(x)=x3-6x2+9x十a. (1)求函数f(x)在区间[一2,2]上的最值： (2)若函数f(x)有且只有两个零点，求a的值. 23 18.(17分)已知函数f(x)=ax2-xlnx. (1)若函数f(x)在(0，十∞)上单调递增，求实数a的取值范围： (2)若a=e(e为自然对数的底数)，证明：当x>0时，f(x)<xe+1 19.17分)已知函数f)=2r+alnx (1)若a=一1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值： (2)若a=1,求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值： (3)若a=1,求证：在区间1，十∞)上函数)的图像在函数g(x)=号的图像的下方. 2418.解：(1)由题意得，f(x)=ae"-a=a(e"-1). (2)满足题设条件的“，b存在. 令f(x)=0,得x=0. ①当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递增，所 当a<0,x∈（一∞，0）时，f(x)<0,f(x)单调 以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)=b,最大值 递减： 为f(1)=2一a十b此时a,b满足题设条件当且仅 当a<0,x∈(0，+o)时，f(x)>0,f(x)单调 当b=-1,2-a十b=1,即4=0，b=-1. 递增： ②当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递减，所 当a>0,x∈(-∞，0)时，广(x)<0,f(x)单调 以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b,最小值 递减： 为f(1)=2一4十b.此时a,b满足题设条件当且仅 当a>0,x∈(0，十∞)时、f(x)>0,f(x)单调 当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1. 递增. ③当0<a<3时，由(1)知，f(x)在[0,1门的最小值 综上所述，f(x)在区间（一∞，0）上单调递减，在 区间(0，十○)上单调递增. 为号)=号+6，最大位为b或2-十 (2)由题意知，对任意的xx:∈[一1,1]，f(x) 一f(.x)l≤e-3恒成立台当x∈[-1,1]时， 若-号十6=-16=1， f（x)mx-f(x)≤e2-3. 则a=32,与0<a<3矛盾. 由(1)知，f(x)在区间（一1,0）上单调递减，在区 若一多元+b=-1,2-a+6=1. 间(0,1)上单调递增， f(1)-f(0)≤e-3 则a=33或a=-3W3或a=0,与0<a<3 所以只需 1f(-1)-f(0)≤e2-3 矛盾. 即 e-a-e2+2≤0① 综上，当且仅当a=0,b=一1或a=4,b=1时以 le"+a-e2+2≤0② f(x)在[0,1]的最小值为一1，最大值为1. 设h(a)=e-a-e+2(a≠0).则h'(a)=e-1, 第五章一元函数的导数及其应用 所以h(a)在区间(0，十o∞)上单调递增，在区间 B卷能力提升卷 (一∞，0)上单调递减. 1.D对f(x)求导得f(x)=2x十2f(1),令x=1, 易知h(2)=0,所以当0<a≤2时，h(a)≤0，不等 可得(1)=2+2(1)，(1)=-2..(x)= 式①成主：当a>2时，h(a)>0,不等式①不成立. 2.x十2f(1)=2x-4,当x=3时，f(3)=2,故 又h(-2)=e3+2-e2+2=4+e2-e2<0, 选D. 所以当-2≤a<0时，h(a)<0,不等式①成立， 2.B由题意知，了(x)=2ax,由导数的定义可知 所以当一2≤a<0或0<a≤2时不等式①成立， 此时不等式②也成立， lim fa+△x)-fa)=f(a)=2a=4,解得a= △x 而当a<一2.即一a>2时，由函数h(a)的性质 士2. 知，不等式②不成立. 因为函数f(x)的图像开口向下，所以a<0.所以a 所以实数a的取值范国为[-2,0)U(0,2. =一2.故选B. 19.解：(1)(.x)=6.x-2a.x=2.x(3x-a). 