第五章 一元函数的导数及其应用 A卷基础巩固卷-【课堂百分百】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册单元培优双测卷（人教A版2019）

第五章一元函数的导数及其应用 A卷基础巩固卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知函数f(x)在x。处的导数为1，则im f(x。+2△r)-fx) △x A.2 B.-2 C.1 D.-1 2.设f(x)为可导函数，且满足lim f1)-f1一2x）=-1,则曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切 2a 线斜率为 A.2 B.-1 C.1 D.-2 3.某物体的位移s(米)与时间t(秒)的关系为s=2一t,则该物体在1=2秒时的瞬时速度是( A.2米/秒 B.3米/秒 C.5米/秒 D.6米/秒 单 4.已知函数f)在R上可导，其部分图像如图所示.设(2)二) 2-1 =a,则下 北 列不等式正确的是 ( A.f(1)<f(2)<a B.f(1)<a<f(2) 12 C.f(2)<f(1)<a D.a<f(1)<f(2) 5.若函数f(x)的导函数在区间[a,b们上是增函数，则函数f(x)在区间[a,b们上的图像可能是 如 慰 6.函数f(x)= 3x+ax2-2x+1在x∈(1,2)内存在极值点，则 茶 2 Ca<-2或a> D.a<-或a> 7.函数f)=arx一2)(a≠0)有极大值9.则a A.1 B C.2 D.3 8.函数f(.x)的导函数f(x),对任意x∈R,都有f(x)>f(x)成立，若f(ln2)=2,则满足不等 式f(x)>e的x的取值范围是 A.(1,+∞) B.(0,1) C.(ln2,+o∞) D.(0,ln2) 17 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列函数的求导运算正确的是 ( A.(sin 2x+1)'=2cos 2x B(g/=aaga(a>0,且a≠1D a? C(log)=logr+haa>0.且a≠1D D.(cos2r)'=-sin 2.x 10.已知函数f(x)=xlnx十x2,x。是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是 A.0<x,< e B.ro>1 e C.f(x。）+2x<0 D.f(x。)+2.x>0 1.已知函数fx)的定义域为(0，+∞)，导函数为f(x)xf(x)-f)=ln,且f(）=, 则 A.f()）=0 B.f(z)在x=1处取得极大值 C.0<f(1)<1 D.f(x)在(0，十∞)上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设函数fx)=,若当x∈[-2,2]时，不等式f)>m恒成立，则实数m的取值范围是 ;若存在x∈[一2,2]，使得不等式f(x)>m成立，则实数m的取值范 围是 13.若函数y=lnx+a.x2一(2a十1)x,a>0在x=1处取得极小值，则实数a的取值范 围是 14.若函数f(x)=x3+(k一1)x2+(k+5)x一1在区间(0,2)上不单调，则实数k的取值范 围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)设函数f(x)=2.x3+3a.x2+3bx+8c在x=1及x=2处取得极值. (1)求a,b的值： (2)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围. 18 16.(15分)已知函数f(x)=a.x-l1nx十1. (1)若x=1是函数f(x)的极值点，试求实数a的值并求函数f(x)的单调区间： (2)若f(.x)>0恒成立，试求实数a的取值范围. 17.(15分)如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B以及CD的中点P处，Q为 AB的中点.已知AB=20km,CB=10km,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD内 (含边界)，且与A,B等距离的点D处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道OA,OB,OP,设 排污管道的总长为ykm, (1)设∠BAO=0,求y关于0的函数关系式： (2)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道的总长度最小，并求出相应 的最小值 19 18.(17分)已知函数f(.x)=e"一ax-1(a∈R且a≠0). (1)讨论f(x)的单调性： (2)对任意的x1,x2∈[一1,1]，f(x1)一f(x2)≤e2一3恒成立，求a的取值范围. 