第四章 数列 本章综合检测-【课堂百分百】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册单元培优双测卷（人教A版2019）

本章综合检测 [范围：第四章数列] (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.数列2,22,222,2222，…的一个通项公式是 A.am=10-8 B.a,=10°-1 9 C.an=2-1 D.a,=2(10°-1D 9 2.设等差数列{an}的前n项和是Sn,若-an<a1<-a+i(m∈N”,且m≥2)，则必定有() A.Sm>0,且Sm+1<0 B.Sm<0,且Sm+1>0 C.Sm>0,且Sm+1>0 D.Sn<0,且Sm+1<0 3.已知等差数列(a,}的首项和公差均不为0，且满足4，a,a,成等比数列，则十a士au的值为 a1+ag十ao" 单 北 A号 B号 c品 4.设等比数列a,的前n项和为S且满足a十a,=号S,=9S,若么=l0ga,则数列6，前10 项和是 A.-35 B.-25 C.25 D.35 如 5.在等差数列{an中，a1=-9,a5=-1.记T.=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{T.} 数 A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项 C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项 6.已知数列{an}是递增的等比数列，a1十a,=18,a2a3=32,若{an}的前n项和为S.,则S.+4一S =2”一2，则正整数k等于 A.3 B.4 C.5 D.6 7.已知等比数列{a.},则下面对任意正整数k都成立的是 茶 A.a6·ae+1>0 B.at·ae+2>0 C.a4·a+1·ag+2>0 D.at·a4+3>0 留8.已知等比数列的{an}前n项和为S.,S,=2S2,则数列{an}公比q A.-1 B.1 C.土1 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知正项等比数列{a,}满足a=2,a,=2a2十ag,若设其公比为g,前n项和为S,n,则() A.q=2 B.a.=2" C.S1a=2047 D.am十am+iaw+2 10.设d,S。分别为等差数列{a.}的公差与前n项和，若S1。=So,则下列论断中正确的有() A.当n=15时，S,取最大值 B.当n=30时，Sn=0 C.当d>0时，a1o十ag>0 D.当d<0时，lao|>laa 1l.设{a,}是无穷数列，若存在正整数k,使得对任意n∈N”,均有a+>a,则称{an}是间隔递增 数列，k是{a.}的间隔数，下列说法正确的是 () A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B.已知a,=n十4，则{a.}是间隔递增数列 C.已知a,=2n+(一1)”，则{a,}是间隔递增数列且最小间隔数是2 D.已知a.=n2一tn十2023，若{am}是间隔递增数列且最小间隔数是3，则4≤1<5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.数列{a.}的通项公式为a,=(-1)··sin受+1，其前n项和为S,则Sm 13.已知数列{a.}满足a.=2n一17，其前n项和为S。,则S.=:当S.取得最小值时，t 的值为 14.已知数列{a.}的前n项和为S。,a4=7且4S。=n(am十an.+1),则Sn一8a,的最小值 为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知数列{a.}的前n项和为S。,且2S,=3an一1. (1)求数列{a.的通项公式： (2)若数列{bn一an}是等差数列，且b=2,b=14,求数列{bn}的前n项和T. 10 16.(15分)已知数列{am}满足a1=1,au+1=2am+1. (1)证明数列{a.十1}是等比数列，并求数列{a.}的通项公式： (2)令bn=3n·(a.+1),求数列{b,}的前n项和T. 17.(15分)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,Sg=64,且a2是a1与as的等比 中项 (1)求数列{a.}的通项公式； (2)若S.十a.>62,求n的最小值. 11 18.(17分)已知数列{an}的前n项和为S。,且满足a2=4,2S。=na.