令f()=0,得x=0或x=号 3.A由题意得，y=nr'r+l)-(r+1)1nx (.x十1)9 若a>0, 1+1-nx 则当x∈(-o,0)U(号，+o∞）时，f(x)>0: (x+1》一（c>0),“曲线在点1,0)处的切线与直 当x∈(0，号)时，f(x)<0.故fx)在(-o,0), 线r一ay十1=0垂直2n1-Q,解得a=一号 4 故选A. (号，+∞）单调递增，在(0，号)单调递减。 若a=0,f(x)在(-∞，+∞)单调递增： 4B南函数f)=(>1,则厂6) 若a<0,则当x∈[-e,号]U0,+∞)时.了(x) 2ar(x-1)-ax-ax(x一2，要使得函数f(x)有 (.x-1) (x-1)9 最大值一4，则a<0, >0:当xe(号，0)时，f(x)<0.故f(x)在 则当x∈(1,2)时，(x)>0.函数f(x)在(1,2)上 单调递增， (-∞，号，(0，+∞)单调递增，在（号，0）单调 当x∈(2，十o∞)时，f(x)<0,函数f(x)在(2，十∞)上 递减 单调递减， 48 所以当x=2时，函数f(x)取得最大值，即f（x) =2)=2当=-4：解释a=-1,满足题意：故 对于Dx)=-e,令（日厂=e=-e,无 解，无“巧位点”.故选ABC 选B. 10.BD由图象可知，当x∈（一3，一1）U(2,4)时， 5D由题意知了)=1一由于代)在（一o f(x)<0,则f(x)在（一3，一1），(2,4)上单调递 减，当x∈(-1,2)U(4.5)时，f(x)>0,则f(x) 一1)上单调递增，则f(x)≥0在（一∞，一1）上恒 在（一1,2），(4,5)上单调递增，故B正确，AC错 成立，即】≤x2在(-0，-1)上位成立.当x<-1 误；又由以上分析可知，x=4时，∫(x)取得极小 值，故D正确：故选BD. 时，x2>1,则有】≤1，解得a≥1或a<0.故选D. 11.ABD对于A选项，因为函数f(.x)=-x十m.x 6Cf(x)=87,定义城为(-∞，0)U(0,+o∞ 十n.x十p在（一0∞，0]上是减函数，在[0,1]上是增 函数， -)=则-)=-，x)为寺函 则x=0为函数f(x)的极小值点，且f(x)= -3.x2+2m.x十， 数，图像关于原点时称，故排除B)=号<1，故 所以，(0)=n=0,则了(x）=-3.x+2m.x, 排除A:)=台当>0时，可得) 由f(x)=0可得x=0或x=2m 31 工1)E,当>1时，f(x)>0,f(x)单调递增， 由题意可知，f(x)≥0在[0,1门上恒成立，所以， 3.x2 故排除D.故选C 智≥1，则m≥受A对： 1.A若函数)=时了)=分，当 对于B选项，因为f(x)=一x十m.x十p, 则f(1)=m十p-1=1,可得p=2-m, x>e时，f(x)>0,则f(x)在(e,十c)上单调递 所以，f(2)=4m十p一8=4m十2一m一8=3m一6 增.e<3<元，∴fe)<f(3)<f(x),即ne ≥-6=号>-B对 品g品即a<<6故选A 对于C选项，若函数f(x)的图象关于点(1，f(1) 对称，则f(1一x)+f(1+x)=2f(1), 8.C令fm)=E-lhx-2(x>0),则fr)=2 且f(1-x)十f(1+x)=-(1-x)°+m(1-x) -22,喜eo0时，a0, +p-(1+x)°+m(1+x)2+p =(2m-6).x2+2m十2p-2, 单调递减：当x∈(4，十∞)时，f(x)>0,f(x)单调 又因为f(1)=m+p-1,所以，(2m一6)x+2m 递增，且f(4)=2-ln4-2<0,f(e)=e3-lne +2p-2=2m+2p-2.解得m=3,C错； 2=e-8>0,f(e)=e1-1ne￥-2=1>0，结 对于D选项，当p=0时，f(x)=一x3十m.x2,则 f(x）=-3.x°+2m.x, 合函数零，点存在定理可知函数在区间(0,4)上存在 设切点坐标为(1，一t十mt),故切线方程为y十1 一个零点，在区间(4，十0)上存在一个零，点，故方 -mt2=(2mt-3t2)(.x-t), 程E-lnx一2=0的根的个数为2.故选C. 将原点坐标代入切线方程可得1一m2=313一 9.ABC对于A,f(x)=2x,令x=2x,得x=0或 x=2,有“巧值点”： 2m,即2r-m=0,解得1=0或1=受 对于B,f(x)=-1 子，得=一1，有 故当p=0时，曲线y=f(x)过原点的切线有且仅 有两条，D对 “巧值点”： 故选ABD 对于C.f(x)=1 令ln 12.