19.(17分)已知函数f(x)=2x3-ax2十b. (1)讨论f(x)的单调性； (2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为一1且最大值为1？若存在，求出a,b的 所有值：若不存在，说明理由 20--3,n=1 则n,=(-3m,5,-1). (2)由(1)及题意得c,= 11 4 2n-5n≥2. AD⊥平面PCD, .平面PCD的一个法向量n2=(1,0,0), 42-9 由1一2m-52号可知，当n25时，有c>0. tan0=2v5,∴cos0=g 13 又6=-3g=56=-36,=- 六cos0=lcos(n,n,)1=-3ml=￥3 即G1·c2<0,c2·c<0,c1·c<0, 3m+3+113 .数列{c.}的变号数为3. m=土3 19.解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形，∴.BC⊥DC .平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面 0≤m≤1m={45= 3心FB=2 ABCD=CD,.BC⊥平面PCD 第五章 一元函数的导数及其应用 :DEC平面PCD,∴.BC⊥DE. :AD=PD=DC.E为线段PC的中，点， A卷基础巩固卷 ∴.PC⊥DE. 1.A lim f(x+2Ax)-fx） 又，PC∩CB=C,∴DE⊥平面PBC r0 △x 又，DEC平面DEF 2 lim fx+2A-fx)=2f(x,)=2×1=2. .平面DEF⊥平面PBC 2Ar (2)由(1)知BC⊥平面PCD, 故选A. ,AD∥BC..AD⊥平面PCD 2B“m)-1-2m=mf-0-2知 2x 1-(1-2x) 在平面PCD内过点D作DG⊥DC交PC于 f(1)=一1，.由导数的几何意义可知曲线y 点G. f(x)在，点(1，f(1)处的切线斜率为一1. AD⊥DG,故DA,DC,DG两两垂直，以D为原 点，DA,DC,DG所在直线分别为x,y,:轴，建立 3.B由s=子-t得=lim (t+△)2-(u+△)-(-t) 37.0 如图所示的空间直角坐标系Dxyx. =21-1,∴.当1=2秒时，s=3米f秒. 即该物体在1=2秒时的瞬时速度为3米/秒。 4.B由图像可知，函数f(x)在[0，十c)上的增长越 来越快，故函数图像在点(x,f(x)(x。∈(0，十o○) 处的切线的斜率越来越大，：f2)二)=a, 2-1 .f广(1)<a<f(2),故选B. 5.A函数f(x)的导函数(，x)在[a,b]上是增函 数，由导数的几何意义可知，曲线f(x)在区间[a,b们上 CO=PD=1.∠PDC=120°，∴.PC=√3. 各，点处切线钟率是逐渐增大的，只有A选项符合， ,AD⊥平面PCD,则A(1,0,0),D(0,0,0), 6.B由题可得f(.x)=x2+2a.x-2=0在x∈(1,2) c01.0.P(0.-》 时有根.即求a=(层-小1,2)的位域. 又E为PC的中点.Eo,,得】 因为a=号（经-）在1,2)上单调递浅， D-(o, 所以∈（一之》，故选B 7.Bf(.x)=a(.x-2)(3.x-2). 假设在线段AB上存在这样的点F,使得tan0= ①当a>0时，由广()>0得x<号或x>2:由 23, 设F(1,m,0)(0≤m≤1)，则DF=(1,m,0), fu)0得号<r<2所以f)在(-a,号)2+e) 设平面EDF的法向量为n,=(x,y,),则 上单调递增：在（号，2）上单调递减，此时当=号 n1·DF=0, (x+my=0, 1 n,·DE=0:4y+=0 时x)取得极大位（号）=号aX(号-2=5 令y=3,则=-1，x=一√3m, 解得a= 45 @当a<0时.由f)<0得x<号或>2：由 ∴fx=lnx+h f)>0得号<x<2.所以fx)在(-，号)： 伯)=·n是+-解得6= ee e (2,十∞)上单润递减：在（号2）上单调适增.此时 当x=2时，f(x)取得极大值f(2)=2a×(2一2) =0,不符合题意. f=是满足0f0)<1,C正痛 塔上所速，所家口的值为号。 :f(x)= 2nx+nx+号-号0nx+1≥0， 8.C由题意，对任意x∈R,都有f(x)>f(x)成立， 即f(x)-f(x)>0, 且仅有了（日）=0，B错误，A,D正魔.故 令g(.x)=x) 选ACD. e ()-P(Def(De-P()-f(20. 2re'= 12.解析：f(x)=e'+ 2·x(x十2). 由f(x)=0得x=0,或x=-2. 所以函数g(x)为单调递增函数， 当x∈[一2,2]时f(x)、f(x)随x的变化情况如 又因为f(x)>e,所以g(x)>l. 下表： 因为f(ln2)=2,所以g(ln2)=1,所以原不等式 的解集为(ln2,十o∞)，故选C. -2 (-2,0) 0 (0.2) 2 9.ACD对于A,(sin2.x+1)'=2cos2x,故正确： f(x) 0 对于B.