十n,n∈N”. (1)求数列{a.}的通项公式； (2)若取出数列{an}中的部分项a2,a6,a2,…依次组成一个等比数列{cn},若数列{bn}满足a。 =6·6,求证：数列么，的前n项和T,<号 19.(17分)已知数列a,的各项均为正数，其前n项和S,满是S,=(色. (1)求{a,}的通项公式： 1 (2)设=a,+Da,1+D求数列h,)的前n项和T, (3)在(2)的条件下，若，2<T,<智对一切EN恒成立，求实数m的取值范聞。 —12-所以a-4a.:. (2)证明:由(1)知a。-2,所以111 。 所以数列a.)是首项a.一1,公比g=4的等比 数列, 1() 所以a.=aq-4. 所以-4-(4-2}. 所以+.-2+2+.+2-1 2“×(1-2”)-2”-1. 1-2 18.解:(1)设第n年的旅游业收入估计为a.万元,则 若使等式a十a十.十<2023成立,则 a-400,a,-(1+), 需2-1<2023. 因为nEN',所以n10(nEN'). 所以n的最大值为10. 故答案为10. 41)(]1 -00①()-1). 答案:10 15.解:(1),'a..-(-3)a.+2”(nN')及a=2 .$=_ 。--1. 1_}# 即n年内旅游业总收入为1600(-) -1]万元. 2. (2)由(1)知s.-1600[()”-1], (2)不存在,:a-2,a=3(-3)a.+2,a -(-3)a+2-2-4,a-(-3)a+4-2- 令$>8000,即1600[()“-1]→8000, 10+16.若数列{a.)为等差数列,则a:十a。 $a,即2+2-10+16-2(2-4),-7+ ·()”>6.:.1ng()”>1g6. 13-0..△-49-4×13 0...方程无实数解... 不存在,即不存在入使数列a.)为等差数列. 16.解:(1)证明:由a一1,可知a.:0,因为数列(a。 满足二 又:nN. àa。 &大约9年后,旅游业总收入超过8000万元. 1+1-2(1+1).又a-1,所以|+1-270, 19.解:(1)a=1,a ,=2S.+1,当n-1时,可得a。 a! -2.+1-3.当n>2时,a.-2$,+1,则 - a-2a。,即a.,-3a。,且a-3a,故{a。)是以1 数列. 为首项,3为公比的等比数列,所以a.一3”. (2)由(1)可得1+1-2”. ($2)由题意b-a.-1+2(n-1)-2n-1,所以 a. -3-}+2n-1.所以T.-b+b+.+b=(3+ 2(n2). 3-1+n, 因为b=一入符合(b)的通项公式,所以b.一(n 2 1-)·2(nN). 本章综合检测 因为数列b是单调递增数列,所以bb,即 1.D 根据题意,设数列(c):9,99,999,9999...,其 (n-)·2→(n-1-)·2,化为a<n+1,所 通项公式是10-1. 以2,即入的取值范围为(-o,2). 17.解:(1)因为数列{a.)为等比数列,所以aa。 数列2,22,222,2222,...的每一项均是数列(c)对 成。 aa.-32. 由 8 则数列2,22,222,2222,..的一个通项公式是a laa.-32, la.-4. 2(10*-1).故选D. {a-4.故a-1,-2, 由公比>1,得 9 la-8. 2.A -a.<a<-a.a+a>oa+al 所以a-2. <o.So,且S<o. 40 3.A 已知等差数列{a.的首项a,和公差d均不为 0,且满足a,a。,a:成等比数列, 2-1 'a-aa,(a+4d)}-(a十d)(a+6d), C错误; .10d--ad. a+a,-3a,而a?=4a→3a.,所以a.+a} :去0.-10d-. a ,选项D正确.故选ABD ..++34+17 -30171共 a:++ao -3a.+16d 2 20×19,解得a.-- 选A. . 4.C 设等比数列(a。)的公比为q.由题意知q右1,则 2 对于选项A,因为无法确定a;和d的正负性,所 以无法确定S.是否有最大值,故A错误; 9(1-). a(1一)一 解得 -2, 1- 2 -1×2-l-2-》,所以b。-n-3.所以数列 所以一 15×20-0,故B正确; 对于选项C.a。+a-2a -2(a+15d)= _+8 --1 -25.故选C. 对于选项D.a.=a.+9d=- 5.B 设等差数列{a的公差为d,,'a=-9.a。=-1. '.a--9+4d=-1..d-2. '=-9+(n-1)x2-2n-11. 令a.-2n-11<0,则n<5.5. 'n5时.a.<0;n6时.a.0. D错误.