解析：f(x)是奇函数，∴f(2)=一f(一2)=3. =上作出y=nx与y 设g(x)=f(x)-2.x,则g(2)=f(2)-4=-1, g'(x)=f(.x)-2<0, -子的因象，0图。 ·g(x)在R上单调递减. 由f(e)<2e-1得f(e)-2e'<-1, 结合y=lnx,y=上的图象，知方程1nr=上有解， 即g(e)<g(2). .e>2,得x>ln2. 有“巧值点”： 答案：3(ln2,+∞) 49 13.解析：不妨设b>a>0,原式恒成立等价于f(b)一 S(.x)=6 b<f(a)-a恒成立，设h(.x)=f(x)-x=lnx十 +12,令S'(x)=0,得x=2. ”-x(x>0),则h(b)<h(a),则h(r)在(0，+∞) 当0≤x<2时，S(x)>0,函数S(x)单调递增： 当2<x≤5时，S(x)<0,函数S(x)单调递减 上单调递减.所以h'(x)=】-四-1≤0在(0，十0) 所以当x=2时，函数S(x)取得极大值，也是最大 值，S(x)=S(2)=6ln3+6. 上恒成立，则m≥-2+x=-(e-)广'+(x>0) 当授入经锦A商品3万元，B商品2万元时，可获 得最大收益，收益的最大值为(6ln3十6)万元. 恒成立，∴m≥ 4 17.解：(1)对f(x)求导得f(.x)=3.x-12x+9,令 f(x)=0可得x=1或x=3.因为x∈[-2,2]， 答案：[+o)】 所以当x∈[-2,1)时，f(x)>0,f(x)在[-2,1) 14.解析：因为g(x)=x,所以g'(x)=2x,结合“拉 上单调递增：又因为f(1)=4+a,f(一2)=-50 格朗日中值”定义可得g)=1)二0)=1. +a,f(2)=2+a, 1-0 所以f(x)mn=-50十a,f(x)m=4十a. 所以21-1.即1-之 (2)令f(x)=x2-6.x2+9.x+a=0, 可得a=-x3+6.x-9.x. 答案：司 设g(x)=-x3十6.x2-9r,则g'(x)=-3.x2+ 12.x-9. 15.解：(1)因为f(x)=x2-x-3lnx,所以，f'(x)= 令g'(x)=0,得x=1或x=3,列表如下： 2x-1-3=2x-x3(>0. x (-∞，1) (1,3) 3 (3,+9】 所以函数y=f(x)的图像在点(1，∫(1))处的切线 g'(x) 0 的斜率k=f(1)=一2. 极小 因为f(1)=0,所以函数y=f(x)的图像在点(1， g(z) 极大 值一4 4 值0 f(1))处的切线方程为y=-2(x一1)， 即y=-2x+2. 所以g(x)的大致图像 (2)因为(x)=2r-x-3=(x+10(2r-3) 如图所示， 要使f(x)有且只有两 xe[23],所以当x(合2)时fx)<0 个零点， 只需直线y=a与g(x) 当x∈(2,3)时，f(x)>0. 的图像有两个不同 交点， 所以)在[23]上的最小值为f(）= 所以a=一4或a=0. 18.解：(1)对f(.x)求导得广(.x)=2a.x-ln.x-1(x> 0),因为函数f(x)在(0，十o∞)上单调遂增，所以 因为f(号）=-+3n2,f3)=6-3n3. f(x)=2a.x-lnx-1≥0在(0，+∞)上恒成立， 即2a≥lnt+恒成立. 所以f(3)一 2）=6}-3n6>64-3ne>0, 令gr)=nxt1,则2a≥g(x)…g'(x)= 则f3)>f(合)，所以画数y=fx)在[23]上 的最大值为6-3ln3 ,由g)--0,解得-1音r∈0 16.解：(1)由投资额为0时收益为0， 1)时，g'(x)>0,当x∈(1.十o∞)时，g'(x)<0. 可知f(0)=-a+2=0,g(0)=6lnb=0, 故函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十oo)上 解得a=2,b=1. 单调递减，则2a≥g(x)=g1)=1,即a≥2， (2)由(1)可得f(x)=2x,g(x)=6ln(x+1). 设投入经销B商品的资金为x(0≤x≤5)万元， 所以实数a的取值范周是[2，十o∞) 则投入经销A商品的资金为(5一x)万元. 