(侣)=(a一y=a-na,故错误： f(x) 极小值 对于C,(xogx)'=logx+x· ”zlna=logr+ 1 ∴.当x∈[-2,2]时，f(x)=f(0)=0,f(x)m =f(2)=2e.若f(x)>m对x∈[-2,2]恒成立， 。故正确： 只需m<f(x）m.㎡<0..实数m的取值范国 对于D,(cos2x)'=2cosx(-sinx)=-sin2.x,故 是(-∞，0).若存在x∈[一2,2]，使得f(x)>m 正确， 成立，即f(x)m=2e>m,.实数m的取值范国 故选ACD. 是(-o∞，2e). 10.AD函数f(x)=xlnx+x2(x>0), 答案：(-o∞，0)(-∞，2e2) ∴.f(x)=lnx+1+2x, x0是函数f(x)的极值点，∴.(x。)=0, 13.解析：由题意得，y=↓+2ax-(2a十1) 即lnx,+1+2x。=0. f(日)名>0，且f✉)单洞道增。 2a2-2a+1z+1-2ar-D-】 ,r>0 当>时，f)>0, 带品>1，令>0.得x01U(a+∞小 “一0时，广(x)→-∞，0<。<，故A选项 e 令y<0,得r(1,）,脚函教y=lnx+ar 正确，B选项不正确： (2a十1)x在x=1处取得极大值，不满足题意：若 f(xo)+2=zoln zo+zo+2zo=zo (In xo+Io 十2)=x(1一x。)>0,故D选项正确，C选项不正 。-1-少>0恒成立中孩画载不存在 确.故选AD. 11.ACD函数f(x)的定义城为(0，十∞)，导函数为 板位，不满足题高：若0<。1，◆>0，得 f(x).xf(r)-f(x)=xln x. 即满足(r)-fx)_lnx (0U1,+∞)，令y<0,得x∈（小，即 函数y=lnx十a.x2-(2a+1)x在x=1处取得极 :四y=f@(2y- 小值，此时。>宁 可设f国=2n+bc6为常数)， 答案：（分+∞） 46 14.解析：f(x)=3x+2(k-1)x十k+5. (2)由f(x)>0恒成立得ax-1nx+1>0恒成 若函数f(x)=x十(k一1).x+(k+5)x一1在区 立，又f(.x)的定义域为(0，十o), 间(0,2)上单调，则∫(x)在(0,2)上无零，点 则4(k-1)-12(k+5)≤0，① 所以。h性成这，牌>（他） 或 1-k∠0， 3 ② ◆g)b,则g)-2h r? f(0)=k+5≥0， 令g(x)=2-lh>0得0<x<e, 或 与> ③ 所以函数g(x)在(0，e2)上单调递增，在(e,十∞) f'(2)=12+4(k-1)+k+50, 上单满地减，所以gc一6e)己 k@位中+3a国 所以实数a的取值范国为（侣，十∞） 解①得-2≤k≤7：解②得k≥1：解③得k∈⑦：解 17.解：(1)已知PQ垂直平分AB,若∠BAO=0,则 ①得≤-5. 综上，满足函数f(.x)=x+(k一1)x2+(k+5)x 0A=89g所以0B=8 cos 一1在区间(0,2)上单调的k的取值范国是 又(OQ=AQtan0=10tan0, (-∞，-5]U[-2,+∞). 所以OP=10-10tan0, 于是满足题意的实数k的取值范围为（一5，一2） 答案：(-5，-2) 所以y-0M+0B+0P=9g+9g+10 15.解：(1)由题意得f(x)=6x2+6ax+36. 101an9=20-10cin0+10. cos 因为函数f(x)在x=1及x=2处取得极值， 所以f(1)=0,(2)=0, 故所求函数关系式为y=20=10sin0+10(0≤0 cos 即0+6a+3动0，解得a=-3. 24+12a+3h=0, b=4. ≤. (2)由(1)可知，f(x)=2.x2-9.x2+12.x+8c (2)由(1)得， f(x)=6.x2-18.x+12=6(x-1)(x-2). -10cos 0cos 0-(20-10sin 0)(sin 0) 当x∈(0,1)时，f(x)>0: cos 0 当x∈(1,2)时，f(x)<0: =10(2sin0-1) cos0 当x∈(2.3)时，f(x)>0. 所以当x=1时，f(.x)取得极大值f(1)=5十8c. 令y=0,得sim0= 2· 又因为f(0)=8c,f(3)=9+8c, 所以当x∈[0,3]时，x)的最大值为f(3)=9+8. 因为0<<子，所以0= 6 因为对于任意的xE[0,3],恒有f(x)<c2成立， 当0(0，)时y/<0,画数y=20-10ein0+10 cos 0 所以9十8c<c2. 单调递减： 解得c<-1或c>9, 因此c的取值范国为（一0∞，一1）U(9,十∞). 当0e(管，)时y>0,函数y=2000+ cos 0 16.解：(1)函数f(x)的定义城为(0，十o), 10单调递增. f)=a-2 所以当0=晋时，函量y=20-0。m0+10有极小 cos 由题意f(1)=a-1=0,解得a=1. 