第四章 数列 B卷能力提升卷-【课堂百分百】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册单元培优双测卷（人教A版2019）

第四章 数列 B卷 能力提升卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.若一个数列的前三项依次为6.18,54，则此数列的一个通项公式为 ( ) A.a=4n-2 B.a,=2n+4 C.an=2×3" D.am=3×2 2.若数列{a,}的通项公式为a.=4n一5，则关于此数列的图像叙述正确的是 A.此数列不能用图像表示 B.此数列的图像仅在第一象限 C.此数列的图像为直线y=4x一5 D.此数列的图像为直线y=4x一5上满足x∈N的一系列孤立的点 3.已知方程(2-2x+m)(2-2x+m)=0的四个根构成首项为的等差数列，则1m-n=( A.1 R是 c D号 0 4.设等差数列{an}的前n项和为S.已知a十a,<0,且S1>0,则{S)中最大的是 北 A.S B.Sa C.S, D.S 布 5.an≠0的等差数列{a.}中2a1一a号十2a1=0,数列{bn}是等比数列且b、b,是方程x2+5.x十4=0 的两个根，则公 ( A.2 B.±2 C.-2 D.号 1 6.已知数列{a,的前n项和S,=3a,-2,设6。loga…则.6十 1 b2o22b2o23 数 2021 A.2022 88 c8器 2024 D.2023 7.设{an是等比数列，且a1十a2十a=1,a十a十a1=2,则a6十a,十ag= A.12 B.24 C.30 D.32 8.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数 题”)，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决.“大衍求一术” 是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称 为“中国剩余定理”，现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数， 按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为 ( A.116 B.131 C.146 D.161 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知n∈N”,给出4个表达式，其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是() 0,n为奇数， A.a,=1,n为偶数 B.a,=1+(-1) C.a,- 1十cosnπ ?下 2 D.d,=sin 2 10.已知数列{a.}满足a.=26一2n,则使其前n项和S.取最大值的n的值为 () A.11 B.12 C.13 D.14 11.在等差数列{a.}中，首项a1>0,公差d≠0，前n项和为S,则下列说法正确的是 ( A.若S3=S1,则必有S=0 B.若S3=S1,则S,是{Sn}中最大的项 C.若S>Ss,则必有Sg>S D.若S,>Ss,则必有S。<S 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在3和一个未知数间填上一个数，使三个数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此 未知数是 13.如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三 角形，等腰直角三角形边上再连接正方形…如此继续.若共得到1023个正方 形，设初始正方形的边长为号，则最小正方形的边长为 14.已知数列{a,}的前n项和为Sn,且3Sn十1=4an,n∈N则使不等式/a1十√a2+…十√an< 2023成立的n的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)数列{a.}满足a1=2,aw+1=(入-3)am十2"(n∈N). (1)当a2=一1时，求A及a3的值； (2)是否存在入，使数列{a}为等差数列？若存在，求其通项公式：若不存在，说明理由. 6 16.5分)已知数列a.满足a=1aa年千24-a-0(侵+1水neN)4=-么 1)求证：数列日，十1是等比数列： (2)若数列{b.}是单调递增数列，求实数入的取值范围. 17.(15分)已知等比数列{an}满足a3十a4=12,a1a6=32,前n项和为S.,且公比q>1. (1)数列{a}的通项公式： (2)求证：1+1++1<2. 41a2 4 一7 18.(17分)某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅 游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加子 (1)求n年内旅游业的总收入： (2)试估计大约几年后，旅游业的总收人超过8000万元. (已知1g2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg5≈0.6990) 19.(17分)已知数列{a.}满足a1=1,aw+1=2S.+1,其中S。为{a.}的前n项和，n∈N°. (1)求数列{a.的通项公式； (2)设{bn一a.}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b.}的前n项和T.: —8第四章数列 8.C依题意，设a满足被3除余2且被5除余1，则 a加上3和5的最小公倍数15的整数倍后也能满 B卷能力提升卷 足被3除余2且被5除余1.设被3除余2且被5 1.C依题意，6=1×6=3°×6,18=3×6=3×6， 除余1的数由小到大排列而成的数列为{a,},由于 54=9×6=3×6,所以此数列的一个通项公式为 被3除余2且被5除余1的最小正整数为11，则 a。=2×3",故选C. 〔a.}是以11为首项，以15为公差的等差数列，所 2.D数列{a。}的通项公式为a,=4n一5，它的图像 以a10=11+(10-1)×15=146. 