设所获得的收益为S(x)万元， (2)证明：当a=e时，要证f八x)<re+号 则S(x)=2(5-x)+6ln(x+1)=6ln(x+1)-2z +10(0≤x5). 即证d-h<re+。又>0， 50 只需证er-lnr<e+L 本章综合检测 2 即证lnx+1>er-e. 1.B （停z)-12兰，A错误：n2x+1订=2品 2x er 设)=h+女到)=这- B正确：(2/=2n2,C错误：(2rsin专cos) er 今r=二=0，解得r=,当xe(0.是)时. =(rsin x)'=sinx十ccosr,D错误.故选B. 2.C由题意，可得曲线y=f(x)在点P处的切线方 h'r)<0:当x∈（日，+e)时，h'(x)>0, 程为y=-一2(x一2)，因为切点在曲线上也在切线 上，所以f(1)=-2×(1一2)=2，故选C. 故画数h(r)在(0，)上单调递减，在(，+∞)）上 3.D由题意得f(x)=(x-2)(.x-1),令f(x)= (x-2)(x2-1)<0,得x<-1或1<x<2,故 单调递增，即h(x)≥h(仁）=0， 选D. 4.B了(x)=3.x2-2ar-b,由题意得 从而有1nx+1≥0. er 1f(2)=8-4a-2b+a2-6a=8, 解得a=一4或a 设g(x)=ex-e',x>0,则g'(x)=e-e, f(2)=12-4a-b=0 令p'(x)=e-e=0,解得x=1, =6.当a=6时，b=-12,(x)=3x2-12x+12= 当x∈(0,1)时，9(x)>0: 3(x一2)，当x≠2时，均有广(x)>0,则x=2不是 当x∈(1，十∞)时，p'(x)<0, 函数的极值，点，故舍去a=6,验证可知a=一4特 故函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上 合题意，故a=一4.故选B. 单调递减，即g(x)≤g(1)=0,从而有ex-e≤0. 因为h(x)和p(x)不同时为0，所以lnr十1>ex 5.B)-一h一的定又城为0-U.+o》 ex 设g(x)=x-1nx-1,则g'(x)=1-,当x∈(0， 一e,故原不等式成立。 19.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，十∞)，当a=一1 1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当x∈(1，+∞) 时f(x)=x-1-+1x-卫令广)=0. 时，g(x)>0,g(x)单调递增，则g(x)≥g(1)=0. 所以f(x)>0,且f(x)在(0,1)上单调递增，在 得x=1或x=一1（舍去）， (1,十o∞)上单调递减.故选B. 当x∈(0,1)时，(x)<0.函数f(x)单调适减， 6.B设BM=x,陆地上修建石油管道的单位长度费 当x∈(1，十o)时，f(x)>0,品数f(x)单调 递增， 用为1，则AM=/100十x,MC=100-x,总费用 所以fx)在x=1处取得极小值，极小值为7，无 为f(x)=3√/100+x+100-x(0<x<100).易得 极大值 071◆f)=0,得x-5a I(r)=-3r (2)当a=1时，易知函数f(x)在[1，e]上为增 函数， 数f代)在(0,100)上只有一个极小值点=5，巨 2 所以f)=f)=)=o=e+1. 所以当=5时，)取得最小位，故选B (3)运明：设F(x)=f)-g)=号r+1nr 7.C由题意，构造函数g(x)=ef(x),g(x)=e 号r≥. f(x)十ef'(x)<0.故函数g(,x)是R上的单调递 则F(x)=r+1-2x2=1-)1+x+2x 减画数，故g(-1)>g(0)>g1)台。(-1D> f0)>cf(1D,化简得到f1)<0)<f-卫D,故 当x>1时，f(x)<0,故F(x)在区间(1，十∞)上 e e 是减函数 选C. 又国为f(1)=-吉<0，所以F()<0在区间 8D由题意，如关于x的不等式号>ax十1)格有 [1,十o)上恒成立，即f(x)<g(x)恒成立.因此 当n=1时，在区间[1，十o)上函数f(x)的图像 两个正整数解设)-号，期f)=2二卫， e 在函数g(x)图像的下方. 故f(x)在（一∞，0），(2，十∞)上单调递减，在 51