故选BC. *T=-9<0.T-(-9)$(-7)-663 0,T = 11.BCD设等比数列{a)的公比为q(q1),则a (-9)X(-7)X(-5)--315<0.T-(-9)$ -=a*-1-a-a *(&-1).因为 (-7)$(-5)t(-3)-945>0.T-(-9 $ ql,所以当a0时,aa.,故A错误; (-7)X(-5)x(-3)(-1)=-9450,当n &-a-n十十(-) 6时,a.>o,且a.1...T<T.<o..T.=aa ##1#(n)## ...a.(n-1,2,..)有最大项T,无最小项,故选B. #4 1#.+-4# la.+a.-18 1-2 或/-16 6.B 联立 (n十)” 可得 -16.-2 a-.-32 令f(n)=n}+kn-4,则y=f(n)在mEN 单$$$ a.-2 递增,令f(1)-1+-4>0,解得>3,故B$ 又因为数列a是递增的等比数列,所以 la.=16' 正确. 则公比q-2..-2. a-a.-2(n十)+(-1)”*-[2n+(-1)”]= 2-(1-2) 2+(-1)·[(-1)*-1],当n为奇数时,a S-S-a,+a+.十a= 1-2 a-2k-(-1) +1,存在 1,使a-a.→0成 2*-2*1 立;当n为偶数时,a.-a.-2k十(-1)-1,存 所以$-S-2+-2-21-2,所以 -4 在2,使a-a.0成立.综上a.)是间隔递 故选B. 增数列且最小间隔数是2,故C正确。 7.B 设等比数列a。)的公比为q,由题意,对于A,当 若a。是间隔递增数列且最小间隔数是3, o时,a.·a,-aq<o,A错;对于B,a.·a 则,-a.-(n+)}-t(n+k)+2o23-(n}-tn =aq→0,B正确;对于C,a:·a。=a ,则 +2023)-^{}+(2n- )>0,nN'成立,$ a,符号不定,C错;对于D,a.·a。-a^{q{}符号 则对于 ^+(2n-(t)b→^{}+(2-t)k>0,存在 $$ 不定,D错误. 3使之成立. 8.C.S-2S.a+a+a+a-2(a.+a). 且对于人十(2一))b0,存在2使之成立, 'a+a=a+a.q”-1..q-士1,故选C. 即对于人十(2一1))0,存在6一3使之成立,且对 9.ABD $由题意q0且2q^}-4q+2^{,得q--2$ 于十(2一1)0,存在2使之成立, 一0,解得o一2(负值舍去),选项A正确; 所以1-2<3,且1-2>2.解得4<1<5,故D正 a.-2X2-2”,选项B正确; 确,故选BCD. 41 12.解析:由数列a.)的通项公式得a一0.a。一1,a l7.解:(1)设等差数列a的公差为dd关0). -4,a-1.a=-4.a-1,a-8,a-1...,四 若a。是a:与a:的等比中项,则a-aa。, 为一组,每组的和都是6,故S..-25×6-150. 即(a:+d)-a.(a.+4d). 答案:150 变形可得d*-2ad,则有d-2a. 13.解析:a-2x7-17--3 即a.-a.+(n-1)d-(2n-1)a 13(a+a)-13a=13x(-3)--39. (a.+a)x8 由S-64,得S- $。 8-64a.-64. 2 由a。一2n一17知,该数列为递增数列. 解得a.-1,则d-2,则a.-2n-1. (2)由(1)可知a.-2n-1.则s.-(1+2n-1)n_, 2 当S.取得最小值时,n的值为8. 则S.+a.-n*+2n-1. 答案:-39 8 若S.+a>62,则有n+2n-1>62. 14.解析:'4S -3(a+7),4S -2(a+a),4S 即(n-7)(n+9) 0.又nN,则n7,则n的 最小值为8. a.+a..-3a.a-5a.. 18.解:(1)数列(a.)的前n项和为S。. 从而4x9-3(5a+7),即a-1. 且2S.-na.十n,nN'. 'a-3.a-5..4$-4(aa)..a-9. 当n=1时,2a.-a+1,则a-1. 同理得a-11,a-13,a-15,..,a.-2n-1 当n2时,a.-S-S①. .S-n*,经检验4S.-n(a.十a.)成立, -S-S②. .a.-2n-1.$-n. 由②-①得,S.-2s+S-1=a.1-a。. 'S-8a.-n2-16n+8-(n-8)-56, (n十1)(a.+1) 所以 -n(a+1)(n-1)(a+1) 2 '.当n-8时,S.-8a.取得最小值-56. 答案:-56 --.: (n-1).+(n-1)a:-(n-1)a。, 15.解:(1)数列a.)的前n项和为S,且2S.-3a. 所以- 2 -1①. 当n-1时,解得a-1. 2 当n2时,2S-:-3a-1②,①-②得a= 又a-1,且a,-4,整理得a.-3n-2. 3a._,又a≠0,故a-3(常数),所以数列(a.)