就是直线y=4.x一5上满足x∈N的一系列孤立的 点，故选D. QACA中品，一代资资袋当为专数时， 3.C根据根与系数的关系得，等差数列中两项的和 a,-0:当n为偶数时，a.=1,满足条件. 是2，另外两项的和也是2，首项是，家易得到四 B中a,=1+（1D,满足条件.C中，a,=1+gsm. 2 2 项猴次为子是，营子则mm的值一个为员另 满足条件.D中a,=sin受，当n=1时a,=1 外一个为号所以m一=号 当n=2时，42=0，以此类狼，不满足条件故 选ABC 4.B:在等差数列{an}中，a6十a<0,且S1>0, 10.BC令a.=26-2≥0，解得n≤13， 故数列的前12项大于0，第13项等于0，第13项 i.S-a +an)-la.0. 后面的均小于0， ∴a6>0,a,<0,.{S}中最大的是S4,故选B. 所以数列{an}的前12项或前13项和最大，故使 5.C因为2a,-a+2a1=0且a3十a1=2a7, 其前n项和S.取最大值的n的值为12或13.故 所以4a,一a=0,解得a,=4或a1=0, 选BC. 又a≠0，所以a,=4. 11.ABC根据等差数列的性质，若S,-S=4(a,十a) 因为b、,是方程x2+5.x+4=0的两个根， =0,则a,+a,=0,5=14a+a)-7a,十a,) 2 b,·b=4 所以 所以b0,b<0, =0.根据S,的图像.当S=S,时，对称轴方程是 b+b,=-5 n=3+=7,结合首项a,>0,可得5，是最大值. 又b·b=b,所以b,=2(含去)或b:=一2， 2 若S,>S,则a<0,那么d<0,所以a,<0,所以 所以公=一2. Ss>S,S,-S.=a,+aw+4,=3au<0,即S4> 故选C S.故ABC均正确. 6.A因为S.=3a.-2, 12.解析：设此三个载分别为3.ab则。6》-3动， 2a=3+b. 解 所以当n≥2，n∈N时，有S,-=3a-1一2，两个式 子相减得a,=3a,一a→品=受由3=动 得日”或份这个未知数为3成27 -2=a1=3a1-2→a1=1, 答案：3或27. 所以数列口，}是1为首项，号为公比的等比教列， 18解折：设1+2+1十+2-1023，即号-1 所以a,=(受)， 023,解得：=10正方彩边长将成鼓列竖，（停 中么=log4,-log(侵）厂--1. ()…,*中第10项为（）=2脚所求最 1 b2022b2 小正方形的边长为记 =2+2k3++2021X202 1 答案：动 =1-+号号++028 1 12021 14.解：由已知，可得5=音a,- 故选A. 当1-1时a-S-4,-3所以a,-1 7.D设等比数列{an}的公比为g,所以a1十a:十a =1,a,十ag十a,=2,所以q(a1十a:十a)=2,解得 当n≥2时，a,=S.-S-1=(5a.-3） q=2,所以a6+a十au=g(a:十a2十a)=2=32. 故选D. (传-）=.-青 39 所以a,=4aw1· (2)证明：由(1)知.=2，所以1+1+…十】 所以数列{a.}是首项a1=1,公比g=4的等比 致列， 所以a=a1g1=4-1, 2-T =[-(门 所以√aw=√4可=(4"1)}=2， 12 所以√a+√a十…+√aw=2”十2+…+2"-1= 2"×1-2"2=2-1. 2- 2<2. 1-2 18.解：(1)设第n年的旅游业收入估计为a。万元，则 若使等式√a+√a+…+√aw<2023成立，则 a,-40,a-(1+号a. 需2"-1<2023. 因为n∈N”,所以n≤10(n∈N), 所以n的最大值为10. a。 故答案为10. 数列a.是首项为400，公比为号的等比载列， 答案：10 15.解：(1)a-1=(a-3)a.+2"(n∈N”)及a1=2, a2=-1, 4∞-（经]-1m[(停)-， a=a-30a,+2=2 1- a=-昌0+2a-费 3 即n年内旅辩业总收入为160[(）广-1]万元 (2)由(1)知S.=1 (2)不存在.@1=2，aw+1=3(入-3)a。十2"，.a2 60o[('-] =(a-3)a1+2=2x-4,a1=(1-3)a2+4=2x2 令s>800.即1600[()广-1]>800. 10以十16.若数列{an}为等差数列，则1十a1= 2a2.即2+2x2-10A+16=2(21-4),∴.A2-7a+ ∴（得）>6…g(）广>g6 13=0.,△=49-4×13<0，.方程无实数解，.入 不存在.即不存在入使数列{a.}为等差数列. m>1g6=g2+g3=8.0216. 5lg5-21g2 16.解：(1)证明：由a1=1,可知a.≠0，因为数列{a.} 满足a1a2aEN,所以=2+1，中 又n∈N°， .大的约9年后，旅游业总收入超过8000万元. +1=2(2+小又a=1,所以+1=20. 19.解：(1)a1=1,a.+1=2S十1，当n=1时，可得a ax =2u1+1=3.当n≥2时，an=2S。-t十1，则aw+1 所以列侵+1是以2为首项，2为公比的等北 an=2an,即a+1=3a.,且a2=3a1.故{a.}是以1 数列. 为首项，3为公比的等比数列.所以a。=3”'. (2)由(1)可得1+1=2”， (2)由题意b,-an=1+2(n一1)=2n-1,所以b =3-1十2m一1.所以T,=b1十b2十…十b.=(3°十 所以6=(m-1-A)(1+1)=(m-1-A)· Nd。-1 3++3)+1+3++2m-0=写+ 2-(n≥2). 因为b,=一入符合{b,}的通项公式，所以b.=(n 81+m 2 1-λ)·2=1(n∈N"). 本章综合检测 因为数列{b是单调递增数列，所以b1>b,即 1.D根据题意，设数列{cn}:9,99,999,9999,…,其 (n-)·2>(n-1-)·2"-↓，化为1<n十1，所 通项公式是10”-1. 以1<2，即1的取值范图为（一∞，2）. 数列2,22,222,2222，…的每一项均是数列{}对 17.解：(1)因为数列{a.}为等比数列，所以a1a= asa1=32. 应项的号 由/a+a,=12 得4=4或a=8 则数列2,22,222,2222，…的一个通项公式是an= aa,=32, a1=8 aa=4, 由公北g>≥1，得0=4故0，=1g=2, 210-D.故选D, 9 a,=8,1 2.A'-am<a1<-am+i.a1十aw>0,a1十awtn 所以4.=2"-1. <0,.Sw>0,且S+1<0. 40