当a=1时，令(x)=1-1>0得x>1, 值，也是最小值，为y 20-10X2+10=103 3 2 令了x)=1-<0得0<1， +10. 所以函效f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递 所以三条排污管道总长度的最小值为(10十 增区间为(1，十∞). 10√3)km,此时点O位于线段PQ上，且距离点Q 此时x=1是函数f(x)的极小值，点，故a=1特合 题意. 的103km处. 3 47 18.解：(1)由题意得，f(x)=ae"-a=a(e"-1). (2)满足题设条件的“，b存在. 令f(x)=0,得x=0. ①当a≤0时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递增，所 当a<0,x∈（一∞，0）时，f(x)<0,f(x)单调 以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)=b,最大值 递减： 为f(1)=2一a十b此时a,b满足题设条件当且仅 当a<0,x∈(0，+o)时，f(x)>0,f(x)单调 当b=-1,2-a十b=1,即4=0，b=-1. 递增： ②当a≥3时，由(1)知，f(x)在[0,1]单调递减，所 当a>0,x∈(-∞，0)时，广(x)<0,f(x)单调 以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b,最小值 递减： 为f(1)=2一4十b.此时a,b满足题设条件当且仅 当a>0,x∈(0，十∞)时、f(x)>0,f(x)单调 当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1. 递增. ③当0<a<3时，由(1)知，f(x)在[0,1门的最小值 综上所述，f(x)在区间（一∞，0）上单调递减，在 区间(0，十○)上单调递增. 为号)=号+6，最大位为b或2-十 (2)由题意知，对任意的xx:∈[一1,1]，f(x) 一f(.x)l≤e-3恒成立台当x∈[-1,1]时， 若-号十6=-16=1， f（x)mx-f(x)≤e2-3. 则a=32,与0<a<3矛盾. 由(1)知，f(x)在区间（一1,0）上单调递减，在区 若一多元+b=-1,2-a+6=1. 间(0,1)上单调递增， f(1)-f(0)≤e-3 则a=33或a=-3W3或a=0,与0<a<3 所以只需 1f(-1)-f(0)≤e2-3 矛盾. 即 e-a-e2+2≤0① 综上，当且仅当a=0,b=一1或a=4,b=1时以 le"+a-e2+2≤0② f(x)在[0,1]的最小值为一1，最大值为1. 设h(a)=e-a-e+2(a≠0).则h'(a)=e-1, 第五章一元函数的导数及其应用 所以h(a)在区间(0，十o∞)上单调递增，在区间 B卷能力提升卷 (一∞，0)上单调递减. 1.D对f(x)求导得f(x)=2x十2f(1),令x=1, 易知h(2)=0,所以当0<a≤2时，h(a)≤0，不等 可得(1)=2+2(1)，(1)=-2..(x)= 式①成主：当a>2时，h(a)>0,不等式①不成立. 2.x十2f(1)=2x-4,当x=3时，f(3)=2,故 又h(-2)=e3+2-e2+2=4+e2-e2<0, 选D. 所以当-2≤a<0时，h(a)<0,不等式①成立， 2.B由题意知，了(x)=2ax,由导数的定义可知 所以当一2≤a<0或0<a≤2时不等式①成立， 此时不等式②也成立， lim fa+△x)-fa)=f(a)=2a=4,解得a= △x 而当a<一2.即一a>2时，由函数h(a)的性质 士2. 知，不等式②不成立. 因为函数f(x)的图像开口向下，所以a<0.所以a 所以实数a的取值范国为[-2,0)U(0,2. =一2.故选B. 19.解：(1)(.x)=6.x-2a.x=2.x(3x-a). 令f()=0,得x=0或x=号 3.A由题意得，y=nr'r+l)-(r+1)1nx (.x十1)9 若a>0, 1+1-nx 则当x∈(-o,0)U(号，+o∞）时，f(x)>0: (x+1》一（c>0),“曲线在点1,0)处的切线与直 当x∈(0，号)时，f(x)<0.故fx)在(-o,0), 线r一ay十1=0垂直2n1-Q,解得a=一号 4 故选A. (号，+∞）单调递增，在(0，号)单调递减。 若a=0,f(x)在(-∞，+∞)单调递增： 4B南函数f)=(>1,则厂6) 若a<0,则当x∈[-e,号]U0,+∞)时.了(x) 2ar(x-1)-ax-ax(x一2，要使得函数f(x)有 (.x-1) (x-1)9 最大值一4，则a<0, >0:当xe(号，0)时，f(x)<0.故f(x)在 则当x∈(1,2)时，(x)>0.函数f(x)在(1,2)上 单调递增， (-∞，号，(0，+∞)单调递增，在（号，0）单调 当x∈(2，十o∞)时，f(x)<0,函数f(x)在(2，十∞)上 递减 单调递减， 48