是 (2)由a。-4,a-16.解得c-4. a_1 1 所以6-(3n-2)· 以1为首项,3为公比的等比数列,所以a.一3” 7 (2)数列b.一a。)是等差数列,且b-2,b-14 设c-b.-a,则c-b-a-1,c-b-a=5. 公差--5-1-2,所以c。-2n-1. 1 2 2 由③-#④37.-+3(+)-(3n,一-2) 则b-.+c-31+2n-1. 故T=(3+3+..+3)+(1+3+..+2n-1) -3-1n(2n-1+1)3-1+”. 2 2 16.解:(1)由a-2a.+1可得a.+1-2(a.+1). “a+1-2子0,a+1)是首项为2,公比为2 当n→2时,a.-s.-5.,-(“-1)#-(“1){, 的等比数列. 化简得a.-a.--2, 'a+1-2×2-2,.a-2-1 'a是首项为1,公差为2的等差数列, (2)由(1)知b.-3n·2. '(a)的通项公式为a.-2n-1. 'T-3×2+6×2+9×2+.+3(n-1)· (2)由(1)知,a。=2n-1,则b. = 2*~1+3n·2, 1 1, '.2T.-3×2+6×2+9×2+..+3(n-1)· 2+3n·2*1. '-T.-3×(2+2+2+.+2”)-3n·2*. 一,_) *T-(3n-3)·21+6. 42 5.A .x,r十10,x-5是等比数列(a.)的前三项, '.x(-5)=(+10),解得x=-4.+10-6, 0. #-.(-)#.故选A. .公比二一 6. A 设数列a.)公差为d.因为等差数列(a.)的前n #T.-1-1(1-)# 项和为18,S-1,a.+a:+a.-3, #7# 3a.+3d-1①. 所以{a.+(n-2)d=1②, 要使得”2<T.对一切nN“恒成立,则只 #(4_)-18③. # 由①得a--d,代入②,得(n-3)- 零/ m-21 2 因为(n-3)d- .实数m的取值范围是[,). -2,所以n-27.故选A. 7.A 今有白米一百八十石,甲、乙、丙三个人来分, 第二部分 月考滚动检测卷 设他们分得的米数构成等差数列{a。,只知道甲比 第三次月考滚动检测卷 丙多分三十六石,因此公差--36 3-1 2 1.B 设A(r·y,),.AC=(1.2.3),C(-1.2.4). 2 又AC-AC.(1,2.3)=(-1-x.2-y,4-). 得a一78.所以甲应该分得78石,故选A. 解得x=-2,y=0,-1,即A.(-2,0,1).故选B 8.D 设第一天走a,里,则每日行走里程构成以a 2.D 圆x+y-4x+2y-0,化简为;(x-2)+(y 为首项,以为公比的等比数列{a.),由题意得 十1)^{}一5,点M(1,0)在圆的内部,记圆心为O点, (1-) 则最短弦长是过点M和OM垂直的弦,OM=② #### 根据垂径定理得到弦长为:2-OM一25-2 -378,解得a.-192.则a.-ax -2/③.故答案为D. ()第一192×2.故选D. 3.B 由题易得直线/:r-y+2-b-0,即k(x-1) -y+2-0,过定点M(1,2). ·点P(x,y)在直线2x+y-1-0上.,y-1-2x. 9.ABC 由于AP·AB--1X2十(-1)X2+(-4) .MPl-(-1)+(1-2r-2){ (-1=0AP·AD-4X(-1)+2X2+0X(-1-0. 所以A、B.C正确,又BD-AD-AB-(2,3,4). #+七-一#(+)+# :AP-(-1.2.-1),不满足AP-BD. 1时,{MP{取得最小值35. 故当一一 ,故选B. .D不正确,故选ABC. 5 10.BD 设(a)的公差为d,则S.-8a.+28d-8+ 4.B 将x-0代入x+y-4x-9-0解得A,B$$$ $ 8d-36.解得d-1,A错误;{a.)的通项公式为 坐标分别为(0,一3),(0,3). a=n,=[lg101]-2,B正确;当1 n$1$ 因为A,B两点都在双曲线上,且将此双曲线的焦 时,$-0,当10 n 100时,b-1,当100 距三等分, $$ 00时,b=2,当n=1000时,6o-[lg 100 0]$$ |AB|-2a-6 (0,1<n<10 所以双曲线焦点在y轴上且{AB-2c-6. -[3]-3,故b.- 1,10n<100 3 2.100<100·C错误;数 c-a十6 3,n-1000 [a-3 列($)的前1000项和为1×90+2×900+3$1 解得{-6v②. -1893,D正确.故选BD. c=9 11.ACD 当n-1时,2a-4,.'a-2. A正确;当 n2时,2a.+2*{a。+.+2”-la-:= 3(n-1)*+5(n-1) 故选B. 43